Das Summenzeichen

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis....................................................................................................................... 1
m
Das Summenzeichen ∑ an ......................................................................................................... 2
j =n
Rechenregeln .......................................................................................................................... 2
Summen von Summen ....................................................................................................... 2
Unterteilen in Teilsummen................................................................................................. 3
Konstante Faktoren vor Summen ....................................................................................... 3
Kombination von Summen und Faktoren .......................................................................... 3
Beispiel:.......................................................................................................................... 4
Umrechnen des Summationsindex 1 .................................................................................. 4
Umrechnen des Summationsindex 2 .................................................................................. 5
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m
Das Summenzeichen ∑ an
j =n
Das Summenzeichen hilft uns dabei eine übersichtliche Form einer Addition zu erhalten,
wenn durch viele Summanden der Ausdruck sehr unübersichtlich wird.
Beispiel:
Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 5
5
1 + 2 + 3 + 4 + 5+ = ∑ i
i =1
Summe der Quadratzahlen von 1 bis 5
5
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = ∑ i 2
i =1
Definition des Summenzeichen
Für zwei natürliche Zahlen (ganze Zahlen) m und n
n
∑ a := a
i =m
i
m
m ≤ n gilt:
+ am +1 + am + 2 + ... + an − 2 + an −1 + an
Wobei i alle Werte von n bis m durchläuft und alle ai aufsummiert werden.
i = Summationsindex, m = untere Summationsgrenze, n = obere Summationsgrenze.
Rechenregeln
Summen von Summen
n
n
n
i =m
i =m
i=m
∑ (ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi
Gl. 1
Zwei oder mehrere Summen können zusammengefasst (oder getrennt) werden indem die
einzelnen Glieder a,b jeweils hinter ein eigenes Summenzeichen geschrieben werden.
Beim Zusammenfassen ist aber darauf zu achten, dass die Summationsgrenzen m und n gleich
sind.
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Denn
10
15
15
i =1
i =5
1
∑ ai ± ∑ bi = ∑ (ai ± bi )
geht nicht!
Unterteilen in Teilsummen
Eine einzelne Summe kann in zwei oder mehr Teilsummen aufgeteilt werden.
n
k
n
∑a = ∑a + ∑a
i
i =m
i =m
i
i = k +1
i
Gl. 2
Vorrausetzung ist aber m ≤ k ≤ n
Konstante Faktoren vor Summen
Steht vor a ein Faktor c
5
∑c⋅a
i
i =1
, kann c ausgeklammert werden, denn
c ⋅1 + c ⋅ 2 + c ⋅ 3 + c ⋅ 4 + c ⋅ 5
ist c ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
Der Faktor kann dann vor das Summenzeichen wandern
5
5
i =1
i =1
∑ c ⋅ ai = c ⋅ ∑ ai
Gl. 3
Kombination von Summen und Faktoren
Die Summe
n
∑ ( 2a
i =m
i
− 3bi + 4ci − 5d i )
kann in Teilsummen aufgeteilt werden wobei die Faktoren wieder vor das Summenzeichen
wandern.
n
n
n
n
i=m
i =m
i=m
i =m
2 ⋅ ∑ ai − 3 ⋅ ∑ bi + 4 ⋅ ∑ ci − 5 ⋅ ∑ d i
Gl. 4
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Beispiel:
5
Die Summe
∑ (2i − 3i
2
4) soll sinnvoll aufgeteilt und gelöst werden.
i =1
1.Aufteilen in Teilsummen
5
∑ (2i + 3i
2
i =1
5
5
i =1
i =1
− 4) = 2∑ i + 3∑ i 2 − 5 ⋅ 4
Vorsicht: es wird oft der Fehler gemacht, für die letzte Summe nur 4 zu schreiben.
2.Ausrechnen der Summen
5
5
i =1
i =1
2∑ i + 3∑ i 2 − 5 ⋅ 4 = 2 ⋅15 + 3 ⋅ 55 − 20 = 175
Beim i² daran denken, dass die Summe der Quadrate addiert wird (1+4+9+16+25=55)
Umrechnen des Summationsindex 1
Die Summationsindizes können folgendermaßen umgerechnet werden.
n
∑ ai =
i =m
n+ k
∑a
i =m + k
i
−k
Gl. 5
Beispiel:
5
∑i =
i =1
5+ 5
∑i − 5
i =1+ 5
5
Die linke Seite ergibt
∑i
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5+ = 15
i =1
Die rechte Seite ergibt
5+ 5
10
i =1+5
i =6
∑ (i − 5) = ∑ (i − 5) = 6 − 5 + 7 − 5 + 8 − 5 + 9 − 5 + 10 − 5 = 15
Oder durch Aufteilen der Summen:
10
10
i =6
i =6
∑ i − ∑ 5 = (6 + 7 + 8 + 9 + 10) − (5 + 5 + 5 + 5 + 5) = 40 − 25 = 15
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Umrechnen des Summationsindex 2
Die folgende Umrechnung ist oft nützlich, wenn ein Beweis mittels vollständiger Induktion
durchgeführt werden soll. Dabei soll oft der Beweis geführt werden, dass eine Summe und
eine Formel, für alle natürlichen Zahlen, das gleiche ergeben. Man beweist dabei die
Gleichung für n = 1 und zeigt dann im nächsten Schritt, dass die Gleichung auch für n + 1
gilt.
n +1
⎛ n ⎞
⎜ ∑ a i ⎟ + a n +1 = ∑ a i
i=m
⎝ i=m ⎠
Gl. 6
Beispiel:
6
⎛ 5 ⎞
a
+
5
+
1
=
ai
∑
⎜∑ i ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
Die linke Seite ergibt:
⎛ 5 ⎞
⎜ ∑ a i ⎟ + 6 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (6) = 21
⎝ i =1 ⎠
6
Die rechte Seite ergibt
∑a
i =1
i
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21