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Kategorien
Definition 1.1. Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse von Objekten Obj(C)
und zu je zwei Objekten X, Y ∈ Obj(C) sei eine Menge M or(X, Y ) gegeben, die auch
Morphismenmenge genannt wird. Man schreibt auch f : X → Y für f ∈ M or(X, Y ).
Desweiteren soll eine Verknüpfung von Morphismen
◦ : M or(X, Y ) × M or(Y, Z) → M or(X, Z)
(f, g) 7→ g ◦ f
definiert sein. Diese Verknüpfung ist assoziativ. Es soll in jeder Menge M or(X, X)
ein fester Morphismus idX ∈ M or(X, X) gewählt worden seien mit folgender Eigenschaft:
∀Y ∈ Obj(C) : ∀f : X → Y : f ◦ idX = f ∧ ∀f : Y → X : idX ◦ f = f
Beispiel 1.2. Beispiele für Kategorien sind:
1. Die Kategorie SET der Mengen. Objekte sind hierbei Mengen und Morphismen Mengenabbildungen. Die Verknüpfung ist durch die Komposition von
Objekten gegeben.
2. Die Kategorie K − VECT der K-Vektorräume (für einen gegebenen Körper
K). Objekte sind hierbei K-Vektorräume und die Morphismen sind lineare
Abbildungen.
3. Die Kategorie GROUPS der Gruppen. Objekte sind hierbei Gruppen und die
Morphismen sind Gruppenhomomorphismen.
4. Die Kategorie AB der abelschen Gruppen. Objekte sind hierbei abelsche Gruppen und die Morphismen sind Gruppenhomomorphismen.
1 Kategorien
5. Die Kategorie T OP der topologischen Räume. Objekte sind hierbei top. Räume
und die Morphismen sind stetige Abbildungen.
6. Die Kategorie T OP ∗ der punktierten topologischen Räume. Objekte sind hierbei top. Räume, bei denen ein Punkt als Basispunkt ausgewählt wurde und
die Morphismen sind stetige Abbildungen, die die zugehörigen Basispunkte
aufeinander abbilden.
7. Die Wegekategorie PAT H(G) eines (gerichteten) Graphens G. Objekte sind
Ecken des Graphen und Morphismen sind (gerichtete) Wege von dem einen
Punkt zum anderen.
8. Die Kategorie RIN G der Ringe mit 1. Objekte sind hierbei Ringe mit 1 und
Morphismen sind Ringhomomophismen, die die Eins auf Eins schicken.
Bemerkung 1.3. Die Morphismen einer Kategorie sind nicht immer Mengenabbildungen, wie man im vorletzten Beispiel sieht.
Lemma 1.4. Wenn man eine Kategorie C gegeben hat, so kann man bereits folgende
Dinge definieren.
1. Zwei Objekte X, Y ∈ C heißen isomorph, wenn es Morphismen f : X → Y
und g : Y → X gibt, so dass f ◦ g = idY und g ◦ f = idX gilt.
2. Die Automorphismengruppe Aut(X) ist definiert als:
Aut(X) := {f : X → X|∃g : X → X : f ◦ g = g ◦ f = idX }
Diese Menge bildet dann Automatisch eine Gruppe.
3. Eine Gruppenoperation einer Gruppe G auf einem Objekt X ist ein Gruppenhomomorphismus G → Aut(X).
4. Man kann bereits definieren, was ein kommutatives Diagramm ist.
5. Falls die Objekte aus C Mengen sind und die Morphismen Abbildungen, so kann
man auch schon den Begriff der Freiheit wie folgt definieren: Sei X ∈ Obj(C)
gegeben und M eine Teilmenge von X. Dann heißt X frei von M erzeugt, falls
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es für jede Mengenabbildung f : M → Y genau einen Morphismus g : X → Y
gibt, so dass folgendes Diagramm kommutiert:
∃!g
X
Y
f
M
Zum Beispiel wird jeder Vektorraum frei von jeder seiner Basen erzeugt. Es
ist eine gute Übung in jeder der obigen Beispielkategorien zu überprufen, ob
man zu einer beliebigen Menge M ein Objekt konstruieren kann, das frei von
der Menge M erzeugt wird.
6. Man kann nicht ohne weiteres definieren, wann ein Morphismus injektiv oder
surjektiv heißen soll. Man kann nur definieren, wann ein Morphismus eine
Spaltung bzw. eine Retraktion besitzt:
f : X → Y besitzt eine Retraktion ⇔ ∃g : Y → X : g ◦ f = idX
f : X → Y besitzt eine Spaltung ⇔ ∃g : Y → X : f ◦ g = idY
Obwohl diese Begriffe in der Kategorie der K-Vektorräume genau mit Injektivität (und Surjektivität) zusammenfallen, muss dies nicht immer der Fall sein
(zum Beispiel in T OP).
Definition 1.5 (Initial/Terminal). Ein Objekt X ∈ C heißt initial, wenn es für jedes
Objekt Y ∈ C es genau ein Morphismus f : X → Y gibt. Ein Objekt X ∈ C heißt
terminal, wenn es für jedes Objekt Y ∈ C es genau ein Morphismus f : Y → X gibt.
Man sieht recht leicht, dass zwei initiale / terminale Objekte isomorph seien müssen
(Übung).
Definition 1.6. Sei eine Familie von Objekten (Vi )i∈I , Vi ∈ V gegeben. Ein Objekt
V zusammen mit Morphismen ji : Vi → V heißt Koprodukt der (Vi )i∈I , falls es
zu einer Familie von Morphismen fi : Vi → W in ein Objekt W es genau einen
Morphismus f : V → W gibt, derart, dass für jedes i ∈ I folgendes Diagramm
kommutiert.
f
V
ji
W
fi
Vi
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1 Kategorien
`
Man schreibt auch V = i∈I Vi . Es ist eine sehr gute Übung, sich nun einzelne
Kategorien anzusehen und zu überprüfen, ob es in der jeweiligen Kategorie zu einer
beliebigen Familie von Objekten ein Koprodukt der Objekte gibt.
Definition 1.7. Sei eine Familie von Objekten (Vi )i∈I , Vi ∈ V gegeben. Ein Objekt
V zusammen mit Morphismen ji : V → Vi heißt Produkt der (Vi )i∈I , falls es zu
einer Familie von Morphismen fi : W → Vi aus einem Objekt W es genau einen
Morphismus f : W → V gibt, derart, dass für jedes i ∈ I folgendes Diagramm
kommutiert.
W
f
V
fi
ji
Vi
Q
Man schreibt auch V = i∈I Vi . Es ist eine sehr gute Übung, sich nun einzelne
Kategorien anzusehen und zu überprüfen, ob es in der jeweiligen Kategorie zu einer beliebigen Familie von Objekten ein Produkt der Objekte gibt. Man sieht hier,
dass das Produkt das zum Koprodukt duale Objekt ist, d.h. in der universellen
Eigenschaft des Produktes ist die universelle Eigenschaft des Koproduktes mit umgedrehten Pfeilen.
Initial
SET
TOP
TOP∗
K-VECT
GROUPS
PATH(G)
RING
4
Terminal
∃
`
∃
Q
∃ Freie Obj.
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Funktoren
Nun kennt man sich etwas mit Kategorien aus und hat bereits gelernt, welche Fragen
im Kontext von Kategorien wichtig sind. Es kommt nun sehr häufig vor, dass man
nun auf eine bestimmte Weise aus den Objekten der einen Kategorie Objekte einer
anderen Kategorie konstruieren kann. Diese Konstruktion soll natürlich auch die
Morphismenstruktur der jeweiligen Kategorien nicht ignorieren.
Definition 2.1 ((kovarianter) Funktor). Ein (kovarianter) Funktor F : C → D
ordnet jedem Objekt X ∈ Obj(C) ein Objekt F (X) ∈ Obj(D) zu. Desweiteren soll
jedem Morphismus f ∈ MorC (X, X ′ ) ein Morphismus F (f ) ∈ MorD (F (X), F (X ′ ))
zugeordnet werden. Diese Zuordnung soll mit der Verknüpfung verträglich sein, d.h.
F (f1 ◦ f2 ) = F (f1 ) ◦ F (f2 ). Desweiteren soll für alle Objekte X ∈ C auch F (idX ) =
idF (X) gelten.
Beispiel 2.2.
1. Die Zuorndung F ree : SET → K − VECT , die jeder Menge den
Vektorraum zuordnet, der diese Menge als Basis besitzt, ist ein kovarianter
Funktor. Es wird hierbei jede Mengenabbildung f : M → M ′ die eindeutige
lineare Abbildung zugeordnet, die jedes Basiselement m ∈ M aus F ree(M )
auf das Basiselement f (M ) abbildet.
2. Betrachte die Kategorie der abelschen Gruppen (oder auch K-Vektorraäume).
Es sei A eine beliebige abelsche Gruppe. Es ist hom(A, −) : AB → AB ein
kovarianter Funktor. Einer abelschen Gruppe B wird die abelsche Gruppe
hom(A, B) zugeordnet. Einem Homomorphismus von abelschen Gruppen f :
B → B ′ wird folgender Homomorphismus zugeorndet:
hom(f, A) : hom(A, B)hom(A, B ′ )
g 7→ f ◦ g
2 Funktoren
3. Die Fundamentalgruppe π1 : T OP → GROUPS ordnet jedem topologischen
Raum eine Gruppe zu, die als Äquivalenzklasse bestimmter geschlossener Wege
in dem jeweiligen top. Raum definiert ist. Jede stetige Abbildung f : X → Y
zwischen topl. Raümen bildet jeden geschlossenen Weg in X auf einen geschlossenen Weg in Y ab. Mit dieser Feststellung wird π1 zu einem kovarianten
Funktor.
4. Der Abelisierungsfunktor −ab : GROUPS → AB ordnet jeder Gruppe ihre
Abelisierung zu.
5. Der Vergissfunktor V : T OP ∗ → T OP, der den Basispunkt vergisst.
6. Der Funktor + : T OP → T OP ∗ , der jedem topologischen Raum X, den Raum
X+ = X ∐ {pt} zuordnet, der aus X entsteht, indem man disjunkt mit einer
Einpunktmenge vereinigt. Jeder stetigen Abbildung f : X → Y wird dabei
folgende Abbildung zugeordnet:
f ∐idpt
f+ : X ∐ {pt} → Y ∐ {pt}
Es gibt auch noch viele Zuordnungen, die die Pfeilrichtung umkehren, und ebenfalls verträglich mit Verknüpfungen sind. Dies motiviert zu folgender Definition:
Definition 2.3 ((kontravarianter) Funktor). Ein kontravarianter Funktor F : C →
D ordnet jedem Objekt X ∈ Obj(C) ein Objekt F (X) ∈ Obj(D) zu. Desweiteren soll
jedem Morphismus f ∈ MorC (X, X ′ ) ein Morphismus F (f ) ∈ MorD (F (X ′ ), F (X))
zugeordnet werden. Diese Zuordnung soll mit der Verknüpfung verträglich sein, d.h.
F (f1 ◦ f2 ) = F (f2 ) ◦ F (f1 ). Desweiteren soll für alle Objekte X ∈ C auch F (idX ) =
idF (X) gelten.
Bemerkung 2.4. Es ist eine gute Übung zu zeigen, dass Funktoren isomorphe Objekte auf isomorphe Objekte abbilden (Es ist aber im Allgemeinen falsch, dass injektive/surjektive Abbildungen wieder auf injektive/surjektive Abbildungen geschickt
werden;). Desweiteren werden Abbildungen, die Spaltungen oder Retraktionen besitzen, wieder auf solche Abbildungen geschickt. Darin liegt auch ein großer Nutzen von Funktoren. Will man zum Beispiel verstehen, ob zwei topologische Räume
homöomorph sind, so kann man dies mithilfe eines geeigneten Funktors (eines solchen, der die beiden Räume auf nicht isomorphe Objekte einer besser verstandenen
Kategorie schickt) ausschließen. Direkt zu beweisen, dass kein Homömorphismus
existiert, ist meist unmöglich.
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Beispiel 2.5.
1. Betrachte die Kategorie der abelschen Gruppen. Es sei A eine
beliebige abelsche Gruppe. Es ist hom(−, A) : AB → AB ein kontravarianter
Funktor. Einer abelschen Gruppe B wird die abelsche Gruppe hom(B, A) zugeordnet. Einem Homomorphismus von abelschen Gruppen f : B → B ′ wird
folgender Homomorphismus zugeorndet:
hom(f, A) : hom(B ′ , A)hom(B, A)
g 7→ g ◦ f
2. Der Funktor C(:, R) : T OP → RIN G der jedem topologischen Raum X
den Ring C(X, R) der stetigen Funktionen von X nach R zuordnet und jeder
stetigen Abbildung f : X → Y die Abbildung
C(f, R) : C(Y, R) → C(X, R)
g 7→ g ◦ f
Bemerkung 2.6. Es kommt sehr oft vor, dass kovariante Funktoren universelle
Objekte (initiale, terminale, Produkte, Koprodukte, etc.) ebenfalls wieder auf solche
Objekte abbilden. Hier eine kleine Tabelle, in der man eintragen, kann bei welchen
der obigen Beispielfunktoren dies der Fall ist.
Initial
Terminal
`
Q
Freie Obj.
Free
hom(A,-)
π1
−ab
V
+
Es wäre sehr erstaunlich, wenn kontravariante Funktoren die auch täten. Da diese
die Pfeilrichtung umdrehen, wäre es sehr viel natürlicher, wenn diese ein Objekt,
dass durch eine universelle Eigenschaft definiert ist, auf das zugehörige duale Objekt
abbilden würden. Es folgt ebenfalls eine kleine Tabelle:
`
Q Q
`
→
→
Ini.-¿ Term. Term.-¿Ini.
hom(-,A)
C(-,R)
Bemerkung 2.7. Man kann Funktoren auch hintereinander ausführen. Man erhält
dabei einen ko- oder kontravarianten Funktor, je nachdem, ob man eine gerade oder
eine ungerade Anzahl an kontravarianten Funktoren benutzt hat.
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2 Funktoren
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Natürliche Transformationen
So wie man Funktoren benutzt, um Beziehungen zwischen Kategorien auszudrücken,
so benutzt man natürliche Transformationen um Beziehungen zwischen Funktoren
auszudrücken.
Definition 3.1. Eine natürliche Transformation t zweier Funktoren F, G : C → D
ordnet jedem Objekt X ∈ Obj(C) einen Morphismus tX : F (X) → G(X) zu, so dass
für jeden Morphismus f : X → Y folgendes Diagramm kommutiert:
F (X)
F (f )
tX
G(X)
F (Y )
tY
G(f )
G(Y )
Bemerkung 3.2. Es ist hier bemerkenswert, dass tX in obigem Diagramm nur von
X abhängt und nicht für verschiedene f verschieden gewählt werden kann.
Beispiel 3.3. Versucht man nun, alles was man über die Abelisierung von Gruppen weiss, in der Sprache der Kategorie und Funktoren auszudrücken, so wird
man feststellen, dass es bisher nicht möglich war, die Existenz der Projektionen
prG : G → Gab auszudrücken. Dazu dient die Definition der natürlichen Transformation. Betrachte folgende Hintereinanderschaltung von Funktoren
ab
A : GROUPS →
AB ֒→ GROUPS
3 Natürliche Transformationen
Man erhalt dann für beliebiges f ∈ MorGROU PS (G, H) ein kommutatives Diagramm:
G
f
prG
A(G)(f )
H
prH
A
A(H)
Dies bedeutet nun, dass pr∗ : A → ID eine natürliche Transformation ist.
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