Versuch 05

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Elektrotechnikprotokoll
Moser Guido
Versuch Nr.: 5
„Laden- und Endladen eines Kondensators“
1
Fulda, den 21.03.1999
Betrachtung der Einstellungen und Meßgrößen
Bevor der Versuch ausgewertet werden kann, müssen die Einheiten in Grundeinheiten des
MKSA-Systems umgerechnet werden und die nötigen Formeln umgestellt werden.
x-t-Schreiber : 300 mm/min = 5mm/s
Widerstand der Ladekurve:
(R1||RE)
(100kΩ||200kΩ)=662/3kΩ±1%
Widerstand der Endladekurve: (R1||RE)||(RV+RE)
(100kΩ||200kΩ)||(2MΩ+200kΩ)=6412/17kΩ±1%
Wobei an R1 proportional zum Strom eine Spannung abfällt, die dazu genutzt
wird, den Lade-/ Endladestrom am x-t-Schreiber aufzunehmen. Die beiden
Widerstände RE sind die Innenwiderstände des Schreibers. RV ist der
Vorwiderstand für die Bestimmung, der abfallenden Spannung an den
Kapazitäten.
Bestimmung der Kapazität:
τ = R ⋅C
Gleichung 5.0
C=
τ
R
Gleichung 5.1
Auswertung der Messungen
Für die Berechnung der Kapazität, über die Lade-/Endladekurve stehen drei verschiedene
Möglichkeiten für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ zur Verfügung, die alle bei der
Auswertung des Versuchs verwendet werden. Außerdem wird bei der Auswertung der
Ergebnisse nur die Endladekurve verwendet, da dort die Widerstandsberechnung für die
Zeitkonstante τ leichter ist, ansonsten sind Lade- und Endladekurve für die Berechnung
identisch.
1. Aus dem Abfall/Anstieg der Spannung/Strom auf den e-ten Teil
2. Das Zeitintervall unter der Tangente (Berührpunkt Tangente Lade-/Endladekurve zum
Schnittpunkt Zeitachse und Tangente)
3. Steigung der Geraden aus der halblogarithmischen Darstellung
Zu 1.)
Auf diese Weise wurde die Zeitkonstante für alle Verschaltungen der Kapazitäten
bestimmt und darüber die Kapazität in Tabelle 1 ermittelt. Bei dieser Art der Bestimmung
ist es vollkommen, egal welchen Startwert man annimmt, da die Expotentialfunktion, wenn
man sie durch sich selbst teilt, eine Gerade ergibt, d.h. die Steigung an jeder Stelle ist
gleich. Die Steigung ist in einer solchen Darstellung auf der x-Achse abzulesen, was bei
uns dann die Zeitachse darstellt. Somit kann ein beliebiger Startwert t0 gewählt werden,
und zum Zeitpunkt t1 besitzt die e-Funktion den e-ten Teil der Spannung. Daraus folgt
τ=(t1-t0). Aus unserer Aufzeichnung ist τ wie folgt zu ermitteln:
∆x
τ=
v Schreiber
Gleichung 5.2
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Versuch Nr.: 5
„Laden- und Endladen eines Kondensators“
Moser Guido
C2
x[mm] nach 1.)
v[mm/s]
tau[s] nach 1.)
tau[s] nach 2.)
tau[s] nach 3.)
Fehler tau [s] +/C[µF] nach 1.)
C[µF] nach 2.)
C[µF] nach 3.)
Fehler C [µF] +/-
C1
2
Fulda, den 21.03.1999
Reihenschaltung Parellelschaltung
11,00
10,75
5
5
2,20
2,15
2,20
2,20
Nicht best. Nicht best.
0,101
0,101
34,00
33,23
34,00
34,00
Nicht best. Nicht best.
1,60
1,60
5,75
5
1,15
Nicht best.
Nicht best.
0,100
17,77
Nicht best.
Nicht best.
1,56
22,50
5
4,50
4,40
4,40
0,104
69,55
68,00
68,00
1,76
Tabelle 1
Zu 2.)
Bei dieser Art wird zu einem Zeitpunkt t0 eine Tangente an die Kurve gelegt, die zum
Zeitpunkt t1 die Zeitachse (x-Achse) schneidet. Aus der Differenz zwischen t1 und t2 ergibt
sich τ wie folgt: τ=(t1 – t2). Die Kapazitäten C1 und C2 und deren Parallelschaltung wurde
auf diese Weise bestimmt und in Tabelle 1 dargestellt.
Zu 3.)
Bei einer halblogarithmischen Darstellung, im natürlichen Logarithmus, werden die Werte
einer Achse in das Argument des Logarithmus eingesetzt. Bei unserer Darstellung werden
die Werte der Spannung über die Zeit in den Natürlichen Logarithmus eingesetzt, da dies
die Umkehrfunktion der e-Funktion ist und sich daher eine Gerade mit konstanter Steigung
erzeugen läßt. Hierzu werden zur Vereinfachung der Rechnung nur gerade Zahlenwerte
genommen.
Die
Steigung
der
Geraden
wird
durch
den
Quotienten
∆y
1
=m=
∆x
τ
Gleichung 5.3
gebildet,
woraus
sich
dann
τ
aus
∆x
τ=
der
v Schreiber
∆y
Gleichung
5.3
wie
folgt
ergibt.
22mm
5mm
s = 0,44 s
=
10mm
Gleichung 5.4
∆y ist in diesem Fall einfach nur der Abstand in mm, da für die Logarithmierung die
tatsächliche Einheit nicht betrachtet werden kann, weil das Argument im ln keine Einheit
besitzen darf. In diesem Versuch wurde die Parallelschaltung der Kondensatoren so
bestimmt.
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Herleitung der Formel für die Kapazität von Parallel- und
Reihenschaltung
U =U 1 + U 2
I = I1 = I 2
t = t1 = t 2
Q = I ⋅ t = I 1 ⋅ t1 = I 2 ⋅ t 2 = Q1 = Q 2
U U1 + U 2 U1 U 2
=
=
+
Q
Q
Q1 Q2
1 U U1 U 2
1
1
= =
+
=
+
C Q Q1 Q2 C1 C 2
Herleitung 5.1
Bild 5.1
U = U1 = U 2
I = I1 + I 2
t = t1 = t 2
Q = I ⋅ t = t ⋅ ( I1 + I 2 )
Q Q + Q2 Q1 Q2
C= = 1
=
+
= C1 + C 2
U
U
U1 U 2
Bild 5.2
Herleitung 5.2
Diskusion der Meßergebnisse
Wie in Tabelle 1 zu sehen ist unterscheiden sich die verschiedenen Arten der Taubestimmung
nur im Bereich der Meßfehler. Außerdem kann man feststellen, daß die Formeln für die
Herleitung der Reihen- und Parallelschaltung auch korrekt sind. Da, wenn man die Werte der
Kondensatoren C1 und C2 in die jeweilige Formel einsetzt und berechnet, die Ergebnisse im
Rahmen der Fehlerrechnung bleiben.
C p = C1 + C 2 = 34,00µF + 34,00µF = 68,00µF ↔ 69,55µF ± 1,76µF
CR =
1
1
1
+
C1 C 2
=
1
1
1
+
34,00µF 33,23µF
= 16,81µF ↔ 17,77 µF ± 1,56 µF
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Fehlerbetrachtung
Während des Versuches können folgende Fehler auftreten.
- Abweichung des Papiervorschubs
- Trägheit des Schreiberarms
- Zeitverzögerung bei der Umschaltung von Laden auf Endladen des Kondensators
- Leckströme im Kondensator und der Schaltung (über parallelgeschaltenen Schreiber)
Auswertung der Messergebnisse
- Ungenauigkeit beim Ablesen des Lineals (±0.5mm)
- Zeichnerische Lösung nicht ungenau (±0.5mm)
Fehlerrechnungen:
Widerstände: Da die einzelnen Widerstände einen maximalen Fehler von 1% haben, weicht
der Fehler des Gesamtwiderstandes davon nicht ab.
Zeitkonstante: Da bei allen drei Verfahren eine zeichnerrische Auswertung erfolgte, ist die
Fehlerrechnung überall die gleiche.
∆τ =
=
2
∂τ
∂τ
⋅ ∆x +
⋅ ∆v Schreiber
∂x
∂v Schreiber
1
v Schreiber
2
⋅ ∆x +
2
2
x
− (v Schreber )
2
⋅ ∆v Schreiber
2
2
=
Kapazität:
1
11,00mm 1 mm
⋅ 0,5mm +
⋅
2
s
mm
30
mm
5
−
5
s
s
(
)
= 0,101s
Der Fehler in der Kapazität hängt vom Fehler der Widerstände und dem
Fehler der Zeitkonstanten ab und ist formeltechnisch bei allen Messungen
derselbe.
2
∆C =
∂C
∂C
⋅ ∆R +
⋅ ∆τ
∂R
∂τ
2
=
−
τ
R2
2
⋅ ∆R +
∆τ
R
2
Verwendete Meßgeräte und Bauteile:
- SERVOREC 220 / InventarNr.: 020000219
- Kondensatoren / InventurNr.: 020000174
Verwendete Literatur:
- Skript der Vorlesung Einführung ET; Prof. Dr. Ing. Baum; Ausgabe 1998
- Grundlagen der Elektrotechnik; Wolfgang Müller-Schwarz; 3. Auflage 1974;
Siemens AG