Übungsblatt 13 vom 24.01.13

Übungen zur
”Physik der kondensierten Materie I”
Prof. D. Grundler
WS12/13
Blatt 13
Abgabe bis Donnerstag, 31.01.2013. Besprechung der Aufgaben in der Woche vom 04.02.- 08.02.2013
Aufgabe 13.1: Dielektrische und optische Eigenschaften von Natriumchlorid
Bei Versuchen zu dielektrischen und optischen Eigenschaften von Natriumchlorid (NaCl)
wird ein Kristall zunächst in einen Kondensator eingebracht (NaCl füllt den Kondensator ganz). Durch langsames Auf- und Entladen des Kondensators wird die Kapazität
bestimmt - dabei stellt sich heraus, dass die Kapazität des Kondensators mit dem Isolator
NaCl 5,9mal so gross ist wie im Vakuum.
Die Bestimmung des Brechungsindexes bei sichtbarem Licht liefert für mittlere Wellenlängen den Wert 1,5.
Nun wird der Kristall mit elektromagnetischer Strahlung “beschossen” und dessen Reflexion R als Funktion der Frequenz ν gemessen. Bei einer Frequenz von 5 THz nimmt
das Reflexionsvermögen des Kristalls schlagartig zu und erreicht den Maximalwert von
nahezu 100%.
Welche Rückschlüsse aus diesen Daten können für das weitere Reflexionsvermögen des
NaCl-Kristalls für höhere Frequenzen gezogen werden? Über welchen Frequenzbereich
bleibt R bei dem sehr hohen Wert? Geben Sie eine Skizze für R(ν) an.
Aufgabe 13.2: Dielektrische Funktion freier Ladungsträger
Einen maßgeblichen Beitrag zum dielektrischen Verhalten von Metallen stellen – für Frequenzen um den Bereich des sichtbaren Lichts – kollektive Anregungen der “freien” Ladungsträger dar, d.h. die Elektronen schwingen mit gemeinsamer Phase relativ zum anregenden Feld und den positiven “Hintergrundsladungen” im Festkörper.
a) Bestimmen Sie aus der Bewegungsgleichung von freien Elektronen im elektrischen
Feld E(t) = E0 eiωt die Polarisation P(ω) und die dielektrische Funktion ˜(ω)!
(Effektive Elektronenmasse m∗ , Stoßzeit τ = γ −1 , Dichte n)
q
2
b) Drücken Sie ˜(ω) als Funktion der Plasmafrequenz ωp = ne
∗ aus! Diskutieren Sie
0m
für
des (komplexen) Brechungsindex ñ = n + iκ =
p den Fall ωτ 1 das Verhalten
−1
˜(ω) für den Bereich τ
ω ωp . Zeigen Sie, dass eine elektromagnetische
iωt
Welle E = E0 e mit Dispersion k = ñ ωc hier eine exponentielle Dämpfung im
Medium erfährt, und dass die charakteristische Eindringtiefe δ frequenzunabhängig
ist.
c) Welches Verhalten findet man für ω ωp ?
Bitte Wenden!
Aufgabe 13.3: Freies Elektronengas
Natrium kristallisiert in einer bcc-Kristallstruktur mit Gitterkonstante a = 4.25 Å.
a) Berechnen Sie unter der Annahme eines freien Elektronengases die Elektronenkonzentration n von Natrium in kristalliner Form. (Hinweis: Natrium steht in der ersten
Hauptgruppe)
b) Wie lautet die Zustandsdichte D(E) des freien Elektronengases? (Berechnen Sie hier
die Zustandsdichte pro Kristallvolumen!)
c) Leiten Sie einen Ausdruck für die Fermi-Energie des Elektronengases EF bei T = 0K
her!
d) Berechnen Sie die mittlere Energie pro Elektron im freien Elektronengas des NaKristalls!