5 Funktion

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Funktion
5
1
Funktion
Für eine Funktion ist ein Bezeichner erforderlich, der mit einem Kleinbuchstaben beginnt. Im Koordinatensystem wird der Graph der Funktion gezeichnet; gegebenfalls kann (auch noch nachträglich) eine
andere Linienform oder Farbe gewählt werden. Bei Auswahl des Leerfeldes anstelle von <Graph> unterbleibt die Darstellung des Graphen.
Level 1
5.1
<Term>
Es kann ein Term (mit der Argumentvariablen) eingegeben oder ausgewählt werden.
5.2
<linear>
[1] Ist mindestens ein Punkt P (xP ; yP ) gespeichert, so wird mit der eingegebenen Steigung m die PunktSteigungsform
y = m (x − xP ) + yP
zur Festlegung der Geraden genutzt.
[2] Wird ein zweiter Punkt Q(xQ ; yQ ) (mindestens ein Koordinatenwert anders als bei P ) ausgewählt, so
wird vorab die Steigung m bestimmt:
m=
yQ − yP
xQ − xP
Im Fall xQ = xP wird die Parallele zur y-Achse erstellt mit der Relationsgleichung:
x = xP
5.3
<quadratisch>
[1] Ist mindestens ein Punkt S(xS ; yS ) gespeichert, so wird mit ihm als Scheitelpunkt und dem Faktor a
(a 6= 0) die Scheitelform
y = a (x − xS )2 + yS
zur Festlegung der Parabel genutzt.
[2] Wird ein zweiter Punkt Q(xQ ; yQ ) (beide Koordinatenwerte anders als bei S) ausgewählt, so wird
durch Einsetzung der Koordinaten in die Scheitelform zunächst der Wert des Faktors a bestimmt.
(In analoger Weise kann für einen <Kreis> mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r oder einem
Peripheriepunkt Q die Relationsgleichung erstellt werden.)
2
5.4
5
Funktion
<exponentiell>
[1] Ist mindestens ein Punkt P (xP ; yP ) gespeichert, so wird mit dem eingegebenen Wachstumsfktor b
(b > 0, b 6= 1) die Exponentialfunktion
y = a · bx
festgelegt, indem zunächst durch Einsetzung der Koordinaten von P der Anfangswert a bestimmt wird.
[2] Wird ein zweiter Punkt Q(xQ ; yQ ) (beide Koordinatenwerte anders als bei P und y-Werte mit gleichem
Vorzeichen) ausgewählt, so wird vorab aus der durch Division entstandenen Gleichung
bxQ −xP = yQ : yP
der Wachstumsfaktor b (Basis der Exponentialfunktion) bestimmt.
(Für ein begrenztes <Wachstum> ist mit Anfangswert, Schranke und prozentualem Wachstumsverzehr
eine Modellbildung ohne e-Funktion möglich.)
5.5
<Vorgabe>
Auf der Grundlage einer gespeicherten Tabelle wird ein Funktionsterm gemäß des gewählten Funktionstyps erstellt.
<proportional>
Mit der ersten vollständigen Spalte in der Tabelle - interpretiert als Punkt P (xP ; yP ) - wird für
y =q·x
der konstante Koordinatenquotient q = yP : xP bestimmt.
<antiproportional>
Mit der ersten vollständigen Spalte in der Tabelle wird für
y=
p
x
das konstante Koordinatenprodukt p = yP · xP bestimmt.
<linear>
Für die lineare Funktion
y =m x+n
wird mit den ersten beiden vollständigen Spalten in der Tabelle ein Gleichungssystem zur Bestimmung
der Steigung m und des Abschnitts n erstellt und gelöst.
<quadratisch>
Für die quadratische Funktion
y = a x2 + b x + c
wird mit den ersten drei vollständigen Spalten in der Tabelle ein Gleichungssystem zur Bestimmung der
Koeffizienten für diejenige Parabel erstellt und gelöst, auf der die drei durch die Tabelle vorgegebenen
5
Funktion
3
Punkte liegen.
<exponentiell>
Für die Exponentialfunktion
y = a · bx
werden mit den ersten beiden vollständigen Spalten die Werte für b und a wie bereits oben beschrieben
bestimmt.
<y=a*exp(k*x)>
Mit der e-Funktion wird durch
y = a · ekx
die Exponentialfunktion gebildet, deren Graph durch die Punkte zu den ersten beiden vollständigen Spalten in der Tabelle verläuft.
<ganzrational>
Bei n + 1 vollständigen Spalten in der Tabelle sind die Koeffizienten von
y = an xn + ... + a1 x + a0
mittels eines Gleichungssystems zu bestimmen. Der Graph der Funktion verläuft durch die zugehörigen
Punkte und löst die Interpolationsaufgabe.
<Kreis> (Level G)
Für die quadratische Relationsgleichung
x2 + a x + y 2 + b x + c = 0
wird mit den ersten drei vollständigen Spalten in der Tabelle ein Gleichungssystem zur Bestimmung der
Koeffizienten für denjenigen Kreis erstellt und gelöst, auf dem die drei durch die Tabelle vorgegebenen
Punkte liegen.
5.6
<Verteilung>
Die ausgewählte (vollständige) Tabelle wird als Erfassung einer (diskreten) Verteilung bestrachtet und in
Form eines Histogramms dargestellt. Alternativ kann die kumulativ>e Verteilung veranschaulicht werden.
5.7
<Binomialverteilung>
Es müssen Zahlenwerte für die Anzahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit eingegeben werden.
Über die Auswahlbox kann alternativ die kumulativ>e Verteilung betrachtet werden.
5.8
<indizieren>
Aus einer Liste mit Funktionen kann eine einzelne Funktion herausgegriffen werden.
4
5
Funktion
Level 2
5.9
<spezialisieren>
Eine Funktion mit Parameter kann durch Angabe eines Wertes konkretisiert (und dargestellt) werden.
5.10
<Zuordnung>
Existieren mindestens zwei offene Variablen, so kann versucht werden, mit den gespeicherten Gleichungen
eine Zuordnung zwischen zwei Variablen als Funktion festzulegen.
5.11
<Wachstum>
Bei der Modellierung eines begrenzten oder logistischen Wachstums ist in jedem Fall eine Zahl y ∗ als
Wachstumsschranke (im letzten Textfeld) einzugeben.
5.11.1
Begrenztes Wachstum (Level 1)
Im ersten Textfeld ist eine Zahl y0 als Anfangswert einzugeben; in der Mitte wird der Wachstumsverzehr
p als Prozentangabe erwartet. Die Modellierung erfolgt dann mit dem Ansatz:
y = y ∗ − (y ∗ − y0 ) · (1 − p)x
5.11.2
Begrenztes Wachstum mit Wachstumsverzehr
In der ersten Auswahlbox ist ein Punkt (mit Zahlen als Koordinaten) auszuwählen; in der Mitte wird der
Wachstumsverzehr p als Prozentangabe erwartet. Die Modellierung erfolgt dann mit dem Ansatz:
y = y ∗ − c · eln(1−p)·x
Mit dem ausgewählten Punkt kann dann der Wert für c ermittelt werden.
5.11.3
Begrenztes Wachstum mit zwei Punkten
In beiden Auswahlboxen sind Punkte (mit Zahlen als Koordinaten) auszuwählen. Die Modellierung erfolgt
dann mit dem Ansatz:
y = y ∗ + b · e−k·x
Mit den ausgewählten Punkten können dann die Werte für k und b ermittelt werden.
5.11.4
Logistisches Wachstum
Im ersten Textfeld ist eine Zahl y0 als Anfangswert einzugeben und in der zweiten Auswahlbox ist der
Wendepunkt (mit Zahlen als Koordinaten) auszuwählen. Die Modellierung erfolgt dann mit dem Ansatz:
y=
y∗
1 + b · e−k·x
Mit y0 kann dann der Wert für b ermittelt werden; anschließend erfolgt mit dem ausgewählten Punkt die
Berechnung von k .
5
Funktion
5.12
5
<Regression>
Es muss eine vollständig ausgefüllte Tabelle ausgewählt werden; diese wird um Zeilen (mit Mittelwertbildung) ergänzt, um die Parameter für den jeweiligen Regressionstyp zu bestimmen.
5.12.1
lineare Regression
Für die lineare Funktion
y =m·x+n
bestimmt man die Parameter:
m=
5.12.2
xy − x · y
x2 − (x)2
n=y−m·x
,
quadratische Regression
Für die quadratische Funktion
y = a · x2 + b · x + c
bestimmt man die Parameter:
a=
[ yx2 − y · x2 ] · [ x2 − (x)2 ] − [ xy − x · y ] · [ x3 − x · x2 ]
m=
5.12.3
[ x4 − (x2 )2 ] · [ x2 − (x)2 ] − [ x3 − x · x2 ]
xy − x · y − a · x3 − x · x2
,
x2 − (x)2
c = y − a · x2 − b · x
exponentielle Regression
Für die Exponentialfunktion
y = a · ekx
bestimmt man die Parameter:
k=
5.13
x ln y − x · ln y
x2 − (x)2
,
ln a = y − k · x
<Ableitung>
Zur ausgewählten Funktion kann die Ableitungsfunktion bestimmt werden.
5.14
<Stammfunktion>
Zur ausgewählten Funktion kann eine Stammfunktion bestimmt werden.
• Wird in das Textfeld ein Term eingetragen, so wird eine partielle Integration durchgeführt. Der
Term muss als Faktor im Funktionsterm vorkommen und wird beim Integrationsprozess abgeleitet.
• Wird in das Textfeld eine Gleichung der Form v=T eingetragen, so wird mittels einer Substitution
integriert.
Bei Auswahl einer (nicht kumulierten) Verteilung wird die kumulative Verteilung festgelegt.
6
5
5.15
Funktion
<Ortslinie>
Zum ausgewählten Punkt mit Parameter wird die Ortslinie erstellt.
5.16
<Asymptote>
Zur ausgewählten (gebrochenrationalen) Funktion wird die (horizontale bzw. ’schräge’) Asymptote bzw.
die Näherungskurve erstellt.
5.17
5.17.1
<Tangente>
zu einem Punkt bei einem Kreis (Level G)
Zum ausgewählten Kreis wird mit dem ausgewählten Punkt P
• die Tangente an den Kreis im Punkt P erstellt, wenn P auf der Kreislinie liegt;
• die Polare erstellt, wenn P außerhalb des Kreises liegt. Deren Schnittpunkte mit der Kreislinie sind
dann die Berührpunkte der Tangenten von P an den Kreis.
Ergibt sich eine Parallele zur y-Achse, so wird diese als Relation(sgleichung) gespeichert.
5.17.2
in einem Punkt des Funktionsgraphen
Zur ausgewählten Funktion f muss die Ableitungspunkt f 0 gespeichert sein. Nach Auswahl eines Punktes
P (xP ; yP ) bzw. einer Stelle xP , zu der dann yP = f (xP ) berechnet wird, wird für die Tangente die folgende
Gleichung erstellt:
t(x) = f 0 (xP ) (x − xP ) + yP
5.18
5.18.1
<Normale>
durch einen Punkt zu einer Geraden (Level G)
Zur ausgewählten Geraden bzw. zu der durch die beiden ausgewählten Punkte festgelegten Geraden wird
durch den (weiteren) Punkte die orthogonale Gerade gelegt.
5.18.2
in einem Punkt des Funktionsgraphen
Zur ausgewählten Funktion f muss die Ableitungspunkt f 0 gespeichert sein. Nach Auswahl eines Punktes
P (xP ; yP ) bzw. einer Stelle xP , zu der dann yP = f (xP ) berechnet wird, wird für die Tangente die folgende
Gleichung erstellt:
t(x) = −
1
f 0 (x
P)
(x − xP ) + yP
In beiden Fällen kann eine Parallele zur y-Achse entstehen, die als Relation(sgleichung) gespeichert wird.
5
Funktion
5.19
7
<Normalverteilung>
Es müssen Zahlenwerte für die Parameter µ und σ eingegeben werden. Über die Auswahlbox kann alternativ die <kumulativ>e Verteilung betrachtet werden.
Bei einer <Binomialverteilung> (mit Parametern n und p) kann nun zusätzlich gewählt werden, ob sie
durch eine Normalverteilung approximiert werden soll.
Level 3
5.20
<Spline>
Es müssen Zahlenwerte für die Parameter µ und σ eingegeben werden. Über die Auswahlbox kann alternativ die kumulativ>e Verteilung betrachtet werden.