1. ¨Ubung 4. Achilles und die Schildkröte
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Institut für Theoretische Physik der Universität zu Köln — WS 2015/2016 Prof. Dr. Joachim Krug Stefan Nowak Theoretische Physik in 2 Semestern I 1. Übung http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ws1516/ Abgabe: Dienstag, 27. Oktober 2015 bis 10:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik 4. Achilles und die Schildkröte 3+4+5+3 = 15 Punkte Eine Schildkröte läuft mit konstanter Geschwindigkeit vs vor Achilles davon, der sich mit konstanter Geschwindigkeit va > vs bewegt. Anfänglich hat die Schildkröte einen Vorsprung von d0 . a) Nach welcher Zeit t hat Achilles die Schildkröte eingeholt? Welche Strecke d hat er dabei zurückgelegt? In der Antike gab es folgende Argumentation: Achilles muss zunächst die Strecke d0 zurücklegen und benötigt dabei die Zeit t0 . Die Schildkröte hat in dieser Zeit allerdings bereits eine Strecke d1 zurückgelegt. Achilles muss also wieder die Strecke d1 zurücklegen, wofür er die Zeit t1 benötigt. In dieser Zeit hat die Schildkröte aber eine weitere Strecke d2 zurückgelegt usw. Achilles wird die Schildkröte also niemals einholen (im Gegensatz zu dem, was wir in a) herausgefunden haben). Dieses Paradoxon lässt sich aber wie folgt lösen: b) Stellen Sie eine rekursive Gleichung für tn und dn (n ∈ N) auf, d.h. drücken Sie tn als Funktion von tn−1 und dn als Funktion von dn−1 aus. c) Lösen Sie die in b) aufgestellte Gleichung, d.h. geben Sie einen expliziten Ausdruck für tn und dn an. Hinweis: Verwenden sie einen einen Exponentialansatz tn = A xn (analog für dn ) und bestimmen Sie A und x. d) Zeigen Sie nun mit dem Ergebnis aus c), dass sich eine endliche Gesamtzeit und -strecke ergibt und diese mit den Ergebnissen aus a) übereinstimmen. P n −1 für 0 < x < 1. Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Reihe. Es gilt ∞ n=0 x = (1 − x) 5. Träge und schwere Masse 4+8+4 = 16 Punkte In der Newtonschen Mechanik gibt es keinen zwingenden Grund für eine strikte Proportionalität zwischen der trägen Masse (mit F~ = mt~a) und der schweren Masse (mit F~g = ms~g ). In dieser Aufgabe wollen wir annehmen, dass es diese Proportionalität nicht gibt. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des freien Falls/freien Wurfs mit Unterscheidung von träger und schwerer Masse auf und lösen Sie sie. Bestimmen Sie die Dauer T eines freien Falls mit Ausgangsgeschwindigkeit 0 aus der Höhe h. b) Wir wollen nun ms = mt über den freien Fall testen. Dazu lassen wir Objekte verschiedenen Materials gleichzeitig aus großer Höhe fallen und prüfen, ob sie im Rahmen der Messgenauigkeit gleichzeitig am Boden ankommen. Nehmen Sie dazu eine Abweichung ms /mt = 1 + an und entwickeln Sie die Zeitdifferenz ∆T , die so eine Abweichung in der Fallzeit bewirken würde, in . Schätzen Sie dann die Messgenauigkeit eines solchen Versuchs zu Newtons Zeit, und bestimmen Sie daraus die Genauigkeit der Messung von über das Fallexperiment. c) Die Proportionalität von mt und ms erfordert nur Gleichheit bis auf einen materialunabhängigen Faktor α (also mt = αms ). Warum kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit α = 1 gewählt werden? 6. Schiefer Wurf 5+7+7 = 19 Punkte Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Bahn mit Ortsvektor ~r (t), die der Gleichung ~a (t) = ~r¨ (t) = −g~ez mit g ≈ 10 m/s2 genügt. a) Finden Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. Wieviele Parameter enthält sie? b) Ein Jäger zielt auf einen Affen, der an einem Ast hängt (s. Abbildung). Die Gewehrkugel des Jägers befindet sich zur Zeit t = 0 im Ursprung und wird dann mit der Geschwindigkeit |~r˙ | = v0 abgefeuert. Der Affe befindet sich anfänglich an der Position ~rAffe = (L, 0, H)T . Bestimmen Sie die Parameter aus Teil a) so, dass die Bahnkurve der Kugel beschrieben wird. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. c) Der Affe aus b) lässt sich genau in dem Moment fallen, wenn die Kugel abgefeuert wird. Zeigen Sie, dass das im allgemeinen keine gute Idee ist.
