Blatt 2 - M10 - Technische Universität München

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum für Mathematik
Prof. Dr. Ulrich Bauer, Zi Ye
WS2015/2016
Datum: 18. Januar
Übungen zu Fallstudien der Mathematischen
Modellbildung (Modellierung mit Graphen)
(2 Planare Graphen, Instant Insanity, Verstrebungen)
1
Brücke in planarem Graph
Beweisen Sie, dass eine Kante in einem ebenen Graphen (mit geraden Kanten)
genau dann eine Brücke ist, wenn sie adjazent zu der äußeren Fläche ist.
2
Kantenanzahl für nicht planaren Graph
Finden Sie einen nicht planaren Graphen, dessen Kantenzahl unterhalb der
g
Schranke max{ g−2
(n − 2), n − 1} aus der Vorlesung liegt.
3
Instant Insanity
1. Finden Sie eine Lösung für die folgenden vier Würfel:
Y
G
R G B R
R G B G
Y
R
(a) Würfel 1
(b) Würfel 2
Y
Y
R Y R B
G
R G R Y
B
(c) Würfel 3
(d) Würfel 4
2. Zeigen Sie, dass die Teilgraphen H1 und H1 von dem Graph G das einzige
Paar von Teilgraphen mit den folgenden Eigenschaften für die gegebenen
Wüfel ist:
1
R•
2
•B
3
1
21
4
4
2
G•
3
•Y
4
(a) Graph G
R•
4
G•
3
2
•B
1
•Y
(b) H1
R•
4
G•
3
•B
1
2
•
(c) H2
Y
R
R Y G B
R
R G B G
R
(a) Würfel 1
Y
(b) Würfel 2
G
B B R Y
G
(c) Würfel 3
B
G Y R G
Y
(d) Würfel 4
(a) Jeder Teilgraph enthält genau eine Kante jedes Würfelgraphen.
(b) Die Teilgraphen haben keine gemeinsamen Kanten.
(c) Jeder Knoten ist inzident mit genau zwei Kanten.
3. Zeigen Sie, dass es keine Lösung für die folgende vier Würfel gibt:
G
Y G R B
B
G R R Y
R
(a) Würfel 1
4
G
(b) Würfel 2
Y
R Y G B
Y
(c) Würfel 3
B
Y B G R
B
(d) Würfel 4
Knotengrade
Sei G ein zusammenhängender gerichteter Multigraph ohne Mehrfachkanten mit
n Knoten und m = 2n Kanten. Sei x ein Knoten von G. Alle anderen Knoten
b 6= x haben Grad d(b) = d− (v) + d+ (v) > 2, alle Knoten haben gleichen Einund Ausgangsgrad d− (v) = d+ (v), und ein Knoten b 6= x mit Grad 4 hat keine
Schleife.
Zeigen Sie: Dann gibt es zwei benachbarte Knoten mit Grad 4.
5
Verstrebungen
1. Was ist die Anzahl der Freiheitsgrade eines Gitters mit m Zeilen und
n Spalten und einer gegebenen Menge von Verstrebungen in Positionen
(ri , ci )?
2. Läßt sich das Graphenmodell auf drei Dimensionen erweitern? Ist der folgende 3-dimensionale Würfel starr?