Grundlagen-Wissen

Fachschaft Mathematik der
Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg
Auf den folgenden Seiten sind in kurzer Form die Sachverhalte der
Algebra dargestellt, mit einigen relevanten Übungsbeispielen, in der Regel
nach Schwierigkeitsgrad geordnet.
Sie können die Blätter benutzen, als Vorbereitung für die FOS/BOS (dann
sind die #-Aufgaben noch nicht von Belang) oder als Begleitung und
Wiederholung zum Unterricht in der 11. Klasse oder 12. Klasse BOS.
DAS ZAHLSYSTEM
Im Verlauf der Schulzeit haben Sie verschiedene Zahlbereiche mit den dazu gehörenden
Rechenoperationen kennen gelernt. Immer, wenn die Zahlen für eine der Rechenoperationen
nicht ausreichten, wurde durch Hinzufügung neuer Zahlen der Zahlbereich erweitert.
So entstanden aus den natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen die ganzen Zahlen, usw.
Die meisten Lehrer benutzen die folgenden Symbole oder auch die entsprechenden in ( ):
A⊂B
C⊃D
bedeutet, dass die Menge A in B enthalten oder gleich B ist
hier enthält C die Menge D
4∈ Z
bedeutet, dass die Zahl 4 Element der ganzen Zahlen Z ist
− 4∉ N
bedeutet, dass die Zahl − 4 nicht zu den natürlichen Zahlen gehört
= {1; 2 ;3 ;...} (N*)
N
natürliche Zahlen
{0;1; 2;...} (N)
Z = {...;−2;−1; 0 ; 1; 2...}
N0 =
1
Q
R
ganze Zahlen
0
z.B. ∈ Q
0, 3 ∈ Q rationale Zahlen ( Brüche )
z.B. 2 ∈ R
π ∈R
7
R
natürliche Zahlen mit 0
+
N
reelle Zahlen
nur die positiven reellen Zahlen
R\ {1;2}
R ohne die Zahlen 1 und 2
N
⊂
N0
⊂
Z
⊂
Q
⊂
R
Alle Zahlbereiche enthalten unendlich viele Zahlen und sind geordnet, das heißt,
die Zahlen lassen sich der Größe nach anordnen:
3< 4
7 ≥ 2,5
3 ist kleiner als 4
7 ist größer oder gleich 2,5
Um sich Zahlenmengen besser vorstellen zu können, zeichnet man einen Zahlenstrahl
R
−1
0
1
2
In Zukunft werden Sie es im Wesentlichen mit den reellen Zahlen zu tun haben. Daher noch
ein paar wichtige Begriffe dazu:
Teile des Zahlenstrahls der reellen Zahlen bezeichnet man als Intervalle:
[2 ; 4]
heißt geschlossenes Intervall, dies sind alle reellen Zahlen zwischen 2 und 4
{
}
jeweils eingeschlossen, eine andere Schreibweise wäre x ∈ ℝ 2 ≤ x ≤ 4
]1; 5 [
bei diesem Intervall gehören 1 und 5 nicht dazu, deshalb offenes Intervall
Dass die Zahl 0 etwas Besonderes darstellt, wissen Sie sicherlich, trotzdem möchte ich Sie noch
einmal darauf hinweisen:
0⋅⋅a = 0
wobei a eine Zahl oder ein ganzer Term sein kann
0
0:a =
=0
a
a
a:0 =
=
da streikt sogar der Taschenrechner: durch Null teilen geht nicht !!!
0
Diese drei Tatsachen werden Sie im Verlauf der FOS/BOS immer wieder benötigen.
1
FOS/BOS Augsburg
RECHNEN
Begriffe:
Addition:
4
+
6
=
10
Summand plus Summand ist gleich
Summe
Subtraktion:
4
−
6
=
Minuend minus Subtrahend
Differenz
Multiplikation:
4
⋅
Faktor mal
Produkt
Division:
4
:
−2
6
=
Faktor
6
=
24
4
6
Dividend dividiert durch Divisor
Quotient
Beachte: Statt Differenz sagt man auch Summe, wenn man (− 6) als negative Zahl auffasst.
Schon an den Bezeichnungen erkennt man, dass man Summanden und Faktoren
vertauschen darf, nicht aber Minuend und Subtrahend bzw. Dividend und Divisor.
Potenz:
35 = 243
dies ist eine Kurzschreibweise für 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
Ganz wichtig ist die Reihenfolge der Rechenoperationen:
!!! Klammern vor Potenzen vor Punkt ( ⋅ ; : ) vor Strich ( − ; + ) !!!
(Innerhalb der Klammer dann in derselben Reihenfolge)
4 ⋅ 7 2 − 2(34 − 3 ⋅ 6 )
= 4 ⋅ 49 − 2(34 − 18 )
2
2
= 196 − 2 ⋅ 16 2
= 196 − 512 = −316
( vor Klammern oder Buchstaben kann man den Mal-Punkt weglassen )
Weiter sind die folgenden Vorzeichenregeln zu beachten:
Bei der Multiplikation gilt: ( + 7 ) ( − 4 ) = ( − 28 )
( − 4 ) ( −3 ) = ( +12 )
Zusammen mit Klammern: a + ( b − c ) = a + b − c
a −( b − c ) = a − b + c
Ebenfalls oft gebraucht wird das Distributivgesetz: a( b + c ) = ab + ac
Von links heißt es Ausmultiplizieren
26( 7 − 4b ) = 182 – 104b
Von rechts heißt es Ausklammern
oder Faktorisieren
21ab + 9bc = 3b( 7a + 3c )
2
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BINOME
( 3 + 4x ) ( 2x + 5 ) = 3 ( 2x + 5 ) + 4x ( 2x + 5 ) = 6x + 15 + 8x2 + 20x = 8x2 + 26x+15
Man multipliziert jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten Klammer.
Besonders wichtig sind dabei die binomischen Formeln:
(a + b ) 2
= a 2 + 2ab + b 2
(a − b ) 2
= a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Produkt ↔
Summe
Das Umwandeln einer Summe in ein Produkt oder umgekehrt eines Produkts in eine Summe
wird in Zukunft eine wichtige Rolle spielen, da je nach Aufgabe mal die eine oder die andere
Darstellung günstig bzw. nötig ist.
Beispiele:
1. (6s − 3t ) 2 = (6s) 2 − 2 ⋅ 6s ⋅ 3t + (3t ) 2 = 36s 2 − 36st + 9 t 2
2. 25 + 4t + 0,16 t 2 = (5 + 0,4t ) 2
Zuerst Quadrate suchen, dann 2ab überprüfen
Aufgaben:
1.
2
(0,3x + 4 y )2
(14a − 3b )2
3. x 2 + 2,4 x + 1,44
1
1
4. a 2 − a +
2
16
2
5. 4 x + 12 xy + 9 y 2
6. (7a + 3b)(7a − 3b)
7. 625x 2 − 169 y 2
8. 4 x 2 − xy + 4 y 2
1 2 1 2
9.
d + c − 0,2cd
25
4
2
10. x − 2 x + 1
11. x 2 − x − 6
12. x 2 + 3x + 2
3
FOS/BOS Augsburg
P O T E N Z E N UND W U R Z E L N
Definition:
an = a ⋅a ⋅⋅⋅a
n − mal
a heißt Basis, n Exponent
Beispiel: 6 4 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 1296
4-mal
Aus der Definition ergeben sich die Rechenregeln für Potenzen (siehe Formelsamm.).
Die folgenden Regeln sollten Sie sich aber unbedingt merken:
a 0 = 1 und a 1 = a
Lernen!
Zusammenfassen kann man nur Potenzen mit gleicher Basis, z.B.:
a n ⋅ a m = a n+m
n m
(a ) = a
2 3 ⋅ 2 2 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2)(2 ⋅ 2) = 2 5 = 32
n ⋅m
(2 3 ) 2 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2)(2 ⋅ 2 ⋅ 2) = 2 6 = 64
oder mit gleichen Exponenten
a n ⋅ b n = (ab) n
2 2 ⋅ 3 2 = 6 2 = 36
Wenn man auch oft nur natürliche Zahlen als Exponenten hat, so gilt diese
Einschränkung keineswegs, im Gegenteil: Wichtig sind auch
negative
und
rationale Exponenten:
a −n =
1
1
an = n a
an
( )
2
3
Wurzelziehen und Potenzieren darf man vertauschen:
27 2 = 3 27 = 3 2
Bei irrationalen Exponenten bleibt nur noch der Taschenrechner .
Die folgenden Aufgaben sollten Sie wie Vokabeln trainieren, eine Seite zugedeckt.
x2 x3
x 4 + 16 =
= x5
3
(x )
(a )
3 3
= x9
2m 3
= a 6m
x3 : x5
= x −2 =
5x x
1
x2
y n −1 y m +1 = y n + m
3r 2 r
(b )
= b
10 − 2
=
5 0
(x + 3 )
6r 2
1
= 0,01
100
= 1
x 5 = −32 ⇒ x = − 2
(− 2)
7
2
2
= 2
= 7
−2
0
hat keine Lösung in IR
5x
1
0,1−2 =
= 100
0,12
1
x
=
x( x + xy) −1 =
x(1 + y ) 1 + y
3
 
4
n
a
=
−2
2n
5 2 ⋅ 32
=
4 2 16
=
9
32
=
a2
= 15 2 = 225
7 2 ⋅ 33 =
49 ⋅ 27 = 1323 Zusammenfassen nicht möglich
53 − 5 2 =
125 − 25 = 100 Zusammenfassen nicht möglich
2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24
Zusammenfassen nicht möglich
2 3 + 2 3 = 2 ⋅ 2 3 = 16
Beachte aber , die Gleichung x 2 = 5 hat zwei Lösungen : x1, 2 = ± 5
4
FOS/BOS Augsburg
BRUCHTERME
Ein Bruchstrich steht für „ : „ oberhalb des Bruchstrichs steht der Zähler,
unterhalb der Nenner.
1. Definitionsmenge: Bei Bruchtermen darf der Nenner nicht 0 werden:
2x − 3
2x − 3
D = ℝ \ {−2} 2
D = ℝ \ { 3, −3}
Beispiele
x+2
x −9
2.
Erweitern/Kürzen: Wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl ≠ 0 multipliziert
oder dividiert, so ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Wenn man allerdings mit Termen erweitert oder kürzt,
so kann sich dadurch die Definitionsmenge verändern.
Beispiele:
14 2 1,3 1,3 ⋅ 4 ⋅10
52
1.
=
=
=
= 0, 052
21 3 25 25 ⋅ 4 ⋅10 1000
x + 12 ( x + 12)( x − 4)
gilt nur für x ≠ 4
=
2.
2 x − 7 (2 x − 7)( x − 4)
3.
x3 + 2 x 2 − 4 x − 8 ( x 2 − 4)( x + 2)
=
mit D = ℝ \ { 1; −2}
2 x2 + 2 x − 4
(2 x − 2)( x + 2)
gekürzt
3.
x2 − 4
( wäre
2x − 2
D = ℝ \ {1} ) mit "
"
Addition / Subtraktion: zwei Brüche kann man nur addieren bzw. subtrahieren, wenn sie
den gleichen Nenner haben (Hauptnenner)
Beispiele:
1 5 6 2 5 3 4 1
1.
+ −
= + − = =
zuerst geeignet erweitern
4 8 16 8 8 8 8 2
bzw. kürzen, dann das Ergebnis soweit wie möglich kürzen
2 x + 3 x + 4 (2 x + 3) x ( x + 4) ⋅ 2 2 x 2 + 5 x + 8
+ 2 =
+
=
D = ℝ \ {0}
2x
x
2 x2
2x2
2 x2
x +1
x2
x +1
x2 ( x + y)
x + 1 − x3 − x2 y
3. 2
−
=
−
=
x − y 2 x − y x 2 − y 2 ( x − y )( x + y )
x2 − y2
2.
D = { x ∈ ℝ x ≠ ± y}
4.
Multiplikation/Division: Einfach Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen.
Dabei ist es u.U. sinnvoll vorher zu kürzen.
Beispiele:
3a − x 2 x + y 6ax + 3ay − 2 x 2 − xy
1.
⋅
=
2− x
3x
6 x − 3x2
D = ℝ \ {2} D = ℝ \ {0} D = ℝ \ {0; 2}
x2
x 2 − 1 x 2 ( x + 1)( x − 1) x + 1
2.
⋅
=
=
nur für D = ℝ \ { 1;0}
1− x 2x2
− ( −1 + x ) ⋅ 2 x 2
−2
2
4 2 x 7 14 x 7 x
3.
x: =
⋅ =
=
Man teilt durch einen Bruch, indem man
3 7
3 4
6
3
mit dem Kehrwert malnimmt
5
FOS/BOS Augsburg
AUFGABEN
BRUCHTERME
Vorweg noch ein paar eigentlich einfache Aufgaben mit Lösungsweg:
1
2 2a 2 2(1 + a 2 )
1. 2 ⋅ + 2a = +
=
a
a
a
a
23
23
1
: 46 =
=
3
3 ⋅ 46 6
2.
3. 6b :
3x 6b ⋅ 7 y 14by
=
=
7y
3x
x
A) Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Terme für x
4.
3
x−7
a
2 x − 14
5.
6.
2
y
0,2 x + a
7.
24 x
5,4 x 2 + 19
B) Kürzen Sie soweit wie möglich:
76
8.
57 b
4x 2 − y 2
10.
6 x − 3y
26ab
9.
39a
12a 3 bc 2
11. 2 2 4
3 ab c
C) Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie soweit wie möglich:
a 2a
+
2 3
pq
q2
16.
+
p+q p−q
4 3
−
a 5
a
17. x + 2ax
4
12.
20.
1
4
x− y
7
3
3
2
18. x − x
2
b
3
3
+
b+2 b−2
2 x + 3 y 3x − 7 y
−
19.
4x
6y
p  p−q
 1 1 1
22.  +  ⋅
23.  + 1 ⋅
 x z x + z
q  p
13.
t 2 ts
:
s2 r2
21.
14.
17ab
⋅ 5xy 2
2
15x y
15.
Die Lösungen dazu sind etwas durcheinander geraten, hoffentlich finden Sie sie wieder:
A)
{
D = ℝ \ − 7; 7
}
D = ℝ \ {7}
B)
2x + y
3
4
3b
C)
20 − 3a
5a
7
a
6
3b − 4
x
2b
q p2 + q2
p2 − q2
1
xz
p2 − q2
pq
(
)
D = ℝ \ {− 5a}
D=ℝ
2b
3
4a 2
3bc 2
3x − 28 y
21
6b
b −4
9a
x
4
9 y 2 + 20 xy − 6x 2
12xy
tr 2
s3
17aby
3x
6
2
FOS/BOS Augsburg
LINEARE GLEICHUNG EN
Beispiele:
1. 5x + 3x − 3( 2x − 5x) + 4 = x
8x + 9x + 4
= x
16x
=−4
x
= − 0,25
ausmultiplizieren
alle x auf eine Seite und zusammenfassen
durch den Faktor vor x teilen
Ziel der Umformung ist ein Term der Art:
⋅
x=
Term ohne x
Term ohne x
Zum Schluss noch durch den Term
teilen. Da dieser Term nicht 0 werden darf,
kann eine Fallunterscheidung notwendig sein, wenn die Gleichung Formvariable
enthält, dies sind Buchstaben, die für bestimmte noch unbekannte Zahlen stehen:
1. Fall
≠0
2. Fall
=0
2.
12 x − 3(ax + 6) = 24
12 x − 3ax = 42
x ausklammern
 42   14 
(12 − 3a ) x = 42 ⇒ für a ≠ 4 ⇒ L = 

=
12 − 3a   4 − a 
für a = 4 ⇒ 0 x = 42 ⇒ L = { } da immer 0 x = 0!
Aufgaben
1. 314 − 5⋅89 + x + 470 = 4⋅17⋅25
2. 45 − 13 − 23 + 15 −19 + 8 = x
3. 74 − (12 + x) = 15
4. 17 − 3 ( x + 5 ) = 15
5. 18 = 6 − 2 (x + 11)
6. 8 + 2 (x − 3) −3 ( 2x − 7 ) = 0
7. 74 − [ 12 − ( 19 + ( 36 − 40 + x ))] = 100
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf . a,b∈ R .
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
x + 8a = 10b
x + 5a = 17a − 34
a − x = b − 2x
3x + 8a = 17a − 6x
2a −10x = a − 2 ( b − 8x )
7 ( x + 2x ) + a = 10x + a
x + ( 5a − 10 ) − ( 5x + 11 ) = x − ( 3x + 2a −1 )
Bei den folgenden Gleichungen ist die Lösung abhängig von a,b,k ∈ R .
15. ax − 32 = 14
16. 3ax + 14 = 53
17. kx − 13b = 0
#18. x − ax + 14b = 5
#19. 2 ( x + bx ) + 3a = 14
7
FOS/BOS Augsburg
LÖSUNGEN
Binome:
1. 0,09 x 2 + 2,4 xy + 16 y 2
7. ( 25x + 13y)(25x − 13y)
2. 196a 2 − 84ab + 9b 2
8. ( 2x ) 2 − xy + (2 y) 2 kein Binom ( xy statt 8xy!)
3. ( x + 1,2) 2
1 
1
9.  d − c 
2 
5
10. ( x − 1) 2
2
1

4.  a − 
4

5. ( 2 x + 3 y ) 2
2
6. 49a − 9b
2
11. ( x + 2)( x − 3)
2
12. ( x + 1)( x + 2)
lineare Gleichungen:
1. L = {1361}
2. L = {13}
3. L = {47}
"−" vor der Klammer!
 13 
 alle Glieder in der Klammer multiplizieren
 3
4. L = −
5. L = {−17}
6. L = {5,75}
7. L = {23}
8.
9.
10.
11.
x
x
x
x
= 10b − 8a
= 12a − 34
=b−a
=a
a + 2b
26
12. x =
13. 11x = 0 L = {0}
7
2


14. L =  a −11
 46 

a 
13 
16. für a ≠ 0: L =  
a
13b 
17. für k ≠ 0: L = 

 k 
15. für a ≠ 0: L = 
 5 − 14b 

 1− a 
18. für a ≠ 1: L = 
14 − 3a 

 2 + 2b 
19. für b ≠ − 1: L = 
für a = 0: L = {}
für a = 0: L = {}
für k = 0 und b ≠ 0:
L = {} ( 0x = 13b )
für k = 0 und b = 0:
L = R ( 0x = 0 )
5
:
L =R ( 0x = 5 − 14b)
14
5
für a = 1 und b ≠
L = {}
14
14
für b = − 1 und a =
: L=R
3
14
für b = − 1 und a ≠
: L = {}
3
für a = 1 und b =
8
FOS/BOS Augsburg
QUADRATISCHE GLEICHUNGEN
Quadratische Gleichungen (d.h. x kommt in der zweiten Potenz vor) kann man in drei
verschiedene Grundformen bringen
1. reinquadratisch: 1.1 x 2 = 9 ⇒ x 1 = 3 x 2 = −3 Wurzel ziehen (2 Lösungen !!!)
1.2 x 2 + 10 = 0 ⇔ x 2 = −10 hat keine Lösung
1.3 x 2 − a 2 − 2ab − b 2 = 0 ⇒ x 2 = (a + b) 2 ⇒ x 1 = a + b x 2 = −(a + b)
2. faktorisierbarer Fall: hierbei macht man sich zunutze, dass 0⋅(irgendetwas) = 0 ist
3
2.1 4 x 2 + 3x = 0 ⇒ x (4 x + 3) = 0 ⇒ x 1 = 0 x 2 = −
x ausklammern!
4
2.2 4,5 ( x + 2)( x − 3) = 0 ⇒ x 1 = −2 x 2 = 3
die Gleichung ist bereits in
Linearfaktoren zerlegt
ax 2 + bx + c = 0
3. allgemeine Form:
die Lösung erfolgt mit Hilfe der
„Mitternachtsformel“:
x 1, 2
Beispiele: x 2 − 4x − 12 = 0 ⇒ x 1, 2 =
Lernen!!!
4 ± 16 − 4(−12)
⇒ x 1 = 6 x 2 = −2
2
0,5x 2 + 5kx + 8k 2 = 0 ⇒ x 1, 2 =
⇒ x 1 = −2 k
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
− 5k ± 25k 2 − 4 ⋅ 0,5 ⋅ 8k 2
⇒ x 1, 2 = −5k ± 3k
1
x 2 = −8k
Aufgaben:
1.
x 2 − 12 = 0
2.
x2 + 9 = 0
3.
9 x 2 − 16 = 0
4.
x 2 − 1,44 = 0
13. 12 x 2 − 15x = (3x − 4) 2 + 104
14. 3x 2 = x ( x − 4)
15. 7 − ( x − 3) 2 = 6 x + 25
2
16. x 2 − p 2 = 0
2
17. x 2 − 4ax − 5a 2 = 0
2
18. x 2 − 2ax + a 2 − a = 0
5. 3x − 4 x − 7 = 0
6. − 2 x + 5 x + 3 = 0
7. 3x − 4 x = 0
#19. ax 2 + bx = 0
2
8. 13x + 7 x = 0
#20. ax 2 = (p + 1) 2
2
9. 3x + x = 7
#21. p 2 x 2 − 3px + 2 = 0
10. 7 x = 4 − x 2
#22. m 2 x 2 − 2mx 2 + x 2 = a 2
11. 2 x 2 = 2( x + 8)
#23. 4ax 2 + 4ax − x − 1 = 0
12. ( x + 2) 2 + 4 = 10 x
#24. 9mx 2 = 9 x 2 + x (2 x − m)
9
FOS/BOS Augsburg
LÖSUNGEN
Quadratische Gleichungen
{
}
1. L = − 2 3 ; 2 3 = {− 3,46 ; 3,46}
2. L = { }
 4 4
3. L =  − ; 
 3 3
4. L = {− 1,2 ;1,2}
ordnen, ausklammern!
15. L = { }
16. L = {p,−p}
( − x 2 = 27)
für p = 0 x 1, 2 = 0 doppelte Lös.
17. L = {− a;5a}
für a = 0 x 1, 2 = 0 doppelte Lös.
{
18. L = a + a ; a − a
1

5. L =  − 1 ; 2 
3

6. L = {− 0,5 ; 3}
} für a = 0 x
1, 2
=0
b

19. L = 0 ; − 
nur für a ≠ 0
a

 p + 1 p + 1
20. L = 
;−
 nur für a > 0
a 
 a
 4
7. L = 0 ; 
ausklammern!!
 3
13 

8. L = 0 ; −  = {0 ; − 1,86}
7

9. L = {− 1,7;1,37 } ordnen!
1 2 
21. L =  ; 
nur für p ≠ 0
p p
a 
 a
22. L = 
;−
 nur für m ≠ 1 ( bin. Formel!)
 m − 1 m − 1
10. L = {0,53,−7,53}
1

23. L = − 1; 
4a 

11. L = {3,37;−2,37}
12. L = {2 ; 4}
13. L = {− 8 ; 5}
14. L = {0 ; − 2}
nur für a ≠ 0
zuerst bin. Formel!
m 
11

24. L = 0 ; −
, ausklammern ! (9m − 11) x 2 + mx = 0
 nur für m ≠
9m − 11
9

für m = 0 dopp Lösung
Häufiger sind auch Aufgaben der Art:
Bestimmen Sie a so, dass die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat:
x 2 + ax + 4 = 0
x 1, 2 =
− a ± a 2 − 16
hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante D,
das ist der Term unter der Wurzel, Null ist
2
also a 2 − 16 = 0 ⇒ a 1, 2 = ±4
Aufgaben
25. 2 x 2 + (a + 8) x + a + 24 = 0
26. 25x 2 − 7ax + 49 = 0
Lösungen
a 1 = −16 a 2 = 8
a 1 = 10 a 2 = −10
Für weitere Übungen ist das Buch von
Volker Altrichter : Wiederholung Algebra , Stark Verlag, zu empfehlen
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UNGLEICHUNGEN
Lineare Ungleichungen:
5x − 8( x − 7) > 9
5x − 8x + 56 > 9
vorgehen wie bei Gleichungen
− 3x > −45 : −3 Multipl. oder Division mit negativer Zahl ⇒
x < 15
Zeichen drehen !!!
Die Lösungsmenge ist ein Intervall L = ] − ∞;15 [
15
Mit Formvariablen wird eventuell eine Fallunterscheidung nötig:
( x + 3)(5 − a )
<2
5x + 15 − ax − 3a < 2
(5 − a ) x
< −13 + 3a
: (5 − a ) dieser Term kann pos. oder neg. sein
3a − 13
5−a
3a − 13
für a > 5 ⇒ x >
5−a
für a = 5 ⇒ 0 x < 2
1.Fall : (5 − a ) > 0 also für a < 5 ⇒ x <
2.Fall :
3.Fall :
Bruchungleichungen sind einfach, wenn man sie auf die Form
z. B für a = 6 ⇒ x > −5
L = IR
Zähler
> 0 oder < 0 bringt
Nenner
2 x − 10
>0
x+4
1.Fall : Zähler und Nenner > 0 ⇔ 2 x − 10 > 0 und x + 4 > 0 ⇔ x > 5 und x > −4 ⇒ L1 = ] 5; ∞ [
oder
x < 5 und x < −4 ⇒ L 2 = ] − ∞;−4 [
2.Fall : Zähler und Nenner < 0 ⇔
L = L1 ∪ L 2
Ein Bruch ist negativ, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben
quadratische Ungleichungen zuerst auf eine der beiden folgenden Formen bringen
1. x 2 ≤ 36 ⇔ −6 ≤ x ≤ 6
bzw.
.L = [− 6;6]
x 2 ≥ 36 ⇔ x ≤ −6 oder x ≥ 6 bzw. L = ]− ∞; : −6] ∪ [6; ∞[
2. − x 2 + 4 x − 3 > 0
Lernen!!!
diese Ungleichung löst man am einfachsten, indem man die dazu
gehörende Parabel betrachtet: zuerst die Nullstellen x1 = 1 x 2 = 3
wegen − x 2 ist die Parabel nach unten geöffnet
>0 bedeutet: gesucht sind die x-Werte, für die Parabel oberhalb der
x-Achse liegt
1
3
L = ]1;3 [
Alle obigen Beispiele gelten entsprechend für alle Zeichen < , > , ≤ , ≥
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AUFGABEN UNGLEICHUNGEN
Lineare Ungleichungen:
Lösungen:
1. 2 x − 7 > 3
2. 3 + x < 4
3. 40 − x > 8
1. x > 5
2. x < 1
3. x < 32
2
4. x >
3
5. x > − 1
6. x > 4
8
7. x ≥
5
4. 6 − 3x < 4
5. 3x − 4 > − 7
6. x + 4 < 2 x
7. 12 − 6 x ≤ 4 − x
8. 3( x − 1) > 7 − 2 x
8. x > 2
9. 4 − 3(3x + 5) < 6 x − 8
9. x > −
10. 6 x + 4(4 − 2 x ) ≥ 5x − 6
10. x ≤
1
5
22
7
Bruchungleichungen:
3
>0
x−4
x −1
12.
<0
x
3
# 13.
>1
x+2
11.
11. x > 4
12. 0 < x < 1
13. − 2 < x < 1
x+2
>0
x −1
x
# 15.
≥0
x+4
# 14.
14. x < −2 oder x > 1
15. x < −4 oder x ≥ 0
Quadratische Ungleichungen:
hier sind die Lösungen mal in
Intervallschreibweise angegeben
16. ]− 5;5[
17. ]− ∞;−2] ∪ [2; ∞[
18. L = ℝ
19. ]− ∞;1] ∪ [4; ∞[
20. [2 ;3]
16. x 2 − 25 < 0
17. x 2 − 4 ≥ 0
18. 7 − 21x 2 < 28
# 19.
x 2 − 5x + 4 > 0
# 20.
x 2 − 5x + 6 ≤ 0
# 21. 5x + x
# 22.
2
21. L = {
+ 36 < 2
[
40 − x 2 − 2 5 ⋅ x ≥ 0
}
22. − 4 5; 2 5
12
]
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