1 Inhaltliche Anforderungen für ein

Inhaltliche Anforderungen für ein Mathematikstudium an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe
Liebe Studierende,
wenn Sie Mathematik an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe erfolgreich studieren möchten,
sollten Sie die unten aufgeführten Inhalte aus der Schulmathematik der Sekundarstufe I sicher
beherrschen, da die Dozenten und Dozentinnen der Mathematik diese voraussetzen. Bei den
Aufgaben können Sie testen, ob Ihre Kenntnisse ausreichen. Sollten Sie kleinere Lücken feststellen,
empfehle ich Ihnen diese mit einen Nachschlagewerk zu beheben, z.B. Rolles, G. (Hg.)(2009): Duden,
Basiswissen Schule, Mathematik. Berlin. Sollten Sie größere Defizite feststellen oder Bedarf an
Übungsmaterial haben, empfehle ich Ihnen, Schulbücher für den Mathematikunterricht für die
Sekundarstufe I zu verwenden. Darüber hinaus bietet die Pädagogische Hochschule Karlsruhe derzeit
in den Wochen unmittelbar vor Vorlesungsbeginn im Wintersemester Brückenkurse in Mathematik
an, in denen Sie ihre Schulkenntnisse aus dem Mathematikunterricht der Sekundarstufe I
wiederholen, vertiefen und festigen können. Die meisten der folgenden Inhalte sind Gegenstand der
Brückenkurse in Mathematik der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe.
Sichere Schulkenntnisse reichen alleine aber im Allgemeinen für ein erfolgreiches Studium in
Mathematik nicht aus. Wichtig ist die Bereitschaft, die Inhalte der Lehrveranstaltungen stets vor- und
nachzuarbeiten. Dies gilt insbesondere deshalb, weil die Inhalte meistens aufeinander aufbauen und
auch die Methodik und das Tempo in den Lehrveranstaltungen vom Unterricht in der Schule
abweicht. Außerdem werden in vielen Lehrveranstaltungen Übungsaufgaben ausgegeben, deren
selbstständige Vorbereitung unbedingt notwendig ist. Neben Fleiß ist auch die Fähigkeit, sich in
abstrakte Inhalte einzuarbeiten notwendig. Wenn Sie die eben erwähnten Voraussetzungen
mitbringen, erhöhen sich die Chancen deutlich, dass Ihr Studium in Mathematik gut verläuft.
Ich wünsche Ihnen ein erfolgreiches Studium an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe!
Christian Stellfeldt
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1. Arithmetik
•
Was versteht man unter einem Dezimalsystem?
Aufgabe: Lesen Sie die folgende Zahl richtig vor.
3257050007000
Lösung:
•
Billionen
Milliarden
Millionen
Tausend
Einer
3
257
50
7
0
Kenntnisse der Zahlbereiche: natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen
Aufgabe: Geben Sie eine Zahl an, die eine reelle Zahl, jedoch keine rationale Zahl ist.
Lösung:
•
2 , π, e, …
Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz bezüglich der Addition und Multiplikation
reeller Zahlen
Lösung:
a) Kommutativgesetz: a + b = b + a bzw. a · b = b · a
b) Assoziativgesetz: a + (b + c) = (a + b) + c bzw. a · (b · c) = (a · b) · c)
c) Distributivgesetz: a · (b +/- c) = ab +/- ac oder (a +/- b) · c = ac +/- bc)
•
Teiler und Vielfache
Aufgabe: Sind die Ziffern 2, 3, 4, 5 oder 7 Teiler der beiden folgenden Zahlen? Lösen Sie die Aufgaben
ohne Taschenrechner:
a) 30
b) 28
Lösung:
a) 2 I 30, 3 I 30, 5 I 30
b) 2 I 28, 4 I 28, 7 I 28
•
Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9 und 10 im Dezimalsystem bei natürlichen Zahlen
Aufgabe: Sind die beiden folgenden Zahlen durch 2, 3, 5, 9 oder 10 teilbar? Lösen Sie die Aufgaben
ohne Taschenrechner.
a) 735690
b) 75402
Lösung:
a) Teiler sind: 2, 5 und 10
b) Teiler sind: 2, 3 und 9
2
Begründung:
•
•
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Einerziffer durch 2 teilbar ist.
•
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
•
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf „0“ oder „5“ endet.
•
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
•
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf „0“ endet.
Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Aufgabe:
a) Welche der folgenden Zahlen sind keine Primzahlen?: 1, 2, 3, 4, 9, 13, 17, 31, 51.
b) Stellen Sie die folgenden Zahlen als Produkt von Primzahlen dar: 60, 80, 144.
Lösungen: a) 1, 4, 9, 51
b) 60 = 5 · 3 · 2 · 2
80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5
100 = 2 · 2 · 5 · 5
2. Größen
•
Umrechnung von Längen-, Flächen- und Raummaßen
Aufgabe: Rechnen Sie in die angegebenen Größen um:
a) 1,2 ha in m² b) 7,75 l in cm³
Lösungen:
a) 1,2 ha = 120 a = 12.000 m²
b) 7,75 l = 0,00775 m³ = 7.750 cm³
3. Funktionen
•
Was ist eine Funktion oder Zuordnung?
Aufgabe: Ist die Zuordnung eine Funktion? Begründen Sie.
a) Parkgebühr → Parkdauer
b) Seitenlänge eines Quadrates → Umfang des Quadrates
Lösung: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer
Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge z zuordnet.
a) Keine Funktion. Hier zahlt man für mehrere Stunden manchmal die gleiche Gebühr, wodurch es
keine eindeutige Zuordnung ist und somit keine Funktion.
3
b) Ist eine Funktion. Hier wird jedem Umfang genau eine Seitenlänge zugeordnet, wenn die Seitlänge
vergrößert wird, vergrößert sich automatisch der Umfang → eindeuSge Zuordnung / FunkSon.
•
Definitions-, Ziel- und Wertemenge
Aufgabe:
Geben Sie die maximale Definitionsmenge, den entsprechenden Wertebereich und die Zielmenge der
folgenden Funktion an:
f(x) = x³ ?
Lösung:
D=R
Z=R
W = R (R = reelle Zahlen)
•
Proportionale Funktionen
•
Antiproportionale Funktionen
Die Ausflugskasse einer Hochschulgruppe enthält 840 €.
a) Wie viel Euro kann die Gruppe täglich ausgeben, wenn sie 4 (6, 8) Tage unterwegs ist? Und um
welchen Zuordnungstyp handelt es sich bei dieser Zuordnung (Anzahl der Tage→ Ausgaben pro Tag)?
b) Die Gruppe möchte pro Tag 120 € ausgeben. Wie viel Geld benötigen sie für die Ausflugskasse ,
wenn sie 5 Tage (8 Tage, 14 Tage) unterwegs sind? Um welchen Zuordnungstyp handelt es sich bei
dieser Zuordnung (Anzahl der Tage → Betrag der Ausflugskasse)?
Lösung:
a) Antiproportionale Zuordnung
Anzahl der Tage
4
6
8
Ausgaben pro Tag
210
140
105
b) Proportionale Zuordnung
•
Lineare Funktionen: Steigung, Steigungsdreieck,
Punkt-Steigungsform
Aufgabe: Geben Sie jeweils die Funktionsgleichung zu
den Geraden der Zuordnung x → y an, mit der sich
der y- Wert berechnen lässt.
Lösung:
Grün: y = 2
Blau: y = 2x+2 Rot: y = − 1 x − 1
2
4
•
Quadratische Funktionen
1. Aufgabe: Zeichnen Sie die Parabeln zu den Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem.
a) y = 2x² – 2,5
b) y = − 2 (x – ¾)² – ½
c) y = x(x − 2) − 3,5
Lösung:
Definition: Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
Fo y = ax² + bx + c
oder solcher,, die durch äquivalentes Umformen in diese Form
überführt werden kann, heißt allgemeine quadratische Funktion.
Funk
Diese kann umgewandelt werden
rden in die Scheitelform y = (x − d)² + c
sowie die Normalform y = x² + px + q.
•
Quadratische Gleichungen: a-b-ca
oder p-q-Formel
Aufgabe: Lösen
n Sie die folgenden Gleichungen ohne technische Hilfsmittel.
a) 6x² + 15 = 18x +3
b) 3x = 5x² + 6
c) −6x + 3x² = −3
Lösung:
a) 6x² + 15 = 18x + 3 → 0 = 6x² – 18x + 12 → (0 = x² − 3x + 2) → x₁ = 2 ; x₂ = 1
b) Diese Gleichung ist nicht lösbar, da der Wurzelausdruck negativ ist. Die Gleichung hat demzufolge
keine reelle Lösung.
c) −6x + 3x² = −3 → 0 = 3x² – 6x + 3 → ( 0 = x² − 2x + 1) → x = 1
4. Binomische Formeln, Potenzen, Wurzeln, Logarithmus und
Exponentialgleichungen
leichungen
•
1., 2. und 3. binomische Formel
Aufgabe: Bilden Sie mithilfe der binomischen Formeln ein Produkt
a) x 4 − 2x 3 + x 2
b) 225x² − 1
c) 36s² + 60st + 25t
5
Lösung:
a) (x² − x)²
•
b) (15x + 1) · (15x − 1)
c) (6s +5t)²
Potenzgesetze
1. Aufgabe: Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich.
a) 3ab³a – 5ba²b
b) w³ : w · 3
c) a³ · b · a²b
b) 3w²
c) a5b 2
Lösung:
a) a²b² · (3b – 5)
2. Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung so genau wie möglich.
a) x + 9 = 41
3
4
c) x = 2 −3
b) (x + 3) = 16
5
4
Lösung:
a) x = 5 32 = 2
•
b) x = 4 16 − 3 = −1
c) x = 2



− 3  ⋅
4
3 = 2− 4 = 1 = 1
24 16
Zehnerpotenzen
1. Aufgabe: Berechnen Sie mithilfe der Potenzgesetze ohne Verwendung eines Taschenrechners.
a) 9,23 · 10 4 – 2,41 · 10 4
b) 2 · 107 · 3 · 10 -5
c) −5,28 · 10 -4
Lösung der 1. Aufgabe:
a) 6,82 · 10 4 = 68.200
b) (2 · 3) · ( 107 · 10 -5 ) = 6 · 10² = 600
c) − 0,000528
2. Aufgabe: Schreiben Sie mithilfe der Zehnerpotenzen mit einer Stelle nach dem Komma.
a) 87.000
b) 0,0039
c) 3.480
b) 3,9 · 10 -3
c) 34,8 · 10²
Lösung der 2. Aufgabe:
a) 8,7 · 10 4
•
Rechnen mit Wurzeln
Aufgabe: Vereinfachen Sie:
a)
98
200
50
72
b)
27
48
c)
Lösung:
a)
7
10
b)
5
6
c)
3
4
6
•
Zusammenhang zwischen Potenz- und Wurzelgesetze
1. Aufgabe: Schreiben Sie die Ausdrücke als Potenz.
a)
9 4
7
b)
3  1 
4
 
2
Lösung der 1. Aufgabe:
a) 7
4
9
b) 4
−
2
3
2. Aufgabe: Schreiben Sie als Potenz und vereinfachen Sie.
a)
6
23
b)
10
x5
Lösung der 2. Aufgabe:
a)
2
b)
•
Logarithmus
x
Aufgabe: Bestimmen Sie a bzw. b.
a) log a
1
= −2
49
b) log 8b =
1
3
Lösung:
a) a−2 =
b)
•
1
83
1
1
1
→ 2 =
→ a=7
49
49
a
=b → b= 3 8 → b = 2
Exponentialgleichungen
Aufgabe: Bestimmen Sie x.
a) 102x = 0,1
b) 4 ⋅ 2 −2x +2 = 64
Lösung:
a) 2x · log 10 = log 0,1 → 2x =
log10
→ x = −0,5
log0,1
b) 2 −2x +2 = 16 → (−2x+2) · log 2 = log 16 → − 2x + 2 =
7
log16
= 4 → x = −1
log2
5. Geometrie
Für die Lösungen der Geometrieaufgaben lohnt es sich, auch mal in einem Schulbuch nachzuschauen.
•
Kreisfläche und -umfang
1. Aufgabe: Ein Kreisausschnitt hat den Radius 4,5 cm und den Mittelpunktswinkel 147°. Wie groß ist
sein Flächeninhalt, wie viel Prozent der Kreisfläche ist das? Wie lang ist der Kreisbogen?
2. Aufgabe: Ein Kreisausschnitt mit der Bogenlänge 14 cm hat den Mittelpunktswinkel 37°. Wie groß
sind sein Radius und sein Flächeninhalt?
Lösung der 1. Aufgabe:
a) A ≈ 25,98cm²
Anteil d. Ausschnitts an Gesamtfläche ≈ 41 %
b ≈ 11,5 cm
Lösung der 2. Aufgabe:
b) r ≈ 21,7cm
A ≈ 152,0cm²
•
Scheitel-, Stufen-, Wechsel-, Nebenwinkel
•
Konstruktionen (nur) mit Zirkel und Lineal (Grundkonstruktionen)
Aufgaben:
a) Konstruieren Sie (nur mit Zirkel und Lineal) die Mittelsenkrechte einer Strecke.
b) Konstruieren Sie in einem Dreieck (nur mit Zirkel und Lineal) die Winkelhalbierenden.
•
Besondere Punkte und Linien des Dreiecks
Aufgabe: Konstruieren Sie in einem beliebigen Dreieck den Inkreis.
•
Kongruenzsätze
Aufgabe: Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind und welche nicht. Begründen
Sie.
a) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und einem
weiteren Winkel übereinstimmen.
b) Zwei gleichschenklige Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in der Länge eines Schenkels
und in einem Basiswinkel übereinstimmen.
Lösung:
a) Ja, durch diese Angaben lässt sich ein Dreieck eindeutig konstruieren, da eine Seite und alle Winkel
gegeben sind (wsw).
b) Ja, durch diese Angaben lässt sich ein Dreieck eindeutig konstruieren, da zwei Seiten und ein
Winkel gegeben sind (Ssw).
8
•
Zentrische Streckung
Aufgabe:
Zeichnen Sie ein Dreieck und strecken Sie es an einem beliebigen Punkt Z mit dem Streckfaktor
k = −1,5.
•
Sinus, Cosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
Aufgabe:
In einem Dreieck beträgt b =5,9 cm, a = 3,8 cm und γ = 90°. Berechnen Sie die Länge der Seite c sowie
α und β.
Lösung:
c ≈ 7,0 cm; β ≈ 57,2° ; α ≈ 32,8°
9