Wurfbewegungen - auf dem Wiki für die 5. Klassen!
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SPF PAM 5. Klasse Mechanik Wurfbewegungen 1 Freier Fall Wieso fällt ein Körper? Wegen der Gravitationskraft. Das ist nämlich die Kraft, die zwischen zwei Körpern wirkt. Da zwischen dem Erdmittelpunkt und unseren Alltagsgegenständen auch Gravitationskräfte wirken, kommt eine Erdbeschleunigung zustande, die mit der Entfernung vom Mittelpunkt abnimmt. Die durchschnittliche Erdbeschleunigung ist etwa 9.81 sm2 . Was versteht man unter dem freien Fall? Lassen wir in der Luft zwei Körper mit unterschiedlicher Masse fallen, so fällt der schwerere schneller runter als der leichtere. Die Erdbeschleunigung ist jedoch immer gleich. Wieso fallen dann nicht beide Gegenstände gleich schnell? Der Grund ist der Luftwiderstand. Würde man beide Gegenstände in einem luftfreien Raum (Vakuum) fallen lassen, so fielen sie gleich schnell. Spricht man vom freien Fall, so geht man immer von einem luftfreien Raum aus. Zurückgelegte Strecke Um herauszufinden, welche Strecke ein freifallender Körper in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat, wird folgende Formel benötigt, wobei g für die Erdbeschleunigung, s für die Strecke und t für die Zeit stehen: s= g 2 t 2 Geschwindigkeit Da es sich beim freien Fall um eine gleichmässig beschleunigte Bewegung handelt, ist die Geschwindigkeit v zur Zeit t: v = gt Weg und Höhe Die Fallstrecke beim freien Fall darf nicht mit der Höhe verwechselt werden. Die Höhe lässt sich logischerweise mit haktuell = hAnfang − s g = hAnfang − t2 2 berechnen. SPF PAM 5. Klasse – Mechanik: Wurfbewegungen 1/4 2 Senkrechter Wurf Dieser Wurf setzt sich aus zwei Bewegungen zusammen: Dem Nach-Oben-Werfen und dem Nach-Unten-Fallen. Höhe Würde man die Erdanziehung vernachlässigen, so wäre die Bewegung nach oben gleichförmig – also mit konstanter Geschwindigkeit – und würde nicht enden. Unter Berücksichtigung der Erdanziehung ist die Höhe zum Zeitpunkt t: g h = v0 t − t2 2 Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit eines Körpers beim senkrechten Wurf zum Zeitpunkt t ist die Anfangsgeschwindigkeit abzüglich der durch die Erdanziehung entstehenden Bremsgeschwindigkeit, also: v = v0 − gt Steigzeit Für die aktuelle Geschwindigkeit beim Steigen unter Berücksichtigung der Erdanziehung gilt v= v0 − gt. Da am höchsten Punkt die Geschwindigkeit null ist, gilt dort 0 = v0 − gt. Löst man die Gleichung nach t auf, erhält man für die Zeit: th = v0 g maximale Wurfhöhe Setzt man th = v0 g in h = v0 t − g2 t2 ein, so erhält man aufgelöst: hmax = v02 2g Wurfzeit Die Wurfzeit ist die Dauer von Start der Bewegung des Balls bis zum endgültigen Stillstand. Da für die Höhe h = v0 t − g2 t2 gilt, gilt für h = 0 (Anfangs- und Endhöhe) 0 = v0 t − g2 t2 . Klammert man t aus, so ist eine Lösung t = 0. Diese Zeit gilt, wenn der Ball noch nicht geworfen wurde. Es bleibt also 0 = v0 − g2 t und nach t aufgelöst: te = SPF PAM 5. Klasse – Mechanik: Wurfbewegungen 2v0 g 2/4 3 Waagrechter Wurf Der waagrechte Wurf besteht aus einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung (sx = V0 t) und einer Bewegung nach den Gesetzen des freien Falls in y-Richtung (sy = g2 t2 ). Geschwindigkeiten Für die Geschwindigkeit in x-Richtung gilt vx = v0 , für die in y-Richtung gilt vy = gt. Aus diesen beiden Geschwindigkeiten setzt sich die sogenannte Bahngeschwindigkeit zusammen. Wegen des Pythagorassatzes gilt v 2 = vx2 + vy2 . Nach v aufgelöst erhält man: q v = v02 + g 2 · t2 vergangene Zeit Ist die Anfangsgeschwindigkeit sowie die zurückgelegte Strecke in x-Richtung bekannt, so lässt sich auch die vergangene Zeit berechnen. Löst man nämlich sx = v0 t nach t auf, so erhält man: t= sx v0 Strecke in y-Richtung Durch Einsetzen der vorherigen Formel in sy = g2 t2 lässt sich die senkrecht zurückgelegte Strecke anhand der Anfangsgeschwindigkeit und der zurückgelegten Strecke in x-Richtung berechnen: sy = g · s2 2v02 x Wurfzeit Ist der Wurf vorbei, so ist h = 0. Die zurückgelegte Strecke in y-Richtung sy ist also gleich wie die Anfangshöhe h0 . Wegen sy = h0 = g2 t2 gilt für die Wurfzeit: s 2h0 t= g Wurfweite Ersetzt man nun t in sx = v0 t, so erhält man für die Wurfweite: s swx = v0 · SPF PAM 5. Klasse – Mechanik: Wurfbewegungen 2h0 g 3/4 4 Schiefer Wurf Dieser Wurf wird über seinen Winkel sowie die Anfangsgeschwindigkeit definiert. Er ist eine Mischung aus dem senkrechten und dem waagrechten Wurf. Geschwindigkeiten Für die Geschwindigkeit in horizontaler Richtung gilt vx = v0 · cos α, für die in senkrechter Richtung vy = v0 · sin α − gt. Strecke in x-Richtung Für die zurückgelegte Strecke in x-Richtung zum Zeitpunkt t mit Abwurfwinkel α gilt: sx = v0 · cos α · t Strecke in y-Richtung Für die zurückgelegte Strecke in y-Richtung zum Zeitpunkt t mit Abwurfwinkel α gilt: g sy = v0 · sin α · t − t2 2 Ist die Zeit nicht bekannt, dafür aber die bereits zurückgelegte Strecke in x-Richtung, so kann folgende Formel gebraucht werden: g sy = sx · tan α − 2 · s2 2v0 · cos2 α x Steigzeit Ist der geworfene Körper am höchsten Punkt angelangt, so ist die Geschwindigkeit in y-Richtung null. Deswegen gilt: ts = v0 · sin α g Scheitelpunkt Setzt man die letzte Formel in sy = v0 · sin α · t − g2 t2 , so erhält man die Formel für den höchsten Punkt: hmax = v02 · sin2 α 2g Wurfzeit Weil der Ball am Schluss des Wurfs wieder gleich hoch ist wie am Anfang, gilt 0 = v0 · sin α · t − g2 t2 . Aufgelöst nach t erhält man die Wurfzeit: 2v0 · sin α te = g Wurfweite Da die Höhe am Schluss gleich null ist, kann man für die in x-Richtung zurückgelegte Strecke folgende Formel verwenden: swx = SPF PAM 5. Klasse – Mechanik: Wurfbewegungen v02 · sin 2α g 4/4
