Lehrplanausschnitts zur Geometrie in Klasse 7 (PDF
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Mathematik, Klassenstufe 7 3. Geometrie 40 Stunden Der Geometrieunterricht in der Klassenstufe 7 stellt Verbindungen zu alltäglichen Erscheinungen her, die häufig als selbstverständlich wahrgenommen werden. Hier gilt es, den Blick der Schülerinnen und Schüler für geometrische Strukturen ihrer Umwelt zu schärfen und die Zusammenhänge logisch zu begründen, ohne in eine strenge Axiomatik zu verfallen. Der Unterricht orientiert sich an den Leitideen „Symmetrie“ und „Kongruenz“ und folgt damit sowohl abbildungs- als auch kongruenzgeometrischen Ansätzen. Um die Einsicht in die Notwendigkeit zu wecken, geometrische Sachverhalte exakt zu beschreiben und zu begründen, beschränke man sich bei den Aussagen, Beweisen und Beweisarten auf wenige, nicht evidente Inhalte. Das Beweisbedürfnis auf Schülerseite wird nicht zuletzt auch durch die modernen Unterrichtsmedien relativiert. Andererseits fördert die Anwendung dynamischer Geometriesoftware das lokale Ordnen sowie das Gliedern nach „gegeben“ und „gesucht“ bzw. „Voraussetzung“ und „Behauptung“. Selbstverständlich müssen einem Einsatz des Computers etliche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, insbesondere im Bereich der Grundkonstruktionen, vorangehen. Die Schwierigkeiten in der manuellen Ausführung und in der sprachlichen Begleitung dürfen nicht unterschätzt werden. Planfigur und (vor- oder nachgängige) Konstruktionsbeschreibung stellen wichtige methodische Haltepunkte dar. Besonders reizvoll ist die Vermittlung typischer Strategien der Heuristik und des Problemlösens angesichts der experimentellen Möglichkeiten durch den PC-Einsatz. Interessante Anwendungen ergeben sich bei der Suche nach geometrischen Objekten mit extremalen Eigenschaften. Die Nutzung des Computers wird somit zu einem unverzichtbaren Bestandteil eines modernen Geometrieunterrichts. Verbindliche Inhalte Vorschläge und Hinweise Symmetrien und Abbildungen Erkunden der Symmetrie an realen Formen, z.B. in Architektur und Natur • • Achsensymmetrie Experimente mit Spiegel und Zylinderlinse – Lagebeziehung entsprechender Punkte Parallelität der Verbindungsstrecken, Mittelsenkrechte als Symmetrieachse – Zeichnen der Symmetrieachse mit dem Konstruktion erst nach Behandlung der Geo-Dreieck Ortslinieneigenschaft – Achsenspiegelung mit Geo-Dreieck und Zirkel – Achsenspiegelung als Abbildung Fixpunktgerade, Längentreue und Winkeltreue – Erzeugung achsensymmetrischer Figuren, auch am PC – Eigenschaften des gleichschenkligen Basiswinkelsatz Dreiecks – achsensymmetrische Figuren aus Kreis Zentrale, Sekante, Tangente, Passante und Gerade Reflexionsgesetz Fermat-Prinzip der Lichtausbreitung Pierre de Fermat (1601-1665) Drehsymmetrie – Lagebeziehung entsprechender Punkte auf konzentrischen Kreisen, mit gleichen Mittelpunktswinkeln – Drehung mit Zirkel und Winkelmesser – Drehung als Abbildung Fixpunkt, Längentreue und Winkeltreue – Erzeugung drehsymmetrischer Figuren, Rosetten auch am PC – Punktsymmetrie und Punktspiegelung regelmäßige Vielecke als Sonderformen 39 Mathematik, Klassenstufe 7 3. Geometrie 40 Stunden Verbindliche Inhalte • Vorschläge und Hinweise Verschiebungen – Parallelverschiebung mit Geo-Dreieck und Lineal – Verschiebung als Abbildung – keine Fixpunkte, Längentreue und Winkeltreue Parallelität entsprechender Strecken Bandornamente, Friese Erzeugung translationssymmetrischer Figuren, auch am PC Projekte: Symmetrien von Vielecken Sternvielecke (Bezüge zur Teilbarkeit) Entwerfen eigener symmetrischer Muster, z.B. auch mit Schubspiegelung Analysieren von Symmetrie-Mustern von Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) Symmetrie in der Architektur Winkel an Geraden • Scheitel- und Nebenwinkel an Geradenkreuzungen • Winkelhalbierende an Geradenkreuzungen als Symmetrieachsen • Stufenwinkel an Parallelen • • Punktsymmetrie der Figur zweifache Achsensymmetrie der Figur Existenz und Eindeutigkeit der Parallele durch einen Punkt werden durch das Konstruktionsverfahren motiviert Wechselwinkel an Parallelen Winkelsumme im Dreieck (mit Beweis) Strahlengang an planparallelen Platten fakultativ: Winkelsumme im Vieleck Kongruenz • Kongruenzabbildungen Symbol ≅ • Kongruenz und Symmetrie • • Kongruenz bei Vielecken und Kreisen Kongruenz von Dreiecken – Konstruierbarkeitsbedingungen – eindeutige Konstruierbarkeit – Dreiecksungleichung – Grundkonstruktionen sss, sws, wsw, Ssw – Kongruenzsätze sss, sws, wsw, Ssw Anwendung der Grundkonstruktionen • exemplarisch: Hintereinanderausführung von Spiegelung, Drehung, Verschiebung (auch am PC) Deckungsgleichheit von Teilfiguren Rückschau auf die Symmetrie realer Formen auch am PC, auch mit Konstruktionsbeschreibung als Erfahrungssätze ohne Deduktionen Navigation, Landvermessung (maßstäbliches Zeichnen) Î Klassenstufe 8: Haus der Vierecke 40 Kräfteaddition und Kräftezerlegung Mathematik, Klassenstufe 7 3. Geometrie 40 Stunden Verbindliche Inhalte Vorschläge und Hinweise Besondere Linien und Punkte im Dreieck kontrastierende Überlegungen für Vierecke @ Konstruieren und Dynamisieren der besonderen Punkte am PC • • • • • Umkreismittelpunkt – Konstruktion der Mittelsenkrechten – Mittelsenkrechte als Ortslinie – Umkreis – Lage beim spitz- bzw. stumpfwinkligen Dreieck – Lage beim rechtwinkligen Dreieck – Satz des Thales (mit Beweis) und Kehrsatz Konstruktion des Mittelpunktes eines Kreises eindeutige Festlegung des Kreises durch drei nicht kollineare Punkte Thales von Milet (um 625 - 545 v. Chr.) Konstruktion der Kreistangenten Inkreismittelpunkt – Konstruktion der Winkelhalbierenden – Winkelhalbierende als Ortslinie – Inkreis Schwerpunkt – Seitenhalbierenden – Teilverhältnis 2:1 Höhenschnittpunkt – Konstruktion der Lotgeraden – Höhen – Flächeninhalt des Dreiecks physikalischer Nachweis der Schwerlinien Rückführung auf rechtwinkliges Dreieck Vorbereitung des Sinussatzes Gesamtrückschau (mit Alltagsbezügen) Anwendung der Ortslinien fakultativ: • Fermat-Punkte – beim Rechteck (Dreiecksungleichung) – beim Dreieck @ experimentelle Suche am PC • Schwerpunkte – Schwerpunktarten (Flächen, Ecken, Seiten) – Schwerpunkte des Vierecks – Situation beim Dreieck • Sehnenviereck, Tangentenviereck • Euler-Gerade Einbindung des Höhenschnittpunktes Leonhard Euler (1707 - 1783) 41
