Aufgabenblatt 8

Übungen zur Vorlesung ”Fortgeschrittene Molekül- und Festkörperphysik”
(WS 2012/13)
Prof. Dr. Peter Michler, Dr. Sven M. Ulrich und M. Heldmaier
Übungblatt 08
Ausgabe am 09.01.2013
Besprechung am 15./16.01.2013
8.1 Paramagnetismus von klassischen und quantisierten Dipolen (18 Punkte)
Aus der Thermodynamik ist bekannt, dass sich die thermische Besetzungswahrscheinlichkeit für einen Zustand angeben lässt als:
e−β·E
.
(1)
Z
Dabei stellt Z die Zustandssumme dar, β = 1/ (kB · T ) und E die Energie des jeweiligen
Zustandes. Die Energie eines magnetischen Dipoles im magnetischen Feld ist dabei gege⃗
ben durch E = −⃗µ · B.
Für den Mittelwert einer gesuchten Größe, z.B. gilt dann:
∑
−β·E(y)
y A (y) · e
⟨A (y)⟩ =
.
(2)
Z
Im folgenden werden nur homogene Felder behandelt, die in Richtung der z-Achse zeigen,
⃗ = B · ⃗ez .
also B
P =
(a) Berechnen sie für einen klassischen Dipol mit Dipolmoment |µ| einen Ausdruck für
die Magnetisierungsdichte und Suszeptibilität über die Berechnung des mittleren
magnetischen Moments entlang des Feldes für den Fall µ · B ≪ kB · T . (6 Punkte)
(b) Geben Sie zunächst allgemein einen Ausdruck für das Dipolmoment µz eines elektronischen Zustandes in Bezug auf eine Quantisierungsachse in Abhängigkeit seines
Bohrschen Magnetons µB an. Es gelte die Annahme einer Russel-Saunders-Kopplung
von Spin- und Bahnmomenten.
Stellen sie dann einen Ausdruck für das mittlere Dipolmoment des Zustandes in zRichtung und seine Magnetisierungsdichte auf. Zeigen Sie durch Umformung, dass
gilt:
(
(
)
( x ))
2J + 1
(2J + 1) · x
1
M = n · gJ · µB · J ·
· coth
−
· coth
(3)
2·J
2·J
2·J
2·J
mit x = gj · µB · J · B/ (kB · T ), wobei gJ der Landésche g-Faktor ist und J · µB · gJ
das maximale magnetische Dipolmoment des Teilchens. (8 Punkte)
(c) Bestimmen Sie aus dem obigen Ergebnis den Wert für die Suzeptibilität im Fall
kleiner Felder (gj · J · µB · B ≪ kB · T ). Aus dem Vergleich des klassischen und
des quantenmechanischen Ergebnisses erhält man die Definition der effektiven Magnetonenzahl p aus p2 = χqm /χklass . Bestimmen Sie diese. Geben Sie außerdem das
Ergebnis für die Suszeptibilität des freien Elektronengases aus der obigen Rechnung
an. (4 Punkte)
8.2 Spin-Paramagnetismus von quasifreien Elektronen und einfachen Metallen
(16 Punkte)
Das in Aufgabe 8.1 formulierte Curie-Gesetz (formuliert nach Pierre Curie, 1896) beschreibt das Temperaturverhalten der paramagnetischen Suszeptibilität χp von vielen
Materialien, die idealen Spin-Paramagnetismus aufweisen im Sinne von
ˆ elektronisch isolierten Spinsystemen im Grundzustand,
⃗ − S)-Kopplung
⃗
ˆ Russel-Saunders (L
der Spins,
ˆ keiner (oder vernachlässigbar kleiner) gegenseitige Wechselwirkung der magnetischen Momente. Das Gesetz setzt zudem Materialanisotropie bzgl. magnetischer
Eigenschaften voraus.
Im Grenzfall, daß der magnetische Einfluss klein gegenüber dem Temperatureinfluß ist,
⃗ und für nicht zu kleine Temperaturen
d.h. bei Anliegen relativ schwacher Magnetfelder B
T mit kB T ≫ ∆E± gegenüber der Aufspaltung der Grundzustandsniveaus, gilt hierbei
χCurie
∼ T −1 .
p
Im Gegensatz dazu zeigen einfache Metalle (z.B. Natrium (N a) aus der Gruppe der Alkalimetalle mit nur einem Außenelektron) ein von der Temperatur unabhängiges Verhalten
der magnetischen Suszeptibilität χp .
(a) Woran könnte es liegen, dass die obige Betrachtung für ein freies Elektronen System
nicht zum richtigen Ergebnis führt. (2 Punkte)
(b) Leiten Sie nun auf Basis der Betrachtung des Modells eines freien Elektronengases
explizite Ausdrücke für die Magnetisierung M ∼ (B; EF ) bzw. M ∼ (B; TF ) und
die magnetische Spin-Suszeptibilität χp ∼ (B; EF ) bzw. χp ∼ (B; EF ) (mit TF :
Fermi-Temperatur) im Grenzfall T=0 ab. Als Herangehensweise empfiehlt sich hier
die Berechnung der Magnetisierungsdichte aus der Verschiebung der Gesamtenergie
des freien Elektronengases im Feld M = −1/V · ∂(∆E)/∂H. Aus dieser Betrachtung erhalten Sie eine Abhängigkeit der Magnetisierung von der Anzahldichte an
Elektronen im Zustand sz = +1/2 und im Zustand sz = −1/2. Diese Größen lassen
sich mit Hilfe der wohlbekannten Funktionen für die 3-dimensionale Zustandsdichte
unter Verwendung Fermi-Statistik berechnen. (6 Punkte)
(c) Natrium hat eine Elektronendichte von n = 2.5·10−22 cm−3 . Berechnen Sie zunächst
die Fermitemperatur und Fermienergie und Suszeptibilität des quasifreien Elektronengases. Interpretieren Sie das Größenverhältnis der aus Aufgabe 8.1 Suszeptibin·µ ·µ2
lität χCurie
= kB0·T B und der in Teilaufgabe (b) abgeleiteten Größe für χ im Bereich
P
realistischer Temperaturen! (4 Punkte)
(d) Mit Hilfe numerischer Rechnung kann bei der Berechnung der Suszeptibilität auf die
Näherung für niedrige Temperaturen Verzichtet werden. Berechnen Sie die Abweichung numerisch berechneter Werte für die Suszeptibilität von Natrium für Temperaturen von realistischen T = 300 K und unrealistische Temperaturen von T =
30000 K. Was lernen Sie daraus, abgesehen von der Syntax diverser MathematikProgramme. (4 Punkte)