1 Adjunktion und Yoneda Lemma

1 Adjunktion und Yoneda Lemma
Definition (Natürliche Transformation)
Seien C, D Kategorien und F, G Funktoren von C nach D. Dann ist η eine natürliche
Transformation η : F ⇒ G, falls gilt: Für alle x ∈ C liefert η eine Abbildung ηx : F (x) →
G(x) so, dass für alle Morphismen f : A → B und für alle A, B ∈ C das folgende
Diagramm kommutiert:
F (A)
ηA
Ff
G(A)
/ F (B)
Gf
ηB
/ G(B)
Falls außerdem für alle x ∈ C die Abbildung ηx ein Isomorphismus ist, nenen wir η
einen natürlichen Isomorphismus.
Satz 1 (Funktorkategorie) Seien C, D Kategorien und C klein, das heißt, die Objekte
von C bilden eine Menge (keine Klasse). Dann bezeichnet F un(C, D) oder auch DC die
Kategorie, deren Objekte Funktoren zwischen C und D sind und deren Morphismen die
natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren sind. Die Komposition der Morphismen soll durch hintereinander Ausführung der natürlichen transformationen definiert
sein.
Zu prüfen ist jedoch noch, dass die Komposition assoziativ ist, dass die Morphismenmengen wirkliche Mengen sind und dass die Identität in jeder Morphismenmenge
Hom(F, F ) vorhanden ist.
Beweis Seien F, G, H, I ∈ F un(C, D) Funktoren und a : F ⇒ G, b : G ⇒ H, c : H ⇒ I
Morphismen, also natürliche Transformationen. Dann wird die Komposition ∀x ∈ C wie
folgt definiert:
(a ◦ b)x = ax ◦ bx
⇒ (a ◦ b)x ◦ cx = (ax ◦ bx ) ◦ cx = ax ◦ bx ◦ cx = ax ◦ (bx ◦ cx ) = ax ◦ (b ◦ c)x
Das heißt, die Komposition ist assoziativ.
Seien Hom(F, G) = N at(F, G) alle natürlichen Transformationen zwischen
F und G.
Q
Da C klein ist und daher die Objekte eine Menge bilden, ist Hom(F, G) ⊂ x∈C Hom(F (x), G(x)).
Da die Indexmenge eine Menge ist und das Produkt (= kartesisches Produkt) von Mengen (da C klein ist) über eine Indexmenge genommen wird, ist auch Hom(F, G) eine
Menge. Auch die Identität ist in jeder Menge Hom(F, F ) enthalten, da die Identität
idF : F ⇒ F auch ein Funktor ist.
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Definition (Exaktheit von Funktoren)
f1
f2
f3
f4
Sei 0 → A → B → C → 0 exakt, das heißt im(fn ) = ker(fn+1 ) für alle n ∈ {1, 2, 3}.
Ein additiver Funktor F : C → D heißt linksexakt, falls
0 → F (A) → F (B) → F (C) exakt ist
Er heißt rechtsexakt, falls
F (A) → F (B) → F (C) → 0 exakt ist
F heißt exakt, falls F rechtsexakt und linksexakt ist.
Bemerkung 0 → A → B ist exakt ⇔ A → B ist ein mono Morphismus ⇔ ker(A →
B) = 0 und
A → B → 0 ist exakt ⇔ A → B ist ein epi Morphismus ⇔ im(A → B) = 0.
Definition (Adjunktion)
Seien C, D Kategorien und L, R Funktoren mit C o
L
R
/
D . Das Paar L, R heißt ad-
jungiertes Paar, falls gilt:
∼
=
τ = τCD : HomD (L(C), D) → HomC (C, R(D))
∀ C ∈ C, D ∈ D
Diese Bijektion muss natürlich in C und D sein, das bedeutet, dass für alle Morphismen
0
0
0
0
f : C → C und g : D → D mit C, C ∈ C und D, D ∈ D folgendes Diagramm
kommutiert:
HomD (L(C), D)
Lf
τ
/ Hom (L(C 0 ), D)
D
τ
HomC (C, R(D))
f
/ Hom (C 0 , R(D))
C
g
/ Hom (L(C 0 ), D 0 )
D
τ
Rg
/ Hom (C 0 , R(D 0 ))
C
Wobei τ = τC,D : HomD (L(C), D) ∼
= HomC (C, R(D)) die Bijektion bezeichnet.
Dies bedeutet, dass τ ein natürlicher Isomorphismus zwischen folgenden beiden Funktoren ist:
HomD (L(−), −) : C op × D → Set, (C, D) 7→ HomD (L(C), D)
HomC (−, R(−)) : C op × D → Set, (C, D) 7→ HomC (C, R(D))
Wir nennen L linksadjungiert zu R und R rechtsadjungiert zu L.
Satz 2 Linksadjungierte Funktoren sind rechtsexakt und rechtsadjungierte Funktoren sind
linksexakt.
2
f
Beweis Sei F ein rechtsadjungierter Funktor zu G und 0 → A → B → C exakt. BeF (f )
trachte 0 → F (A) → F (B) → F (C) Sei g : x → F (B) der Morphismus, der als
Komposition mit F (f ) 0 ergibt. Wir wenden die Eigenschaften der Adjunktion mit G an
und erhalten g 0 : G(X) → B so, dass die Komposition mit f 0 ergibt. Da wir aber aus
der Voraussetzung wissen, dass ker(f ) = A,
Beispiel (Adjunktionen von Vergissfunktoren) Sei U : Gr → Set der Vergissfunktor, der
einer Gruppe die ihr zugrundeliegende Menge zuordnet. Erinnerung: Vergissfunktoren
sind Funktoren, die einen Teil (oder die ganze) Struktur einer Kategorie „vergessen“. Wir
fragen uns: Hat U einen adjungierten Funktor? Wenn ja, wie sieht er aus und ist er
rechts- oder linksadjungiert?
Probieren wir den Funktor F : Set → Gr, der einer Menge die von ihr erzeugte freie
Gruppe zuordnet. Die von einer Menge erzeugte freie Gruppe ist die Gruppe, die alle
Wörter enthält, die aus den symbolischen Elementen und Inversen der Menge erzeugt
werden können. Ein Beispiel: Sei A := {x, y}. Wie sieht die von A erzeugte freie Gruppe
aus?
G(A) := {∅, x, y, x−1 , y −1 , xy, y −1 x−1 , yx, x−1 y −1 , xy −1 , yx−1 , x−1 y, y −1 x, ...}
Die Gruppenverknüpfung definieren wir als aneinander Reihen von Wörtern. Wenn zwei
Inverse hintereinander stehen, sollen sie zum leeren Wort werden.
Wir müssen nun schauen, ob wir eine Bijektion τ mit obigen Bedingungen finden. In
Worten bedeutet das, dass wir uns eine beliebige Gruppe G ∈ Gr und eine beliebige
Menge M ∈ Set nehmen und die Gruppenhomomorphismen der von M erzeugten freien
Gruppe nach G und die Mengenabbildungen von M in die G zugrundeliegende Menge
betrachten.
Wir können aus einem Gruppenhomomorphismus immer eine Mengenabbildung machen, indem wir einfach so tun, als wäre es gar kein Homomorphismus, sondern nur eine
Abbildung. Wir können aber auch aus einer Mengenabbildung einen Gruppenhomomorphismus machen, indem wir die Abbildung auf den ursprünglichen Elemente der Menge
gleich lassen und den Rest durch die Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus’ definieren. Die Bilder der Inversen können wir durch das Inverse der Bilder definieren und
Bilder von Wörtern definieren wir als die Wörter der Bilder. Wir müssen nun nachrechnen, ob diese Abbildung wohldefiniert ist und sie die Gruppenaxiome erfüllt.
Seien M eine Menge, N eine freie Grupppe. Sei f : M → G unsere Mengenabbildung,
aus der wir nach obigen Vorschriften einen Gruppenhomomorphismus f˜ machen wollen.
Def.
f˜(∅) = f (∅) = ∅
˜
˜
Def.f
Def.f
Def.f
f˜(xy −1 ) = f (x)f (y −1 ) = f (x)f (y)−1 = f˜(x)f˜(y)−1 ∀x, y ∈ G(M )
Hieraus erhalten wir durch Induktion die Erhaltung der Gruppenaxiome.
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Sei nun U : Ab → Gr der Vergissfunktor, der bei einer abelschen Gruppe vergisst, dass
die kommutativ ist. Wir betrachten den Funktor F , der eine Gruppe G auf die Abelisierung Gab schickt, wobei Gab := G/gg0 −g0 g . Wir rechnen also „modulo alle Kommutatoren“.
Hier gilt wieder, dass F linksadjungiert zu U ist.
Wir können zu den allermeisten Vergissfunktoren einen linksadjungierten Funktor finden, indem wir einfach der Menge ihre frei erzeugte „Struktur“ zuordnen. Zum Beispiel
können wir zu dem Vergissfunktor U : R − M od → Set den linksadjungierten Funktor
F : Set → R−M od finden, der einer Menge den dazugehörigen freien R-Modul zuordnet.
So können wir das bei vielen anderen Strukturen wie Rings, Ab, Vekt ... auch machen.
Aufgabe: Finde den adjungierten Funktor zum Vergissfunktor U : Ab → Set. Ist er
rechts- oder linksadjungiert?
Beispiel (Adjunktion zwischen Hom-Funktor und Tensorprodukt)
Sei R ein Ring und N ein R Linksmodul und. Dann bestimmt das Tensorprodukt
T = _ ⊗R N : R − M od → Ab einen Funktor, der zwei R-Moduln auf deren Tensorprodukt abbildet, das wiederum durch seine universelle Eigenschaft eine abelsche Gruppe
definiert. Sei Hom(N, −) : Ab → R − M od der kovariante Funktor, der eine abelsche
Gruppe G auf die Gruppenhomomorphismen von A nach G abbildet. Dies ist ein RModul, da die Morphismen in Ab Gruppenhomomorphismen sind.
Wir betrachten wieder für einen Ring R und für alle R-Moduln M, N, P die Mengen
?
HomR (M, HomR (N, P )) ∼
= HomR (M ⊗R N, P )
Für jeden Morphismus f ∈ HomR (M, HomR (N, P )) können wir einen Morphismus
g ∈ HomR (M ⊗R N, P ) definieren mit g : M × N → P, (m, n) 7→ f (m)(n) (diese
„Abbildungstransformation“ nennen wir τ1 ). Des Weiteren können wir für jeden Morphismus g ∈ HomR (M ⊗R N, P ) einen Morphismus f ∈ HomR (M, HomR (N, P )) mit
f : M → HomR (N, P ), m 7→ g(m ⊗ −) definieren (diese „Abbildungstransformation
nennen wir τ2 ).
Jetzt gilt es noch zu zeigen, dass beide Abbildungen invers zueinander sind. Betrachte
für m ∈ M, n ∈ N : τ1 (τ2 (g))(m ⊗ n) = τ2 (g)(a)(m) = g(m ⊗ a) ⇒ τ1 (τ2 ) = id. Nun die
andere Richtung: τ2 (τ1 (f ))(a)(m) = τ1 (f )(m ⊗ a) = f (a)(m) ⇒ τ2 /τ1 ) = id
Da beide Konstruktionen sind eindeutig sind, erhalten wir dadurch eine Bijektion:
HomR (M, HomR (N, P )) ∼
= HomR (M ⊗R N, P )
⇒ Hom und ⊗ sind adjungiert.
Satz 3 (Adjungierte Funktoren)
Seien C, D Kategorien und L, R Funktoren mit C o
L
R
/
D . Dann gibt es η und ε na-
türliche Transformationen mit η : idC ⇒ L ◦ R = RL und ε : LR = R ◦ L ⇒ idD .
Wir nennen η die Einheit und ε die Koeinheit der Adjunktion oder beide zusammen die
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Einheiten der Adjunktion. Außerdem gilt dann für alle C ∈ C und D ∈ D, f : L(C) →
D, g : C → R(D), dass
R(f ) ◦ ηC : C → R(D) und εD ◦ L(g) : L(C) → D
Dies bedeutet, dass folgende Diagramme kommutieren:
L(η)
L(C)
GG
GG
GG
G
idD GG#
/ LRL(C)
t
tt
tt
t
t ε
y t L
t
L(C)
R(D)
ηR
HH
HH
HH
H
idC HH#
/ RLR(D)
ss
ss
s
ss
yss R(ε)
R(D)
Falls η und ε sogar natürliche Isomorphismen sind, nennt man L und R Äquivalenzen
von den Kategorien C und D.
Beweis Dies ist eine alternative Definition für Adjunktion, aber ich beweise hier nur den
Satz. Den Beweis für die Äquivalenz der beiden Definitionen findet man in der englischen
Wikipedia.
Erst definieren wir uns unsere potenziellen Einheiten der Adjunktion:
−1
εC := τC,L(C)
(idL(C) ) ∈ HomC (RL(C), C) für alle Objekte C ∈ C und
ηD := τR(D),D (idR(D) ) ∈ HomD (D, LR(D)) für alle Objekte D ∈ D. Wegen der Natürlichkeit (und der Bijektivität) von τ gilt für alle Morphismen
f : R(D) → C und g : D → L(C), dass:
−1
(g) = εC ◦ R(g)
τC,D (f ) = L(f ) ◦ ηD und τC,D
−1
Jetzt setzen wir g = ηD = τR(D),D (idR(D) ), f = εC = τC,L(C)
(idL(C) ), D = L(C) und
c = R(D) und bekommen:
−1
−1
(τC,D (idR(D) )) = εC ◦ R(ηD )
(idL(C) )) = L(εC ) ◦ ηD und τC,D
τC,D (τC,D
⇒ idL(C) = L(εC ) ◦ τC,D (idR(D) ) und idR(D) = εC ◦ R(ηD )
Satz 4 (Yoneda Lemma)
Sei C eine Kategorie, F : C → Set ein Funktor, A ∈ C ein Objekt in C, dann existiert
eine Bijektion von der Menge der natürlichen Transformationen N at(HomC (A, −), F )
in die Menge F (A) ⊂ Set. Diese Bijektion liefert uns also insbesondere für jedes Bild der
Identität unter einer naürlichen Transformation aus Φ ∈ N at(HomC (A, −), F ) die ganze
natürliche Transformation. Das heißt: Wenn wir wissen, wo Φ die Identität hinschickt,
kennen wir ganz Φ.
Man nennt Y : Φ 7→ Φx (idx ) die Yoneda Abbildung.
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Beweis Für den Beweis benutzen wir folgendes Diagramm:
Da Φ eine natürliche Transformation ist, kommutiert das Diagramm und wir wissen:
(F f )(ΦA (idA )) = ΦX (f )
Die linke Seite können wir einfach ausrechnen. Sie ist eindeutig und einfach nur abhängig
vom Bild der Identität und dem Funktor F . So können wir also für jedes X ∈ C ein
eindeutiges ΦX (f ) für jeden Morphismus f berechnen. Damit ist die Yoneda Abbildung
Y bijektiv und die Behauptung ist bewiesen.
Korollar 5 (Yoneda Einbettung)
Die Yoneda Einbettung ist ein Spezialfall, beziehungsweise eine Anwendung des Yoneda
Lemmas. Sei der Funktor F = HomC (B, −) : C → Set ein kovarianter Hom-Funktor.
Nun sagt uns das Yoneda Lemma, dass:
N at(HomC (A, −), HomC (B, −)) ∼
= HomC (B, A)
Es gibt also eine eins zu eins Beziehung zwischen den Morphismen in C von B nach A
und den natürlichen Transformationen zwischen zwei kovarianten Funktoren.
Aufgabe: Formuliere die Yoneda Einbettung für kontravariante Hom-Funktoren.
Beispiel (Anwendung der Yoneda Einbettung) Sei C eine Kategorie und h : C → F un(C, Set)
ein Funktor mit h : x 7→ Hom(A, x) für ein festes A ∈ C. Dann ist die Abbildung h auf
den Objekten und Morphismen von C laut Yoneda Lemma bijektiv, das heißt h ist eine
Einbettung von C in die Funktorkategorie F un(C, Set), was bedeutet, dass unsere beliebige Kategorie C eine volle Unterkategorie von F un(C, Set) ist.
Insbesondere ist h volltrau und deshalb nennen wir C eine volle Unterkategorie der Funktorkategorie.
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