Der Winkel zwischen zwei Vektoren

MK 4.6.2003 Winkel_Vektoren.mcd
Der Winkel zwischen zwei Vektoren
Gegeben sind zwei beliebige Vektoren a und b.
Man muss nun zwei Fälle unterscheiden, "gleich" und "entgegengesetzt" orientiert,
die Vektoren schließen einen spitzen oder stumpfen Winkel ein:
Fall (1) Spitzer Winkel
Winkel_Vektoren_0.gxt
Fall (2) Stumpfer Winkel
a = ap + as
Paralleler und senkrechter Anteil von a
a ⋅ b = ap ⋅ b + as ⋅ b = ap ⋅ b
↑ = 0, da senkrecht
Fall (1)
Fall (2)
a ⋅ b = ap ⋅ b = ap ⋅ b
a ⋅ b = ap ⋅ b = − ap ⋅ b
=
a ⋅ cos ( α ) ⋅ b
= − a ⋅ cos ( β ) ⋅ b
=
a ⋅ b ⋅ cos ( α )
= − a ⋅ b ⋅ cos ( 180° − α )
=
Also zusammen:
a ⋅ b ⋅ cos ( α )
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ( α )
Bsp.: Welchen Winkel schließen die folgenden Vektoren ein?
(1)
 −3 
a :=  4  und b :=
2 
 
a ⋅ b = −23
csa :=
 7 
1 
 −3 
 
a = 5.385
a⋅ b
(2)
b = 7.681
α := acos ( csa )
a ⋅ b
α = 123.782 °
 −2 
c :=  4 
2 
 
c⋅ d = 0
°:=
180
Trotzdem weiter:
Winkelhalbierender Vektor
Raute
Winkel_Vektoren_1.gxt
0
0
c senkrecht d
π
γ := acos ( 0)
a + b =w
⇒
 7 
und d :=  1 
5 
 
c = 4.899
γ = 90 °
d = 8.66
Senkrechte Projektion eines Vektors auf einen anderen
0
0
xa = xa ⋅ a = x ⋅ cos ( α ) ⋅ a
0
x ⋅ cos ( α ) = x ⋅ a
Winkel_Vektoren_2.gxt
⇒
(
0
xa = x ⋅ a
)⋅a
0
=
x⋅ a
(
a
)2
⋅a
Richtungswinkel
Def.: Unter den Richtungswinkeln eines Vektors versteht man die Winkel des Vektors zu den Basisvektoren
(Koordinatenachsen).