Realschule Baden-Württemberg Abschlussprüfung Mathemati kk

Realschule Baden-Württemberg
Abschlussprüfung Mathematik
Thema 1: Terme, Gleichungen und Gleichungssysteme
Übersicht
Lineare Gleichungen
Eine Gleichung, die sich auf die Form ax = b bringen lässt, ist eine „lineare Gleichung mit einer Variablen“. Dabei kommt es nicht immer darauf an, in welcher Potenz die Variable in der Ausgangsgleichung vorkommt. So ist zum Beispiel (x + 4)² – x² = 3(x + 2) eine lineare Gleichung, da sie sich
zu 5x = – 10 umformen lässt.
Lösungsverfahren
Eine lineare Gleichung kannst du lösen, indem du
• auf beiden Seiten die Terme vereinfachst und zusammenfasst,
Beispiel: (x + 4)² – x² = 3(x + 2)
x² + 8x + 16 – x² = 3x + 6
8x + 16 = 3x + 6
• alle Terme mit Variablen auf die eine und alle Zahlenterme
auf die andere Seite der Gleichung bringst und zusammenfasst,
• beide Seiten durch den Koeffizenten der Variablen dividierst.
8x – 3x = 6 – 16
5x = – 10
x=–2
Lineare Gleichungssysteme
Eine Gleichung, die sich auf die Form ax + by = c bringen lässt, ist eine „lineare Gleichung mit zwei
Variablen“. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen besteht in der Regel aus
unendlich vielen geordneten Zahlenpaaren (x|y), deren Punkte alle auf einer Geraden liegen. Lineare
Gleichungen mit zwei Variablen nennt man deswegen auch Geradengleichungen.
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden zusammen ein „lineares Gleichungssystem mit
zwei Variablen (LGS)“. Seine Lösungsmenge ist die Schnittmenge der Lösungsmengen der beiden
Gleichungen. Die Lösungsmenge kann
• leer sein, wenn die beiden zugehörigen Geraden parallel, aber nicht gleich sind,
• genau ein Zahlenpaar enthalten, wenn die beiden zugehörigen Geraden sich schneiden,
• unendlich viele Lösungen haben, wenn die beiden zugehörigen Geraden zusammenfallen.
Lösungsverfahren
Ein lineares Gleichungssystem lässt sich durch das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren lösen. Je nach Struktur der Gleichungen bietet sich das eine oder
andere Verfahren vorrangig an. Sind zum Beispiel beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen oder demselben Vielfachen davon aufgelöst, so arbeitet man sinnvollerweise mit dem Gleichsetzungsverfahren.
Beispiele: 7x – 3y = 14
7x + 5y = – 42
– 7x – 3y = 2
5x + 11y = 3
2x = – 10y + 36
6x + 9y = 12
auflösen nach 7x:
2. Gleichung auflösen nach x:
multiplizieren mit 6 und – 5:
7x = 3y + 14
– 7x – 3y = 2
30x + 66y = 18
7x = – 5y – 42
x = – 5y + 18
– 30x – 45y = – 60
addieren:
gleichsetzen und auflösen:
einsetzen und auflösen:
3y + 14 = – 5y – 42
– 7(– 5y + 18) – 3y = 2
30x + 66y + (– 30x – 45y) = 18 – 60
8y = – 56
32y – 126 = 2
21y = – 42
y=–7
y=4
y=–2
einsetzen:
einsetzen:
einsetzen:
7x = 3 • (– 7) + 14
x = – 5 • 4 + 18
5x + 11 • (– 2) = 3
x=–1
x=–2
x=5
Lösungsmenge:
Lösungsmenge:
Lösungsmenge:
L = {(– 1|– 7)}
L = {(– 2|4)}
L = {(5|– 2)}
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 1:
Terme, Gleichungen und Gleichungssysteme
Übersicht
Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung, die sich auf die Form x² + px + q = 0 bringen lässt, heißt „quadratische Gleichung
in Normalform“. Ist p = 0, so spricht man von einer „rein quadratischen Gleichung“. Sie lässt sich
auch in der Form x² = c schreiben. Eine quadratische Gleichung kann keine, genau eine oder genau
zwei Lösungen haben.
Lösungsverfahren
• Eine rein quadratische Gleichung der Form x² = c hat die Lösungen x1 = c und x2 = – c ,
falls c positiv ist, die Lösung x = 0 für c = 0 und sie hat keine Lösungen, falls c negativ ist.
• Eine quadratische Gleichung der Form x² + px = 0 mit p ≠ 0 lässt sich durch Faktorisieren lösen:
x² + px = 0 ⇔ x(x + p) = 0. Da ein Produkt 0 ist, wenn einer seiner Faktoren 0 ist, wird die
Gleichung 0, falls x = 0 oder x + p = 0 ist. Die Gleichung hat die Lösungen x1 = 0 und
x2 = – p, sie hat also immer genau zwei Lösungen.
• Eine quadratische Gleichung der Form x² + px + q = 0 lässt sich mithilfe der „p-q-Formel“ lösen. Für die Lösungen x1 und x2 gilt:
x1/2 = –
p
2
±
p
( 2 )2 – q
Der Radikand der Wurzel heißt Diskriminante D. Eine quadratische Gleichung hat
• keine Lösung, wenn D < 0 ist,
p
• genau eine Lösung, nämlich x = – 2 , wenn D = 0 ist,
p
p
p
p
• zwei Lösungen, nämlich x1 = – 2 + ( 2 )2 – q und x2 = – 2 – ( 2 )2 – q , wenn D > 0 ist.
Beispiele: x² + 6x – 16 = 0;
x² + 6x + 16 = 0;
x² + 6x + 9 = 0;
x² – 3 = 0 ⇔ x² = 3;
x1/2 = – 3 ±
x1/2 = – 3 ±
x1/2 = – 3 ±
x1 =
9 + 16 = – 3 ± 25 = – 3 ± 5 ; x1 = 2; x2 = – 8
9 – 16 = – 3 ± – 7 ; keine Lösung, da D < 0
9 – 9 = – 3 ± 0 ; x 1 = x2 = – 3
3 ; x2 = –
3;
x² + 3 = 0 ⇔ x² = – 3; keine Lösung, da c negativ
x² + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0 ⇔ x = 0 oder x + 4 = 0; x1 = 0; x2 = – 4
Bruchgleichungen
Bruchgleichungen sind Gleichungen, die im Nenner eines Bruches die Variable enthalten. Sie können
nach Beseitigen der Nenner durch Erweitern auf den Hauptnenner oder durch Durchmultiplizieren mit
dem Hauptnenner auf lineare oder quadratische Gleichungen führen. Da sich durch das Beseitigen
des Nenners die Definitionsmenge der Gleichung ändern kann, musst du bei Bruchgleichungen
• unbedingt zunächst die Definitionsmenge bestimmen,
• nach dem Lösen der erhaltenen linearen oder quadratischen Gleichung deren Lösungen mit der
Definitionsmenge vergleichen. Eine Zahl, die nicht zur Definitionsmenge einer Gleichung gehört,
kann auch keine Lösung der Gleichung sein.
Beispiel:
x+3
x+4
x² + 12x – 1
+ x + 2 = (x – 1)(x + 2)
x–1
Definitionsmenge und Hauptnenner bestimmen:
Nenner 1: x – 1
Nenner 2: x + 2
Nenner 3: (x – 1)(x + 2)
Hauptnenner: (x – 1)(x + 2)
Definitionsmenge: D = R\{– 2; 1}
(x + 3)(x + 2)
(x + 4)(x – 1)
x² + 12x – 1
+ (x + 2)(x – 1) = (x – 1)(x + 2) oder
(x – 1)(x + 2)
x+3
x+4
x² + 12x – 1
mit Hauptnenner multiplizieren: x – 1 (x – 1)(x + 2) + x + 2 (x – 1)(x + 2)= (x – 1)(x + 2) (x – 1)(x + 2) und kürzen
auf Hauptnenner erweitern:
führt auf:
mit den Lösungen:
(x + 3)(x + 2) + (x + 4)(x – 1) = x² + 12x – 1
x1 = 3; x2 = 1 ∉ D
also: L = {3}
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 2: Funktionen
Übersicht
Lineare Funktionen
Eine Funktion mit der Gleichung y = mx + b ist eine „lineare Funktion“. Ihr Graph ist eine Gerade,
die die y-Achse im Punkt P(0|b) schneidet. b heißt deshalb auch „y-Achsenabschnitt“.
m gibt die Steigung der Geraden an. Ist m positiv, verläuft die Gerade von links unten nach rechts
oben – die Gerade steigt (Beispiele n und o). Ist m negativ, verläuft die Gerade von links oben nach
rechts unten – die Gerade fällt (Beispiele p und q). Ist m = 0, verläuft die Gerade parallel zur xAchse durch den Punkt P(0|b) (Beispiel r).
Beispiele:
n y=
1
2
x–2
o y = 2x + 1
p y=–
1
2
x–2
q y = – 2x + 1
r y = 2,25
Quadratische Funktionen
Verschobene Normalparabel
Eine Funktion mit der Gleichung y = x² + px + q ist eine „quadratische Funktion“, ihr Graph heißt
„nach oben geöffnete, verschobene Normalparabel“, sie schneidet die y-Achse im Punkt P(0|q). Sie
hat einen tiefsten Punkt, den Scheitelpunkt S.
p
Die Funktionsgleichung y = x² + px + q lässt sich umformen zu y = (x – d)² + e mit d = – 2 und
p
e = q – ( 2 )². Diese Form heißt „Scheitel(punkt)form“, da man aus ihr die Koordinaten des Scheitels
direkt ablesen kann: S(d|e). Die zugehörige Parabel ist gegenüber der Normalparabel |d| Einheiten
nach rechts oder links und um |e| Einheiten nach oben oder unten verschoben, und zwar:
e > 0: Verschiebung nach oben (Beispiel n)
e < 0: Verschiebung nach unten (Beispiel o)
d > 0: Verschiebung nach rechts (Beispiel p)
d < 0: Verschiebung nach links (Beispiel q)
Beispiele:
schwarz gestrichelt:
Normalparabel zu y = x²
n y = x² + 1,5
o y = x² – 2
p y = (x – 1)²
q y = (x + 1)²
r y = (x + 1)² – 2
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 2: Funktionen
Übersicht
Nach unten geöffnete Parabel
Der Graph der quadratischen Funktion mit der Gleichung y = – x²
ist eine an der x-Achse gespiegelte Normalparabel. Die Parabel ist
nach unten geöffnet. Ihr Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der
Parabel. Allgemein gilt:
Die Parabel zu y = – (x – d)² + e ergibt sich aus der zu
y = (x – d)² + e durch Spiegeln an der Parallelen zur x-Achse,
die durch den Scheitelpunkt verläuft.
Beispiele: n y = x²
p y = (x – 1,5)² – 1
o y = – x²
q y = – (x – 1,5)² – 1
Gestreckte/gestauchte Parabel
Der Graph der quadratischen Funktion mit der Gleichung y = ax²
ist gegenüber der Normalparabel gestreckt bzw. gestaucht,
und zwar:
gestreckt für |a| > 1 (Beispiel o),
gestaucht für 0 < |a| < 1 (Beispiel p).
Ist a negativ, ist die Parabel zusätzlich gespiegelt.
Beispiele: n y = x²
o y = 2x²
1
p y = 2 x²
Nullstellen
Der x-Wert eines Schnittpunktes N(x0|0) des Graphen einer Funktion mit der x-Achse heißt „Nullstelle“. Für eine Nullstelle x0 einer Funktion gilt: y = 0. Du erhältst sie also, indem du den Funktionsterm gleich Null setzt und nach x auflöst.
Beispiele: n y = 2x – 6; rechte Seite gleich 0 setzen: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3
Nullstelle: x0 = 3
Schnittpunkt mit der x-Achse: N(3|0)
o y = x² – 4x + 3; rechte Seite gleich 0 setzen: x² – 4x + 3 = 0; x1 = 3; x2 = 1
Nullstellen: x01 = 3; x02 = 1
Schnittpunkte mit der x-Achse: N1(3|0); N2(1|0)
Schnittpunkte zweier Funktionen
Schneiden sich der Graph einer Funktion f und der einer Funktion g in einem Punkt P(xs|ys), so erhältst du die x-Koordinate des Schnittpunktes, indem du die beiden Funktionsterme gleichsetzt und
nach x auflöst. Den y-Wert erhältst du, indem du den x-Wert in eine der Gleichungen einsetzt.
Beispiele: n f: y = 2x – 6
g: y = – 2x – 2
Funktionsterme gleichsetzen: 2x – 6 = – 2x – 2 ⇔ x = 1
einsetzen: y = 2 • 1 – 6 = – 4
Schnittpunkt: P(1|– 4)
o f: y = x²
g: y = 4x – 3
Funktionsterme gleichsetzen: x² = 4x – 3 ⇔ x² – 4x + 3 = 0; x1 = 3; x2 = 1
einsetzen: y1 = 3² = 9; y2 = 1² = 1
Schnittpunkte: P1(3|9); P2(1|1)
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 3: Prozent- und Zinsrechnung
Übersicht
Prozentrechnung
Der Prozentsatz p% gibt den Anteil an, den ein Teil eines Ganzen – der Prozentwert P – am Ganzen
p
– dem Grundwert G – ausmacht. p% ist eine andere Schreibweise für den Bruch 100. Du kannst den
p
Bruch 100 auch als Dezimalzahl schreiben, man spricht in diesem Fall auch vom Prozentfaktor.
p
Es gilt: P = G • p% = G • 100
Durch Umstellen der Gleichung kannst du die fehlende Größe berechnen, wenn zwei der drei Größen
gegeben sind:
P = G • p%
p% = P : G
G = P : p%
Beispiele: n Wie viele Schüler sind 25% von 24 Schülern?
Prozentsatz: p% = 25% = 0,25
Grundwert: G = 24 Schüler
P = 24 Schüler • 0,25 = 6 Schüler
gesucht: Prozentwert P
o Wie viel Prozent sind 6 Schüler von 24 Schülern?
Grundwert: G = 24 Schüler
Prozentwert: P = 6 Schüler
p% = 6 Schüler : 24 Schüler = 0,25 = 25%
gesucht: Prozentsatz p%
p 25% einer Klasse sind 6 Schüler. Wie viele Schüler hat die Klasse?
Prozentsatz: p% = 25% = 0,25
Prozentwert: P = 6 Schüler
G = 6 Schüler : 0,25 = 24 Schüler
gesucht: Grundwert G
Erhöhter und verminderter Grundwert
Vermehrt man eine Größe G um einen bestimmten Prozentsatz p%, so beträgt die vermehrte Größe
p
100% + p% = 1 + 100 der alten Größe. Man spricht vom „vermehrten Grundwert G+“.
Du erhältst den vermehrten Grundwert, indem du den Grundwert mit dem Wachstumsfaktor
p
p
q = 1 + 100 multiplizierst: G+ = P = G • q = G • (1 + 100 )
Vermindert man eine Größe G um einen bestimmten Prozentsatz p%, so beträgt die verminderte
p
Größe 100% – p% = 1 – 100 der alten Größe. Man spricht vom „verminderten Grundwert G–“.
Du erhältst den verminderten Grundwert, indem du den Grundwert mit dem Abnahmefaktor
p
p
q = 1 – 100 multiplizierst: G– = P = G • q = G • (1 – 100 )
Beispiele: n Eine Rechnung lautet auf 150 € zuzüglich Mehrwertsteuer. Welcher Betrag ist zu zahlen?
Prozentsatz Mehrwertsteuer: p% = 16% = 0,16
Wachstumsfaktor: q = 1 + 0,16 = 1,16
Grundwert: G = 150 €
gesucht: erhöhter Grundwert G+ = Prozentwert P
G+ = P = 150 € • 1,16 = 174 €
Es sind 174 Euro zu zahlen.
o Der Preis einer Ware von 150 € wird um 30% reduziert. Was kostet sie nun?
Prozentsatz Reduzierung: p% = 30% = 0,3
Abnahmefaktor: q = 1 – 0,3 = 0,7
Grundwert: G = 150 €
gesucht: verminderter Grundwert G– = Prozentwert P
G– = P = 150 € • 0,7 = 105 €
Die Ware kostet nun 105 Euro.
Zinsrechnung
Jahreszinsen
Die Jahreszinsen Z für ein Kapital K, das zu einem Zinssatz von p% angelegt oder geliehen ist,
kannst du analog zur Prozentrechnung mit der Formel Z = K • p% berechnen. Suchst du den Betrag
K1, auf den das Kapital gewachsen ist, nachdem die Zinsen gutgeschrieben wurden, entspricht dies
p
p
der Berechnung des vermehrten Grundwertes: K1 = K + Z = K + K • 100 = K • (1 + 100 ) = K • q
p
Der Wachstumsfaktor q = 1 + 100 heißt in diesem Fall auch „Zinsfaktor“.
Beispiele: n Wie viel Zinsen erhält man, wenn 1 000 € für ein Jahr zu 3% angelegt werden?
Zinssatz: p% = 3% = 0,03
Kapital: K = 1 000 €
gesucht: Zinsen Z
Z = 1 000 € • 0,03 = 30 €
Man erhält 30 Euro Zinsen.
o Auf welchen Betrag ist ein Kapital von 1 000 Euro nach einem Jahr gewachsen, das zu 3% angelegt wurde?
Zinssatz: p% = 3% = 0,03
Zinsfaktor: q = 1 + 0,03 = 1,03
Kapital: K = 1 000 €
gesucht: K1
K1 = 1 000 € • 1,03 = 1 030 €
Das Kapital ist auf 1 030 Euro gewachsen.
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 3: Prozent- und Zinsrechnung
Übersicht
Zinsen für kürzere Laufzeiten
Beträgt der Verzinsungszeitraum weniger als ein Jahr, werden die Jahreszinsen mit dem Zeitfaktor i
t
multipliziert: Zi = Z • i = K • p% • i. Dabei ist i = 360 , wenn der Verzinsungszeitraum t Tage bem
trägt und i = 12 , wenn er m Monate beträgt. Für die Umrechnung von Jahren, Monaten und Tagen
gilt: 1 Jahr = 360 Tage, 1 Monat = 30 Tage
Beispiele: n Wie viel Zinsen erhält man, wenn 1 000 € für 108 Tage zu 3% angelegt werden?
Zinssatz: p% = 3% = 0,03
Kapital: K = 1 000 €
108
108
Zeitfaktor: i = 360
gesucht: Zinsen Zi
Man erhält 9 Euro Zinsen.
Zi = 1 000 € • 0,03 • 360 = 9 €
o Wie viel Zinsen erhält man, wenn 1 000 € für 4 Monate Jahr zu 3% angelegt werden?
Zinssatz: p% = 3% = 0,03
Kapital: K = 1 000 €
4
Zi = 1 000 € • 0,03 • 12 = 10 €
4
Zeitfaktor: i = 12
gesucht: Zinsen Zi
Man erhält 10 Euro Zinsen.
Zinseszinsen
Werden die Zinsen am Ende eines Jahres nicht ausbezahlt, sondern dem Kapital zugeschlagen und
weiter mitverzinst, so spricht man von „Zinseszinsen“. Ein Anfangskapital K0 wächst dabei nach n
Jahren bei einem über die Laufzeit gleich bleibenden Zinssatz von p% bzw. dem gleich bleibenden
p
Zinsfaktor q = 1 + 100 auf das Endkapital Kn = K0 • qn. Bei unterschiedlichen Zinssätzen p1%, p2%,
... pm% für jeweils n1, n2, ..., nm Jahre wächst es auf Kn = K0 • q1n1 • q2n2 • … • qmnm.
Beispiele: n Auf welchen Betrag wachsen 1 000 €, die für 4 Jahre zu 3% angelegt werden?
Zinssatz: p% = 3%
Zinsfaktor: q = 1,03
Laufzeit: n = 4
Anfangskapital: K0 = 1 000 €
gesucht: Endkapital K4
Der Betrag ist auf ungefähr 1 125,51 Euro gewachsen.
K4 = 1 000 € • 1,034 ≈ 1 125,51 €
o 1 000 Euro werden zunächst für zwei Jahre mit 2% angelegt, danach für ein Jahr mit 3% und anschließend
für 3 Jahre mit 3,5%. Wie viel steht am Ende zur Verfügung?
Zinssatz 1: p1% = 2%
Zinsfaktor: q1 = 1,02
Laufzeit: n1 = 2
Zinssatz 2: p2% = 3%
Zinsfaktor: q2 = 1,03
Laufzeit: n2 = 1
Zinssatz 3: p3% = 3,5%
Zinsfaktor: q3 = 1,035
Laufzeit: n3 = 3
Anfangskapital: K0 = 1 000 €
gesucht: K6
K6 = 1 000 € • 1,022 • 1,031 • 1,0353 ≈ 1 188,12 €
Das Kapital ist auf ungefähr 1 188,12 Euro gewachsen.
Verdoppelungszeit
Bleibt ein Kapital über Jahre hinweg samt Zinsen zum gleich bleibenden Zinssatz p% stehen, so verdoppelt es sich irgendwann. Für die Verdoppelungszeit d und Zinssätze kleiner als 12% gilt die
„Faustformel“ p • d ≈ 70.
Beispiel:
Nach welcher Zeit sind 10 000 € bei einem Zinssatz von 4,5% auf 20 000 € angewachsen?
4,5 • d ≈ 70 ⇔ d ≈ 70 : 4,5 ≈ 15,6
Der eingesetzte Betrag hat sich nach ungefähr 16 Jahren verdoppelt.
Ratensparen
Beim Ratensparen wird in gleich bleibenden Zeiträumen der gleiche Betrag R eingezahlt und von diesem Zeitpunkt an mitverzinst. Der Zinssatz bleibt über die Laufzeit im Allgemeinen unverändert, Abhebungen finden zwischendurch nicht statt. Unter diesen Voraussetzungen wächst der eingebrachte
Betrag nach n Raten und Verzinsungsperioden auf Kn = R • (qn + qn – 1 + … + q).
Beispiel:
Ein Sparvertrag wird über eine Laufzeit von 5 Jahren mit einem Zinssatz von 3% abgeschlossen. Es werden am
Anfang des Jahres jeweils 1 000 Euro eingezahlt. Wie viel steht am Ende zur Verfügung?
Zinssatz: p% = 3%
Zinsfaktor: q = 1,03
Anzahl der Raten: n = 5
Rate: R = 1 000 €
gesucht: Endkapital K5
K5 = 1 000 € • (1,035 + 1,034 + 1,033 + 1,032 + 1,03) ≈ 5 342,00 €
Am Ende stehen ungefähr 5 342,00 Euro zur Verfügung.
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 3: Prozent- und Zinsrechnung
Übersicht
Diagramme
Prozentuale Anteile lassen sich ebenso wie absolute Häufigkeiten in Diagrammen veranschaulichen.
Besonders gebräuchlich sind Kreisdiagramme und Säulendiagramme.
Kreisdiagramme
An Kreisdiagrammen werden meistens prozentuale Anteile veranschaulicht. Dabei gilt: 100% entsprechen dem Vollwinkel von 360°, 1% entspricht einem Winkel von 3,6°. Zu jedem Prozentanteil
p% gehört dann ein Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel p • 3,6°. Durch Rundung entstandene Ungenauigkeiten müssen sinnvoll ausgeglichen werden, sodass die Summe der Prozentzahlen
100 und die Summe der Mittelpunktswinkel 360° ergibt.
Kreisdiagramme eignen sich nicht, wenn die Summe der prozentualen Anteile 100% übersteigt, wie
zum Beipiel bei Umfragen, in denen Mehrfachantworten möglich waren.
Beispiel:
Von den Schülern der Karlsschule kommen 56,8% mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Schule, 28,8% mit dem
Fahrrad und der Rest zu Fuß oder mit dem Auto. Stelle die Anteile in einem Kreisdiagramm dar.
Anteil der Schüler, die zu Fuß oder mit dem Auto kommen: 100% – 56,8% – 28,8% = 14,4%
Mittelpunktswinkel „öffentliche Verkehrsmittel“: 56,8 • 3,6° ≈ 204°
Mittelpunktswinkel „Fahrrad“:
28,8 • 3,6° ≈ 104°
Mittelpunktswinkel „zu Fuß/Auto“:
14,4 • 3,6° ≈ 52°
Säulendiagramme
Im Säulendiagramm kannst du sowohl prozentuale als auch absolute Anteile durch gleich breite
Rechtecke veranschaulichen. Für die Einteilung und Beschriftung der Hochachse kannst du im
Allgemeinen vom größten vorkommenden Wert ausgehen und
die Achse entsprechend einteilen – gegebenenfalls, nachdem
du entsprechend gerundet hast.
Beispiel:
Von den 842 Schülern der Karlsschule kommen 478 mit öffentlichen
Verkehrsmitteln zur Schule, 242 mit dem Fahrrad und der Rest zu Fuß
oder mit dem Auto. Stelle a) die absoluten Zahlen, b) die prozentualen
Anteile in einem Säulendiagramm dar.
a) zu Fuß oder mit dem Auto kommen 842 – 478 – 242 = 122 Schüler
gerundete Zahlen:
„öffentliche Verkehrsmittel“: 480
„Fahrrad“: 240
„zu Fuß/Auto“: 120
Achseneinteilung: 1 Millimeter entspricht 10 Schülern (Graphik hier verkleinert)
b) prozentuale Anteile siehe oben unter „Kreisdiagramme“
gerundete Prozentsätze:
„öffentliche Verkehrsmittel“: 57%
„Fahrrad“: 29%
„zu Fuß/Auto“: 14%
Achseneinteilung: 1 Millimeter entspricht einem Prozent
(Graphik hier verkleinert)
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 4: Strecken- und Winkelberechnung
Übersicht
Winkelsätze
Mithilfe von Winkelsätzen kannst du unter bestimmten Voraussetzungen die Größen von Winkeln berechnen, ohne Streckenlängen kennen zu müssen.
Neben- und Scheitelwinkel
n Scheitelwinkel sind gleich groß.
o Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Winkel an geschnittenen Parallelen
p Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
q Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Beispiele: In der Skizze gilt (Nummerierung wie Nummerierung der Sätze oben):
n α = γ; β = δ; α‘ = γ‘; β‘ = δ‘
o α + β = 180°; γ + δ = 180°; α‘ + β‘ = 180°; γ‘ + δ‘ = 180°
p α = α‘; β = β‘; γ = γ‘; δ = δ‘
q α = γ‘; β = δ‘; γ = α‘; δ = β‘
Winkel am Kreis
n Jeder Umfangswinkel über einem Halbkreis ist ein rechter Winkel (Satz des Thales).
o Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß.
p Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie ein Umfangswinkel über demselben Bogen.
Beispiele: In den Skizzen gilt (Nummerierung wie Nummerierung der Sätze oben):
n α = β = γ = 90°, da alle Umfangswinkel im Halbkreis
o δ1 = δ2, da beide Umfangswinkel über dem Bogen AB
p δ1 = 45°, denn ε = 2δ1 und ε = 90°
Winkel im n-Eck
n Die Innenwinkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2) • 180°.
n–2
o Ein Innenwinkel im regelmäßigen n-Eck beträgt n • 180°.
360°
p Ein Mittelpunktswinkel im regelmäßigen n-Eck beträgt n .
Beispiele: n Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt (3 – 2) • 180° = 180°, die im Viereck (4 – 2) • 180° = 360°, die
im Fünfeck (5 – 2) • 180° = 540° usw.
4–2
• 180° = 90°.
4
6–2
8–2
Im regelmäßigen Sechseck beträgt er 6 • 180° = 120°, im regelmäßigen Achteck 8 • 180° = 135°.
360°
Ein Mittelpunktswinkel im regelmäßigen Viereck (= Quadrat) beträgt 4 = 90°.
360°
360°
o Ein Innenwinkel im regelmäßigen Viereck (= Quadrat) beträgt
p
Im regelmäßigen Sechseck beträgt er
6
= 60°, im regelmäßigen Achteck
8
= 45°.
Strahlensätze
Werden zwei von einem Punkt Z ausgehende Strahlen von parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte …
n … auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
o … auf den Parallelen wie die entsprechenden Scheitelabschnitte auf den Strahlen.
Ein Scheitelabschnitt ist die gesamte Strecke vom Punkt Z bis zum
Schnittpunkt mit der entsprechenden Parallelen.
Beispiele: In der Skizze gilt:
a
d
a
d
b
e
a
d
a+b
d+e b+c
e+f
= f ; b = e
c
g
a
d
g
a
d
h
a+b
d+e
=a+b=d+e; i =a+b+c=d+e+f; i =a+b+c=d+e+f
h
n b=e;c= f ;c= f ;a+b=d+e;
o
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Realschule Baden-Württemberg
Abschlussprüfung Mathematik
Thema 4: Strecken- und Winkelberechnung
Übersicht
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse
genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.
Beispiele: In der Skizze gilt:
n a² + b² = c²
o h² + x² = b²
p h² + y² = a²
Strecken im Koordinatensystem
Sind im Koordinatensystem zwei Punkte A(xA|yA) und B(xB|yB) gegeben, so lässt sich deren Entfernung d mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
Es gilt: d = (xB – xA)² + (yB – yA)²
Speziell gilt für den Abstand eines Punktes A(xA|yA) vom Ursprung O(0|0):
d = xA² + yA²
Beispiele: n Abstand der Punkte A(–1|1) und B(1|2) voneinander:
d=
[1 – (– 1)]² + (2 – 1)² =
2² + 1² =
5
o Abstand des Punktes A(–1|1) vom Koordinatenursprung:
d=
(– 1)² + 1² =
p Abstand des Punktes B(1|2) vom Koordinatenursprung:
d=
1² + 2² =
2
5
Trigonometrie
In allen rechtwinkligen Dreiecken ABC mit dem gleichen Winkel α ≠ 90° sind die Verhältnisse aus
n der dem Winkel α gegenüberliegenden Kathete („Gegenkathete von α“) und der Hypotenuse,
o der dem Winkel α anliegenden Kathete („Ankathete von α“) und der Hypotenuse,
p der Gegenkathete von α und der Ankathete von α
gleich. Entsprechendes gilt für den Winkel β oder γ – je nachdem, wo der rechte Winkel liegt. Es ist:
Gegenkathete des Winkels
n Sinus (sin) eines Winkels =
Hypotenuse
Ankathete des Winkels
Hypotenuse
Gegenkathete des Winkels
= Ankathete des Winkels
o Kosinus (cos) eines Winkels =
p Tangens (tan) eines Winkels
Beispiele: In den Skizzen gilt:
a
b
a
b
a
b
a
c
a
c
a
c
b
c
b
c
b
c
n sin α = c ; cos α = c ; tan α = b ; sin β = c ; cos β = c ; tan β = a
o sin α = b ; cos α = b ; tan α = c ; sin γ = b ; cos γ = b ; tan γ = a
p sin β = a ; cos β = a ; tan β = c ; sin γ = a ; cos γ = a ; tan γ = b
Bestimmung von Werten mit dem Taschenrechner
Den Sinus, Kosinus oder Tangenswert eines Winkels erhältst du mithilfe der
-,
- oder
Taste deines Taschenrechners, indem du den Winkel eingibst und die entsprechende Taste drückst.
Suchst du umgekehrt zu einem Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert den zugehörigen Winkel, so drü- oder
-Taste (je nach Taschenrechnermodell).
cke vorher die
Hast du Werte durch eine Zwischenrechnung mit dem Taschenrechner erhalten, so arbeite mit der
Taschenrechneranzeige weiter und nicht mit Näherungswerten.
Beispiele: n sin 56°: Eingabe: 56
; Ausgabe: 0,82903…; also sin 56° ≈ 0,8290
5
tan 56° • 5: Eingabe: 56
; Ausgabe: 28,68…; also α ≈ 28,7°
o sin α = 0,48: Eingabe: 0,48
15
tan α = 9 : Eingabe: 15
; Ausgabe: 7,41280…; also tan 56° • 5 ≈ 7,4128
9
; Ausgabe: 59,03…; also α ≈ 59,0°
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 4: Strecken- und Winkelberechnung
Übersicht
Berechnungen im Dreieck oder n-Eck
Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich in rechtwinkligen Dreiecken Seiten und Winkel
berechnen. Nicht rechtwinklige Dreiecke oder andere n-Ecke musst du durch geeignete Hilfslinien,
zum Beispiel Höhen, so zerlegen, dass du rechtwinklige Dreiecke erhältst.
Beispiele: n •
•
•
o •
•
•
•
β = 90° – γ; β = 90° – 48°; β = 42°
b
2 cm
cos γ = a ; a = cos 48° ≈ 3,0 cm
c
tan γ = b ; c = 2 cm • tan 48° ≈ 2,2 cm
β = 180° – α – γ; β = 180° – 40° – 80°; β = 60°
h
sin α = b ; h = 2,4 cm • sin 40° ≈ 1,5 cm
h
1,5 cm
sin β = a ; a = sin 60° ≈ 1,7 cm
x
cos α = b ; x = 2,4 cm • cos 40° ≈ 1,8 cm
h
1,5 cm
tan β = y ; y = tan 60° ≈ 0,9 cm ; c = x + y ; c = 1,8 cm + 0,9 cm = 2,7 cm
p Berechne die Schenkel eines gleichschenkligen Trapezes mit a = 9 cm, c = 5 cm und α = 36°.
•
1
1
•
x = 2 • (a – c); x = 2 • (9 cm – 5 cm) = 2 cm
x
2 cm
cos α = d ; d = sin 36° ≈ 3,4 cm
•
b = d = 3,4 cm
Skizze:
Umfangsformeln
Der Umfang eines beliebigen ebenen n-Ecks mit den Seitenlängen a1, a2, … an ist die Summe seiner
Seitenlängen: U = a1 + a2 + … + an
Nachstehend die Umfänge einiger ausgewählter Figuren.
Allgemeines Dreieck:
Gleischschenkliges Dreieck mit a = b:
Gleichseitiges Dreieck:
U=a+b+c
U = 2a + c
U = 3a
Allgemeines Viereck:
Quadrat:
Rechteck mit a = c:
Parallelogramm mit a parallel c:
Raute/Rhombus:
Drachenviereck mit a = b:
gleichschenkliges Trapez mit a parallel c:
U
U
U
U
U
U
U
Regelmäßiges n-Eck:
U=n•a
=
=
=
=
=
=
=
a+b+c+d
4a
2a + 2b = 2(a + b)
2a + 2b = 2(a + b)
4a
2a + 2c = 2(a + c)
a + c + 2b
Beispiele: n Parallelogramm mit a = 2 cm und b = 3 cm: U = 2 • (2 cm + 3 cm) = 10 cm
o Das rechtwinklige Dreieck aus Beispiel n oben auf dieser Seite hat einen Umfang von
U = 3,0 cm + 2 cm + 2,2 cm = 7,2 cm.
p Das gleichschenklige Trapez aus Beispiel p oben auf dieser Seite hat einen Umfang von
U = 9 cm + 5 cm + 2 • 3,4 cm = 20,8 cm.
q Ein regelmäßiges Achteck mit der Seitenlänge a = 3
U = 8 • 3 2 cm = 24 2 cm.
2 cm hat einen Umfang von
r Ein Fünfeck mit den Seitenlängen a = 3 cm, b = 2 cm, c = 4 cm, d = 3 cm und e = 4 cm hat einen Umfang
von U = 3 cm + 2 cm + 4 cm + 3 cm + 4 cm = 16 cm.
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 5: Flächenberechnung
Übersicht
Flächeninhaltsformeln
Flächeninhaltsformeln einiger ausgewählter Figuren
Allgemeines Dreieck:
A=
Rechtwinkliges Dreieck:
A=
Gleichseitiges Dreieck:
A=
1
2
1
2
1
4
a • ha =
1
2
b • hb =
c • hc
• Hypotenuse • Höhe =
a²
1
2
• Kathete 1 • Kathete 2
3
1
4
a²
3=
3
2
Regelmäßiges Sechseck:
A=6•
Quadrat:
Rechteck mit a = c:
Parallelogramm mit a parallel c:
A = a²
A=a•b
A = a • ha = b • hb
Raute/Rhombus mit Diagonalen e und f:
A=
Drachenviereck mit Diagonalen e und f:
A=
Trapez mit a parallel c und Höhe h:
A=
1
2
1
2
1
2
1
2
a²
3
e•f
e•f
(a + c) • h
Kreis:
A = πr²
α
Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel α: A = πr² • 360°
=
Kreisring mit r2 > r1:
A = π( r 22 – r 21)
1
2
b•r
Beispiele: n Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks aus Beispiel n oben auf Seite 29:
1
1
A = 2 b • c; A = 2 • 2 cm • 2,2 cm = 2,2 cm² ≈ 2 cm²
o Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks aus Beispiel o oben auf Seite 29:
1
1
A = 2 c • hc; A = 2 • 2,8 cm • 1,5 cm = 2,1 cm² ≈ 2 cm²
p Flächeninhalt eines gleichschenkligen Trapezes mit a = 9 cm, c = 5 cm und h = 3 cm:
1
1
A = 2 (a + c) • h; 2 • (9 cm + 5 cm) • 3 cm = 21 cm²
q Flächeninhalt eines Viertelkreises mit r = 3 cm:
A=
90°
α
1
πr² • 360° und α = 90°; A = π • (3 cm)² • 360° = π • (3 cm)² • 4 ≈ 7 cm²
Flächeninhalte regelmäßiger n-Ecke
Den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks mit der Seitenlänge a kannst du berechnen, indem du
den Flächeninhalt des Bestimmungsdreiecks berechnest. Es ist nämlich An-Eck = n • ABestimmungsdreieck.
Das Bestimmungsdreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis a und dem der Basis gege360°
nüberliegenden Mittelpunktswinkel α = n .
Beispiele: n Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks mit a = 4 cm:
α=
360°
= 72°
5
1
a
2
α
a
2
2 cm
tan 2 = ha ; ha =
α ; ha = tan 36° ≈ 2,8 cm
tan 2
1
A = 5 • 2 a • ha ; A = 5 • 2 • 4 cm • 2,8 cm = 28 cm²
o Flächeninhalt eines regelmäßigen Zehnecks mit a = 4 cm:
360°
α = 10 = 36°
1
a
2
α
a
2
2 cm
tan 2 = ha ; ha =
α ; ha = tan 18° ≈ 6,2 cm
tan 2
1
A = 10 • 2 a • ha ; A = 10 • 2 • 4 cm • 6,2 cm = 124 cm²
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 5: Flächenberechnung
Übersicht
Flächeninhalte durch Zerlegen oder Ergänzen berechnen
Du kennst nur für Dreiecke und Kreise allgemeine Flächeninhaltsformeln. Alle anderen Figuren, sofern es sich nicht um die auf Seite 35 aufgelisteten Spezialfälle handelt, zerlegt man so in Teilfiguren, dass man deren Flächeninhalte mithilfe der Formeln auf Seite 35 berechnen kann. Addiert man
diese dann, so erhält man den Flächeninhalt der Gesamtfigur.
Gelegentlich kann es auch sinnvoll sein, eine Figur zunächst zu ergänzen und dann Teilflächen wieder zu subtrahieren. Dieses Vorgehen ist immer notwendig, wenn Kreisteile nach innen einspringen
wie in Beispiel o.
In welche Teilfiguren man zerlegt, hängt auch davon ab, welche Stücke der zu berechnenden Fläche
gegeben sind. Zerlege stets so, dass du möglichst wenige Stücke zusätzlich berechnen musst oder
dass die Rechnung relativ einfach wird.
Beispiele: n Der Flächeninhalt der Figur ABCDEF
lässt sich berechnen, indem man die
Flächeninhalte
• des Trapezes ABCF‘
•
des Trapezes F’CDF und
•
des Halbkreises über EF addiert.
Wegen des rechten Winkels bei C bietet sich hier eventuell auch an, die Flächeninhalte
•
des Trapezes ABDF und
•
des rechtwinkligen Dreiecks BDC zu subtrahieren und dazu den Flächeninhalt
•
des Halbkreises über EF zu addieren.
o Der Flächeninhalt der Figur ABCDEF
lässt sich berechnen, indem man die
Flächeninhalte
• des Fünfecks ABCDF und
•
des Halbkreises über EF subtrahiert.
Der Flächeninhalt des Fünfecks lässt sich auf eine der beiden in Beispiel n beschriebenen Arten berechnen.
p In einem Viereck ABCD ist a = 3 cm; b = 2,5 cm; d = 1,5 cm; α = 63° und β = 90°.
Berechne den Flächeninhalt.
•
Das Viereck lässt sich zerlegen in zwei Dreiecke ABD und BCD,
•
die zu berechnen sind durch AABD = 2 a • ha und ABCD = 2 b • hb
ha
ha berechnen: sin α = d ; ha = 1,5 cm • sin 63° ≈ 1,3 cm
•
1
1
Skizze:
hb berechnen, dafür wird x benötigt, denn hb = a – x
x
cos α = d ; x = 1,5 cm • cos 63° ≈ 0,7 cm
hb = 3 cm – 0,7 cm = 2,3 cm
•
1
1
1
A = AABD + ABCD = 2 a • ha + 2 b • hb = 2 (a • ha +b • hb)
1
A = 2 • (3 cm • 1,3 cm + 2,5 cm • 2,3 cm) = 4,825 cm² ≈ 5 cm²
Flächeninhalte im Koordinatensystem
Flächeninhalte von n-Ecken im Koordinatensystem kannst du oft besonders leicht berechnen, wenn
du die Figur zunächst durch Parallelen zu den Achsen ergänzt.
Beispiele: Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
• Ergänze die Punkte P und Q, sodass du das rechtwinklige Trapez PBCQ erhältst.
•
A = APBCQ – AAPB – AACQ
•
A = 2 ( PB + QC ) • PQ – 2 PB • PA – 2 QC • QA )
1
A = 2 • [(2 + 3) • 1,5 – 2 • 0,5 – 3 • 1] FE = 1,75 FE
1
1
1
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 6: Körperberechnung
Übersicht
Prisma
Ein Körper, der von zwei zueinander parallelen und deckungsgleichen n-Ecken und
n Rechtecken begrenzt wird, heißt Prisma. Die n-Ecke nennt man Grundflächen,
die Rechtecke Seitenflächen. Den Abstand zwischen den Grundflächen bezeichnet
man als Höhe des Prismas. Verbindet man eine Ecke der unteren Grundfläche mit
der von ihr am weitesten entfernten Ecke eines Prismas, so erhält man eine
Raumdiagonale r des Prismas.
Alle Seitenflächen eines Prismas zusammen bilden den Mantel. Breitet man ihn
zusammenhängend in der Ebene aus, so erhält man ein Rechteck, dessen eine
Seite durch die Höhe des Prismas gebildet
wird und dessen andere Seite so lang ist
wie der Umfang U der Grundfläche. Für den
Flächeninhalt M des Mantels gilt also:
M = UGrundfläche • h
Die Oberfläche eines Prismas setzt sich
zusammen aus den beiden Grundflächen und dem Mantel.
Für den Oberflächeninhalt O gilt also: O = 2 • AGrundfläche + M
Bei einem an einer Seite offenen Prisma fehlt eine der beiden Grundflächen.
Es hat also eine Oberfläche von O = AGrundfläche + M.
Für das Volumen eines Prismas gilt: V = AGrundfläche • h
Beispiele: n Ein Prisma mit der Höhe h hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.
b ist die Hypotenuse. Stelle Formeln auf für Mantel, Oberflächeninhalt und Volumen.
1
• a und c sind die Katheten des Dreiecks, also gilt für den Flächeninhalt A der Grundfläche: A = 2 a • c
•
Für den Umfang U der Grundfläche gilt: U = a + b + c
•
M = (a + b + c) • h
•
1
O = 2 • 2 a • c + (a + b + c) • h = a • c + (a + b + c) • h
1
V=2a•c•h
o Ein Viereck ABCD mit a = 3 cm; b = 2,5 cm; d = 1,5 cm; α = 63° und β = 90° bildet die Grundfläche eines Prismas mit einem Volumen von 48,25 cm³. Wie hoch ist das Prisma?
•
Flächeninhalt des Vierecks: A =4,825 cm² (siehe Beispiel p auf Seite 36)
•
h berechnen: V = A • h; h = A ; V = 4,825 cm² = 10 cm
V
48,25 cm²
Spezielle Prismen
Ein Prisma, dessen Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenkante a ist und dessen Höhe gleich der
Seitenkante der Grundfläche ist, heißt Würfel. Er hat vier gleich lange Raumdiagonalen. Es gilt:
M = 4a²
O = 6a²
V = a³
AGrundfläche = a²
Länge der Raumdiagonalen: r = a 3
Ein Prisma mit der Höhe h, dessen Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenkante a ist, heißt quadratische Säule. Sie hat vier gleich lange Raumdiagonalen. Es gilt:
M = 4a • h
O = 2a² + 4a • h
V = a² • h
AGrundfläche = a²
Länge der Raumdiagonalen: r = 2a² + h²
Ein Prisma mit der Höhe c, dessen Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenkanten a und b ist, heißt
Quader. Er hat vier gleich lange Raumdiagonalen. Es gilt:
M = 2(a + b) • c
O = 2ab + 2(a + b) • c
V=a•b•c
AGrundfläche = a • b
Länge der Raumdiagonalen: r = a² + b² + c²
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 6: Körperberechnung
Übersicht
Zylinder
Ein Zylinder wird von zwei parallel liegenden Kreisen mit dem gleichen Radius r,
den Grundflächen, und einer gekrümmten Fläche, dem Mantel, begrenzt. Den
Abstand zwischen den Grundflächen bezeichnet man als Höhe des Zylinders.
Wickelt man den Mantel eines Zylinders mit dem
Grundkreisradius r und der Höhe h in die Ebene ab,
so erhält man ein Rechteck mit den Seitenlängen
U = 2πr und h. Für den Flächeninhalt M des Mantels
gilt also: M = 2πr • h
Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich zusammen aus
den beiden Grundflächen und dem Mantel: O = 2 • AGrundfläche + M. Für den Oberflächeninhalt O gilt
also: O = 2 • AGrundfläche + M = 2πr² + 2πr • h = 2πr(r + h)
Bei einem an einer Seite offenen Zylinder fehlt eine der beiden Grundflächen.
Er hat also eine Oberfläche von O = AGrundfläche + M = πr² + 2πr • h = πr(r + h).
Für das Volumen eines Zylinders gilt: V = πr² • h
Beim Rechnen mit π beachte: Musst du Zwischenergebnisse, die π enthalten, weiterverwenden, so
rechne nach Möglichkeit nicht mit gerundeten Werten, sondern runde erst am Schluss.
Beispiele: n Ein Zylinder mit dem Radius r = 2 cm hat die Höhe h = 3 cm. Berechne Mantel, Oberfläche und Volumen.
• M = 2πr • h ; M = 2π • 2 cm • 3 cm = 12π cm² (≈ 37,70 cm²)
•
O = 2πr² + M und M = 12π cm² ; O = 2π • (2 cm)² + 12π cm² = 20π cm² (≈ 63 cm²)
•
V = πr² • h ; V = π • (2 cm)² • 3 cm = 12π cm³ (≈ 38 cm³)
o Ein Zylinder mit dem Radius r = 4 cm hat einen Mantel von M = 40 cm². Berechne sein Volumen.
•
•
M
40 cm²
5
Höhe h berechnen: M = 2πr • h ; h = 2πr ; h = 2π • 4 cm = π cm ( ≈ 1,6 cm)
5
5
V = πr² • h ; V = π • (4 cm)² • π cm = 16π cm² • π cm = 80 cm³
[Zum Vergleich die Rechnung mit der gerundeten Höhe: V = π • (4 cm)² • 1,6 cm = 80,428 cm³]
Kugel und Halbkugel
Die Menge aller Punkte des Raumes, die von einem Punkt M den
gleichen Abstand r haben, bilden die Oberfläche einer Kugel um M
mit dem Radius r. M heißt Mittelpunkt der Kugel.
Für den Oberflächeninhalt O und das Volumen V gilt:
4
V = 3 • πr³
O = 4 • πr²
Schneidest du eine massive Kugel entlang eines Durchmessers, so erhältst du zwei Halbkugeln. Das
Volumen einer solchen Halbkugel ist halb so groß wie das Volumen der Kugel. Die Oberfläche setzt
sich zusammen aus der halben Oberfläche der Kugel und einem Kreis mit dem
Kugelradius r. Für Oberfläche und Volumen einer massiven Halbkugel gilt also:
2
O = πr² + 2 • πr² = 3 • πr²
V = 3 • πr³
Beispiele: n Welches Volumen hat eine Kugel mit der Oberfläche O = 18π cm²?
O
;r=
2π
18π cm²
=
2π
9 cm² = 3 cm
•
r berechnen: O = 4πr² ; r =
•
4
4
V = 3 • πr³ ; V = 3 • π • (3 cm)³ = 36π cm³ (≈ 113 cm³)
o Berechne die Oberfläche einer massiven Halbkugel mit dem Durchmesser d = 4 cm.
•
•
1
1
r berechnen: r = 2 • d ; r = 2 • 4 cm = 2 cm
O = 3 • πr² ; O = 3 • π • (2 cm)² = 12π cm² (≈ 38 cm²)
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 6: Körperberechnung
Übersicht
Pyramide
Ein Körper, der von einem n-Eck und n gleichschenkligen Dreiecken, die sich alle in
einem Punkt treffen, begrenzt wird, ist eine Pyramide. Das n-Eck heißt Grundfläche,
die Dreiecke heißen Seitenflächen der Pyramide. Die Schenkel der Dreiecke nennt man
Seitenkanten s. Der Punkt, in dem sich die Dreiecke treffen, heißt Spitze der Pyramide.
Der Abstand der Spitze der Pyramide von der Grundfläche ist die Höhe h.
Alle Seitenflächen zusammen bilden den Mantel. Sein Flächeninhalt M ist die
Summe der Flächeninhalte der Begrenzungsdreiecke. Die Oberfläche einer Pyramide
setzt sich zusammen aus der Grundfläche und dem Mantel. Für den Oberflächeninhalt O gilt also:
O = AGrundfläche + M
1
Für das Volumen einer Pyramide gilt: V = 3 • AGrundfläche • h
Beispiele: n Eine Pyramide hat einen Grundflächeninhalt von 24 cm² und eine Höhe h = 4 cm. Welches Volumen hat sie?
1
1
V = 3 AGrundfläche • h ; V = 3 • 24 cm² • 4 cm = 32 cm³
o Die Skizze zeigt das Netz einer Pyramide mit den Grundflächenkanten a = 5 cm,
b = 2 cm, c = 4 cm und der Seitenkante s = 3 cm. Wie groß ist der Mantel?
•
Höhen der Seitenflächen berechnen: Mithilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich
ha ≈ 1,7 cm; hb ≈ 2,8 cm; hc ≈ 2,2 cm.
•
M = 2 a • ha + 2 b • hb + 2 c • hc = 2 (a • ha + b • hb + c • hc)
1
M = 2 (5 cm • 1,7 cm + 2 cm • 2,8 cm + 4 cm • 2,2 cm) = 11,45 cm² ≈ 11 cm²
1
1
1
1
Anmerkung:
Eine Pyramide heißt gerade Pyramide, wenn alle Seitenkanten gleich lang sind. Bei regelmäßigen Pyramiden, d. h. solchen, deren Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck ist, und bei rechteckigen Pyramiden ist das der Fall, wenn die Spitze der Pyramide über dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche liegt. In den Aufgaben dieses Heftes ist davon auszugehen, dass dies immer der Fall ist.
Kegel
Ein Kegel wird von einem Kreis, der Grundfläche, und einer gekrümmten Fläche, dem
Mantel, begrenzt. Der Abstand der Spitze des Kegels von der Grundfläche ist die
Höhe h, eine gerade Verbindungslinie von der Spitze zu einem Punkt der Kreislinie
heißt Seitenlinie s oder Mantellinie s des Kegels.
Wickelt man den Mantel eines Kegels mit dem Radius r und der
Mantellinie s in die Ebene ab, so erhält man einen Kreisausschnitt
mit dem Bogen b = 2πr und dem Radius s. Da für den
1
Flächeninhalt eines Kreisausschnittes gilt A = 2 b • r,
hat der Mantel also den Flächeninhalt M = πrs.
Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus
der Grundfläche und dem Mantel. Für den Oberflächeninhalt O gilt also:
O = πr² + πrs = πr(r + s)
1
Für das Volumen eines Kegels gilt: V = 3 πr² • h
Beispiel:
Berechne Volumen und Oberfläche eines Kegels mit dem Grundflächenradius r = 3 cm und der Höhe h = 4 cm.
1
1
• V = 3 πr² • h ; V = 3 π • (3 cm)² • 4 cm = 12π cm³ (≈ 38 cm³)
(3 cm)² + (4 cm)² =
25 cm² = 5 cm
•
s berechnen: s² = r² + h² ; s =
•
O = πr(r + s) ; O = π • 3 cm • (3 cm + 5 cm) = 24π cm² (≈ 75 cm²)
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Abschlussprüfung Mathematik
Thema 7: Daten und Zufall
Übersicht
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ziehst du eine Kugel aus einer Urne, würfelst du mit einem Würfel, wirfst du eine Münze, drehst du
an einem Glücksrad, so führt du ein Zufallsexperiment durch. Alle möglichen Ergebnisse eines solchen Zufallsexperiments lassen sich oft übersichtlich als Menge oder in einer Tabelle notieren.
Beispiele: n einmaliges Würfeln mit einem normalen Würfel
Ergebnismenge: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
o zweimaliger Münzwurf (W: Wappen, Z: Zahl)
Ergebnismenge: E = {(W|W); (W|Z); (Z|W); (Z|Z)}
2. Wurf
W
Z
1. Wurf
Tabelle:
W (W|W)
(W|Z)
Z
(Z|Z)
(Z|W
Ein Ereignis lässt durch eine Teilmenge der Ergebnismenge beschreiben.
Beispiele: n einmaliges Würfeln mit einem normalen Würfel; Ereignis E1: Es fällt eine Primzahl. E1 = {2; 3; 5}
o zweimaliger Münzwurf (W: Wappen, Z: Zahl); Ereignis E1: Es fällt mindestens einmal Zahl.
E1 = {(W|Z); (Z|W); (Z|Z)}
Wahrscheinlichkeiten für mehrfach hintereinander ausgeführte Zufallsexperimente lassen sich meistens übersichtlich in einem Baumdiagramm darstellen, wenn du die Wahrscheinlichkeiten kennst, mit
der bestimmte einzelne Ereignisse eintreten. Dabei gelten die Pfadregeln:
• Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert.
• Setzt sich ein Ereignis aus mehreren Pfaden zusammen, so werden
die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert.
Beispiel:
Eine Urne enthält zwei rote und drei blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine blaue
Kugel zu ziehen, wenn die zuerst gezogene Kugel nach dem Ziehen
n wieder zurückgelegt wird?
o nicht wieder zurückgelegt wird?
vollständige Baumdiagramme:
Ziehen mit Zur cklegen
rot
rot
Ziehen ohne Zur cklegen
blau
blau
rot
rot
blau
rot
n Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine rote
2
Kugel zu ziehen, beträgt 5 , da zwei von fünf
Kugeln rot sind. Entsprechend beträgt die Wahr3
scheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, 5 .
Da die zuerst gezogene Kugel wieder zurückgelegt
wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im zweiten
Zug eine rote bzw. eine blaue Kugel zu ziehen,
2
3
ebenfalls 5 bzw. 5 .
blau
blau
rot
blau
o Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine rote
2
Kugel zu ziehen, beträgt 5 , da zwei von fünf
Kugeln rot sind. Entsprechend beträgt die Wahr3
scheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, 5 .
Da die zuerst gezogene Kugel nicht wieder zurückge1
legt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit4 , im
zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, wenn die
zuerst gezogene Kugel rot war (eine von vier ver2
bleibenden Kugeln ist rot), und 4 , wenn die zuerst
gezogene Kugel blau war (zwei von vier verbleibenden Kugeln sind rot).
In beiden Fällen interessiert das Ereignis E1 = {(rot|blau); (blau|rot)}. Nach den Pfadregeln ergibt sich:
P(E1) =
2 3
5•5
3
2
+5•5 =
12
25
= 0,48 = 48%
P(E1) =
Seite 16 von 17
2 3
5•4
3
2
+5•4 =
3
5
= 0,6 = 60%
Realschule Baden-Württemberg
Abschlussprüfung Mathematik
Thema 7: Daten und Zufall
Übersicht
Statistik
Erfasst man Personen oder Gegenstände nach bestimmten Merkmalen und zählt diese, so führt man
eine statistische Erhebung durch. Die Menge aller Personen oder Gegenstände, über die man etwas
wissen möchte, nennt man Grundgesamtheit. Wenn zu aufwändig ist, die Grundgesamtheit insgesamt zu untersuchen, beschränkt man sich auf eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die so genannte Stichprobe. Die Anzahl der befragten Personen bzw. der untersuchten Gegenstände heißt Umfang
der Stichprobe. Eine Stichprobe sollte immer repräsentativ sein, d. h. sie sollte ein möglichst genaues verkleinertes Abbild der Grundgesamtheit bieten.
Beispiel:
In einer Stadt mit 13 528 Wahlberechtigten will man vorab wissen, wie hoch vermutlich die Wahlbeteiligung sein
wird. Dazu befragt man 1 000 Wahlberechtigte.
Grundgesamtheit: 13 528 Wahlberechtigte
Stichprobe: befragte Wahlberechtigte
Umfang der Stichprobe: 1 000
Die Stichprobe ist repräsentativ, wenn sie Männer und Frauen, Alte und Junge, Bewohner besserer und schlechterer Stadtviertel, Angestellte und Selbstständige etc. in dem Maße berücksichtigt, wie deren Verteilung jeweils unter allen Wahlberechtigten vorkommt.
Absolute und relative Häufigkeit
Zählt man, wie oft ein bestimmtes Merkmal vorkommt, so erhält man die absolute Häufigkeit für dieses Merkmal. Die relative Häufigkeit gibt an, welchen Anteil dieses Merkmal an der Gesamtanzahl
ausmacht. Es ist also
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit = Gesamtanzahl
Die relative Häufigkeit kann als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden. Absolute und relative Häufigkeiten lassen sich oft besonders übersichtlich in Tabellen darstellen.
Beispiel:
Von 1 000 befragten Wahlberechtigten geben 436 an, wählen gehen zu wollen. 272 wollen ganz sicher nicht
wählen, der Rest ist noch unentschieden.
absolute Häufigkeit
436
1 000
relative Häufigkeit
will wählen
will nicht wählen
436
272
= 0,436 = 43,6%
272
1 000
noch unentschieden
292
292
1 000
= 0,272 = 27,2%
= 0,292 = 29,2%
Spannweite, Mittelwert und Zentralwert (Median)
Bei Erhebungen, in denen die Merkmalsausprägungen Zahlen (z. B. Noten oder Messwerte) sind, lassen sich Spannweite, Mittelwert und Zentralwert (auch Median genannt) bestimmen. Die Spannweite gibt die Differenz ziwschen dem größten und dem kleinsten Wert an. Der Mittelwert ist das
arithmetische Mittel aus allen erhobenen Werten. Der Zentralwert ist der Wert, der in der Mitte
steht, wenn die gewonnenen Werte geordnet werden, sofern die Anzahl der Werte ungerade ist. Ist
sie gerade, so ist er das arithmetische Mittel aus den beiden in der Mitte stehenden Werten.
Beispiel:
Die Tabelle gibt eine Reihe von Messwerten an. Zu bestimmen sind Zentralwert, Spannweite und Mittelwert.
Messwert a
2
4
8
2
3
8
7
3
geordnete Werte
2
2
3
3
4
7
8
8
Zentralwert
(Median)
Die Anzahl der Messwerte ist gerade, der Zentralwert ist also das Mittel aus
den beiden in der Mitte stehenden Werten 3 und 4: 0,5 • (3 + 4) = 3,5
Spannweite
größter Wert: 8, kleinster Wert: 2; Differenz: 8 – 2 = 6
Mittelwert
2•2+2•3+4+7+2•8
8
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= 4,625