¨Ubungszettel 4 - Koordinatensysteme, Rotierende Bezugssysteme

Übungszettel 4
Theoretische Mechanik - SoSe 2013
Übungszettel 4 - Koordinatensysteme, Rotierende Bezugssysteme und
Skifahren mit Lagrange
(Abgabetermin: 15.05.2013)
Aufgabe 1 - Koordinatensysteme (20 Punkte)
(a) Wir betrachten einen dreidimensionalen Raum mit kartesischen Koordinaten (x, y, z). Für einen gegebenen
Punkt sei ~k die Projektion seines Verbindungsvektors mit dem Koordinatenursprung auf die x, y-Ebene.
Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) sind gegeben durch den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung r, dem
Winkel θ zwischen dem Verbindungsvektor und ~k, sowie ϕ, dem Winkel ϕ zwischen ~k und der (positiven) xAchse. Die Koordinatentransformation von Kugelkoordinaten zu kartesischen Koordinaten ist gegeben durch
x (r, θ, ϕ)
=
r cos ϕ sin θ,
y (r, θ, ϕ)
=
r sin ϕ sin θ,
z (r, θ, ϕ)
=
r cos θ.
(i) Fertige eine Skizze dieser Koordinaten an, in der du die beiden Winkel ϕ und θ kennzeichnest.
(ii) Bestimme die drei Einheitsvektoren in r, θ und ϕ-Richtung. Beweise explizit, dass diese drei Vektoren
ein orthonormales Rechtssystem bilden.
(iii) Finde einen Ausdruck für die Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten.
(b) In elliptischen Koordinaten sind die Koordinatenachsen konfokale Ellipsen bzw. Hyperbeln. Die zwei Brennpunkte dieser Objekte sind gegeben durch einen Parameter c und befinden sich an den Punkten (c, 0) bzw.
(−c, 0). Sei im Folgenden c > 0 fest. Die Koordinatentransformation von elliptischen Koordinaten zu kartesischen Koordinaten ist gegeben durch
x (χ, ϕ)
= c cosh χ cos ϕ,
y (χ, ϕ)
= c sinh χ sin ϕ.
Der Sinushyperbolicus ist gegeben durch sinh x =
cosh x = 21 (ex + e−x ) .
1
2
(ex − e−x ). Der Cosinushyperbolicus ist gegeben durch
(i) Betrachte c = 1. Zeichne eine Beispielkurve in der x, y-Ebene für χ = 1 wobei ϕ ∈ [0, 2π] sowie für ϕ = π4
wobei χ ∈ (−∞, ∞).
(ii) Bestimme die beiden Einheitsvektoren in χ und ϕ−Richtung. Beweise explizit, dass diese beiden Vektoren
ein orthonormales System bilden.
(iii) Zeige, dass der Ortsvektor in elliptischen Koordinaten durch folgenden Ausdruck gegeben ist,
c sinh (2χ)
c sin (2ϕ)
~r = p
êχ − p
êϕ .
2
2
2 sinh χ + sin ϕ
2 sinh2 χ + sin2 ϕ
Aufgabe 2 - Rotierende Bezugssysteme (20 Punkte)
Ein Massenpunkt m sei zunächst durch einen starren Stab der Länge l mit dem Koordinatenursprung verbunden. Ein
extrem starkes Kraftfeld sorgt dafür, dass der Massepunkt die x, y-Ebene nicht verlassen kann. Der Stab rotiere mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit ω entgegen des Uhrzeigersinns. Zum Zeitpunkt t = 0 werde die starre Verbindung
zwischen O und dem Massenpunkt aufgehoben.
~ Begründe deine
(a) Welche der folgenden Größen sind Erhaltungsgrößen für t ≤ 0 bzw. für t ≥ 0: E, px , py , pz , L?
Antwort.
Hinweis: E ist die Energie des Massepunkts. px , py , pz sind die drei Raumkomponenten des Impulses des
~ ist der Drehimpuls des Massepunkts.
Massepunkts. L
(b) Zusätzlich zu den Bedingungen in der Aufgabenstellung gelte x (t = 0) = l. Bestimme ~r (t = 0) sowie ~r˙ (t = 0)
in kartesischen Koordinaten. Gib die Bahnkurve des Teilchens für t ≤ 0 im raumfesten Koordinatensystem in
Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten an. Betrachte anschliessend die Bewegung in folgendem,
bewegten Koordinatensystem,


cos (ωt) sin (ωt) 0
~r0 = D (t) ~r, mit D (t) =  − sin (ωt) cos (ωt) 0  ,
0
0
1
1
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und gib die Bahnkurve des Teilchens für t ≤ 0 im gestrichenen Koordinatensystem in Zylinderkoordinaten
und kartesischen Koordinaten an. Beschreibe die Wirkung der Matrix D (t) anschaulich.
(c) Gib die Bahnkurve des Teilchens für t ≥ 0 im raumfesten sowie im mitbewegten Koordinatensystem aus
Teilaufgabe (b) in kartesischen Koordinaten an.
Hinweis: Überlege ob es sinnvoller ist die Bewegung im ruhenden oder im mitbewegten System zu lösen. Wähle
geeignete Koordinaten. Die Angabe der Bahnkurve im anderen System / in anderen Koordinaten kann dann
aus Transformation deines Ergebnisses bestimmt werden.
(d) Für einen Beobachter im mitbewegten Koordinatensystem sieht es zu Zeiten t ≥ 0 so aus, als würde auf das
Teilchen eine Kraft wirken. Berechne diese Kraft einmal durch direktes Bilden der Zeitableitung im rotierenden
d 0
d 0
d
Bezugssystem dt
und einmal mit Hilfe der Relation dt
= dt
+ω
~ × durch Bilden der Zeitableitungen im
raumfesten Bezugssystem. Interpretiere dein Resultat, indem du dir den Betrag dieser Kraft in Abhängigkeit
des Abstands zum Koordiantenursprung anschaust.
Aufgabe 3 - Lagrange 1. Art (20 Punkte + 4 Zusatzpunkte)
Betrachte das Problem einer Skifahrerin, die einen Hang reibungsfrei und ohne Sprünge durchzuführen hinunterfährt. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass das Problem sich in einer Ebene abspielt, und betrachten in
dieser Aufgabe also nur einen zweidimensionalen Vektorraum. Das Höhenprofil des Hangs sei durch die Funktion
h (x) beschrieben. Die Gravitationskraft wirkt in negative y-Richtung.
Abbildung 1: Skifahrerin am Hang
(a) Formuliere die Zwangsbedingung für dieses Problem. Ist diese Zwangsbedingung streng genommen holonom
oder anholonom? Ist sie skleronom oder rheonom? Begründe, falls die Zwangsbedingung nicht holonom (bzw.
nicht skleronom) ist, warum man sie trotzdem in diesem speziellen Fall in guter Approximation als holonom
(bzw. skleronom) ansehen kann.
(b) Stelle die Lagrange-Gleichungen erster Art für dieses Problem auf.
(c) Eliminiere die Lagrange-Multiplikatoren und stelle die Bewegungsgleichungen für x (t) und y (t) für ein allgemeines Höhenprofil auf. Bestimme die Zwangskraft für ein allgemeines Höhenprofil.
(d) Löse die Bewegungsgleichung für die x-Koordinate für das Höhenprofil h (x) = γx mit den Randbedingungen
x (t = 0) = ẋ (t = 0) = 0. Bestimme die Zwangskraft. Zeige, dass diese Lösung der in der Vorlesung hergeleiteten Lösung der schiefen Ebene mit Neigungswinkel α entspricht.
Hinweis: Überlege dir zunächst die Relation zwischen dem Anstieg γ und dem Neigungswinkel α. Die Bahnkurve
für x (t) der schiefen Ebene mit diesem Neigungswinkel lautet (mit den Randbedingungen aus der Aufgabe),
g
x (t) = − t2 sin α cos α.
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(e) Zusatzaufgabe: Löse die Bewegungsgleichung für die x-Koordinate für das Höhenprofil h (x) = 21 βx2 mit den
Randbedingungen x (t = 0) = x0 6= 0 sowie ẋ (t = 0) = 0 wobei βx 1 und β ẋ2 g. Welchem physikalischen
Problem entspricht dies?
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