Vortrag 9 - Thomas - kartesische Ebene
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Die Algebraisierung der Geometrie Thomas Läubli Euklidische Geometrie, Universität Zürich FS 2016, 20. April Inhaltsverzeichnis 1. 2. 3. 4. Geometrie im Koordinatensystem Exkurs: Galoistheorie Körper und Inzidenz Literaturverzeichnis Geometrie im Koordinatensystem René Descartes (1596 ­ 1650) Pierre de Fermat (1601 ­ 1665) Punkte als geordnete Paare Linien als Geradengleichung Geradengleichung mit Steigung m und y­Achsenabschnitt b: y = mx + b Vertikale Linien: x = a Parallelen im Koordinatensystem • Zwei Geraden nennen wir parallel, falls sie gleich sind oder falls sie keine gemeinsamen Punkte haben. • Geraden sind genau dann parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben. • Für drei verschiedene Geraden ist diese Beziehung transitiv. Geometrie im Koordinatensystem Satz: In der reellen cartesischen Ebene treffen sich die Höhen eines Dreiecks in einem einzigen Punkt. Theorem (Descartes) Rechenarten Rechenarten Rechenarten Rechenarten Rechenarten Algebraisierung Algebraisierung Konstruierbare Winkel Kreissehne Anwendungen Anwendungen Exkurs: Galoistheorie Evariste Galois (1811 ­ 1832) Galoistheorie Galoistheorie Galoistheorie Galoistheorie Würfelverdoppelung Unmöglichkeitsbeweis Quadratur des Kreises Unmöglichkeitsbeweis Körper und Inzidenz Mit der Verwendung von Körpern erhalten wir Modelle der abstrakten Geometrie, die von Hilberts Axiomen bestimmt werden. Verschiedene Körper ergeben verschiedene Modelle. Die Prüfung, welche Eigenschaften von Körpern für die Erfüllung der Axiome benötigt werden, hilft uns, die Unabhängigkeit der Axiome zu zeigen. Um ein Modell zu erstellen, müssen wir sagen, wie wir die Begriffe interpretieren und beweisen, dass die Axiome in dieser Interpretation gelten. Körperaxiome Inzidenz und Modell Inzidenzaxiome Inzidenzaxiome Koordinatenwechsel Translation Skalierung Scherung Koordinatentransformationen • Koordinatentransformationen sind affin, insofern sie durch lineare Gleichungen gegeben sind. • Geometrien in verschiedenen Koordinaten sind äquivalent bezüglich Inzidenz. Modell 1 Satz von Pappus Satz von Hilbert Eine cartesische Ebene lässt sich auch über einem Schiefkörper F definieren. F ist kommutativ gdw. Der Satz von Pappus erfüllt ist. Modell 2 Literaturverzeichnis Hartshorne: Geometry: Euclid and Beyond, 2000 Reinhardt/Soeder: dtv­Atlas Mathematik, Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie, 11. Auflage 1998 http://de.wikipedia.org/wiki/Würfelverdoppelung (2013) Alle Bilder wurden selber mit Geogebra erstellt mit Ausnahme der Würfelverdoppelung.
