Thermodynamik I Aufgabe 1.0 Partielle Ableitungen, vollständige

Thermodynamik I
Aufgabe 1.0
Partielle Ableitungen, vollständige oder exakte Differentiale
A)
a) Bestimmen Sie von der Funktion
f (x, y, z(t)) = x2
sin(xy)
z(t)
die partiellen Ableitungen
∂f
,
∂x
b)
∂f
,
∂y
∂f
,
∂z
∂f
!
∂t
1. Zeigen Sie, dass jede zweifach stetig differenzierbare komplexe Funktion f (z) mit
z = x + iy, wobei i die imaginäre Einheit und x und y reellen Zahlen x und y sind,
die Laplacesche Differentialgleichung
∆f = 0
(1)
erfüllt! Darin ist der Laplace-Operator definiert als
∆=
∂2
∂2
+
.
∂x2 ∂y 2
(2)
2. Zeigen Sie mit der Zerlegung der Funktion f (z) in Realteil und Imaginärteil
f (z) = ϕ(x, y) + i ψ(x, y),
(3)
dass dann auch die rellen Funktionen ϕ(x, y) und ψ(x, y) die Laplacegleichungen
∆ϕ = 0 und ∆ψ = 0
erfüllen!
3. Zeigen Sie, dass die durch (1) und (3) definierten Funktionen ϕ(x, y) und ψ(x, y)
die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen
∂ψ
∂ϕ
=
∂x
∂y
erfüllen!
1
und
∂ϕ
∂ψ
= −
∂y
∂x
(4)
B)
a) Mit der allgemeinen Gaskonstanten R lautet die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
p V = nRT.
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen des Volumens V nach dem Druck p, der Temperatur T sowie der Stoffmenge n.
b) Für ein reales Gas hat Van der Waals die folgende thermische Zustandsgleichung vorgeschlagen:
(
)
a
p + 2 (v − b) = RT
v
Darin sind die Konstanten a, b Binnendruck und Kovolumen sowie v und R das spezifische Volumen und die spezielle Gaskonstante des Gases.
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen des Druckes p nach dem Temperatur und dem
Volumen!
C) Seien x, y, z, w spezifische Zustandsgrößen, von denen jede von jeweils zwei anderen
abhängt.
Man beweise und nenne notwendige Einschränkungen für die Gültigkeit von:
(
a)
(
b)
∂x
∂y
∂x
∂y
)
=(
z
) (
z
∂y
∂z
1
)
∂y
∂x z
) (
x
∂z
∂x
)
= −1
y
Sei ferner w eine weitere spezifische Zustandsgröße, die von jeweils zwei aus der Liste
x, y, z abhängt. Man beweise
(
c)
∂x
∂y
)
(
=
z
∂x
∂y
)
(
∂x
+
∂w
w
) (
y
∂w
∂y
)
z
D)
a) Zeigen Sie, dass die Differentialform δv = 3x2 y 2 dx + 2x3 y dy ein vollständiges oder
exaktes Differential darstellt!
b) Zeigen Sie, dass die Differentialform δw = x dy kein totales Differential ist!
c) Sind die Ergebnisse der Kurvenintegrale
∫⃗r2
∫⃗r2
δv
bzw.
⃗
r1
δw
⃗
r1
vom Weg in der Ebene ⃗r1 = (x1 , y1 ) → ⃗r2 = (x2 , y2 ) abhängig oder nicht?
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