Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) ¨Ubungsblatt 4

Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik)
SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14)
Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala
Übungsblatt 4
Abgabe: 12.05.08
Punkte der Hausaufgaben mit * und ** :
Σ4 = 17 Punkte
Beispielaufgaben
(mittel)
Aufgabe 12 : Pendel im Phasenraum
Wir betrachten ein reibungsfreies ideales Pendel der Masse m und Länge l. Benutzen Sie den
Energieerhaltungssatz um pϕ = ml2 ϕ̇ in Abhängigkeit von dem Auslenkungswinkel ϕ zu finden.
Skizzieren Sie die Bewegung des Pendels im Phasenraum {pϕ , ϕ}. Beachten Sie, dass sich das
Pendel überschlagen kann.
(mittel)
Aufgabe 13 : Schwebungen
Zwei identische Massen m, die sich nur entlang einer Geraden bewegen können sind durch
eine Feder der Federkonstante DK gekoppelt und schwingen an Federn mit Federkonstanten
D (siehe Skizze).
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D
DK
m
x1
D
m
x2
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Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Auslenkungen x1 und x2 der Massen aus ihrer
Gleichgewichtslage auf. Finden Sie die Normalschwingungen und Eigenfrequenzen.
Geben Sie die allgemeine Lösung an. Betrachten Sie nun die Anfangsbedingungen x1 (0) =
A, x2 (0) = 0 = ẋ1 (0) = ẋ2 (0). Skizzieren Sie die Lösung für die Fälle DK ≪ D sowie DK ≥ D.
Testfragen
Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden haben.
Sie sollten sie ohne längeres nachdenken oder nachschlagen in ein paar Minuten beantworten
können.
(a) Was ist die Bedingung für eine Gleichgewichtslage in einem Potential V (x)?
(b) Wann ist das Gleichgewicht (in)stabil?
(c) Wieviele Dimensionen hat der Phasenraum für die Bewegung eines Massenpunktes in
einer Ebene?
(d) Skizieren Sie im Phasenraum:
(i) die freie Bewegung eines Teilchens
(ii) ein ruhendes Teilchen
(iii) ein gleichförmig beschleunigtes Teilchen
Hausaufgaben
Hausaufgabe 11 : Phononen im eindimensionalen Kristallmodell
Wir betrachten ein eindimensionales Modell eines Kristalls. Es besteht aus einer Kette äquidistanter, durch Federn gekoppelter Massen. Die Federn haben dabei identische Federkonstanten
D, aber Massepunkte der Massen m und M wechseln sich ab (siehe Skizze). Die Massen könen
sich längs einer Geraden bewegen. Der Gleichgewichtsabstand zwischen Massepunkten
gleicher Masse sei a. Die Auslenkungen aus dem Gleichgewicht werden mit un für Teilchen
der Masse m und mit vn für Teilchen der Masse M bezeichnet:
D
D
m
un
D
M
vn
un+1
(a) (*) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für diese unendliche lineare Kette an.
(b) (**) Zeigen Sie, dass diese Gleichungen durch einen Wellenansatz für jeden Massentyp
un = U ei(kan−wt)
vn = V ei(kan−wt)
gelöst werden kann. Finden Sie die resultierende Gleichung für ω = ω(k).
(c) (**) Die gefundene Lösung ist durch die Wellenzahl k charakterisiert, die zunächst beliebige Werte annehmen kann. Begründen Sie, daß k auf den Bereich −π/a ≤ k ≤ π/a
beschränkt werden kann. Skizzieren Sie die Eigenfrequenzen ω(k) als Funktion von k
und diskutieren Sie die Grenzfälle k = 0 und k = π/a. Die Beziehung ω(k) wird Dispersionsrelation genannt.
(d) (*) Skizzieren Sie die Auslenkungen der eindimensionalen Kette für den Fall k ≈ 0.
(e) (*) Die physikalische Randbedingung einer endlichen Kette aus N Massen kann durch die
periodische Randbedingung un (t) = un+N (t), vn (t) = vn+N (t) simuliert werden. Zu
welchen diskreten Werten von k führt diese Randbedingung?
Hausaufgabe 12 : Benzol-Ring
Ein einfaches Modell eines Benzolringes besteht aus sechs
gleichen Massen, die sich reibunglos entlang eines Kreisringes bewegen. Die Massen seien durch gleichartige Federn
verbunden, die sich ebenfalls entlang des Ringes erstrecken
(siehe Skizze). Der Ring ist dabei fixiert und bewegt sich
nicht.
(a) (*) Stellen Sie Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen der Massen, xn , n = 1 . . . 6,
¨ = −V̂ ~x, auf.
entlang des Kreisringes in vektorieller Schreibweise, T̂ ~x
(b) (**) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen der Normalmoden und skizzieren Sie die Bewegung der Massen entlang des Ringes für die verschiedenen Schwingungsmoden.
(Hinweis: Für das charakteristische Polynom sollten Sie λ6 − 6λ4 + 9λ2 − 4 finden. Eigenvektoren können Sie mit physikalischer Intuition über mögliche Molekülschwingungen
erraten.)
(c) (*) In einigen der berechneten Moden bewegt sich der Schwerpunkt des Benzolmoleküls.
Dieses Ergebnis ist ein Artefakt des gewählten Modells und kann im echten Molekül
nicht auftreten (wieso?). Welche berechneten Moden sind also ‘unphysikalisch’?
(d) (**) Alternativ kann der hier untersuchte Ring auch als Kette mit periodischen Randbedingungen betrachtet werden (siehe Vorlesung und Hausaufgabe 11). Prüfen Sie, dass Sie
mit dieser Methode dieselben Ergebnisse finden.
Hausaufgabe 13 : Quartisches Potential
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einer Dimension in einem Potenzial der Form
V (x) = ax2 + bx4 .
(a) (**) Skizzieren Sie V (x). Berücksichtigen Sie die verschiedenen möglichen Fälle in
Abhängigkeit der Werte der Parameter a und b. Berechnen Sie die stabilen Lagen des
Teilchens sowie die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen um diese Punkte.
(b) (**) Wir betrachten nun den Fall a > 0, b < 0 und eine Gesamtenergie des Teilchens, die
dem Maximum von V (x) entspricht. Zeigen Sie durch Separation der Variablen, dass die
Bewegung des Teilchens mit der Anfangsbedingung x(0) = x0 < 0 durch
i
h p
x(t) = x1 tanh tx1 −2b/m + artanh(x0 /x1 )
gegeben ist, wobei ±x1 die Position des Maximums von V (x) bezeichnet.
Bestimmen und skizzieren Sie die Zeit t0 , die das Teilchen benötigt, um das Minimum zu
erreichen. Skizzieren Sie x(t) für x0 → −x1 .
Beachten Sie, dass mit diesem Übungsblatt startend durch Abgabe der Hausaufgaben Bonuspunkte für die Klausur erworben werden können. Die genauen Regelungen finden Sie
unter http://www.theorie.physik.uni-muenchen.de/∼kubala/Lehre/08t1/Uebungsbetrieb new.pdf .