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Testatfragen Analysis
A) Grundlagen
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Nenne die Axiome der Addition und Multiplikation im Körper der reellen Zahlen.
Was ist eine Ordnungsrelation?
Erkläre: Dedekindscher Schnitt.
Wie kann man einen periodischen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch umwandeln?
Beweise, daß zwischen je zwei rationalen Zahlen a < b eine rationale Zahl c mit a < c < b liegt. Gilt diese Aussage
auch für irrationale Zahlen?
6. Beweise mit dem Cantorschen Diagonalverfahren, daß die Mengen Q und R nicht gleichmächtig sind.
7. Nenne den binomischen Lehrsatz.
∑n
8. Welchen Wert hat
a für m = n und m > n?
k=m k
9. Wie lautet die Bernoullische Ungleichung? Beweise ihre Gültigkeit mittels vollständiger Induktion.
10. Was versteht man unter dem Infimum und dem Supremum einer Menge A ⊆ R?
11. Warum gilt sup (f1 (x) + f2 (x)) 6 sup f1 (x) + sup f2 (x) für beliebiges A ⊆ R und beliebige beschränkte
x∈A
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x∈A
x∈A
Funktionen f1 , f2 : A → R?
Beweise die Dreiecksungleichung | a + b | 6 | a | + | b | für beliebige a, b ∈ R.
Definiere: komplexe Zahlen, ihre Addition und Multiplikation, ihren Betrag. Gilt die Dreiecksungleichung?
Was versteht man unter Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl?
Überführe (u, w) ∈ C in trigonometrische Darstellung.
Deute die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene.
√
Erkläre die Bedeutung des Symbols k z in R und C. Für welche z, k hat es jeweils Sinn?
√
Bestimme 5 2 ⊂ C .
Gib die Axiome eines metrischen Raumes ( Ω , ϱ ) an.
Klassifiziere die Punkte eines metrischen Raumes ( Ω , ϱ ) nach ihrer Lage relativ zu einer nichtleeren Teilmenge
A ⊆ Ω (innere Punkte von A, Randpunkte von A, Häufungspunkte von A, ...).
Erkläre: offene, abgeschlossene Menge.
Gibt es in einem beliebigen metrischen Raum ( Ω , ϱ ) Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind?
Benenne im metrischen Raum R mit ϱ(x, y) = | x − y | Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.
Wann heißt eine Menge im metrischen Raum überdeckungskompakt?
Nenne den Heine-Borelschen Überdeckungssatz.
B) Folgen, Reihen, Grenzwerte
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Definiere: Grenzwert einer reellen Zahlenfolge.
Nenne das Monotonie- und Cauchykriterium für reelle Zahlenfolgen.
Wie bestimmt man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge?
Kann die Limesmenge einer reellen Zahlenfolge leer sein?
Wie ist der Limes superior einer Zahlenfolge erklärt?
Definiere: konvergente Reihe.
Nenne die geometrische Reihe und ihre Summenformel.
∑∞
∑∞
Wann heißt eine Reihe
c konvergente Majorante für
b ?
k=1 k
j=1 j
In welchen Fällen versagt das Quotientenkriterium?
Bilde das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen. Wann stimmt seine Summe mit dem Produkt der beiden
Reihensummen überein?
36. Was ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe, und wie kann er aus den Koeffizienten bestimmt werden?
37. Stelle die e-Funktion als Summe einer konvergenten Potenzreihe dar.
38. Beweise die Formel von Moivre/Laplace als Identität für komplexwertige Potenzreihen.
C) Untersuchung elementarer Funktionen
39. Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion lim f (x) ?
40. Wann heißt eine Funktion in x0 ∈ R stetig?
x→x0
41. ∗ Gib eine Funktion f : R → R an, die in jedem Punkt unstetig ist.
42. Bei welchen Operationen mit Funktionen bleibt die Stetigkeit erhalten?
43. Nenne den Zwischenwertsatz von Bolzano für stetige Funktionen.
44. In welchem Sinne kann man stetige Funktionen durch Polynome approximieren?
45.∗ Was kann man über die Unstetigkeitsstellen einer monotonen Funktion aussagen?
46. Was besagt der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit?
47. Wann nennt man eine Funktion Lipschitz-stetig?
48. Formuliere den Banachschen Fixpunktsatz und gib das Verfahren zur Konstruktion des Fixpunktes an.
49. Leite die Monotonie der e-Funktion aus ihrer Funktionalgleichung ab.
50. Beweise: (sinh x)2 − (cosh x)2 ≡ 1 .
51. Nenne die Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion.
52. Skizziere die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens.
53. Definiere: konvexe Funktion, konvexe Menge.
54. Beweise: Jede positive Linearkombination konvexer Funktionen ist konvex.
55. Zeige, daß die Menge der absoluten Minimalstellen einer konvexen Funktion konvex ist.
56. Beweise: Alle Niveaumengen einer konvexen Funktion sind konvex.
D) Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
57. Definiere die Ableitung einer Funktion und deute sie geometrisch.
58. Gib die Gleichung der Tangente an den Graphen einer differenzierbaren Funktion an.
59. Welche Eigenschaften einer Funktion widerspiegeln sich in ihren ersten und zweiten Ableitungen?
60. Differenziere f (x) = xx für x > 0 .
61. Was besagt der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen?
62.∗ Ist jede differenzierbare Funktion Lipschitz-stetig?
63. Gib die Taylor-Entwicklung einer (n+1)-mal stetig differenzierbaren Funktion mit dem Lagrangeschen Restglied
an.
64. Unter welchen Voraussetzungen gilt die Bernoulli/l’Hospitalsche Regel?
65. Unter welchen Voraussetzungen besitzt eine stetige Funktion globale Extremstellen?
66. Nenne die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Vorhandensein einer lokalen Extremstelle einer
hinreichend oft differenzierbaren Funktion.
67. Warum erfassen diese Bedingungen nicht notwendig die globalen Extremstellen?
68. Definiere: unbestimmtes Integral.
69. Wie lautet die Substitutionsregel für unbestimmte Integrale?
70. Definiere: Riemannsche Zwischensummen.
71. Welche Funktionen sind über [ a , b ] Riemann-integrabel?
72. Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
73. Nenne den Fundamentalsatz der Algebra.
74. Welche Funktionen gestatten eine Partialbruchzerlegung, und wie lautet der Ansatz dafür?
75. Nenne die beiden Mittelwertsätze der Integralrechnung.
76. Definiere: Cauchyscher Hauptwert eines uneigentlichen Riemann-Integrals.
77.∗ Definiere: Riemann-Stieltjes-Integral.
78. Gib die Integralformel für die Bogenlänge einer Kurve mit stetig differenzierbaren Parameterfunktionen an.
79. Wie lautet diese Formel für die ebene Kurve, die durch r = f (φ), φ0 6 φ 6 φ1 , mit stetig differenzierbarem f
gegeben wird?
80. Nenne die Integralformeln für Volumen und Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers mit stetig differenzierbarer
Mantellinie.
81. Wie lautet die Sektorformel, und für welche ebenen Bereiche gilt sie?
82. Stelle punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge gegenüber.
83. Unter welchen Bedingungen darf eine Funktionenfolge gliedweise differenziert bzw. integriert werden?
F) Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler
84. Wann heißt eine Funktion mehrerer Variabler in x0 ∈ Rm stetig?
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Stelle gegenüber: partielle Ableitungen und totales Differential einer Funktion.
Definiere Richtungsableitung, Gradient und Hesse-Matrix einer zweimal total differenzierbaren Funktion.
Wie kann ∇f (x) geometrisch gedeutet werden?
Gib die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen einer total differenzierbaren Funktion an.
Wie lautet die mehrdimensionale Taylorentwicklung 1. und 2. Ordnung für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion?
90. Definiere: positiv bzw. negativ definite Matrix.
91.∗ Wie kann man die Definitheit einer Matrix anhand ihrer sukzessiven Hauptminoren erkennen?
92. Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen müssen an einer lokalen Extremstelle einer zweimal stetig
differenzierbaren Funktion mehrerer Variabler erfüllt sein?
93. Wann befindet sich in einem Punkt x0 mit ∇f (x0 ) = om sicher keine lokale Extremstelle?
94. Was versteht man unter einer lokalen Extremstelle in einer Aufgabe mit Nebenbedingungen: f (x) → extr !,
x ∈ X ⊂ Rm ?
95. Nenne die Lagrangesche Multiplikatorenregel.
96. Wann kann man mit dieser Regel auch globale Extremstellen bestimmen?
Anmerkung: Die Fragen umfassen die Inhalte der Vorlesung Analysis I und II.Die mündliche Prüfung bezieht sich
auf die Fragen zu Themengebieten der Analysis II.