Modulkategorien

Modulkategorien
Wolfgang Rump
1
Moduln über einem Ring
Eine Abbildung f : R → S zwischen zwei Ringen R und S heißt Ringhomomorphismus, wenn für a, b ∈ R gilt:

f (a + b) = f (a) + f (b) 

f (a · b) = f (a) · f (b)
(1)


f (1) = 1.
Beispiele. 1. Eine Teilmenge R eines Rings S ist genau dann ein Teilring, wenn
die Inklusionsabbildung R ֒→ S ein Ringhomomorphismus ist.
2. Ist I ein Ideal eines Rings R, so bilden die Restklassen a + I = {a + x | x ∈ I}
mit a ∈ R einen Ring R/I (den Faktorring), und die Abbildung a 7→ a + I ist ein
(surjektiver) Ringhomomorphismus R ։ R/I.
3. Für jede abelsche Gruppe A bildet die Menge End(A) der Endomorphismen
(=Gruppenhomomorphismen A → A) einen Ring, den Endomorphismenring von A.
Addition und Multiplikation in End(A) sind gegeben durch
)
(f + g)(a) = f (a) + g(a)
(2)
(f · g)(a) = f (g(a)).
Das Einselement 1 ∈ End(A) ist die identische Abbildung a 7→ a.
Satz 1. Für einen Ring R gibt es genau einen Ringhomomorphismus Z → R.
Beweis. Sei f : Z → R ein Ringhomomorphismus. Wegen (1) ist dann f (0) = 0
und f (1) = 1, also für n ∈ N := {0, 1, 2, . . .} (Induktion)
f (n) = |1 + ·{z
· · + 1} ;
f (−n) = −f (n).
(3)
n mal
Damit ist f eindeutig festgelegt, und (3) definiert einen Ringhomomorphismus. Der Kern dieses Ringhomomorphismus Z → R ist ein Ideal von Z, also von der
Form nZ mit n ∈ N. Die Zahl n heißt Charakteristik von R.
Definition 1. Sei R ein Ring. Eine abelsche Gruppe M mit einer äußeren Multiplikation R × M → M, welche ein Paar (a, x) ∈ R × M in a · x (kurz: ax) abbildet,
heißt ein R-Modul (=R-Linksmodul), wenn

a(x + y) = ax + ay 


(a + b)x = ax + bx 
(4)
(ab)x = a(bx) 



1·x=x
für alle a, b ∈ R und x, y ∈ M gilt.
Der Multiplikation R × M → M entspricht eine Abbildung
λ : R → End(M),
(5)
die jedem a ∈ R die Linksmultiplikation λ(a) : M → M zuordnet: λ(a)(x) = ax.
Dann lassen sich die Gleichungen (4) als Eigenschaften von λ interpretieren:

λ(a)(x + y) = λ(a)(x) + λ(a)(y) 



λ(a + b) = λ(a) + λ(b)
(6)

λ(ab) = λ(a)λ(b)



λ(1) = 1.
Die erste Gleichung besagt hierbei, daß λ(a) für alle a ∈ R ein Endomorphismus der
abelschen Gruppe (M, +) ist. Die übrigen Gleichungen dagegen besagen gemäß (1),
daß λ selbst ein Ringhomomorphismus ist. Wir erhalten also
Satz 2. Ein Modul M über einem Ring R ist gleichbedeutend mit einer abelschen
Gruppe M, die mit R durch einen Ringhomomorphismus (5) verknüpft ist.
Ein durch (5) gegebener R-Modul wird auch als Darstellung von R bezeichnet.
Beispiele. 1. Ein Modul M über einem Körper K ist nach Definition 1 nichts
anderes als ein K-Vektorraum.
2. Jede abelsche Gruppe A ist ein Z-Modul: Die Abbildung (5) ist hierbei durch
Satz 1 eindeutig bestimmt. (Hier zeigt sich der Vorteil, einen Modul gemäß Satz 2 als
einen Ringhomomorphismus (5) aufzufassen.) Umgekehrt ist natürlich ein Z-Modul
auch eine abelsche Gruppe, d. h. abelsche Gruppen und Z-Moduln sind ein- und
dasselbe.
Definition 2. Sei R ein Ring. Eine Abbildung f : M → N zwischen R-Moduln
heißt R-linear oder ein Homomorphismus, wenn
)
f (x + y) = f (x) + f (y)
(7)
f (ax) = af (x)
für alle a ∈ R und x ∈ M gilt.
2
Die Gesamtheit der R-Moduln zusammen mit allen Homomorphismen von R-Moduln
wird mit R-Mod bezeichnet. Sie hat die Struktur einer Kategorie, wie wir in §2 sehen
werden. Statt Z-Mod (abelsche Gruppen) schreiben wir auch Ab.
Ein surjektiver Homomorphismus M → N von R-Moduln heißt Epimorphismus
(in Zeichen: M ։ N), ein injektiver Homomorphismus Monomorphismus (M ֌ N).
Ein Isomorphismus ist dasselbe wie ein Mono- und Epimorphismus.
Q
Sei Mα , α ∈ A, eine Familie von R-Moduln. Das Produkt α∈A Mα besteht aus
allen Familien (xα )α∈A von Elementen xα ∈ Mα . Summe und äußeres Produkt sind
hierbei wie folgt definiert (∀a ∈ R):
)
(xα )α∈A + (yα )α∈A := (xα + yα )α∈A
(8)
a · (xα )α∈A := (a · xα )α∈A .
Damit ist
Q
Mα wieder ein R-Modul.
`
L
Das Coprodukt α∈A Mα (früher auch
direkte
Summe
genannt
und
dann
α∈A Mα
Q
geschrieben) ist ein Untermodul von α∈A Mα , bestehend aus den (xα )α∈A , für die
nur endlich viele xα von 0 verschieden sind.
α∈A
Ist die Indexmenge A endlich, so fallen Produkt und Coprodukt zusammen.
Man spricht dann von einem Biprodukt oder einer direkten Summe. Da es bei der
Indexmenge nur auf die Anzahl Q
der Elemente
`ankommt, nimmt man meist an, daß
A = {1, . . . , n}, und wählt statt α∈A Mα = α∈A Mα eine der beiden Schreibweisen
n
M
Mα = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn .
(9)
α=1
Die Elemente von
Ln
α=1
Mα sind n-Tupel (x1 , . . . , xn ).
Sind schließlich alle Mα gleich M, so schreibt man
Y
a
M A :=
Mα bzw. M (A) :=
Mα .
α∈A
α∈A
Der Ring R selbst kann als R-Linksmodul aufgefaßt werden, indem man das
Ringprodukt R × R → R als äußere Multiplikation nimmt. Diesen Modul bezeichnet
man mit R R. (Allgemeiner wird manchmal durch die Schreibweise R M ausgedrückt,
daß M einen R-Linksmodul bezeichnet.)
Für einen Körper K ist K K der eindimensionale K-Vektorraum. Da jeder KVektorraum V eine
PBasis B besitzt, ist jedes Element x ∈ V eine (endliche) Linearkombination x = b∈B ab · b mit ab ∈ R. Die Zuordnung x 7→ (ab )b∈B definiert also
einen Isomorphismus
V ∼
= (K K)(B) .
3
Ist ein R-Modul M isomorph zu (R R)(B) für eine Menge B, d. h. ist M ein R-Modul
mit einer Basis, so nennt man M einen freien R-Modul.
Wie in der linearen Algebra kennt man neben der äußeren direkten Summe
M1 ⊕ M2 , so wie sie oben definiert wurde, auch eine innere direkte Summe: Sind M1
und M2 Untermoduln eines Moduls M, so heißt
M1 + M2 := {x1 + x2 | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 }
die Summe von M1 und M2 , und dieser Untermodul von M ist der kleinste M1 und
M2 enthaltende Untermodul. Ist M1 ∩ M2 = 0, so ist der Homomorphismus
M1 ⊕ M2 ։ M1 + M2 ,
welcher (x1 , x2 ) auf x1 + x2 abbildet, ein Isomorphismus. Daher spricht man in
diesem Fall von einer inneren direkten Summe und schreibt einfach M1 ⊕ M2 statt
M1 + M2 . Aufgrund dieses Zusammenhangs zwischen innerer und äußerer direkter
Summe schreibt man die Elemente einer äußeren direkten Summe (9) als Summen
x1 + · · · + xn oder noch besser x1 ⊕ · · · ⊕ xn .
Ein Untermodul N eines R-Moduls M heißt ein direkter Summand, wenn ein
Untermodul N ′ von M existiert, so daß M = N ⊕ N ′ gilt (d. h. also N ∩ N ′ = 0
und N + N ′ = M). Für einen Vektorraum ist jeder Untermodul (= Teilraum) ein
direkter Summand (Basisergänzungssatz). Für beliebige Moduln ist das nicht so:
Der Untermodul 5Z des Z-Moduls Z ist z. B. kein direkter Summand!
2
Kategorien
Noch bis in die 60er Jahre des 20. Jahrhunderts glaubte man im Begriff der Menge
den grundlegenden Begriff der Mathematik gefunden zu haben. Um 1945 trat der
Begriff der Kategorie auf den Plan.
Definition 3. Eine Kategorie C ist gegeben durch eine Klasse Ob C von Objekten,
eine Klasse HomC (A, B) von Morphismen zu jedem Paar A, B ∈ Ob C, eine Komposition (Malpunkt kann auch weggelassen werden)
.
HomC (A, B) × HomC (B, C) −→ HomC (A, C)
(10)
zu jedem Tripel A, B, C ∈ Ob C, und identische Morphismen 1A ∈ HomC (A, A) für
jedes Objekt A, so daß für f ∈ HomC (A, B), g ∈ HomC (B, C) und h ∈ HomC (C, D)
die Gleichungen
(hg)f = h(gf ) ; f · 1A = 1B · f = f
erfüllt sind. Die Morphismen f ∈ HomC (A, B) werden auch in der Form f : A → B
angegeben. Die Elemente von EndC (A) := HomC (A, A) heißen auch Endomorphismen.
4
Beispiele. 1. Die Kategorie Ri der Ringe: Objekte sind Ringe, Morphismen
f : R → S sind Ringhomomorphismen. Die Komposition (10) ist die Hintereinanderausführung von Ringhomomorphismen, und die identischen Morphismen 1R sind
identische Abbildungen.
2. Für jeden Ring R ist R-Mod eine Kategorie: Objekte sind R-Moduln, Morphismen sind R-lineare Abbildungen, usw. Hierbei verwendet man die Abkürzung
HomR (M, N) := HomR-Mod (M, N).
(11)
3-∞. In ähnlicher Weise kann man die Kategorie Set der Mengen (mit Abbildungen als Morphismen), die Kategorie Top der topologischen Räume (mit stetigen
Abbildungen als Morphismen), die Kategorie Grp der Gruppen usw. definieren.
Gewissermaßen besteht die Mathematik aus lauter Kategorien.
Was ist das Besondere an einer Kategorie? Es sind nicht die Objekte, sondern
die Morphismen, die eine Kategorie ausmachen: Den Objekten A entsprechen ja die
identischen Morphismen, so daß damit alles auf Morphismen zurückgeführt ist. Man
betrachtet daher eine Kategorie C als die Gesamtheit ihrer Morphismen. Die Schreibweise f ∈ C bedeutet also, daß f ein Morphismus in C ist. Für die Modultheorie
(wie auch für alle anderen mathematischen Gebiete) hat dies einschneidende Konsequenzen, die wir zunächst nur erahnen können: Wir sehen in einem Modul M nicht
mehr eine Menge von Elementen, sondern die identische Abbildung 1M : M → M,
in welcher alle Daten über M gespeichert sind.
Wenn in der Mathematik zwei Objekte isomorph (=strukturgleich) sind, dann
kann man sie im wesentlichen als gleich ansehen. Isomorphismen lassen sich in jeder
Kategorie C definieren: Ein Isomorphismus f : A → B in C ist ein Morphismus,
zu dem eine Inverse existiert, d. i. ein Morphismus f −1 : B → A mit f −1 f = 1A
und f f −1 = 1B . Offenbar ist f −1 durch f eindeutig bestimmt. Man nennt dann A
∼ B. Ein
und B isomorph: A ∼
= B oder, wenn f mitbezeichnet werden soll, f : A −→
Isomorphismus in Set ist nichts anderes als eine Bijektion, ein Isomorphismus in Ri
ist ein Ringisomorphismus, und ein Isomorphismus in R-Mod ist gleichwertig mit
einem Isomorphismus von R-Moduln.
Q
In §1 hatten wir das Produkt α∈A Mα von R-Moduln Mα definiert. Zu jedem
β ∈ A gibt es hierbei einen natürlichen Homomorphismus
Y
pβ :
Mα → Mβ ,
(12)
α∈A
welcher (xα )α∈A auf die β-Komponente xβ abbildet. Ein Homomorphismus f : M →
Q
α∈A Mα ist offenbar durch seine Komponenten fα := pα f : M → Mα eindeutig bestimmt. Umgekehrt entspricht jeder Familie
Q (fα )α∈A von Homomorphismen
fα : M → Mα ein HomomorphismusQf : M → α∈A Mα mit fα = pα f für alle
α ∈ A. Wir werden nun zeigen, daß α∈A Mα durch diese universelle Eigenschaft
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
5
Definition 4. Sei (Cα )α∈A eine Familie von Objekten in einer Kategorie C. Ein
Objekt C mit Morphismen pα : C → Cα für alle α ∈ A heißt ein Produkt der Cα ,
wenn zu jeder Familie (fα )α∈A von Morphismen fα : B → Cα genau ein Morphismus
f : B → C existiert, so daß das Diagramm
B
f
C
≺
fα
g
pα
≻ Cα
(13)
für alle α ∈ A kommutiert: fα = pα f . Die pα heißen Projektionen des Produkts C.
Satz 3. Zwei Produkte einer Familie (Cα )α∈A von Objekten sind isomorph.
Beweis. Seien C und C ′ Produkte mit Projektionen pα : C → Cα bzw. p′α : C ′ →
Cα . Da C ein Produkt ist, existiert ein Morphismus f : C ′ → C mit p′α = pα f für alle
α ∈ A. Da C ′ ein Produkt ist, existiert ein Morphismus f ′ : C → C ′ mit pα = p′α f ′
für alle α ∈ A. Folglich ist pα = p′α f ′ = pα f f ′ für alle α ∈ A. Da C ein Produkt
ist, gibt es aber nur einen Morphismus g : C → C mit pα = pα g für alle α ∈ A.
Wegen pα = pα · 1C ist also f f ′ = 1C . Analog ergibt sich f ′ f = 1C ′ , und somit ist
f : C ′ → C ein Isomorphismus.
∼ C die Projektionen p′α von C ′
Man beachte, daß der Isomorphismus f : C ′ −→
in die Projektionen pα von C überführt! Das bis auf Isomorphie
eindeutige Produkt
Q
einer Familie (Cα )α∈A wird daher (falls es existiert) mit α∈A Cα bezeichnet.
Q
Beispiel. Das Produkt α∈A Mα von R-Moduln ist nichts anderes als ein Produkt in der Kategorie R-Mod. Die Projektionen sind hierbei durch (12) gegeben.
Der Begriff der Kategorie ist bzgl. der Pfeile (=Morphismen) symmetrisch: Die
Pfeilspitze ist mit dem Pfeilende gleichberechtigt. Daher gibt es zu Definition 4 ein
duales Gegenstück:
Definition 5. Sei (Cα )α∈A eine Familie von Objekten in einer Kategorie C. Ein
Objekt C mit Morphismen eα : Cα → C für alle α ∈ A heißt ein Coprodukt der Cα ,
wenn zu jeder Familie (fα )α∈A von Morphismen fα : Cα → B genau ein Morphismus
f : C → B existiert, so daß das Diagramm
Cα
eα
fα
g
B
≻C
(14)
≺
f
für alle α ∈ A kommutiert: fα = f eα . Die eα heißen Injektionen des Coprodukts C.
6
`
Beispiel. Das Coprodukt α∈A Mα von R-Moduln ist ein Coprodukt in der
Kategorie R-Mod: Injektionen sind hierbei die Inklusionsabbildungen
a
eβ : Mβ ֒→
Mα .
(15)
α∈A
Eine Familie (fα )α∈A von Homomorphismen
fα : Mα → N läßt sich eindeutig zu
`
einem Homomorphismus f : α∈A Mα → N fortsetzen (vgl. Diagramm (14) ). Die
Bijektion f 7→ (fα )α∈A liefert einen natürlichen Isomorphismus in Set:
Y
a
HomR (Mα , N).
(16)
HomR (
Mα , N) ∼
=
α∈A
α∈A
Das Produkt auf der rechten Seite bezeichnet die Produktmenge, die ja aus Familien
von Homomorphismen fα besteht. Kategorientheoretisch ist das ein Produkt in Set!
In der Bijektion (16) ist die Zuordnung f 7→ (fα )α∈A nicht erkennbar. Um sie zu
verdeutlichen, ersetzt man (16) durch das Diagramm aus Definition 5:
Mβ
⊂
eβ
≻
a
Mα
α∈A
fα
f
≺
g
N
Die zu (16) analoge Bijektion für Produkte ist
Y
Y
HomR (M, Mα ).
HomR (M,
Mα ) ∼
=
(17)
α∈A
α∈A
Wie schon oben angedeutet, gibt es zu jeder Kategorie C eine duale Kategorie C op ,
bei welcher die Pfeile umgedreht sind: Jedem Morphismus f : A → B in C entspricht
ein Morphism f op : B → A in C op . Das ist derselbe Pfeil, wobei nur Pfeilspitze als
Pfeilende, und Pfeilende als Pfeilspitze interpretiert werden. Da die Axiome einer
Kategorie selbstdual sind, ist damit C op wieder eine Kategorie. Sie hat die gleichen
Objekte wie C, die gleichen Identitäten 1A , umgekehrte Pfeile, so daß die Komposition durch
f op g op := (gf )op
(18)
definiert werden muß.
Durch die Einführung von C op läßt sich Definition 5 auf Definition 4 zurückführen:
Ein Coprodukt in C ist nichts anderes als ein Produkt in C op .
Q
Bemerkung. Der Begriff des Produkts α∈A Cα in einer Kategorie C ist auch für
A = ∅ sinnvoll: Ein leeres Produkt ist ein Objekt C derart, daß zu jedem Objekt
B genau ein Morphismus B → C existiert. Ein solches Objekt C heißt terminal.
Dual hierzu heißt C initial (=leeres Coprodukt), wenn zu jedem Objekt B genau
ein Morphismus C → B existiert. Nach Satz 3 sind terminale bzw. initiale Objekte
7
bis auf Isomorphie eindeutig. In Set ist z. B. die leere Menge ∅ initial und jede einelementige Menge terminal. (Alle einelementigen Mengen sind tatsächlich isomorph
zueinander, d. h. durch Bijektionen miteinander verknüpft!) In R-Mod fällt das
initiale Objekt mit dem terminalen zusammen: Es ist der Nullmodul.
3
Abelsche Kategorien
Es soll nun genauer untersucht werden, welche besonderen Eigenschaften eine Modulkategorie gegenüber anderen Kategorien auszeichnen. Zunächst läßt sich feststellen, daß man lineare Abbildungen addieren kann:
Definition 6. Eine Kategorie A, bei welcher die Morphismenklassen HomA (A, B)
abelsche Gruppen sind, heißt präadditiv, wenn die Komposition bilinear ist, d. h.
wenn
e(f + g)h = ef h + egh
(19)
für (komponierbare) Morphismen e, f, g, h ∈ A gilt.
Modulkategorien sind offenbar präadditiv.
An dieser Stelle ist es angebracht, auf einen fundamentalen Unterschied zwischen
Mengen und Klassen aufmerksam zu machen. Warum bilden die Morphismen einer
Kategorie eine Klasse und nicht eine Menge? Ohne diese Differenzierung wäre die
Objektklasse Ob Set, d. h. die Klasse aller Mengen selbst eine Menge, die dann also
ein Element von sich selber wäre. Das führt zu Widersprüchen. Ebenso ist die Klasse Ob K-Mod aller K-Vektorräume eine Klasse. Da nämlich jeder Vektorraum eine
Basis hat (d. i. eine Menge), gibt es zuviele Vektorräume, als daß man ihre Gesamtheit noch als Menge ansprechen könnte. Klassen sind also, salopp gesagt: “große”
Mengen, die aber nicht “Mengen” genannt werden dürfen, um den circulus vitiosus
zu vermeiden. Für unsere Zwecke kann man sich mit diesem naiven Standpunkt
begnügen. (Näheres findet man z. B. in Büchern wie Jech: Set Theory.)
Wichtig ist, daß mathematische Strukturen wie Gruppen, Ringe, Moduln usw.
stets Mengen (nicht Klassen!) sind. Außerdem werden Familien (Cα )α∈A von Objekten Cα in einer Kategorie immer durch Mengen A indiziert. Ist die Gesamtheit der
Morphismen einer Kategorie C eine Menge, so heißt C eine kleine Kategorie. Bisher
haben wir nur große Kategorien kennengelernt. Aber auch kleine Kategorien spielen
eine wichtige Rolle:
Satz 4. Ein Ring ist nichts anderes als eine kleine präadditive Kategorie mit genau
einem Objekt.
8
Beweis. Sei A eine kleine präadditive Kategorie mit nur einem Objekt A. Dann
ist A = EndA (A) die Menge aller Morphismen, und das ist eine abelsche Gruppe.
Die Komposition liefert eine Multiplikation, und diese ist wegen der Bilinearität
(19) distributiv. Zu einem Ring fehlt also nur noch ein Einselement, und das ist der
identische Morphismus 1A . Die Umkehrung ist trivial.
Dieses Beispiel zeigt sehr deutlich, daß es nur auf die Morphismen, nicht auf
die Objekte ankommt: Wo ist nämlich das Objekt eines Rings als präadditive Kategorie? Nicht vorhanden! Es wird nur durch das Einselement repräsentiert. Das
Beispiel weist zudem über sich selbst hinaus: R-Moduln sind Darstellungen einer
präadditiven Kategorie und bilden selbst wieder eine präadditive Kategorie!
Als nächstes wollen wir uns dem Biprodukt zuwenden.
Definition 7. Seien A1 , . . . , An Objekte einer präadditiven Kategorie A. Ein Objekt A mit Morphismen pi : A → Ai und ei : Ai → A heißt Biprodukt der Ai , wenn
für i, j ∈ {1, . . . , n} gilt:
pi ei = 1Ai ;
pi ej = 0 für i 6= j ;
e1 p1 + · · · + en pn = 1A .
(20)
Die pi (bzw. ei ) heißen Projektion (Injektionen) des Biprodukts.
Bemerkung. Für n = 2 sind die Bedingungen p1 e2 = 0 und p2 e1 = 0 überflüssig.
Satz 5. Ein Biprodukt ist Produkt und Coprodukt zugleich.
Beweis. Aus Dualitätsgründen genügt es, zu zeigen, daß das Biprodukt in Definition 7 ein Produkt bzgl. der pi ist. Sei dazu eine Familie (f1 , . . . , fn ) von Morphismen
fi : B → Ai gegeben. Wir müssen zeigen, daß es genau einen Morphismus f : B → A
gibt, welcher das Diagramm
B
fi
pi g
≻ Ai
f
A
≺
kommutatuv macht. Nach (20) ist f = (e1 p1 + · · · + en pn )f = e1 f1 + · · · + en fn .
Also ist f eindeutig bestimmt. Wegen pi (e1 f1 + · · · + en fn ) = pi ei fi = fi leistet
f := e1 f1 + · · · + en fn das Gewünschte.
Nach Satz 5 und Satz
Ln3 ist ein Biprodukt bis auf Isomorphie eindeutig. Wir
bezeichnen es daher mit i=1 Ai oder A1 ⊕ · · · ⊕ An . Definition 7 ist auch für n = 0
sinnvoll. Nach der Bemerkung in §2 ist es naheliegend, ein leeres Biprodukt als ein
initiales terminales Objekt aufzufassen. Ein solches Objekt 0 wird als Nullobjekt
bezeichnet. Theoretisch kann es natürlich beliebig viele Nullobjekte geben. Da sie
9
aber alle zueinander isomorph sind, erlaubt man sich die Freiheit, sie alle mit 0 zu
bezeichnen und als das Nullobjekt anzusprechen. Ein Morphismus f : A → B ist
offenbar genau dann = 0, wenn er über ein Nullobjekt faktorisiert, d. h. wenn er
sich aus Morphismen A → 0 → B zusammensetzt.
Definition 8. Eine präadditive Kategorie heißt additiv, wenn in ihr endliche (also
insbesondere leere) Biprodukte existieren.
Modulkategorien sind demnach additiv.
Definition 9. Sei f : A → B ein Morphismus in einer präadditiven Kategorie A.
Ein Objekt K zusammen mit einem Morphismus k : K → A heißt Kern von f , wenn
f k = 0 gilt und zu jedem Morphismus g : X → A mit f g = 0 genau ein Morphismus
g ′ : X → K mit g = kg ′ existiert.
Dual hierzu heißt ein Objekt C mit einem Morphismus c : B → C Cokern von
f , wenn cf = 0 und zu jedem Morphismus h : B → Y mit hf = 0 genau ein
Morphismus h′ : C → Y mit h = h′ c existiert:
X
g′
g
g
≺ k
K≻
≻A
f
≻B
≻≻ C
(21)
h′
≺
h
g
Y
c
Eine additive Kategorie, in welcher jeder Morphismus einen Kern und einen Cokern
besitzt, heißt präabelsch.
Kerne bezeichnen wir mit ֌, Cokerne mit ։. Kerne in A sind offenbar das gleiche
wie Cokerne in Aop .
Satz 6. Kerne und Cokerne sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Beweis. Seien k : K ֌ A und k ′ : K ′ ֌ A Kerne von f : A → B. Dann existieren
Morphismen g : K ′ → K und g ′ : K → K ′ mit k ′ = kg und k = k ′ g ′. Also ist
k(gg ′) = k. Wegen der Eindeutigkeitsbedingung und k · 1K = k folgt somit gg ′ = 1K .
Analog ergibt sich g ′ g = 1K ′ . Also ist g ein Isomorphismus. Der Rest ist dual.
Der Beweis verläuft ganz ähnlich wie der von Satz 3. Das ist kein Zufall, denn
Produkte und Kerne haben einen gemeinsamen Oberbegriff, den Limes! Hierzu an
anderer Stelle. Aufgrund von Satz 6 bezeichnen wir den Kern von f : A → B mit
ker f : Ker f ֌ A und den Cokern mit cok f : B ։ Cok f .
10
Beispiel. Der Kern einer R-linearen Abbildung f : M → N ist ein Kern gemäß
Definition 9. Dabei ist ker f die Inklusionsabbildung Ker f ֒→ M. Der hierzu duale
Cokern wurde erst durch die Kategorientheorie ins Bewußtsein gehoben: Er hat die
Form
cok f : N ։ N/f (M).
(22)
Ist nun h : N → Y eine R-lineare Abbildung mit hf = 0, so ist h(f (M)) = 0, d. h.
für x, y ∈ N ist stets h(x) = h(y), wenn x + f (M) = y + f (M). Deshalb induziert h
eine lineare Abbildung h′ : N/f (M) → Y , woraus die Cokern-Eigenschaft von (22)
folgt. Modulkategorien sind also präabelsch.
Definition 10. Ein Morphismus f : A → B einer präadditiven Kategorie A heißt
monomorph oder ein Monomorphismus, wenn die Implikation f g = 0 ⇒ g = 0 für
alle Morphismen g : X → A gilt. Dual heißt f epimorph oder ein Epimorphismus,
wenn f op ∈ Aop monomorph ist.
Besitzt A ein Nullobjekt, so ist f genau dann monomorph, wenn 0 → A ein Kern
von f ist. Ähnliches gilt für Epimorphismen! Aus der Eindeutigkeit der Morphismen
g ′ und h′ in (21) folgt:
Satz 7. Kerne sind monomorph, Cokerne epimorph.
Die Umkehrung ist i. a. falsch. Sie gilt jedoch für Modulkategorien (Jeder Epimorphismus ist Cokern seines Kerns!), d. h. R-Mod ist eine abelsche Kategorie:
Definition 11. Eine präabelsche Kategorie heißt abelsch, wenn jeder Monomorphismus ein Kern und jeder Epimorphismus ein Cokern ist.
4
Projektive und injektive Moduln
Innerhalb der Kategorie R-Mod spielen zwei Klassen von Moduln eine hervorragende Rolle: die projektiven bzw. injektiven Moduln. Sie sind durch (zueinander duale)
Lifting-Eigenschaften gegeben, die sich in jeder präadditiven Kategorie definieren
lassen:
Definition 12. Ein Objekt P einer präadditiven Kategorie heißt projektiv, wenn
zu jedem Cokern p : A ։ B und jedem Morphismus f : P → B ein Morphismus
f ′ : P → A existiert, so daß folgendes Diagramm kommutiert (f = pf ′ ):
P
f′
A
≺
11
f
g
p
≻≻ B
(23)
Ein Objekt I heißt injektiv, wenn zu jedem Kern i : A ֌ B und jedem Morphismus f : A → I ein Morphismus f ′ : B → I existiert, so daß folgendes Diagramm
kommutiert (f = f ′ i):
i
A≻ ≻B
f′
(24)
≺
f
g
I
Für Modulkategorien ist der Cokern p (bzw. der Kern i) einfach gleichbedeutend
mit einem Epimorphismus (Monomorphismus).
Bevor wir auf projektive und injektive Objekte näher eingehen, müssen wir uns
klar machen, was ein direkter Summand genauer bedeutet. Seien i : A → B und
p : B → A Morphismen einer präadditiven Kategorie, welche die Gleichung pi = 1A
erfüllen. Dann ist i ein Monomorphismus, denn aus if = 0 folgt f = pif = 0.
Dual hierzu ist p ein Epimorphismus. Man nennt solche Mono- bzw. Epimorphismen
aufspaltend. Die vier Morphismen eines Biprodukts mit zwei Summanden
i
j
p
q
A⇄A⊕C ⇆C
(25)
sind offenbar alle aufspaltend. Umgekehrt gilt
Satz 8. Seien i : A → B und p : B → A Morphismen einer präabelschen Kategorie A, welche die Gleichung pi = 1A erfüllen. Dann lassen sich i und p zu einem
Biprodukt
i
j
p
q
A⇄B⇆C
(26)
ergänzen.
Beweis. Sei j : C → B Kern von p. Dann gilt p(1B − ip) = p − pip = 0. Also
existiert genau ein q : B → C mit 1B − ip = jq. Somit ist ip + jq = 1B und
j(1C − qj) = (1B − jq)j = ipj = 0. Nach Satz 7 folgt hieraus 1C − qj = 0, womit
die Bedingungen von Definition 7 erfüllt sind (s. anschl. Bemerkung).
Der Beweis zeigt insbesondere, daß die Inklusion j in (25) ein Kern ist. Aufspaltende Monomorphismen sind also spezielle Kerne, aufspaltende Epimorphismen
(dual dazu) spezielle Cokerne. Ein Objekt A wie im vorstehenden Satz nennen wir
auch einen direkten Summanden von B. Insbesondere ist ein Untermodul N eines
Moduls M genau dann ein direkter Summand, wenn N ֒→ M aufspaltet.
Satz 9. Sei A eine präadditive Kategorie.
(a) Jeder direkte Summand eines projektiven Objekts ist projektiv.
(b) Ein Coprodukt von projektiven Objekten ist projektiv.
12
Beweis. a) Sei P = P1 ⊕ P2 projektiv. Wir zeigen, daß dann auch P1 projektiv
ist. Sei also p : A ։ B ein Cokern und f : P1 → B ein beliebiger Morphismus. Wir
betrachten die Projektion p1 : P → P1 . Da P projektiv ist, existiert ein Morphismus
f ′ : P → A, welcher das Diagramm
P
p1
→ P1
f′
↓
A
f
↓
p
։B
kommutativ macht. Nun gibt es auch eine Inklusion e1 : P1 → P , und es gilt p1 e1 =
1P1 . Somit ist f = f p1 e1 = p(f ′ e1 ), womit die Projektivität von P1 gezeigt ist.
`
b) Sei Pα projektiv für alle α ∈ A. Wir zeigen, daß das Coprodukt `α∈A Pα (falls
existent) projektiv ist. Sei dazu wieder p : A ։ B ein Cokern und f : `
α∈A Pα → B
ein beliebiger Morphismus. Nun haben wir eine Inklusion eβ : Pβ → α∈A Pα für
jedes β ∈ A. Also existieren fβ : Pβ → A, so daß die Diagramme
Pβ
eβ a
→
Pα
α∈A
fβ
f
↓
↓
p
A
։B
`
kommutieren. Die fβ definieren einen Morphismus f ′ : α∈A Pα → A, der durch
die Gleichungen f ′ eβ = fβ eindeutig bestimmt ist. Die Kommutativität des obigen
Diagramms besagt also, daß (f −pf ′ )eβ = 0 für alle β ∈ A. Andererseits ist `
0·eβ = 0
′
für alle β ∈ A. Folglich ist f − pf = 0, und damit ist die Projektivität von α∈A Pα
gezeigt.
Durch Übergang zur dualen Kategorie erhalten wir den dualen Satz:
Satz 10. Sei A eine präadditive Kategorie.
(a) Jeder direkte Summand eines injektiven Objekts ist injektiv.
(b) Ein Produkt von injektiven Objekten ist injektiv.
Wendet man diese Sätze auf Moduln an, so sieht man, wieviel Mühe man spart,
wenn man vorhandene Dualitäten ausnützt. Während die Definition einer abelschen
Kategorie selbstdual ist, so ist die duale Kategorie einer Modulkategorie i. a. keineswegs wieder eine Modulkategorie. Deshalb können projektive und injektive Moduln
sehr verschieden gebaut sein, wie das folgende Beispiel andeutet, welches hier ohne
Beweis vorgestellt wird.
Beispiel. Projektive Z-Moduln (=abelsche Gruppen) sind alle frei, also von der
Form Z(A) für eine Menge (Basis) A. Injektive abelsche Gruppen dagegen sind die
13
additive Gruppe von Q, die unzerlegbaren direkten Summanden Zp∞ von Q/Z (für
jede Primzahl p eine), und alle Coprodukte solcher Gruppen Q und Zp∞ .
Für einen beliebigen Ring lassen sich die projektiven Moduln ziemlich genau
beschreiben, während das für die injektiven Moduln nicht immer gelingt.
Satz 11. Sei R ein Ring. Ein R-Modul P ist genau dann projektiv, wenn er ein
direkter Summand eines freien R-Moduls ist.
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß der R-Modul R R projektiv ist. Sei dazu M
ein beliebiger R-Modul. Jedes Element x ∈ M definiert eine R-lineare Abbildung
fx : R R → M, nämlich f (a) := ax. Man verifiziert leicht, daß diese Abbildung linear
ist. Umgekehrt ist eine lineare Abbildung f : R R → M bereits durch das Element
f (1) vollständig bestimmt: f (a) = f (a · 1) = af (1). Hat man also einen Epimorphismus p : M ։ N von R-Moduln und eine R-lineare Abbildung f : R R → N , so
findet man, da p surjektiv ist, ein Element x ∈ M mit p(x) = f (1). Die Abbildung
fx : R R → M liefert daher das gesuchte Lifting
RR
M
fx
≺ p
f
g
≻≻ N.
Also ist R R projektiv. Nach Satz 9 ist damit jeder direkte Summand eines freien
R-Moduls projektiv.
Sei umgekehrt P ein projektiver R-Modul. Jedes x ∈ P definiert also einen
Homomorphismus fx : R R → P mit fx (1) = x. Nach Definition 5 liefern die fx einen
Epimorphismus f : (R R)(P ) ։ P . Da P projektiv ist, existiert ein Homomorphismus
g : P → (R R)(P ) , welcher das Diagramm
P
(R R)
g
≺
(P ) f
1P
g
≻≻ P
kommutativ ergänzt. Nach Satz 8 ist somit P ein direkter Summand des freien
R-Moduls (R R)(P ) .
Wie im vorstehenden Beweis finden wir zu jedem R-Modul M einen Epimorphismus
(R R)(M ) ։ M.
(27)
Definition 13. Man sagt, eine präadditive Kategorie A habe genug Projektive (Objekte), wenn zu jedem Objekt A ein Cokern P ։ A mit P projektiv existiert. Gibt es
zu jedem A einen Kern A ֌ I mit I injektiv, so sagt man, A habe genug Injektive.
14
Eine Modulkategorie R-Mod hat also stets genug Projektive. Ohne Beweis sei
angemerkt, daß R-Mod auch genug Injektive hat, daß also jeder R-Modul Untermodul eines injektiven Moduls ist.
5
Funktoren
Wir haben gesagt, die Mathematik bestehe aus Kategorien. Kategorien sind Objekte.
Gibt es auch Morphismen zwischen Kategorien?
Definition 14. Seien C, D Kategorien. Ein Funktor F : C → D ist eine Abbildung
zusammen mit einer Objektabbildung F : Ob C → Ob D (die ebenfalls mit F bezeichnet wird), so daß HomC (A, B) für beliebige A, B ∈ Ob C in HomD (F A, F B)
f
g
abgebildet wird und für Morphismen A → B → C in C gilt:
F (gf ) = F (g)F (f ) ;
F (1A ) = 1F A .
Da F identische Morphismen in ebensolche abbildet, hätte man sich die Objektabbildung eigentlich sparen können. Sie dient nur der einfacheren Formulierung. Sind
C, D präadditiv, so heißt der Funktor F : C → D additiv, falls seine Einschränkungen
HomC (A, B) → HomD (F A, F B)
(28)
F
G
Gruppenhomomorphismen sind: F (f + g) = F f + F g. Funktoren C → D → E kann
man komponieren: Die Hintereinanderausführung GF : C → E ist dann wieder ein
Funktor. Ferner ist die identische Abbildung 1C : C → C ein Funktor. Mithin bilden
alle kleinen Kategorien eine Kategorie Cat, mit Funktoren als Morphismen. Es sei
ausdrücklich angemerkt, daß für einen einzelnen Funktor F : C → D die Kategorien
C, D auch groß sein dürfen.
Da nun, wie gesagt, die Morphismen gegenüber den Objekten eine überragende
Rolle spielen, besteht also die Mathematik nicht eigentlich aus Kategorien, sondern
vielmehr aus Funktoren!
Beispiele. 1. Seien R und S Ringe, aufgefaßt als präadditive Kategorien mit je
einem Objekt. Ein additiver Funktor F : R → S ist dann nichts anderes als ein
Ringhomomorphismus.
2. Moduln sind Funktoren: Sei R ein Ring. Ein additiver Funktor F : R → Ab
überführt das einzige Objekt von R in eine abelsche Gruppe M ∈ Ob Ab. Somit
ist F gleichwertig mit einem Ringhomomorphismus (5). Nach Satz 2 ist also ein
additiver Funktor F : R → Ab gleichwertig mit einem R-Modul!
3. Vergißfunktoren: Jeder Modul ist eine abelsche Gruppe. Vergißt man das, was
den Modul über die abelsche Gruppe hinaushebt, so erhält man den Vergißfunktor
15
V : R-Mod → Ab, der jedem R-Modul M die unterliegende abelsche Gruppe zuordnet. Für einen Morphismus f : M → N in R-Mod ist V (f ) : V (M) → V (N)
dieselbe R-lineare Abbildung f , aufgefaßt als Gruppenhomomorphismus.
4. Man kann noch einen Schritt weiter gehen, und auch die abelsche Gruppenstruktur vergessen: Dann erhält man einen Vergißfunktor R-Mod → Set, den einem
R-Modul M die Menge M zuordnet.
5. Umgekehrt gibt es einen Funktor F : Set → R-Mod, der eine Menge B in
einen R-Modul überführt: F (B) := (R R)(B) . Ist f : B → C eine Abbildung von
Mengen, so ist F (f ) : (R R)(B) → (R R)(C) die lineare Fortsetzung:
F (f )(
n
X
ai xi ) :=
n
X
ai f (xi ),
i=1
i=1
wobei ai ∈ R und xi ∈ B.
6. Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus. Dann induziert f einen Funktor f ∗ : S-Mod → R-Mod. Einem S-Modul M wird hierbei ein R-Modul f ∗ (M)
zugeordnet, der als abelsche Gruppe mit M übereinstimmt. Die Modulstruktur
f
λ
λ : S → End(M) (gemäß (5)) wird jedoch ersetzt durch R → S → End(M), d. h. für
a ∈ R und x ∈ M ist die R-Modulstruktur von M gegeben durch a · x := f (a)x. Offenbar ist jede S-lineare Abbildung g : M → N mit dieser Definition auch R-linear,
und damit wird f ∗ zu einem Funktor.
Ein Spezialfall hiervon ist der Vergißfunktor V : R-Mod → Ab. Dieser entspricht
dem Ringhomomorphismus Z → R aus Satz 1.
7. Kommutative Diagramme sind Funktoren: Sei z. B. I die Kategorie
a
β
↓
c
α
→b
γ
↓
δ
→d
(29)
mit Ob I = {a, b, c, d} und vier Morphismen α, β, γ, δ wie in (29) angegeben, nebst
γα = δβ. Hinzu kommen natürlich die Identitäten 1a , 1b , 1c , 1d , welche die Bedingungen α1a = 1b α = α usw. erfüllen. Ein Funktor F : I → C ist dann nichts anderes
als ein kommutatives Quadrat
p
A
→B
q
r
↓
↓
s
→D
C
in C. Hierbei ist A = F (a), B = F (b), C = F (c), D = F (d) und p = F (α), q = F (β),
r = F (γ), s = F (δ).
16
Bemerkung. Eine Menge Ω mit einer Relation 6 heißt Quasiordnung, wenn sie
die Axiome
a6a
a6b6c ⇒ a6c
(30)
(31)
erfüllt. Interpretiert man die Elemente von Ω als Objekte und a 6 b als Morphismus a → b, so ist Ω eine kleine Kategorie. Umgekehrt ist eine kleine Kategorie Ω
genau dann eine Quasiordnung, wenn zu zwei Objekten a, b höchstens ein Morphismus a → b existiert: Die Reflexivität (30) ergibt sich aus den Identitäten 1a , die
Transitivität (31) aus der Komposition (10).
Eine Kategorie C heißt Skelettkategorie, wenn zwei isomorphe Objekte jeweils
gleich sind. Eine Quasiordnung Ω ist genau dann eine Skelettkategorie, wenn sie die
Antisymmetrie
a6b6a ⇒ a=b
(32)
erfüllt. Eine solche Quasiordnung heißt Halbordnung. Endliche Halbordungen lassen
sich als Hasse-Diagramm darstellen, wobei die Elemente der Größe nach angeordnet
werden. Die Halbordnung (29) hat z. B. das Hasse-Diagramm
d
c
b
a
Wenn Moduln Funktoren sind, dann sollte es auch Morphismen zwischen Funktoren geben. Es gibt sie:
Definition 15. Seien F, G : C → D Funktoren. Eine natürliche Transformation
α : F → G ordnet jedem Objekt A von C einen Morphismus αA : F A → GA zu, so
daß für jeden Morphismus f : A → B in C das Diagramm
FA
αA
→ GA
Ff
Gf
↓
↓
αB
→ GB
FB
(33)
kommutiert.
α
β
Natürliche Transformationen kann man komponieren: Sind F → G → H natürliche
Transformationen, so ist βα : F → H durch die Komponenten (βα)A = βA αA gegeben. Ferner existiert eine Identität 1F : F → F mit den Komponenten (1F )A = 1F A .
Die Funktoren F : C → D bilden also eine Kategorie, die Funktorkategorie D C .
17
Beispiel. Wir haben gesehen, daß R-Moduln als additive Funktoren F : R → Ab
aufgefaßt werden können. Da R nur ein Objekt A besitzt, hat eine natürliche Transformation α : F → G zwischen R-Moduln nur eine Komponente αA : F A → GA,
und die Kommutativität der Diagramme (33) besagt gerade, daß αA eine R-lineare
Abbildung ist. Modul-Homomorphismen sind also natürliche Transformationen!
Definition 16. Ein Funktor F : C → D heißt voll (treu), wenn die Abbildungen
(28) surjektiv (injektiv) sind. F heißt dicht, wenn jedes Objekt von D zu einem
Objekt F C mit C ∈ Ob C isomorph ist.
Eine Kategorie C heißt Unterkategorie einer Kategorie D, wenn Ob C ⊂ Ob D und
C ⊂ D, so daß die Inklusion C ֒→ D ein treuer Funktor ist. Ist dieser sogar voll, so
heißt C eine volle Unterkategorie von D. Volle Unterkategorien von D entsprechen
also einfach den Teilklassen von Ob D.
Wählt man aus jeder Isomorphieklasse von Objekten einer Kategorie C ein Objekt als Repräsentanten aus, so bilden diese Objekte eine volle Unterkategorie S
von C, die man als ein Skelett von C bezeichnet. Zu jedem Objekt A von C gibt es
dann also genau ein S(A) ∈ Ob S mit A ∼
= S(A). Wählt man zu jedem A einen
∼ A, so ist C durch S und diese Isomorphismen
festen Isomorphismus iA : S(A) −→
bereits festgelegt: Jeder Morphismus f : A → B entspricht genau einem Morphismus
S(f ) : S(A) → S(B), so daß das Diagramm
S(A)
S(f )
→ S(B)
≀ iA
↓
A
≀ iB
↓
f
→B
(34)
kommutiert. Für die Komposition von Morphismen gilt: S(f g) = S(f )S(g), und
S(1A ) = 1S(A) . Eine Kategorie ist also durch ein Skelett im wesentlichen bestimmt.
Um einen Funktor F : C → D zu definieren, genügt es daher, F auf einem Skelett
S von C festzulegen. Die Isomorphismen iA werden nämlich durch F in Isomorphismen abgebildet. Zwei Kategorien C und D heißen isomorph (C ∼
= D), wenn es einen
Isomorphismus, d. h. einen Funktor F : C → D gibt, der sowohl auf den Objekten als
auch auf den Morphismen bijektiv ist. Ein solcher Funktor F besitzt einen inversen
Funktor F −1 , d. h. F −1 F = 1C und F F −1 = 1D . Ist nur ein Skelett von C zu einem
Skelett von D isomorph, so heißen C und D äquivalent: C ≈ D. Eine Äquivalenz
liegt offenbar genau dann vor, wenn ein voll treuer und dichter Funktor F : C → D
existiert. Dieser ist dann bis auf Isomorphie umkehrbar, d. h. es existiert ein Funktor
G : D → C mit GF ∼
= 1D . Insbesondere ist eine Kategorie C zu jedem
= 1C und F G ∼
ihrer Skelette äquivalent, während alle Skelette untereinander isomorph sind.
18
6
Varietäten
Ln
Lm
Ein Morphismus f :
j=1 Bj →
i=1 Ai einer präadditiven Kategorie A läßt sich
in Komponenten fij : Bj → Ai zerlegen:
fij := pi f ej ,
(35)
wobei die Bezeichnungen von Definition 7 für beide Biprodukte beibehalten sind.
Umgekehrt ist f durch diese Komponenten eindeutig bestimmt:
f=
m
X
i=1
ei pi f
n
X
ej pj =
j=1
m X
n
X
ei fij pj ,
i=1 j=1
weshalb wir f als Matrix mit m Zeilen und n Spalten schreiben:
f = (fij ).
(36)
Die Komposition
vonL
Morphismen entspricht dann der Multiplikation von Matrizen:
Lp
n
Ist gP
:
C
→
Bj ein weiterer Morphismus, so ist (f g)ik = pi f gek =
k=1 k
Pj=1
n
n
pi f ( j=1 ej pj )gek = j=1 pi f ej pj gek , also tatsächlich
(f g)ik =
n
X
fij gjk .
(37)
j=1
Die Matrixbezeichnung läßt sich insbesondere auf die Inklusionen und Projektionen
eines Biprodukts
A = A1 ⊕
· · · ⊕ An anwenden. Für n = 2 ist z. B. p1 = (1 0), p2 =
1
0
(0 1), e1 = 0 und e2 = 1 . Die Gleichungen (20) werden so zu Matrixgleichungen.
Diese Überlegungen lassen sich benützen, um eine präadditive Kategorie A in
eine additiven Kategorie mat(A) (als volle Unterkategorie) einzubetten. Die Objekte
von mat(A) sind n-Tupel (A1 , . . . , An ) von Objekten Ai ∈ Ob A, wobei n ∈ N.
Morphismen (A1 , . . . , An ) → (B1 , . . . , Bm ) in mat(A) sind (m, n)-Matrizen (fij ) mit
fij ∈ HomA (Aj , Bi ), und die Komposition ist natürlich die Matrix-Multiplikation.
Die Zuordnung, welche jedem Objekt A von A das 1-Tupel (A) zuordnet, liefert eine
volle Einbettung
A ֒→ mat(A).
(38)
Somit ist (A1 , . . . , An ) ein Biprodukt der A1 , . . . , An , und daher ist mat(A) eine
additive
Kategorie mit Nullobjekt ( ). Ist A = A1 ⊕ A2 ein Biprodukt in A, so ist
p1
:
A
→
(A1 , A2 ) ein Isomorphismus mit inversem Morphismus (e1 e2 ), wie man
p2
leicht nachrechnet.
Definition 17. Ein Endomorphismus e einer präadditiven Kategorie A heißt idempotent, wenn e · e = e. Zwei Idempotente e, f ∈ EndA (A) heißen orthogonal, wenn
ef = f e = 0.
19
Die Endomorphismen ei pi in Definition 7 sind z. B. idempotent und paarweise orthogonal. Zu jedem Idempotent e ∈ EndA (A) ist (1A − e) ein zu e orthogonales
Idempotent.
Zwei Morphismen i : A → B und p : B → A mit pi = 1A definieren stets ein
Idempotent e := ip. Ein Idempotent e : B → B, welches eine solche Zerlegung
e = ip gestattet, heißt aufspaltend. Nicht jedes Idempotent spaltet auf.
Definition 18. Eine additive Kategorie, in welcher jedes Idempotent aufspaltet,
heißt eine Varietät.
Satz 12. Eine additive Kategorie A, in welcher jeder Morphismus einen Kern oder
Cokern besitzt, ist eine Varietät.
Beweis. Sei e ∈ EndA (A) ein Idempotent. Besitzt 1A − e einen Kern i : B → A,
so folgt aus (1A − e)e = 0 die Existenz eines Morphismus p : A → B mit e = ip. Aus
i(1B − pi) = (1A − e)i = 0 folgt 1B − pi = 0, da i monomorph ist. Also spaltet e auf.
Hat 1A − e einen Cokern, so folgt letzteres in dualer Weise.
Sei A eine additive Kategorie. Wir wollen A in eine Varietät Ae einbetten. Objekte von Ae sind Paare (A, e) mit A ∈ Ob A und einem Idempotent e ∈ EndA (A).
Morphismen f : (A, e) → (A′ , e′ ) in Ae sind Morphismen f ∈ HomA (A, A′ ), welche der Bedingung f e = e′ f = f genügen. Ist g : (A′ , e′ ) → (A′′ , e′′ ) ein weiterer Morphismus in Ae , so ist gf ∈ HomAe ((A, e), (A′′ , e′′ )). Identitäten in Ae sind
1(A,e) = e. Somit ist Ae eine Kategorie. Für beliebige Objekte (A, e) und (A′ , e′ )
in Ae ist HomAe ((A, e), (A′ , e′ )) eine Untergruppe von HomA (A, A′ ). Folglich ist Ae
präadditiv. Ferner ist (A⊕A′ , e⊕e′ ) = (A, e)⊕(A′ , e′ ) mit den gleichen Projektionen
und Inklusionen wie A ⊕ A′ . Also ist Ae eine additive Kategorie, und A 7→ (A, 1A )
definiert eine volle Einbettung
A ֒→ Ae .
(39)
Schließlich ist Ae sogar eine Varietät, denn jedes Idempotent f : (A, e) → (A, e)
besitzt eine Aufspaltung
p
i
(A, f ) −→ (A, e) −→ (A, f )
(40)
mit i = p = f . (Letztere Gleichung gilt natürlich nur in A, nicht in Ae .)
Für eine beliebige präadditive Kategorie A definieren wir
add(A) := mat(A)e .
(41)
Nach dem oben Gezeigten haben wir also eine volle Einbettung
A ֒→ add(A).
20
(42)
Satz 13. Sei A eine präadditive Kategorie. Jeder additive Funktor F : A → V in
eine Varietät V läßt sich zu einem additiven Funktor F ′ : add(A) → V fortsetzen.
Ist F voll (treu), so ist auch F ′ voll (treu).
Beweis. Für ein Objekt (A1 , . . . , An ) von mat(A) definieren wir
F ′ (A1 , . . . , An ) := F (A1 ) ⊕ · · · ⊕ F (An ).
Ein Morphismus (A1 , . . . , An ) → (B1 , . . . , Bm ) in mat(A) ist eine (m, n)-Matrix
(fij ). Wir definieren daher F ′ (fij ) als die (m, n)-Matrix mit dem (i, j)-ten Eintrag
F (fij ). Das ergibt eine Fortsetzung von F auf mat(A). Ist F voll oder treu, so
überträgt sich diese Eigenschaft offenbar auf F ′ .
Um die Fortsetzung auf add(A) = mat(A)e zu finden, genügt es also, wenn wir
A als additiv voraussetzen und eine Fortsetzung F ′ : Ae → V zu konstruieren. Sei
(A, e) ein Objekt von Ae . Dann ist F (e) ∈ V idempotent. Da V eine Varietät ist,
p
i
existieren Morphismen F (A) → B → F (A) in V mit pi = 1B und ip = F (e). Wir
definieren F ′ (A, e) := B. Sei (A′ , e′ ) ein weiteres Objekt mit einer entsprechenden
p′
i′
Aufspaltung F (A′ ) → B ′ → F (A′ ) von F (e′ ), also F ′ (A′ , e′ ) := B ′ . Für einen
Morphismus f : (A, e) → (A′ , e′ ) in Ae setzen wir dann
F ′ (f ) := p′ F (f )i.
(43)
Man verifiziert leicht, daß dies bei fester Wahl der Aufspaltungen einen additiven
Funktor F ′ : Ae → V definiert, der auf A mit F übereinstimmt. Sei F voll und
g : F ′ (A, e) → F ′ (A′ , e′ ) ein Morphismus in V, also (mit den obigen Bezeichnungen)
g : B → B ′ . Dann existiert ein Morphismus f : A → A′ in A mit F (f ) = i′ gp.
Hieraus folgt wegen (43) F ′ (f ) = p′ i′ gpi = g. Somit ist F ′ voll. Sei F treu und
F ′ (f ) = 0 für einen Morphismus f : (A, e) → (A′ , e′ ). Dann ist F (f ) = F (e′ f e) =
F (e′ )F (f )F (e) = i′ p′ F (f )ip = 0, also f = 0. Somit ist F ′ treu.
Wir betrachten nun eine interne Version von add(A).
Definition 19. Für eine präadditive Kategorie A heißt I ⊂ A ein Ideal, wenn
I(A, B) := I ∩ HomA (A, B)
(44)
für alle A, B ∈ Ob A eine Untergruppe von HomA (A, B) ist und für Morphismen
a
b
c
A → B → C → D in A mit b ∈ I gilt: ba, cb ∈ I.
Ist A ein Ring gemäß Satz 4, so stimmt diese Definition mit der gewöhnlichen
überein. Wir definieren die Faktorkategorie A/I durch Ob A/I := Ob A und
HomA/I (A, B) := HomA (A, B)/I(A, B).
21
(45)
Die Komposition von Restklassen modulo I ist dann aufgrund der Eigenschaften von
I wohldefiniert, weshalb A/I wieder eine präadditive Kategorie ist. Faktorringe R/I
nach einem Ideal I eines Rings R bilden einen Spezialfall.
Jede volle Unterkategorie B von A erzeugt ein Ideal [B], welches aus den Morgi
h
phismen f : A → C der Form f = g1 h1 + · · ·+ gn hn mit A →i Bi → C und Bi ∈ Ob B
besteht. Genauer gesagt, wird [B] von den Identitäten 1B mit B ∈ Ob B erzeugt.
Mit add B bezeichnen wir die volle Unterkategorie von A, deren Objekte D in A/[B]
verschwinden, d. h. die Bedingung 1D ∈ [B] erfüllen.
Satz 14. Sei A eine volle Unterkategorie einer Varietät V. Die volle Unterkategorie
add A von V ist äquivalent zu add(A).
Beweis. Nach Satz 13 läßt sich der Inklusionsfunktor E : A ֒→ add A zu einem
additiven Funktor E ′ : add(A) → add A fortsetzen. Da E voll treu ist, gilt das
gleiche für E ′ . Für jedes Objekt D von add A ist 1D = g1 h1 + · · · + gn hn mit
Ln
gi
h
D →i Ai → D und L
Ai ∈ Ob A. Mit g := (g1 · · · gn ) :
i=1 Ai → D und h :=
(h1 · · · hn )⊤ : D → ni=1 Ai ist dann 1D = gh, und daher ist hg ein Idempotent.
Nach dem Beweis von Satz 13 ist somit E ′ dicht, also eine Äquivalenz.
7
Morita-Äquivalenz
In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wann für zwei Ringe R und S die
Modulkategorien R-Mod und S-Mod äquivalent sind. Hierbei spielt der Begriff der
Varietät eine wichtige Rolle.
Ein R-Modul M heißt endlich erzeugt, wenn Elemente x1 , . . . , xn ∈ M existieren, so daß jedes Element x ∈ M in der Form x = a1 x1 + · · · + an xn mit ai ∈ R
geschrieben werden kann. Die im Beweis von Satz 11 betrachteten Homomorphismen fxi : R R → M mit fxi (1) = xi setzen sich dann vermöge (16) zusammen zu
einem Epimorphismus (R R)n ։ M. Ein epimorphes Bild N eines endlich erzeugten
R-Moduls M ist wieder endlich erzeugt, da jedes Erzeugendensystem {x1 , . . . , xn }
von M durch einen Epimorphismus M ։ N auf ein Erzeugendensystem von N
abgebildet wird. Somit ist ein R-Modul M genau dann endlich erzeugt, wenn ein
Epimorphismus (R R)n ։ M für ein n ∈ N existiert.
Ein direkter Summand eines endlich erzeugten R-Moduls M ist (als epimorphes
Bild von M) wieder endlich erzeugt, während ein Untermodul von M diese Eigenschaft von M im allgemeinen nicht erbt.
Ein endlich erzeugter projektiver R-Modul ist also nach Satz 11 das gleiche wie
ein direkter Summand von (R R)n für geeignetes n. Die endlich erzeugten projektiven R-Moduln bilden eine volle Unterkategorie von R-Mod, die wir mit R-proj
bezeichnen.
22
Sei nun P = {R R} die volle Unterkategorie von R-Mod mit dem einzigen
Objekt R R. Dann besteht das Ideal [P] aus den R-linearen Abbildungen, welche
über einen R-Modul der Form (R R)n faktorisieren. Nach Satz 8 besteht daher
add P = add {R R} genau aus den endlich erzeugten projektiven R-Moduln:
add {R R} = R-proj.
(46)
Nach Satz 14 ist also R-proj eine Varietät. Wir fragen zunächst: Wie hängt der
R-Modul R R mit dem Ring R zusammen? Fassen wir R nach Satz 4 als präadditive
Kategorie auf, so entspricht der dualen Kategorie ein Ring Rop , welcher sich von R
nur dadurch unterscheidet, daß seine Multiplikation R × R → R durch (a, b) 7→ ba
ersetzt wird. Ein Rop -Modul wird auch als R-Rechtsmodul bezeichnet: Ersetzt man
die äußere Multiplikation a · x in Definition 1 durch x · a, und schreibt man in (4)
die Ringelemente a, b auf die rechte Seite, so geht das dritte Axiom (ab)x = a(bx)
über in x(ab) = (xb)a. Um es in eine gefällige Form zu bringen, muß also der
Ring R durch Rop ersetzt werden. R-Rechtsmoduln M werden als solche manchmal
durch die Schreibweise MR kenntlich gemacht. Insbesondere kann der Ring R auch
als R-Rechtsmodul RR aufgefaßt werden. Statt HomR (M, M) bzw. HomRop (M, M)
schreibt man meist EndR (M) oder auch End(R M) im Falle eines R-Linksmoduls,
sowie End(MR ) im Falle eines R-Rechtsmoduls M.
Satz 15. Sei R ein Ring. Dann gilt:
R∼
= End(RR ) ∼
= End(R R)op .
(47)
Beweis. Die R-Modul-Struktur von R R liefert gemäß (5) einen Ringhomomorphismus λ : R → End(R). Dieser ist injektiv, denn aus λ(a) = 0 folgt a = λ(a)(1) =
0. Ferner gilt λ(a)(bc) = a(bc) = (ab)c = (λ(a)(b))c für a, b, c ∈ R. Also ist
λ(a) ∈ End(RR ) für alle a ∈ R. Sei umgekehrt f ∈ End(RR ). Dann ist f (a) =
f (1 · a) = f (1)a = λ(f (1))(a) für alle a ∈ R, und somit f = λ(f (1)), womit die erste
Isomorphie in (47) gezeigt ist. Die zweite ist hierzu dual.
Formel (47) zeigt uns, wie sich der Ring R aus dem R-Modul R R zurückgewinnen
läßt. Nun haben wir gesehen, daß ein R-Modul nichts anderes ist als ein additiver
Funktor {R R}op = R → Ab. Dieser hat nach Satz 13 eine natürliche Fortsetzung
add {R R}op → Ab, d. h. ein R-Modul ist gleichbedeutend mit einem additiven
Funktor
R-proj op → Ab.
(48)
Im Hinblick auf die Äquivalenz von Modulkategorien erhebt sich somit die Frage,
ob die volle Unterkategorie R-proj von R-Mod innerhalb der Kategorie R-Mod
unabhängig von R bestimmt werden kann. Für die volle Unterkategorie R-Proj aller
projektiven R-Moduln ist dies offenbar richtig: Jeder projektive R-Modul kann als
projektives Objekt in R-Mod identifiziert werden, d. h. die Eigenschaft “projektiv”
läßt sich rein kategorientheoretisch definieren. Für die Eigenschaft “endlich erzeugt”
ist das nicht so selbstverständlich.
23
Definition 20. Ein Objekt C einer
` präadditiven Kategorie A heißt kompakt, wenn
zu jedem Morphismus f : C → α∈A Cα ein kommutatives Diagramm
a
β∈E
≺
C
Cβ
f
↓
a
Cα
→
(49)
α∈A
mit einer endlichen Teilmenge E ⊂ A existiert. Der horizontale Morphismus in (49)
entspricht `
hierbei gemäß Definition 5 der Familie (eβ )β∈E , wobei eβ die Inklusion
eβ : Cβ → α∈A Cα bezeichnet.
Satz 16. Sei R ein Ring. Ein projektiver R-Modul P ist genau dann endlich erzeugt,
wenn er ein kompaktes Objekt von R-Mod ist.
`
Beweis. Sei P endlich erzeugt, P = Rx1 + · · · + Rxn , und sei f : P → α∈A Mα
ein Homomorphismus. Dann gibt
Teilmenge E von A derart, daß
` es eine endliche
`
f (xi ) für alle i ∈ {1, . . . , n}`in β∈E Mβ ⊂ α∈A Mα liegt. Wir erhalten also f (P ) =
Rf (x1 ) + · · · + Rf (xn ) ⊂ β∈E Mβ , und somit ist P in R-Mod kompakt.
Sei umgekehrt
` P projektiv und kompakt in R-Mod. Wir betrachten den Epimorphismus p : x∈P R R ։ P gemäß (27). Da P`projektiv ist, faktorisiert 1P über
p, d. h. es gibt einen Homomorphismus i : P → x∈P R R mit pi`
= 1P . Da P kompakt ist,
` gibt es eine endliche Teilmenge E ⊂ P mit i(P ) ⊂ x∈E R R. Also ist
P = p( x∈E R R), und somit endlich erzeugt.
Da endlich erzeugte Moduln nichts anderes als epimorphe Bilder endlich erzeugter projektiver Moduln sind, liefert Satz 16 auch eine kategorientheoretische Charakterisierung endlich erzeugter Moduln. Vor allem aber reduziert sich das Äquivalenzproblem von Modulkategorien mittels Satz 16 auf den Vergleich der Varietäten
R-proj für verschiedene Ringe R. Wir sind jetzt in der Lage, die Struktur von
R-proj im Hinblick auf das Objekt R R exakt zu bestimmen.
Definition 21. Ein Objekt P einer Varietät V heißt ein additiver Generator, wenn
V = add {P } gilt.
Satz 17. Sei V eine kleine Varietät mit einem additiven Generator P und R =
End(P )op . Dann ist V äquivalent zu R-proj.
Beweis. Nach Satz 15 ist die präadditive Kategorie {R R} mit dem einzigen Objekt R R isomorph zu {P }. Folglich ist add({R R}) ≈ add({P}). Nach Satz 14 ergibt sich hieraus add {R R} ≈ add {P}, also nach (46): V = add {P} ≈ add {R R} =
R-proj.
24
Satz 17 gibt uns einen vollständigen Einblick in die Struktur von R-proj: Die
Kategorie R-proj ist eine kleine Varietät, das Objekt R R ist ein additiver Generator, und R ist dessen (dualer) Endomorphismenring. Das Äquivalenzproblem für
Modulkategorien ist damit gelöst:
Satz 18 (Morita). Zwei Modulkategorien R-Mod und S-Mod sind genau dann
äquivalent, wenn es einen additiven Generator P in R-proj gibt, so daß S ∼
=
op
EndR (P ) .
Beweis. Sei F : R-Mod → S-Mod eine Äquivalenz. Da F kompakte Objekte
von R-Mod in kompakte Objekte von S-Mod abbildet, liefert die Einschränkung
von F auf R-proj nach Satz 16 eine Äquivalenz R-proj ≈ S-proj. Der additive
Generator S S von S-proj entspricht dabei einem additiven Generator P von R-proj,
so daß S ∼
= End(S S)op ∼
= EndR (P )op .
Sei umgekehrt P ein additiver Generator in R-proj, welcher S ∼
= EndR (P )op
erfüllt. Nach Satz 17 ist dann R-proj ≈ S-proj. Da R-Moduln als Funktoren (48)
aufgefaßt werden können, folgt damit die Äquivalenz R-Mod ≈ S-Mod.
Ein additiver Generator P von R-proj wird auch als Progenerator bezeichnet.
Ein solcher Modul P ist also endlich erzeugt projektiv, so daß R R ein direkter
Summand von P n für ein n ∈ N ist. Zwei Ringe R und S mit R-Mod ≈ S-Mod
heißen Morita-äquivalent.
Beispiel. Das einfachste Beispiel einer Morita-Äquivalenz ist das folgende. Sei K ein
Körper und Mn (K) der Matrizenring für ein positives n. Dann ist die Kategorie der
Mn (K)-Moduln äquivalent zur Kategorie K-Mod der K-Vektorräume. Hier wählt
man den n-dimensionalen K-Vektorraum (K K)n als Progenerator.
Historisches. Der Begriff “Varietät” (variety of annuli) stammt von Maurice Auslander. ‘Annulus’ ist das lateinische Wort für ‘Ring’. Jedes Objekt A einer
Varietät V hat einen dualen Endomorphismenring R = EndV (A)op , und die volle
Unterkategorie add {A} von V ist nach Satz 17 äquivalent zur Varietät R-proj eines
Rings R. Als Varietät mit einem additiven Generator ist R-proj gleichwertig mit
einer Klasse zueinander Morita-äquivalenter Ringe. Für die Modultheorie ist R-proj
ebenso gut wie R, ja sogar besser, da R (als präadditive Kategorie) keine Varietät
ist. Bei einer allgemeinen Varietät V beschreiben die ‘annuli’ EndV (A)op je einen
Ausschnitt add {A} von V, ähnlich wie eine analytische oder algebraische Varietät
sich aus affinen Teilen zusammensetzt.
Der Satz von Morita macht üblicherweise vom Begriff des Tensorprodukts Gebrauch (vgl. Anderson, Fuller: Rings and Categories of Modules). Durch den kategorientheoretischen Zugang sind Tensorprodukte entbehrlich geworden. Es ist jedoch
sehr zu empfehlen, die klassische Formulierung ebenfalls zu studieren, um die Modulkategorie auch von innen heraus zu begreifen: Wenn man weiß, daß die Erde sich
um die Sonne dreht, wird dieses Bewußtsein ja dadurch bereichert, daß man den
Vorgang auch von der Erde aus beobachtet.
25
8
Elemente
Im Beweis von Satz 11 hatten wir gesehen, daß ein Element x eines R-Moduls M
einem Homomorphismus fx : R R → M mit fx (1) = x entspricht. Elemente können
also durch Morphismen ersetzt werden. Dieser Gedanke soll nun systematisch weiterverfolgt werden. Wir benötigen dazu einige Vorbereitungen.
Definition 22. Eine additive Kategorie A heißt links abelsch, wenn jeder Morphismus einen Cokern hat und für jedes Diagramm
E
e
g
A
d
≻≻ D
b
g
a
≻B
(50)
c
≻≻ C
mit c = cok a und cb = 0 ein Cokern d : E → D und ein Morphismus e : E → A
existiert, welche das Diagramm kommutativ ergänzen. Dual dazu heißt A rechts
abelsch, wenn Aop links abelsch ist.
Satz 19. Sei A eine links abelsche Kategorie. Dann ist jeder Epimorphismus ein
Cokern.
Beweis. Sei a : A → B ein Epimorphismus. Mit b = 1B in (50) finden wir einen
Cokern d : E → B und einen Morphismus e : E → A mit d = ae. Folglich ist a
epimorph. Sei etwa d = cok z. Gemäß Definition 22 läßt sich das Diagramm
x
X
Z
y
g
z
≻E
≻≻ A
a
g
d
≻B
≻0
kommutativ ergänzen. Wir zeigen nun, daß a ein Cokern von
X ⊕Z
(x − ey ez)
→A
ist. Zunächst ist a(x − ey ez) = (ax − dy dz) = 0. Sei f : A → Y ein Morphismus
mit f (x − ey ez) = 0. Aus (f e)z = 0 folgt dann die Existenz eines Morphismus
g : B → Y mit f e = gd. Daher ist 0 = f (x − ey) = f x − gdy = (f − ga)x, und somit
f − ga = 0. Also ist a ein Cokern.
Nach Definition 11 folgt hieraus das
Korollar. Eine additive Kategorie ist genau dann abelsch, wenn sie links und rechts
abelsch ist.
26
Definition 23. Sei A eine links abelsche Kategorie. Jeder Morphismus x : X → A
in A heißt ein Element von A. Ist y : Y → A ein weiteres Element von A, so nennen
wir x und y äquivalent (x ≡ y), wenn sie sich zu einem kommutativen Diagramm
U
։Y
↓
↓
X
y
↓
x
→A
(51)
ergänzen lassen.
Die Äquivalenz von Elementen ist eine Äquivalenzrelation: Sei nämlich z : Z → A ein
weiteres Element, so daß x ≡ y ≡ z. Dann haben wir ein kommutatives Diagramm
U
b
։Y և
c
V
a
y
d
↓↓
↓↓
↓
x
z
→A←
Z.
X
Der Epimorphismus (b c) : U ⊕ V ։ Y ist nach Satz 19 Cokern eines Morphismus
−u
: W → U ⊕ V . Das ergibt insbesondere ein kommutatives Diagramm:
v
W
v
→V
u
c
↓↓
↓
b
։Y.
U
(Man beachte das Vorzeichen von u!) Hierbei sind u und v epimorph: Sei nämlich
f : U → B ein Morphismus mit f u = 0. Dann ist (f 0) −u
= 0. Also existiert ein
v
g : Y → B mit g(b c) = (f 0). Aus gc = 0 folgt aber g = 0, und somit f = gb = 0.
Ganz analog zeigt man, daß v epimorph ist. Es gilt somit x(au) = ybu = ycv = z(dv)
mit Epimorphismen au und dv, d. h. die Elemente x und z sind äquivalent.
Für ein Element x von A schreiben wir im folgenden einfach x ∈ A. Ein Morphismus f : A → B in A bildet dann jedes Element x ∈ A in ein Element f x ∈ B
ab, und es gilt offenbar:
x ≡ y ⇒ f x ≡ f y.
(52)
Der folgende Satz wird zeigen, daß man in links abelschen Kategorien wie in Modulkategorien rechnen kann. Wir definieren zunächst:
Definition 24. Sei A eine links abelsche Kategorie. Eine Folge
ai−1
a
i
· · · → Ai−1 −→ Ai −→
Ai+1 → · · ·
(53)
in A heißt exakt in Ai , wenn ai ai−1 = 0 und für jedes x ∈ Ai mit ai x ≡ 0 ein
y ∈ Ai−1 mit ai−1 y ≡ x existiert. Die Folge heißt exakt, wenn sie an jeder Stelle
exakt ist.
27
Exaktheit in Ai bedeutet also, daß zu jedem Morphismus x : X → Ai mit ai x = 0 ein
Morphismus y : Y → Ai−1 und ein Cokern z : Y ։ X existieren, so daß ai−1 y = xz.
Man vergleiche dies mit Diagramm (50)!
a
b
Satz 20. Sei A eine links abelsche Kategorie, und seien A → B → C Morphismen
in A, so daß ba = 0. Dann gilt:
a
b
(a) a = ker b ⇔ 0 → A −→ B −→ C ist exakt.
a
b
(b) b = cok a ⇔ A −→ B −→ C → 0 ist exakt.
a
b
Beweis. a) Die Implikation “⇒” ist trivial. Sei daher 0 → A −→ B −→ C exakt
und x : X → A ein Morphismus mit ax = 0. Dann ist x ∈ A, und somit existiert ein
Element Y → 0, so daß das Element Y → 0 → A von A zu x äquivalent ist. Folglich
existiert ein Cokern c : X ′ ։ X mit xc = 0. Also ist x = 0. Somit ist a monomorph.
Sei nun x : X → B ein Morphismus mit bx = 0. Wegen x ∈ B existiert dann ein
kommutatives Diagramm
Z
z
→Y
y
↓
→A
0
p
։X
x
↓
a
→B
b
→C
mit p = cok z. Folglich ist a(yz) = xpz = 0, also yz = 0, da a monomorph ist. Wegen
p = cok z existiert ein Morphismus h : X → A mit y = hp. Somit ist (x − ah)p =
xp − ay = 0, und daher x − ah = 0. Damit ist a = ker b gezeigt.
a
b
b) Die Implikation “⇒” folgt aus Definition 22. Sei also A −→ B −→ C → 0
exakt. Dann existiert ein kommutatives Diagramm
D
։C
↓
B
1C
↓
b
→C
→ 0.
Folglich ist b epimorph. Nach Satz 19 existiert ein Morphismus f : F → B mit
b = cok f . Wegen bf = 0 ergibt sich daher nach Definition 24 ein kommutatives
Diagramm
e
E
։F
f
↓
↓
a
b
→B
։ C.
A
Sei nun g : B → X ein Morphismus mit ga = 0. Dann ist gf e = 0, also gf = 0.
Wegen b = cok f faktorisiert daher g über b, womit b = cok a gezeigt ist.
28
Wir haben damit die Elemente von Moduln ins rechte Licht gerückt. Da abelsche Kategorien A (z. B. R-Mod) auch rechts abelsch sind, könnten wir jetzt auch
Coelemente, d. h. Elemente in Aop , betrachten. Im nächsten Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen Modulkategorien und links abelschen Kategorien näher untersucht werden.
9
Konstruktion von Moduln
Die Definition eines Moduls ist zwar einfach, aber nicht konstruktiv. Nur für die
projektiven Moduln haben wir bis jetzt eine gute Beschreibung (Satz 11). Wegen (27)
gibt es zu jedem R-Modul M einen Epimorphismus p : P0 ։ M, wobei P0 projektiv
(sogar frei) ist. Das gleiche gilt für den Kern von p: Es gibt einen Epimorphismus
p′ : P1 ։ Ker p mit P1 projektiv. Wir haben also ein Diagramm
p
a
P1 −→ P0 −→
→M
(54)
mit a = p′ (ker p) : P1 ։ Ker p ֒→ P0 . Folglich ist p = cok a, und somit ist M
durch den Homomorphismus a : P1 → P0 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Die Objekte in R-Mod lassen sich also auf Morphismen der vollen Unterkategorie
R-Proj der projektiven R-Moduln zurückführen. Wir nennen (54) eine Präsentation
von M.
b
q
Sei Q1 → Q0 ։ N eine Präsentation eines weiteren R-Moduls N. Ist f : M → N
ein Homomorphismus, so läßt sich f p : P0 → N aufgrund der Projektivität von P0
entlang q liften, d. h. es gibt ein f0 : P0 → Q0 mit f p = qf0 .
Ker p ⊂ → P0
p
։M
f′
f0
f
g
g
g
q
։N
Ker q ⊂ → Q0
Wegen q(f0 · ker p) = f p(ker p) = 0 faktorisiert dann f0 · ker p über ker q, und das
ergibt einen Homomorphismus f ′ : Ker p → Ker q, der obiges Diagramm kommutativ macht. Das gleiche Argument, auf f ′ statt f angewendet, liefert daher ein
kommutatives Diagramm
a
p
P1
→ P0
։M
f1
f0
f
↓
↓
↓
b
q
→ Q0
։ N,
Q1
(55)
das man als eine Präsentation von f bezeichnen könnte. Das linke Quadrat liegt
hierbei ganz in R-Proj, und f läßt sich daraus zurückgewinnen: Aus (qf0 )a =
qbf1 = 0 folgt nämlich wegen p = cok a, daß qf0 über p faktorisiert. Damit haben
29
wir f aus dem linken Quadrat in (55) rekonstruiert! Der Bauplan zur Konstruktion
von Moduln aus Projektiven liegt damit als Grobskizze vor.
Sei nun A eine additive Kategorie. Wir definieren zunächst eine Kategorie Mor(A)
wie folgt: Objekte in Mor(A) sind Morphismen a : A1 → A0 in A, und Morphismen
a → b in Mor(A) sind kommutative Quadrate
A1
f1
→ B1
a
↓
A0
b
↓
f0
→ B0 .
(56)
Solche Quadrate lassen sich komponieren:
(f0 , f1 )(g0 , g1 ) := (f0 g0 , f1 g1 ),
und (1A0 , 1A1 ) ist der identische Morphismus 1a . Mittels der Addition (f0 , f1 ) +
(f0′ , f1′ ) := (f0 + f0′ , f1 + f1′ ) wird Mor(A) zu einer präadditiven Kategorie. Ist 2 :=
{0, 1} mit 0 < 1 die nicht-triviale Halbordnung mit 2 Elementen, so ist Mor(A)
nichts anderes als die Funktorkategorie A2 (s. Beispiel 7 in §5). Offenbar ist 0 → 0
a
b
das Nullobjekt in Mor(A), und für Objekte A1 → A0 und B1 → B0 in Mor(A) ist
A1 ← → A1 ⊕ B1 ← → B1
a
a⊕b
b
↓
↓
↓
A0 ← → A0 ⊕ B0 ← → B0
(57)
ein Biprodukt in Mor(A). Somit ist Mor(A) eine additive Kategorie. Sei I das Ideal
der Morphismen (56) in Mor(A), für welche ein Morphismus h : A0 → B1 in A
existiert, so daß f0 = bh. Wir definieren dann
mod(A) := Mor(A)/I.
(58)
Die Zuordnung A 7→ A+ := (0 → A) definiert eine volle Einbettung
A ֒→ mod(A).
(59)
Für einen Morphismus f : A → B in A bezeichnen wir den entsprechenden Morphismus A+ → B + in mod(A) mit f + .
Beispiele. Sei R ein Ring.
1. Nach (55) entspricht jeder Homomorphismus f : M → N von R-Moduln einem
Morphismus (56) in Mor(R-Proj). Dabei ist genau dann f = 0, wenn der zugehörige
Morphismus a → b im Ideal I liegt. Somit ist
R-Mod ≈ mod(R-Proj).
30
(60)
2. Ein R-Modul M heißt endlich präsentiert, wenn er eine Präsentation
P1 −→ P0 −→
→M
(61)
mit endlich erzeugten projektiven R-Moduln P0 , P1 besitzt. Die Kategorie der endlich präsentierten R-Moduln wird mit R-mod bezeichnet. Es gilt also
R-mod ≈ mod(R-proj).
(62)
Im Gegensatz zu R-Mod ist die Kategorie R-mod i. a. nicht abelsch. Genauer
gilt:
Satz 21. Sei A eine additive Kategorie. Dann ist mod(A) links abelsch mit genug
Projektiven. Ferner gilt:
Proj(mod(A)) = add A.
(63)
Beweis. Der Cokern eines Morphismus (56) in mod(A) ist gegeben durch
1
f1
0
A1
→ B1 ⊕ A0
→ B1
a
↓
A0
b
(b f0 )
↓
↓
f0
1B0
→ B0
→ B0 ,
(64)
wie man ohne Schwierigkeit
nachrechnet. Das Kompositum (64) ist = 0 in mod(A),
0
da 1B0 · f0 = (b f0 ) 1 .
Insbesondere ist also für jedes Objekt a von mod(A) das Diagramm
0
↓
A1
→0
→ A1
a
↓
↓
a
1 A0
→ A0
→ A0
(65)
a+
+
ein Cokern A+
1 −→ A0 ։ a. Objekte in A sind projektiv, wie man anhand der
allgemeinen Form (64) eines Cokerns erkennt. Nach Satz 9 ist daher add A ⊂
Proj(mod(A)). Umgekehrt existiert zu jedem projektiven Objekt a in mod(A)
wegen (65) ein Cokern π : A+
0 ։ a. Wegen der Projektivität von a spaltet π auf,
und somit ist a ∈ add A. Damit ist die Gleichung (63) gezeigt.
Zum Beweis, daß A links abelsch ist, müssen wir nach Definition 22 ein Diagramm
δ
≻≻ d
e
ε
g
a
β
g
α
≻b
31
(66)
γ
≻≻ c
mit γ = cok α und γβ = 0 kommutativ ergänzen. Wir beginnen mit dem Spezialfall
a, b, d ∈ Ob A. Hierbei kann für die untere Zeile in (66) der Cokern (65) genommen
werden. In diesem Spezialfall existiert eine kommutative Ergänzung (66) schon für
δ = 1d . Als nächstes betrachten wir den Fall d = D0+ ∈ Ob A. Dann existiert ein
Cokern ϕ : A+
0 ։ a und ein Diagramm
b+
ψ
B1+ −→ B0+ −→
→b
gemäß (65). Da A+
0 projektiv ist, erhalten wir ein kommutatives Diagramm
B1+
A+
0
b+
↓
λ
→ B0+
ϕ
↓↓
a
ψ
↓↓
α
→b
γ
։ c.
Hieraus ergibt sich ein weiteres kommutatives Diagramm
+
A+
0 ⊕ B1
(ϕ 0)
↓↓
a
(λ b+ ) +
→ B0
ψ
↓↓
α
→b
γψ
։c
1c
↓
γ
։ c.
(67)
Dabei ist γψ = cok (λ b+ ): Sei nämlich ρ : B0+ → x ein Morphismus mit ρ(λ b+ ) = 0.
Wegen ρb+ = 0 ist dann ρ = σψ für ein σ : b → x. Daher ist σαϕ = σψλ = ρλ = 0,
und somit σα = 0. Also faktorisiert σ über γ, und ρ faktorisiert über γψ.
Der Morphismus β : D0+ → b in (66) besitzt nun eine Faktorisierung β = ψτ .
Also ist (γψ)τ = γβ = 0. Nach dem oben behandelten Spezialfall haben wir daher
ein kommutatives Diagramm
e
δ
≻≻ d
ε
τ
g
g
+
+ (λ b )
A+
→ B0+
0 ⊕ B1
γψ
։ c.
Zusammen mit (67) ist damit der Spezialfall d ∈ Ob A abgehandelt. Ist d beliebig,
so existiert ein Cokern π : D0+ ։ d. Ersetzen wir β durch βπ, so ergibt sich aus dem
oben Gezeigten der allgemeine Fall.
32
10
Projektive Varietäten
Nach Satz 21 definiert jede Varietät V eine links abelsche Kategorie A = mod(V)
mit genug Projektiven, und nach Satz 14 ist V = Proj(A). Wir beweisen nun die
Umkehrung:
Satz 22. Sei A eine links abelsche Kategorie mit genug Projektiven. Dann ist
Proj(A) eine Varietät, und
mod(Proj(A)) ≈ A.
(68)
Beweis. Jedes Idempotent e : A → A in Proj(A) spaltet nach Satz 12 in A auf,
p
i
d. h. es gibt Morphismen B → A → B in A, so daß pi = 1B und ip = e. Nach Satz 8
ist B ein direkter Summand von A. Vermöge Satz 9 ist daher B projektiv, d. h. e
spaltet in Proj(A) auf. Somit ist Proj(A) eine Varietät.
Der Rest des Beweises verläuft genau wie die Betrachtung am Anfang von §9:
Jedem Objekt a : P1 → P0 von mod(Proj(A)) ordnen wir den Cokern F (a) :=
Cok a is A zu. Zu einem Morphismus ϕ : a → b in mod(Proj(A)) definieren wir
F (ϕ) := f durch die eindeutige Ergänzung des kommutativen Diagramms
P1
↓
Q1
a
→ P0
։ F (a)
↓
b
→ Q0
f
g
։ F (b).
(69)
Damit wird F : mod(Proj(A)) → A zu einem additiven Funktor. Da A genug
Projektive hat, ist F dicht. Wie in §9 zeigt man, daß jeder Morphismus f : F (a) →
F (b) in A ein kommutatives Diagramm (69) liefert. Somit ist F voll. Hierbei ist
f = 0 genau dann, wenn der durch das linke Quadrat in (69) gegebene Morphismus
a → b im Ideal I in (58) liegt. Somit ist F eine Äquivalenz.
Die Sätze 21 und 22 liefern eine Bijektion zwischen links abelschen Kategorien
mit genug Projektiven und Varietäten (bis auf Äquivalenz). Die Varietäten mit einem
additiven Generator entsprechen dabei den Kategorien R-mod endlich präsentierter R-Moduln. Es stellt sich sofort die Frage: Wann ist R-mod, oder allgemeiner
mod(A), abelsch? Der folgende Satz zeigt zunächst, daß das, was einer links abelschen Kategorie zu einer abelschen Kategorie fehlt, nichts weiter ist als die Existenz
von Kernen.
Satz 23. Sei A eine links abelsche Kategorie. Dann ist jeder Monomorphismus ein
Kern.
33
Beweis. Sei f : A → B ein Monomorphismus. Wir zeigen, daß f Kern seines
Cokerns c : B ։ C ist. Sei dazu g : D → B ein Morphismus mit cg = 0. Dann
existiert nach Definition 22 ein kommutatives Diagramm
F
e
d
→E
h
↓
A
։D
g
↓
f
→B
c
։C
mit d = cok e. Aus f (he) = gde = 0 folgt, da f monomorph ist, he = 0. Wegen
d = cok e existiert ein Morphismus s : D → A mit h = sd. Also ist (g − f s)d =
gd − f h = 0, und somit g − f s = 0.
Definition 25. Sei A eine präadditive Kategorie. Für eine Folge
a
b
A −→ B −→ C
(70)
von Morphismen heißt a schwacher Kern von b, wenn jeder Morphismus f : X → B
mit bf = 0 über a faktorisiert. Analog heißt b ein schwacher Cokern von a, wenn
jeder Morphismus g : B → Y mit ga = 0 über b faktorisiert. A heißt projektiv
(injektiv), wenn jeder Morphismus in A einen schwachen Kern (Cokern) hat.
Satz 24. Eine Varietät A ist genau dann projektiv, wenn mod(A) abelsch ist.
Beweis. Sei zunächst A projektiv. Nach Satz 23 genügt es, zu zeigen, daß jeder Morphismus ϕ : a → b in mod(A) einen Kern besitzt. Sei ϕ durch (56) gegeben. Dann besitzt der Morphismus (f0 b) : A0 ⊕ B1 → B0 einen schwachen Kern
−g0
: K0 → A0 ⊕ B1 in A, den man als kommutatives Quadrat darstellen kann:
h
K0
h
→ B1
g0
b
↓
↓
f0
A0
→ B0 .
(71)
Die Eigenschaft, daß hier ein schwacher Kern vorliegt, bedeutet, daß für jedes Paar
von Morphismen x : C → A0 und y : C → B1 mit f0 x = by ein z : C → K0 existiert,
so daß x = g0 z und y = hz. Ein kommutatives Quadrat (71) mit dieser Eigenschaft nennt man auch schwaches Pullback. Wir betrachten nun ein kommutatives
Diagramm
g1
f1
K1
→ A1
→ B1
k
↓
K0
a
↓
g0
→ A0
34
b
↓
f0
→ B0 ,
(72)
in welchem das linke Quadrat ebenfalls ein schwaches Pullback ist. Der Morphismus
h : K0 → B1 ist als Diagonale hinzuzufügen. Man verifiziert leicht, daß (72) den
gesuchten Kern von ϕ liefert.
Sei nun mod(A) abelsch, und sei f : A → B ein Morphismus in A. Dann hat f +
einen Kern in mod(A):
K1
→0
→0
k
(73)
↓
↓
↓
g
f
→A
→ B.
K0
Wir zeigen, daß g ein schwacher Kern von f ist. Sei dazu x : X → A ein Morphismus
mit f x = 0. Dann ist f + x+ = 0 in mod(A), und somit faktorisiert x+ über k ֌ a
(linkes Quadrat in (73)). Hieraus resultiert insbesondere ein Morphismus x′ : X →
K0 mit x = gx′ . Also ist g schwacher Kern von f .
Warum sind Modulkategorien abelsch? Das ist keine Selbstverständlichkeit. Nach
Satz 24 liegt das daran, daß die projektiven Moduln über einem Ring R eine projektive Varietät R-Proj bilden, während die Varietät R-proj im allgemeinen nicht
projektiv ist. Der Unterschied zwischen R-Proj und R-proj ist aber lediglich der,
daß die Objekte von R-Proj direkte Summanden beliebiger freier R-Moduln (R R)(A)
sind, während für R-proj die Indexmenge A als endlich vorausgesetzt wird.
Ein weiterer Umstand ist merkwürdig. Satz 21 besitzt ein offensichtliches Dual:
Statt mod(A) kann man in dualer Weise eine rechts abelsche Kategorie com(A)
von Comoduln definieren, indem man in der Definition einfach die Pfeile umdreht.
Dann ist
com(A) = mod(Aop )op .
(74)
Ist nun P eine projektive Varietät, und hat A := mod(P) genug Injektive, so läßt
sich A analog zu (68) auch mittels Inj(A) darstellen:
A ≈ com(Inj(A)),
(75)
d. h. die projektive Varietät P entspricht dann einer injektiven Varietät I := Inj(A),
und beide sind über die abelsche Kategorie A miteinander verknüpft.
Ein Ring R, für welchen die Varietät R-proj projektiv, und damit R-mod
abelsch ist, hat die Eigenschaft, daß jeder endlich präsentierte R-Modul M eine
projektive Auflösung, d. h. eine exakte Sequenz (Definition 24)
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
· · · → P5 −→
P4 −→
P3 −→
P2 −→
P1 −→
P0 → M → 0
(76)
mit Pi ∈ R-proj besitzt. Die ai+1 sind hierbei schwache Kerne der ai . Die abelsche
Kategorie R-mod hat jedoch im allgemeinen nicht genug Injektive, so daß kein duales Analogon zu (76) existiert. Dagegen ist R-Proj nicht nur projektiv, weshalb die
Modulkategorie R-Mod abelsch ist, sondern R-Mod hat auch stets genug Injektive.
Der projektiven Varietät R-Proj entspricht also stets die injektive Varietät R-Inj.
35
Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer Charakterisierung von Modulkategorien. Eine abelsche Kategorie A heißt covollständig, wenn in A Coprodukte beliebiger
Familien von Objekten existieren. Für eine volle`Unterkategorie B sei B∐ die volle
Unterkategorie, deren Objekte die Coprodukte α∈A Bα mit Bα ∈ Ob B sind. Wir
setzen dann
Add B := add B∐ .
(77)
Für A = R-Mod und B = {R R} sind z. B. die Objekte von B∐ die freien R-Moduln,
während Add B die projektiven R-Moduln als Objekte enthält.
Satz 25. Eine abelsche Kategorie A ist genau dann äquivalent zu einer Modulkategorie, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:
(a) A hat genug Projektive.
(b) A ist covollständig.
(c) A besitzt ein kompaktes Objekt P mit Proj(A) = Add {P }.
Beweis. Eine Modulkategorie R-Mod hat diese Eigenschaften, wobei (c) für
P = R R gilt. Sei umgekehrt A eine abelsche Kategorie, für welche die Bedingungen (a)-(c) erfüllt sind. Sei R := EndA (P )op . Dann ist EndA (P ) = End(R R). Da
P kompakt ist, entspricht jedem Endomorphismus von P (A) eine spaltenfinite Matrix. Folglich gilt EndA (P (A) ) = End((R R)(A) ) für jede Menge A. Wegen (c) ist
also Proj(A) = Add {P } ≈ Add {R R} = R-Proj. Wegen (68) und (60) ist daher
A ≈ mod(Proj(A)) ≈ mod(R-Proj) ≈ R-Mod.
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