Blatt 04: Schwingungen

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2015
Dozent: Jan von Delft
Übungen: Katharina Stadler, Frauke Schwarz, Dennis Schimmel, Lukas Weidinger
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/15t1/
Blatt 04: Schwingungen
Abgabe: Freitag, 08.05.2015, 13:00
Beispielaufgabe 1: Pendel im Phasenraum (**)
Wir betrachten ein reibungsfreies ideales Pendel der Masse m und Länge l. Benutzen
Sie den Energieerhaltungssatz um den radialen Impuls pϕ = ml2 ϕ̇ in Abhängigkeit von dem
Auslenkungswinkel ϕ zu finden.
Skizzieren Sie die Bewegung des Pendels im Phasenraum {pϕ , ϕ}. Beachten Sie, dass sich
das Pendel überschlagen kann.
Beispielaufgabe 2: Schwebungen (**)
Zwei identische Massen m, die sich nur entlang
einer Geraden bewegen können sind durch eine
Feder der Federkonstante DK gekoppelt und
schwingen an Federn mit Federkonstanten D
(siehe Skizze).
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D
DK
m
x1
D
m
x2
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(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Auslenkungen x1 und x2 der Massen aus ihrer
Gleichgewichtslage auf. Finden Sie die Normalschwingungen und Eigenfrequenzen, und
geben Sie die allgemeine Lösung an.
(b) Finden Sie nun die explizite Lösung für die Anfangsbedingungen x1 (0) = A, x2 (0) = 0 =
ẋ1 (0) = ẋ2 (0). Skizzieren Sie die Lösung für die Fälle DK D sowie DK ≥ D.
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Beispielaufgabe 3: Testfragen (**)
Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden
haben. Sie sollten sie ohne längeres nachdenken oder nachschlagen in ein paar Minuten
beantworten können.
1. Was ist die Bedingung für eine Gleichgewichtslage in einem Potential V (x)?
2. Wann ist das Gleichgewicht (in)stabil?
3. Wieviele Dimensionen hat der Phasenraum für die Bewegung eines Massenpunktes
in einer Ebene?
4. Skizieren Sie im Phasenraum:
(i) die freie Bewegung eines Teilchens
(ii) ein ruhendes Teilchen
(iii) ein gleichförmig beschleunigtes Teilchen
5. Wieviele Integrationskonstanten gibt es in der Lösung der Newton’sche Bewegungsgleichungen für ein System von N Teilchen in d Dimensionen? Warum?
6. Warum ist die Berechnung kleiner Schwingungen um eine Gleichgewichtslage viel
einfacher als die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen?
Hausaufgabe 1: Phononen im eindimensionalen Kristallmodell (****)
Wir betrachten ein eindimensionales Modell eines Kristalls. Es besteht aus einer Kette
äquidistanter, durch Federn gekoppelter Massen. Die Federn haben dabei identische Federkonstanten D, aber Massepunkte der Massen m und M wechseln sich ab (siehe Skizze). Die
Massen können sich längs einer Geraden bewegen. Der Gleichgewichtsabstand zwischen Massepunkten gleicher Masse sei a. Die Auslenkungen aus dem Gleichgewicht werden mit un für
Teilchen der Masse m und mit vn für Teilchen der Masse M bezeichnet:
D
D
m
D
M
un
vn
un+1
(a) (*) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für diese unendliche lineare Kette an. Zeigen
Sie, dass diese Gleichungen durch einen Wellenansatz für jeden Massentyp
un = U ei(kan−wt)
vn = V ei(kan−wt)
gelöst werden kann. Finden Sie die resultierende Gleichung für ω = ω(k).
(b) (*) Die gefundene Lösung ist durch die Wellenzahl k charakterisiert, die zunächst beliebige
Werte annehmen kann. Begründen Sie, daß k auf den Bereich −π/a ≤ k ≤ π/a beschränkt
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werden kann. Skizzieren Sie die Eigenfrequenzen ω(k) als Funktion von k und diskutieren
Sie die Grenzfälle k = 0 und k = π/a. Die Beziehung ω(k) wird Dispersionsrelation
genannt.
(c) (*) Skizzieren Sie die Auslenkungen der eindimensionalen Kette für den Fall k ≈ 0.
(d) (*) Die physikalische Randbedingung einer endlichen Kette aus N Massen kann durch
die periodische Randbedingung un (t) = un+N (t), vn (t) = vn+N (t) simuliert werden. Zu
welchen diskreten Werten von k führt diese Randbedingung?
Hausaufgabe 2: Benzol-Ring (*****)
Ein einfaches Modell eines Benzolringes besteht aus
sechs gleichen Massen, die sich reibunglos entlang eines
Kreisringes bewegen. Die Massen seien durch gleichartige Federn verbunden, die sich ebenfalls entlang des Ringes erstrecken (siehe Skizze). Der Ring ist dabei fixiert
und bewegt sich nicht.
(a) (*) Stellen Sie Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen der Massen, xn , n =
1 . . . 6, entlang des Kreisringes in vektorieller Schreibweise, T̂ ẍ = −V̂ x, auf.
(b) (**) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen der Normalmoden und skizzieren Sie die Bewegung der Massen entlang des Ringes für die verschiedenen Schwingungsmoden.
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− 2 zu definieren. Für das charakteristische
(Hinweis: Es kann nützlich sein, ε = mω
k
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2
Polynom sollten Sie dann ε − 6ε + 9ε − 4 finden. Überprüfen Sie außerdem, ob die
von Ihnen berechneten Eigenvektoren mit erwarteten möglichen Molekülschwingungen übereinstimmen.)
(c) (* Bonus) In welchen der berechneten Moden oszilliert der Schwerpunkt des Benzolmoleküls? Diese Schwerpunktsoszillationen treten hier auf, weil der Benzolring fixiert
ist. Warum würde man solche Oszillationen des Schwerpunktes für ein freies Molekül
nicht erwarten?
(d) (**) Alternativ kann der hier untersuchte Ring auch als Kette mit periodischen Randbedingungen betrachtet werden. Prüfen Sie, dass Sie mit dieser Methode dieselben
Ergebnisse finden.
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Hausaufgabe 3: Quartisches Potential (***)
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einer Dimension in einem Potenzial der Form
V (x) = ax2 + bx4 .
(a) (*) Skizzieren Sie V (x). Berücksichtigen Sie die verschiedenen möglichen Fälle in
Abhängigkeit der Werte der Parameter a und b. Berechnen Sie die stabilen Lagen des
Teilchens sowie die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen um diese Punkte.
(b) (**) Wir betrachten nun den Fall a > 0, b < 0 und eine Gesamtenergie des Teilchens,
die dem Maximum von V (x) entspricht. ±x1 (mit x1 > 0) bezeichne die Positionen
der Maxima von V (x). Zeigen Sie durch Separation der Variablen, dass die Bewegung
des Teilchens mit der Anfangsbedingung −x1 < x(0) = x0 < 0 und ẋ(0) > 0 durch
h p
i
x(t) = x1 tanh tx1 −2b/m + artanh(x0 /x1 )
gegeben ist.
Bestimmen und skizzieren Sie die Zeit t0 , die das Teilchen benötigt, um das Minimum
zu erreichen. Skizzieren Sie x(t) für x0 → −x1 .
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