1. ¨Ubung Elemente der Algebra WS2015/16

1. Übung Elemente der Algebra
WS2015/16
1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der
Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:
5
3
(a) {x ∈ IR |x − 6| = }
(b) {x ∈ IR |x + 1| ≤ }
2
2
2
2
2
(c) {x ∈ IR (x − 1)(x − 4) = 0}
(d) {x ∈ IR (x − 1)(x2 − 4) < 0}
(e) {(x, y) ∈ IR2 2x − 5y ≥ 10}
(f) {(x, y) ∈ IR2 xy < 0}
√
+
x > x}.
(g) {(x, y) ∈ IR+
0 × IR0
2. Bestimmen Sie die folgenden Mengenvereinigungen und -durchschnitte:
(a) {1, 5, 8, 13, 15} ∪ {7, 8, 9, 12},
m
(c) { | m ∈ IN} ∪ ZZ
2 [
[
(e)
{m · n},
(b) {1, 5, 8, 13, 15} ∩ {7, 8, 9, 12},
m
(d) { | m ∈ IN} ∩ ZZ
2
\
(f)
Mn mit Mn = {0, 2, 4, . . . , 2n},
(g) {n ∈ IN| n gerade} ∩ {5k| k ∈ ZZ},
(h) {n ∈ IN| n Primzahl} ∩ {7k| k ∈ IN}.
m∈IN n∈IN
n∈IN
3. Seien K, L und M beliebige Mengen. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Sind K und L disjunkt sowie L und M disjunkt, so sind auch K und M disjunkt.
4. Seien G eine beliebige nichtleere Menge, A, B, C, D beliebige Teilmengen von G.
Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
(a) Gilt A j B und B j C, dann auch A j C.
(b) Gilt A j B dann auch A ∪ C j B ∪ C.
(c) Gilt A j B, dann auch A ∩ C j B ∩ C.
(d) Gilt A j B, dann auch B j A.
Geben Sie gegebenenfalls einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an!
5. Seien G eine beliebige nichtleere Menge, A, B, C, D beliebige Teilmengen von G.
Beweisen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
(a) A ∪ B = A ∩ B.
(b) A ∩ B = A ∪ B.
(c) A ∪ (B ∩ A) = A.
(d) A ∩ (A ∪ B) = A.
6. Für c ∈ IR sei M[
x ≤ c ≤ y}. Schraffieren Sie in der (x|y)-Ebene M2 .
c := {(x|y)|\
Bestimmen Sie
Mc und
Mc .
c∈IR
c∈IR
7. Bestimmen Sie M1 \ M2 und M2 \ M1 für
(a) M1 = {1, 2, 5, 8, 9}, M2 = {2, 3, 5, 7, 9},
(b) M1 = IN, M2 = Q,
I
(c) M1 = {n2 | n ∈ IN}, M2 = {2n | n ∈ IN}.
8. Für zwei Mengen M1 und M2 sei M1 △ M2 = (M1 \ M2 ) ∪ (M2 \ M1 ). Bestimmen Sie
M1 △ M2 für
(a) M1 = {1, 2, 5, 8, 9}, M2 = {2, 3, 5, 7, 9},
(b) M1 = IN, M2 = Q.
I
9. Beweisen Sie: Für beliebige Mengen M1 , M2 j G gilt
(a) M1 △ M2 = (M1 ∪ M2 ) \ (M1 ∩ M2 ).
(b) M1 △ ∅ = M1 .
(c) Es gibt genau eine Teilmenge X von G mit M1 △ X = ∅.
10. Bestimmen Sie die Potenzmengen von
(a) {a}
(b) {0, 1}
(c) ∅
(d) {1, 2, 3, 4}.
Wie viele Elemente hat die Potenzmenge jeweils?
11. Bestimmen Sie M1 × M2 , M12 und M23 für
(a) M1 = {1}, M2 = {a, b},
(b) M1 = {1, 3, 5}, M2 = {0, 1},
(c) M1 = ∅, M2 = {a, b, c}
Wie viele Elemente haben die jeweiligen Mengen jeweils?
12. Für k ∈ {1, 2, 3, 4} sei Mk := {k, k + 1}. Bestimmen Sie M1 × M2 × M3 × M4 .
Abgabe der Aufgaben 1e, 2g, 4c,d, 5d, 9 bis 6.11.2015 vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
2. Übung Elemente der Algebra
WS2015/16
13. Verneinen Sie folgende Aussagen:
(a) Alle Rosen sind verwelkt und teuer.
(b) Alle Rosen sind verwelkt oder teuer.
14. Seien A und B äquivalente Aussagen. Was kann man über den Wahrheitswert folgender
Aussagen sagen:
(¬B ⇔ ¬A),
(¬A ⇒ ¬B),
(B ⇒ ¬A),
(¬A ⇔ B).
15. Seien A, B, C beliebige Aussagen, 1 die immer wahre Aussage. Geben Sie an, ob folgende
Aussagen richtig oder falsch sind? Begründung ist erforderlich.
(a) ¬(A ∧ ¬A) = 1.
(b) ¬A ∧ (B ∨ A) ∧ ¬C = (B ∧ ¬C) ∨ A.
(c) ¬ A ∧ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬A ∧ ¬C) ∨ ¬B = ¬A ∨ B.
(d) A ∨ (A ⇒ B) = B.
(e) (A ⇒ B) ∧ ¬B = ¬A.
16. Für beliebige Aussagen A, B, C sei die Aussage F (A, B, C) durch folgende Wahrheitstafel
gegeben.
Beschreiben Sie F (A, B, C) durch ∧, ∨ und ¬.
A
B
C
F(A,B,C)
w f w f w f w f
w w f f w w f f
w w w w f f f f
w w f f w w f f
Die gewünschte Form der Aussage F erhält man durch folgenden Algorithmus:
(I) Stelle die Wahrheitstafel mit den Variablen und dem gewünschten Funktionswert
auf. Im folgenden seien die Wahrheitswerte zeilenweise aufgeführt.
(II) Streiche alle Spalten, in denen F (A1 , . . . , An ) den Wert falsch“ hat.
”
(III) Ordne jeder der verbliebenen Spalte eine Und-Verknüpfung aller der Variablen Ai
zu, die in dieser Spalte den Wert wahr“ haben, und der Negation ¬Ai aller der
”
Variablen, die in dieser Spalte den Wert falsch“ haben.
”
(IV) Verknüpfe alle gerade konstruierten Und-Glieder durch Oder-Verknüpfungen.
17. Mit ⊻“ sei der Junktor entweder ... oder“ abgekürzt. Stellen Sie die zugehörige Wahr”
”
heitstafel auf und zeigen Sie für beliebige Aussagen A und B:
(a) ¬(A ⇔ B) und A ⊻ B sind äquivalent,
(b) ¬(A ⇒ B) und A ∧ ¬B sind äquivalent.
18. Es seien A, B und C beliebige Aussagen. Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien,
welche Kontradiktionen?
(a) (¬A ∨ B) ∧ (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B)
(b) (C ⇒ A) ∧ ¬A ⇒ C
(c) (A ⇒ B) ∧ ¬B ⇔ (A ∨ B)
19. Welche der folgenden Rechenregeln“ geben in IR allgemeingültige Aussageformen wider?
”
(a) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(b) (a + b)2 6= a2 + b2
√
a2 + b2 6= a + b
(c) a2 + b2 > 0
(d)
Bestimmen Sie in den anderen Fällen die von IR verschiedenen Erfüllungsmengen.
20. Welche der folgenden Implikationen sind vom Gesichtspunkt der mathematischen Logik
aus allgemeingültig und welche nicht?
(a) A(heute) = wenn
”
(b) A(heute) = wenn
”
(c) A(heute) = wenn
”
(d) A(heute) = wenn
”
7 teilbar“.
heute Sonntag ist, dann ist morgen Montag“;
heute Sonntag ist, dann ist morgen Sonnabend“;
heute Sonntag ist, dann ist am 1. Januar Neujahrstag“;
16 durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist 16 durch 4 und durch
21. Für welche Werte a, b ∈ IR ist die Aussageform ax2 < b über der Grundmenge IR
– allgemeingültig,
– nicht allgemeingültig, aber erfüllbar;
– unerfüllbar ?
22. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründung ist
erforderlich.
^ _
_ ^
_ ^
_ ^
(a)
(x > y) (b)
(x > y) (c)
(x ≥ y) (d)
(x > y)
x∈IN y∈IN
y∈IN x∈IN
y∈IN x∈IN
y∈Z
Z x∈IN
23. Seien A(x) und B(x) Aussageformen über einer Grundmenge G. Sind folgende Aussagen
äquivalent? (Begründung erforderlich)
_
_
_
(a)
A(x) ∧ B(x) und
A(x) ∧
B(x) ,
x∈G
(b)
^
x∈G
x∈G
A(x) ∨ B(x) und
^
x∈G
x∈G
A(x) ∨
^
x∈G
B(x) .
Abgabe der Aufgaben 15 c, 19, 21, 23 bis 20.11.2015 vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
3. Übung Elemente der Algebra
WS2015/16
24. Sei k ∈ IN ungerade, k > 1. Zeigen Sie direkt:
(a) Für kein n ∈ IN ist
s = (n + 1) + (n + 2) + ....... + (n + 1000)
(b) Für kein n ∈ IN ist
s = (n + 1) + (n + 2) + ....... + (n + k)
eine Primzahl.
eine Primzahl.
25. Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten oder Widerspruchsbeweises:
(a) Wenn ein Winkel in einem Dreieck in der Ebene 120◦ misst, dann ist das Dreieck
nicht rechtwinklig.
(b) Hat ein Viereck verschieden lange Diagonalen, dann ist es kein Rechteck.
(c) Ist die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl 2, 3, 7 oder 8 ist, dann ist sie keine
Quadratzahl.
(d) Ist die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl 2, 3, 4, 7 oder 8 ist, dann ist sie nicht
4. Potenz einer natürlichen Zahl.
26. Zeigen Sie: Es gibt keine rationale Zahl x ∈ Q,
I die Lösung der Gleichung x2 = 5 ist.
Durch welche natürlichen Zahlen kann man 5 ersetzen, damit die Aussage richtig bleibt?
27. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
(a) Für alle n ∈ IN gilt
n
X
k=1
(2k − 1)2 =
n(2n − 1)(2n + 1)
.
3
(b) Für alle n ∈ IN ist n3 − n ganzzahliges Vielfaches von 3.
(3 Punkte)
(c) Für alle n ∈ IN0 gilt: Hat die Menge M n Elemente, dann hat die zugehörige Potenzmenge P(M) 2n Elemente.
(3 Punkte)
(d) Für alle n ∈ IN ist 3n5 + 5n3 − 23n ganzzahliges Vielfaches von 15.
28. Zeigen Sie:
(a) Sei n ∈ IN0 . Addiert man alle Zahlen, die in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks
stehen, dann ergibt sich 2n .
(b) Sei n ∈ IN. Die alternierende Summen aller Zahlen derselben Zeile des Pascalschen
Dreiecks ist 0.
(Beispiel: Für die 3. Zeile ergibt sich 1 − 3 + 3 − 1 = 0 und für die 4. Zeile 1 − 4 +
6 − 4 + 1 = 0.)
n X
n k
(c) Für alle n ∈ IN gilt
2 = 3k .
k
k=0
29. Die Fibonacci-Zahlen fn sind durch folgende Bedingung definiert:
f1 := f2 := 1,
fn+2 := fn+1 + fn ,
Zeigen Sie: Für alle n ∈ IN bzw. n ≥ 2 gilt
√
√
1 1 + 5 n 1 − 5 n (a) fn = √
−
.
2
2
5
n ∈ IN.
(b) fn+1 · fn−1 − fn2 = (−1)n .
30. Bei dem Spiel Turm von Hanoi“ sitzen auf einem von drei Stäben n verschieden große
”
kreisförmige Scheiben, und zwar die kleinste oben, die größte unten. Alle Scheiben sollen
nun auf einen anderen Stab transportiert werden, wobei
• bei jedem Schritt nur eine Scheibe bewegt werden darf,
• nie eine größere Scheibe über einer kleineren Scheibe liegen darf.
Zeigen Sie: Die Aufgabe läßt sich in 2n − 1 Schritten lösen.
31. Sie haben 10 graue, 10 braune und 10 schwarze einzelne Socken, die sich alle in einer
großen Kiste befinden. In dem Zimmer, in dem sich die Kiste befindet, ist es dunkel und
Sie wollen nicht das Licht anmachen. Wie viele Socken müssen Sie herausnehmen, um
garantiert
(a) zwei gleichfarbige
(b) zwei graue
Socken zu erhalten?
Abgabe der Aufgaben 24 b, 25 d, 27 b,c, 29 b bis 4.12.2015 vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
4. Übung Elemente der Algebra
32. Durch
WS2015/16
(x|y) = (a1 |a2 ) + t · (r1 |r2 ),
t ∈ IR
werden die Punkte einer Geraden in der Ebene IR2 durch den Punkt (a1 |a2 ) mit der Richtung (r1 |r2 ) beschrieben. Die Darstellung heißt Parameterform oder Punkt-RichtungsForm.
(a) Zeichnen Sie die Gerade
G = {(1|0) + t · (1|1) t ∈ IR}
und geben Sie die Gleichung mit Lösungsmenge G an.
(b) Zeichnen Sie die Gerade durch die Punkte (3|4) und (2|6) und geben Sie die Parameterform und die Gleichungsform an.
(c) Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung
2x + 5y = 7
in Parameterform an und zeichnen Sie die Gerade.
33. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
1
5
1
3
x1 +
5x1 −
x2 = 1
.
3x2 = 0
(a) Geben Sie die Lösungsmengen jeder der Gleichungen in Parameterform an, zeichnen
Sie die beiden Geraden und ermitteln Sie die Lösung des Gleichungssystem grafisch.
(b) Berechnen Sie die Lösung algebraisch (rechnerisch).
34. Es seien Metall-Legierungen M1 , M2 und M3 gegeben, die alle Kupfer, Silber und Gold
enthalten, und zwar zu folgenden Prozentsätzen:
M1
M2
M3
Kupfer Silber Gold
20
60
20
70
10
20
50
50
0
Kann man diese Legierungen so mischen, dass eine Legierung entsteht mit 40 % Kupfer,
50 % Silber und 10 % Gold?
35. Untersuchen Sie, ob die Gleichungssysteme
(a)
3x1 + 5x2 + 7x3 + 2 =
4x1 + 6x2 + 8x3 + 4 =
x1 + 3x2 + 4x3 + 9 =
0
0
0
(b)
3x1 + 2x2 + 6x3 +
3x4 =
2x1 + x2 + 3x3 + −2x4 =
2x1 + 3x2 + x3 +
4x4 =
(c)
3x1 +
2x2 + 6x3 +
3x4 + 4 =
x1 + −6x2 + 14x3 + −7x4 + 12 =
2x1 +
3x2 +
x3 +
4x4 + 7 =
−4
−1
−7
0
0
0
lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösung(en).
36. Lösen Sie folgende Gleichungen
(a) x2 + 6x = 16,
(b) x2 = 6x + 16,
(c) x2 + 27 = 12x.
37. Für welche rationalen Zahlen gilt: Addiert man zu der Zahl ihren Kehrwert, dann erhält
85
?
man
18
38. Lösen Sie das Problem von Al-Hwarizmi: Ich habe 10 in 2 Teile geteilt. Ich habe jedes
Teil mit sich multipliziert. Wenn ich die Produkte addiere, erhalte ich 58. Wie groß sind
die Teile?
39. Eine Strecke der Länge a heißt im Verhältnis des goldenen Schnitts“ geteilt, wenn für
”
a
b
die beiden Teilstrecken der Längen b und c gilt = .
b
c
Teilen Sie eine Strecke der Länge 10 im Verhältnis des goldenen Schnitts, stellen Sie die
zugehörige Gleichung für die Länge der größeren Teilstrecke auf und bestimmen Sie die
Längen der Teilstrecken.
Kann man die Längen der Teilstrecken nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren?
40. Sei a ∈ IR. Bestimmen Sie durch Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge der Gleichung
x4 − 2ax2 + 4 = 0.
Beachten Sie die verschiedenen Fälle für a.
41. Zerlegen Sie folgende Polynome in Linearfaktoren:
(a) x3 + 3x2 − 33x − 35
(b) x3 + 1
(c) 27x3 − 117x2 + 141x − 35
8
5
8
(d) x4 + 4x3 − 2x2 − 12x + 9 (e) 3x3 − 5x2 + 3x − 5 (f) x3 − x2 + x −
3
3
3
42. Welche Bedingung muß n ∈ IN erfüllen, damit folgende Polynomdivision aufgeht? Geben
Sie gegebenenfalls das Quotientenpolynom an!
(a) (xn − 1) : (x − 1)
(b) (xn − 1) : (x + 1)
(c) (x2n − 1) : (x2 − 1)
Abgabe der Aufgaben 34, 35 b, 37, 40, 41 d,f bis 18.12.2015 vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
5. Übung Elemente der Algebra
WS2015/16
43. Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstafeln folgender Ringe auf:
(a) ZZ/2,
(b) ZZ/3,
(c) ZZ/6 .
44. Bestimmen Sie alle möglichen m ∈ IN, m > 1, so dass in ZZ/m gilt
(b) 2 · 4 = 1.
(a) 5 + 7 = 3
45. Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ZZ/3 gilt
(a + b)3 = a 3 + b 3 .
46. Zeigen Sie: Ein kommutativer Ring (R, +, ·) ist genau dann nullteilerfrei, wenn in R die
Kürzungsregel gilt, d.h. wenn für alle a, b, c ∈ R mit a 6= 0 gilt: Aus a · b = a · c folgt b = c.
47. Sei C(IR) die Menge der in IR stetigen Funktionen. Zu f1 (x), f2 (x) ∈ C(IR) seien durch
(f1 + f2 )(x) := f1 (x) + f2 (x),
(f1 · f2 )(x) := f1 (x) · f2 (x)
Addition und Multiplikation definiert. Zeigen Sie, daß dann (C(IR), +, ·) ein kommutativer
Ring mit Einselement ist, aber nicht nullteilerfrei. Geben Sie Null- und Einselement an.
48. (a) Stellen Sie für die Restklassen nach der Primzahl 11 eine Tafel auf, aus der man zu
jeder Restklasse die reziproke bezüglich der Multiplikation in ZZ/11 ablesen kann.
(b) Lösen Sie die Gleichungen modulo 11
3 · v = 4;
5 · x = 3;
2 · y = 5;
6 · z = 2.
49. Sei R := ZZ/2.
(a) Wie sieht ein beliebiges Element von R[x] aus? Geben Sie das Nullelement und das
Einselement in R[x] an!
(b) Zeigen Sie: R[x] ist ein nullteilerfreier Ring, aber kein Körper.
(c) Bestimmen Sie q(x), r(x) ∈ R[x] mit
x5 + x3 + x = q(x) · (x2 + x + 1) + r(x)
mit r(x) = 0 oder
Grad r(x) < 2.
Abgabe der Aufgaben 43 c, 44 b, 46, 48 b, 49 c bis 15.1. vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
6. Übung Elemente der Algebra
WS2015/16
50. Stellen Sie die folgenden Zahlen in der Form a + i b dar:
1
z
3 + 4i
(b)
2 − 5i
(a) iz +
für
z =1+i
bzw.
bzw.
z = 2 − i,
3+i
.
1 + 3i
51. Für z = x + i y mit x, y ∈ IR heißt z := x − i y die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Zeigen Sie: Für beliebige z1 , z2 ∈ CI gilt
(a) (z1 ± z2 ) = z1 ± z2
z1 z1
(c)
=
z2
z2
(b) z1 · z2 = z1 · z2
(d) z1n = (z1 )n
52. Sei z ∈ C,
I z 6= 0. Untersuchen Sie, ob die folgenden Zahlen reell oder imaginär sind, und
berechnen Sie ihre Konjugierte:
z z
(b) z · z
(c) ±
(d) (z)2 ± z 2
(a) z + z
z z
53. Bestimmen Sie die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen in C:
I
(a) x2 + 10x + 34 = 0
(b) x2 + 4ix − 13 = 0
(c) ix2 + 6x − 25i = 0.
54. Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichungen in Normalform“ a + bi an:
”
(a) z 2 = i
(d) z 3 = i
(b) z 2 = −i
(e) z 4 = 81
(c) z 3 = 27
(f) z 4 = −81
55. (a) Bestimmen Sie die 4. Einheitswurzeln ω1 , ω2 , ω3 und ω4 .
(b) Geben Sie die Lösungen von
z 4 = 16
an und zeigen Sie, dass man alle
Lösungen dieser Gleichung erhält, indem man eine Lösung nacheinander mit ω1 , ω2 ,
ω3 und ω4 multipliziert.
(c) Sei ω eine von 1 verschiedene n-te Einheitswurzel (n ∈ IN, n > 1) und z0 eine Lösung
von z n = a + bi 6= 0. Zeigen Sie, dass ω · z0 eine von z0 verschiedene weitere Lösung
der Gleichung ist.
56. (a) Suchen Sie zwei reelle Zahlen, die bezüglich der Multiplikation eine Gruppe der
Ordnung 2 bilden, und geben Sie die Verknüpfungstafel an.
(b) Suchen Sie vier komplexe Zahlen, die bezüglich der Multiplikation eine Gruppe der
Ordnung 4 bilden, und geben Sie die Verknüpfungstafel an.
57. Schreiben Sie das Polynom p(x) = x8 − x6 + x2 − 1 als Produkt von Linearfaktoren!
58. Untersuchen Sie, welche der folgenden Verknüpfungen auf M kommutativ oder assoziativ
ist, für welche Verknüpfung es ein neutrales Element gibt bzw. die Gleichung a ◦ x = b
immer eine Lösung in der Menge M besitzt:
a+b
.
2
(b) M = IR und a ◦ b = max{a, b}.
(a) M = IR und a ◦ b =
59. (a) Sei G die Menge aller Permutationen der Menge {1, 2, . . . , n}. Zeigen Sie: G ist
bezüglich der Hintereinanderausführung von Funktionen eine Gruppe.
(b) Bestimmen Sie die Ordnung von G.
(c) Sei speziell n = 4. Die Permutation
f mit f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4 und
1 2 3 4
f (4) = 1 werde mit
bezeichnet. Bestimmen Sie die von dem Element
2 3 4 1
1 2 3 4
erzeugte zyklische Untergruppe von G.
2 3 4 1
(d) Zeigen Sie: Jede Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist zyklisch und damit
kommutativ.
60. Geben Sie die Symmetriegruppe des Tetraeders an.
Abgabe der Aufgaben 50 b, 53, 54 b,f, 57, 58 b bis 29.1. vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)