Musterlösung zur 2. Übung

Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Musterlösung zur 2. Übung
1) Vorkenntnisse:
-
Winkelbezeichnungen
-
Winkel bestimmen
-
180° = Gerade (gestreckter Winkel)
-
Winkel und Gerade konstruieren können
-
Geraden / Schnitt von Geraden kennen
-
Problemlösungen beherrschen (incl. logische Fähigkeiten)
-
Satz über Nebenwinkel kennen und anwenden können
-
Lösen von einfachen Gleichungen
2) Hauptziel:
Mit der Formulierung und dem Beweis des „Nebenwinkelsatzes“ ist keineswegs
sichergestellt, dass die Schüler den Satz verstanden haben und seine
Bedeutung einschätzen können. Um das zu gewährleisten, sind eine Reihe von
Aktivitäten nötig, mit denen man das Verstehen fördern und kontrollieren kann.
Dabei wählt der Lehrer die entsprechenden Aufgaben so, dass sie auch
übergeordneten Zielen dienen. Für den Nebenwinkelsatz bieten sich deshalb die
Aufgaben auf dem Arbeitsblatt des Lehrers an, indem er auch die TIMSSAufgabe sinvoll eingeordnet hat.
Hiermit geht er auch der Idee nach, dass die Schüler begründende und
schlussfolgernde Formulierungen lernen sollen. Es werden Aufgaben gestellt, in
denen die Schüler argumentieren müssen. Der Lehrer hat die Aufgabe, dass sie
dies korrekt tun. Das Argumente erforderlich sind, wird besonders an WennDann-Aussagen deutlich. Deshalb hat der Lehrer die TIMSS-Aufgabe wie folgt
neu formuliert: Welche Konsequenzen hat es, wenn für Nebenwinkel α und β gilt
5α = 4β? Das Bestimmen der Winkel, die bestimmten Bedingungen unterliegen
und das Herleiten und Begründen von Wenn-dann-Aussagen über Winkel
verbinden Geometrie und Algebra miteinander und schulen das Argumentieren.
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Rinkens/Eilerts
Inhalte
Arbeitsauftrag: Löse
die Aufgabe Nr. 1
Schüler überlegen
gemeinsam die
Lösung der Aufgabe 1.
Schüler fertigen für die
Nr. 2 eine Figur an und
klären die Frage. Der
Lehrer sucht sich eine
Figur eines Schülers
aus, die er auf die
Folie zeichnen lässt.
Schüler erklären sich
gegenseitig die Lösung
der Aufgabe 2.
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Ziele
Selbstständiges Lösen der Aufgabe.
Der Lehrer erkennt, ob der Satz über Nebenwinkel von den
Schülern verstanden worden ist.
Selbstständiges Lösen der Aufgabe, Vertiefung des Satzes.
Mit der zweiten Überprüfung geht der Lehrer auf die besondere
Tücke des Begriffs Nebenwinkel ein: er bezieht sich auf
Winkelpaare, ohne dass man das sprachlich immer sogleich
merkt. Hierzu kann der Impuls: „Was fehlt an der Formulierung: α
ist ein Nebenwinkel“? gegeben werden.
Frage: Welche
Aus der Figur 1 sollen die Schüler erkennen, dass sich die
Gleichungen ergeben
Formulierung auf vier Winkelpaare bezieht, für die sich
sich für je zwei Winkel Gleichungen formulieren lassen. Dies wird den Schülern mit der
α, β, γ und δ in der
Frage bewusst gemacht. Der Text des Satz hat also eine hohe
Figur (aus Aufgabe 1)? Aussagekraft. Meist wird beim Übergang von einem Text zu einer
Formel betont, dass die Formel eine wesentlich knappere
Darstellung ist. Dieses Beispiel macht deutlich, dass ein Text
unter Umständen mehrere Formeln zusammenfassen und damit
auch zu einer Komprimierung führen kann.
Handlungsspielraum α Die Schüler sollen verstehen, dass der Satz (also auch die
beliebig wählbar. Wie
Formel) zur Konsequenz hat, dass mit einem der beiden
groß ist dann
Nebenwinkel stets der andere festgelegt ist. Das bedeutet
zwangsläufig der
praktisch, dass man nur über einen Winkel verfügen kann. Damit
andere Winkel?
wir einerseits ein Handlungsspielraum deutlich: Man kann als
ersten Winkel α einen beliebigen Winkel zwischen 0° und 180°
wählen. Der andere Winkel beträgt dann zwangsläufig 180°- α.
Man unterliegt hier also einem Sachzwang. Geometrische Sätze
lassen sich häufig in dieser Weise deuten, so dass man den
Lernenden bewusst machen kann, dass man Geometrie als
Theorie des Handelns im Anschauungsraum sehen kann.
Schüler überlegen sich Selbstständiges Lösen der Aufgabe, Vertiefung des Satzes.
die Lösung von Nr. 3.
Schüler erklären sich
Die Schüler finden den Sonderfall α = β, der zur Folge hat, dass
gegenseitig die Lösung beide Winkel 90° betragen. Dieser Fall ist geometrisch
der Aufgabe 3.
interessant, denn mit ihm erhält man die Möglichkeit, die Relation
„senkrecht zu“ zwischen sich schneidenden Geraden zu
definieren. Man sollte es sich im Unterricht zur Regel machen,
nach der Erarbeitung eines Satzes Sonderfälle näher zu
betrachten, um das Verständnis des Satzes zu vertiefen.
Schüler überlegen sich Selbstständiges Lösen der Aufgabe, Vertiefung des Satzes.
die Lösung der Nr.4.
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Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
Schüler erklären sich
gegenseitig die Lösung
der Aufgabe 4.
Lehrer fragt: Für
welche Winkel gilt α
und β gilt β = 2α?
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Mit dieser Aufgabe fordert der Lehrer Beziehungen zwischen den
auftretenden Winkeln und erhält damit zusätzliche Bedingungen,
denen die Winkel unterworfen sind. Derartige Bedingungen
können unter Umständen beide Winkel festlegen. Durch die
Forderung, dass α und β verschieden groß sein sollen, bietet sich
der additive Vergleich aus Aufgabe 4 an.
Die Frage des Lehrers leitet zur TIMSS-Aufgabe über und ist ein
multiplikativer Vergleich.
Selbstständiges Lösen der Aufgabe, Vertiefung des Satzes.
Schüler überlegen sich
die Lösung Nr.5.
Schüler erklären sich
Umsetzung des multiplikativen Vergleichs.
gegenseitig die Lösung
der Aufgabe 5.
Diese Betrachtung macht deutlich:
Behandelt man die TIMSS-Aufgabe in diesem größeren Kontext, dann verliert sie
ihren „exotischen“ Charakter. Dabei geht es dem Lehrer einerseits darum, durch
Erforschen der Konsequenz des Nebenwinkelsatzes das Verständnis für diesen Satz
zu sichern und zu vertiefen. Andererseits verfolgen wir damit das übergreifende Ziel,
bei den Schülern die Fähigkeiten im Argumentieren zu verbessern.
3) Weiterer Unterrichtsverlauf: z.B.
1. Möglichkeit:
Winkelbeziehungen
im
Dreieck
Æ
Winkelbeziehungen
bei
Vierecken
(vom
Besonderem zum Allgemeinen) Æ Konsequenzen grundlegender Sätze über
Beziehungen zwischen Winkeln (einfach Schlussketten mit dem Ziel geometrische
Einsichten zu wecken, algebraische Techniken zu sichern und logische Fähigkeiten zu
entwickeln: drei zentrale Winkelsätze (vorher behandelt) miteinander kombinieren.
2.
Möglichkeit:
Über
den
additiven
und
multiplikativen
Vergleich
in
die
Gleichungssysteme einführen (Übergang zur Algebra)
3. Möglichkeit: Winkelsätze weiter einführen (Stufenwinkel-, Scheitelwinkel- und
Wechselwinkelsatz)
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Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
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4) Lehrplan
Klasse: 7
Geometrie:
Erfassen: verwenden die Grundbegriffe (Gerade, Winkel)
Konstruieren: zeichnen grundlegende ebene Figuren (Gerade, Winkel)
Anwenden:
bestimmen
Winkel
mit
Hilfe
des
Nebenwinkelsatzes
(einfacher
Winkelsatz)
Argumentieren / Kommunizieren:
Lesen: ziehen Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen
Verbalisieren:
erläutern
die
Arbeitsschritte
bei
mathematischen
Verfahren
(Konstruieren) mit eigenen Worten
Kommunizieren: vergleichen und bewerten der Lösungswege / Argumentationen und
Darstellungen
2. Aufgabe: Fünfeck
Vorgabe : α = 36°
α
Eine mögliche Lösung:
Der Innenwinkel des Fünfecks
beträgt 108°. 108° - α = 72° diese
dividiert durch 2 ergibt den Winkel
β = 36°.
δ
β
γ
In dem grünen Dreieck sind nach
dem Winkelsummensatz die
Innenwinkel zusammen 180°.
180° -2* α = 144° Diese dividiert
durch 2 ergibt den Winkel γ =72°.
δ = 180° - γ . Also δ =108°.
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