Eine kurze Zusammenstellung der wichtigsten Definitionen

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Kategorien und Funktoren
(1.1) Definition. Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten:
(a) Eine Klasse Ob(C) von Objekten von C.
(b) Für jedes Paar (A, B) von Objekten von C eine Menge HomC (A, B),
genannt Morphismen von A nach B.
(c) Für jedes Tripel (A, B, C) von Objekten von C eine Abbildung
HomC (B, C) × HomC (A, B) → HomC (A, C),
(f, g) 7→ f ◦ g
genannt Komposition von Morphismen.
Diese Daten sollen den folgenden Axiomen genügen:
(1) Die Mengen HomC (A, B) für A, B ∈ Ob(C) sind paarweise disjunkt.
(2) Assoziativität der Komposition: Es gilt
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),
wenn f ◦ g und g ◦ h definiert sind.
(3) Identität: Für jedes Objekt A in C existiert ein Identitäts-Morphismus
idA ∈ HomC (A, A), so dass
idA ◦f = f,
f ◦ idA = f,
wann immer die linke Seite definiert ist.
(1.2) Das folgende sind Beispiele für Kategorien:
(1) Die Kategorie (Sets) der Mengen: Objekte sind Mengen, und Morphismen
sind Abbildungen zwischen ihnen.
(2) Die Katgeorie (Gr) der Gruppen: Objekte sind Gruppen, und Morphismen
sind Gruppenhomomorphismen zwischen ihnen.
(3) Die Kategorie (Top) der topologischen Räume: Objekte sind topologische
Räume, und Morphismen sind stetige Abbildungen zwischen ihnen.
(4) Die Kategorie (Top∗): Objekte sind topologische Räume mit einem ausgezeichneten Basispunkt, und die Morphismen sind die stetigen Abbildungen f : (X, x) → (Y, y) zwischen ihnen, so dass f (x) = y.
(5) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Kategorie (Vark ): Objekte sind Varietäten über k, und Morphismen sind die Morphismen von
k-Varietäten zwischen ihnen.
(6) Sei K ein Körper. Die Kategorie (AlgftK ) der K-Algebren von endlichem
Typ: Objekte sind die K-Algebren von endlichem Typ, und Morphismen
sind die K-Algebra-Homomorphismen.
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(7) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die Kategorie (VarAffk ):
Objekte sind die affinen Varietäten über k, und Morphismen sind die
Morphismen von Varietäten über k.
(1.3) Definition. Ein Morphismus f ∈ HomC (A, B) heißt Isomorphismus,
wenn ein Morphismus g ∈ HomC (B, A) existiert, so dass f ◦ g = idB und
g ◦ f = idA .
(1.4) Definition. Seien C und D Kategorien. Ein kovarianter Funktor
T : C → D ist eine Abbildung von Objekten und Morphismen. Er assoziiert
zu jedem Objekt A in C ein Objekt T (A) in D und zu jedem Morphismus f ∈
HomC (A, B) einen Morphismus T (f ) ∈ HomD (T (A), T (B)), so dass gilt:
(a) T (idA ) = idT (A) .
(b) T (f ◦ g) = T (f ) ◦ T (g) (wenn f ◦ g definiert ist).
Man hat die analoge Definition eines kontravarianten Funktors der zu jedem
Objekt A in C ein Objekt T (A) in D und zu jedem Morphismus f ∈ HomC (A, B)
einen Morphismus T (f ) ∈ HomD (T (B), T (A)) assoziiert, so dass T (idA ) =
idT (A) und T (f ◦ g) = T (g) ◦ T (f ).
(1.5) Folgendes sind Beispiele für Funktoren:
(1) Sei C eine Kategorie. Der Identitäts-Funktor idC : C → C, der alle Objekte
und Morphismen auf sich selbst schickt.
(2) Der Vergissfunktor: Sei C eine Kategorie von Mengen mit zusätzlichen
Strukturen (z.B. die Kategorien (Gr) oder (Top)). Dann assoziiert der
Vergissfunktor zu jedem Objekt die zugrundeliegende Menge und zu jedem
Morphismus die zugrundeliegende Abbildung von Mengen. Dies ist ein
kovarianter Funktor.
(3) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte den Funktor
T : (VarAffk ) → (Algftk ) der jeder affinen Varietät X die k-Algebra k[X]
der regulären Funktionen auf X und jedem Morphismus von affinen Varietäten Φ : X → Y den korrespondierenden k-Algebra-Homomorphismus
Φ∗ : k[Y ] → k[X] zuordnet. Dies ist ein kontravarianter Funktor.
(1.6) Seien T : C → D und S : D → E zwei Funktoren. Dann ist S ◦ T der
Funktor von C nach E, der jedem Objekt A und jedem Morphismus f in C das
Objekt S(T (A)) bzw. den Morphismus S(T (f )) in E zuordnet.
(1.7) Definition. Seien S, T : C → D zwei kovariante Funktoren. Eine
natürliche Transformation α : S → T ist eine Abbildung, die zu jedem Objekt
A ∈ Ob(C) einen Morphismus αA ∈ HomD (S(A), T (A)) assoziiert, so dass für
jeden Morphismus f ∈ HomC (A, B) gilt
T (f ) ◦ αA = αB ◦ T (f ).
Eine natürliche Transformation α : S → T heißt Isomorphismus, wenn alle
αA Isomorphismen sind.
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Man hat eine analoge Definition für eine natürliche Transformation von
kontravarianten Funktoren.
(1.8) Sei K ein Körper und sei (VecK ) die Kategorie der K-Vektorräume (die
Objekte sind die K-Vektorräume, und die Morphismen die K-linearen Abbildungen zwischen ihnen). Sei D : (VecK ) → (VecK ) der Funktor, der jedem KVektorraum V den dualen K-Vektorraum V ∗ und jeder K-linearen Abbildung
f : V → W die duale Abbildung f ∗ : W ∗ → V ∗ zuordnet. Dies ist ein kontravarianter Funktor. Für jeden K-Vektorraum V sei αV : V → (V ∗ )∗ die kanonische
Abbildung von V in sein Bidual. Für jede lineare Abbildung f : V → W kommutiert dann das Diagramm
V
f
αV
?
(V ∗ )∗
- W
αW
?
- (W ∗ )∗ .
(f ∗ )∗
Das bedeutet, dass die αV eine natürliche Transformation α : id(VecK ) → D ◦ D
definieren.
Betrachtet man statt der Kategorie (VecK ) die Unterkategorie (VecfK ) der
endlich-dimensionalen K-Vektorräume, so ist α : id(VecfK ) → D ◦ D ein Isomorphismus von Funktoren.
(1.9) Seien π1 : (Top∗) → (Gr) und H1 : (Top∗) → (Gr) die Funktoren, die jedem Paar (X, x) die erste Fundamentalgruppe π1 (X, x) bzw. die erste singuläre
Homologie H1 (X, Z) zuordnen. Dann ist die Abbildung, die jedem Objekt (X, x)
die kanonische Abbildung π1 (X, x) → H1 (X, Z) zuordnet, eine natürliche Transformation π1 → H1 .
(1.10) Definition. Sei T ein kovarianter Funktor T : C → D.
(a) T heißt voll treu, falls für alle Objekte A, B von C die Abbildung
HomC (A, B) → HomD (T (A), T (B)),
f 7→ T (f )
bijektiv ist.
(b) T heißt essentiell surjektiv, falls für jedes Objekt B von D ein Objekt A
von C existiert, so dass T (A) isomorph zu B ist.
Man hat analoge Definitionen für kontravariante Funktoren.
(1.11) Definition. Seien C und D zwei Kategorien. Ein kovarianter Funktor
T : C → D heißt kovariante Äquivalenz von C und D wenn ein kovarianter
∼
- idC und
Funktor S : D → C und Isomorphismen von Funktoren α : S ◦ T
∼
β: T ◦ S
idD existieren.
Man hat die analoge Definition einer kontravarianten Äquivalenz, wenn S
und T beide kontravariant sind.
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(1.12) Satz. Ein Funktor T : C → D is genau dann eine Äquivalenz, wenn T
voll treu und essentiell surjektiv ist.
(1.13) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Der kontravariante Funktor T : (VarAffk ) → (Algftk ), der jeder affinen Varietät X die k-Algebra k[X]
der regulären Funktionen auf X und jedem Morphismus von affinen Varietäten
Φ : X → Y den korrespondierenden k-Algebra-Homomorphismus Φ∗ : k[Y ] →
k[X] zuordnet, ist eine Äquivalenz von Kategorien.
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