- dieter

Übungsaufgabe z. Th. Coulombfeld
Aufgabe 1
In einem zweidimensionalen Koordinatensystem sind die beiden gleich großen
positiven Punktladungen Q 1 und Q 2 mit Q 1 = Q 2 = 2 ⋅ 10 −9 C gegeben.
Die Ladung Q 1 befindet sich auf der negativen x-Achse in der Entfernung
a = 8 cm
vom Koordinatenursprung; die Ladung Q 2 ist ebenfalls a = 8 cm vom Koordinatenursprung entfernt, und zwar befindet sie sich auf der positiven x-Achse.
Auf der y-Achse ist eine dritte positive Ladung Q 3 = 1,536 ⋅ 10 −8 C so positioniert,
dass die Stärke des elektrischen Feldes, das durch die drei Ladungen verursacht
wird,im Punkt P (0 / 6) den Wert Null annimmt
a) Fertigen Sie eine Skizze an. Zeichnen Sie zunächst in die Skizze die drei
Punktladungen Q 1, Q 2, Q 3 und die zugehörigen Feldstärkevektoren E1, E2, E3 im
Punkt P (0 / 6) ein. Zeichnen Sie ebenfalls die Winkel und Strecken in die Skizze,
die Sie zur Berechnung der folgenden Teilaufgabe b) benötigen.
Zeichnen Sie die Ladungen Q 4 und Q 5 die Skizze, wenn sie die weiteren
Teilaufgaben bearbeiten.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P3 in dem sich die Ladung Q 3
befindet. Runden Sie auf volle Zentimeter.
c) Die Ladung Q 3 wird aus dem Koordinatensystem entfernt durch eine
Ladung Q 4 ersetzt, die sich im Punkt P4 (0 / − 2) auf der y- Achse befindet.
Wie groß ist die Ladung Q 4 , wenn die Stärke des elektrischen Feldes, das
nun
von den drei Ladungen Q 1, Q 2 und Q 4 verursacht wird, wieder im Punkt P (0 /6)
den Wert Null annimmt ?
d) Die Ladung Q 3 wird wieder im Punkt P3 in das Koordinatensystem eingefügt.
Zusätzlich befindet sich im Koordinatenursprung die Ladung Q 5 = 4 ⋅ 10 −10 C,
so dass nun insgesamt fünf Ladungen im Koordinatensystem existieren.
Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die auf die Ladung Q 5 wirkt.
Geben Sie die Richtung dieser Kraft an.
e) Die Ladung Q 5 wird nun vom Koordinatenursprung aus zum Punkt P (0/ 6)
verschoben.
1) Geben Sie den Betrag und die Richtubg der Kraft an, die im Punkt P (0 /6)
auf die Ladung Q 5 wirkt.
2) Welche Energie wird für die Verschiebung der Ladung Q 5 vom
Koordinatenursprung bis zum Punkt P (0 / 6) benötigt ?
Muß diese Energie dem System von außen zugeführt werden, oder wird
diese Energie freigesetzt ?
L ö s u n g e n
a)
Skizze
b) Die Feldstärke im Punkt P (0 / 6) ist die vektorielle Summe der Feldstärke der
einzelnen Ladungen Q 1, Q 2 und Q 3 in diesem Punkt. Folglich gilt:
E1 + E2 + E3 = 0
Da Q 1 und Q 2 von P (0/ 6) den selben Abstand d haben, gilt für die Beträge der
 
 
Feldstärken: E1 = E2 .
 
 
Für den Abstand d erhält man mit dem Satz des Pythagoras:
2
2
2
d =
(6 cm) + (8 cm) =
100 cm = 10 cm = 0,1 m
Die beiden Ladungen Q 1 und Q 2 sind gleich groß; es gilt also: Q 1 = Q 2 := Q 1,2
Damit erhält man für den Betrag der beiden Feldstärken:
Q 1,2
   
2 ⋅ 10 −8 C
V
=
= 17987
:= E
E1 = E2 =
A
s
m
   
4 π ε 0 d2
4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 V m ⋅ (0,1 m) 2
Aus der Zeichnung entnimmt man: sin α =
6
= 0,6
10
α = 36,87°
Außerdem gilt: χ = 2 α = 73,74°



 
 
Den Betrag der Feldstärke E1,2 = E1 + E2 läßt sich z. B. mit Hilfe



 
 
des Kosinussatzes bestimmen.


E1,2 =


 2  2
   
E1 + E2 − 2 ⋅ E1 ⋅ E2 ⋅ cos χ
 
 
   
   
mit E1 = E2 := E
   
folgt für den Betrag der Feldstärke E1,2


2
2
2 E 2 (1 − cos χ) = E ⋅ 2 (1 − cos χ)
E1,2 = 2 E − 2 E cos χ =




V
V
⋅ 2 (1 − cos 73,74°) = 21584
E1,2 = 17987
m
m


Die Feldstärke E3 der positiven Ladung Q 3 muß im Punkt P (0/ 6) den gleichen
Betrag haben wie die Feldstärke E1,2 . Sie ist dieser jedoch entgegengerichtet;
d.h. E3 = − E1,2 .
Q3


E1,2 =
4 π ε 0 r33


r3 =
⇔
1,536 ⋅ 10
4 π ⋅ 8,85
r3 =
−8
As
⋅ 10 −12 V m
Q3


4 π ε 0 E1,2


C
⋅ 21584
V
m
= 7,999 ⋅ 10 −2 m ≈ 8 cm
Fortsetzung von Aufgabe b
Die Ladung Q 3 ist 8 cm vom Punkt P (0 /6) entfernt. Weil sie positiv ist, und die
Richtung ihres Feldes im Punkt nach unten weist, muß sie sich auf der
y-Achse oberhalb von P befinden.
Die Ladung Q 3 befindet sich also im Punkt P3 = (0/ 14).
c) Die Ladung Q 4 befindet sich der gleichen Entfernung d4 = 8 cm vom
PunktP (0 / 6) entfernt wie zuvor die Ladung Q 3; allerdings befindet sich Q 4
auf der y-Achse unterhalb von P (0 / 6).
Wenn die Feldstärke in P wieder den Wert Null annehmen soll, muß das von
Q 4 verursachte Feld den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben wie
zuvor das Feld der Ladung Q 3. Dies ist nur möglich, wenn Q 4 den gleichen
Betrag und das entgegengesetzte Vorzeichen von Q 3 hat.
Die Ladung Q 4 beträgt also: Q 4 = − 1,536 ⋅ 10 −8 C.
d) Die elektrischen Felder E1 und E2 der Ladungen Q 1 und Q 2 haben im Koordinatenursprung den gleichen Betrag und die entgegengesetzte Richtung.
(Begründung: Q 1 = Q 2 = 2 ⋅ 10 −9 C und d1 = d2 := d = 8 cm )
Die Feldstärken von Q 1 und Q 2 heben sich im Koordinatenursprung auf.
Für die Kraft F(0/0) auf die positive Ladung Q 5 sind also nur die beiden
elektrischen Felder, der Ladungen Q 3 und Q 4 von Bedeutung.
Diese Kraft F(0/0) ist nach unten gerichtet, weil die positive Ladung Q 3 die
Ladung Q 5 abstößt und die negative Ladung Q 4 die Ladung Q 5 anzieht.
Für den Betrag der Kraft F(0/0) gil also:



    
1
E  + E  ⋅ Q =
F
=
F
+
F
=
 (0/0)  3  4
 3  4 5
4 π ε0

    
   
mit r3,5 = 0,14 m und r4,5 = 0,02 m folgt:


1
F(0/0) =
−12


4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10
As
Vm


Q  
Q 3

4
 
 
⋅
+
 ⋅ Q5
2
2
r4,5
 r3,5





1,536 ⋅ 10 −8 C
1,536 ⋅ 10 −8 C 

⋅
+
⋅ 4 ⋅ 10 −10 C
2
 (0,14 m) 2

(0,02 m)




F(0/0) = 1,409 N


Auf die Ladung Q 5 wirkt im Koordinatenursprung die Kraft
F(0/0) = 1,409 ⋅ 10 −4 N. Diese Kraft ist n a c h u n t e n g e r i c h t e t.
e) 1) F(0/6) = (E1 + E2 + E3 + E4) ⋅ Q 5
Nach Teilaufgabe a) gilt: E1 + E2 + E3 = 0
Damit folgt für den Betrag der Kraft F(0/6):
Q ⋅ Q 

    
 4  5
F(0/6) = E4⋅ Q 5 =
2

    
4 π ⋅ ε 0 ⋅ d(0/6)
Mit d(0/6) = 8 cm folgt:


1,536 ⋅ 10 −8 C ⋅ 4 ⋅ 10 −10 C
= 8,632 ⋅ 10 −6 N
F(0/6) =
−12 A s
2
4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10
⋅ (0,08 m)


Vm
Weil Q 4 negativ ist, wird Q 5 von Q 4 angezogen.
Im Punkt P (0 / 6) wirkt auf die Ladung Q 5 die
nac h unt e n ge r ic ht e t e
Kraft F(0/6) = 8,632 ⋅ 10 −6 N.
e) 2) Berechnung des Gesamtpotentials ϕges,U im Koordinatenursprung U
ϕges,U = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4
(Da das Potential eine skalare Größe ist werden die Einzelpotentiale
algebraisch addiert.)
Q
Q2
Q3
Q4 
1
1


ϕges,U =
⋅
+
+
+
r2,U
r3,U
r4,U 
4 π ε 0  r1,U


ϕges,U ≈ − 5470 V
Berechnung des Gesamtpotentials ϕges,P im Punkt P (0/ 6)
ϕges,P
ϕges,P =
1
4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12
As
Vm
ϕges,P =
Q
Q2
Q3
Q4 
1
1


=
⋅
+
+
+
r2,P
r3,P
r4,P 
4 π ε 0  r1,P




2 ⋅ 10 −9 C
2 ⋅ 10 −9 C
1,536 ⋅ 10 −8 C
1,536 ⋅ 10 −8 C 

⋅
+
+
−
 0,1 m

0, m
0,08 m
0,08 m


1
4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12
As
Vm
⋅
−9
4 ⋅ 10 C
≈ 360 V
0,1 m
Für die zu verrichtende Arbeit gilt:
WU,P = ϕges,P − ϕges,U ⋅ Q 5 = 360 V − ( − 5470 V) ⋅ 4 ⋅ 10 −10 C = 2,332 ⋅ 10 6 J




Um die Ladung Q 5 vom Koordinatenursprung zum Punkt P (0/ 6) zu bringen,
muß dem system die Energie WU,P = 2,332 ⋅ 10 −6 J zugeführt werden.