Tag 3 - Mittwoch, 18.09.13 - Aufgaben Mengen, Summen

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig
Vorkurs Mathematik 2013
Themen:
Tag 3 - Mittwoch, 18.09.13 - Aufgaben
Mengen, Summen, Funktionen
ˆ Mengenlehre:
Erfüllungsmenge,
Intervalldarstellungen,
Mengenver-
knüpfungen
ˆ Summen und Produkte: Umgang mit dem Σ- und dem Π-Symbol
ˆ lineare und quadratische Funktionen
ˆ Definitions- und Wertebereiche für weitere Funktionenklassen
1. Vervollständigen Sie die Tabelle mit Mengendarstellungen:
Lösung:
verbale Beschreibung
Aufzählung
Erfüllungsmenge
Menge aller geraden, natürlichen
Zahlen kleiner als 10
{21, 24, 27, 30, 33}
{n ∈ N : 3 < n ≤ 99}
Menge aller ganzen Zahlen zw.
-4 und 7 ausschließl. der Grenzen
2. Stellen Sie die folgenden Mengen als Intervalle dar:
a) A = {x ∈ R | 31 < x ≤ 44},
c) C = {z ∈ R | 23 < z < 74 },
e) E = {x ∈ R | 8 ≤ x ≤ 8},
b) B = {b ∈ R | − 5 ≤ b ≤ − 12 },
d) D = {y ∈ R | y ≥ −51},
f) F = {x ∈ R | x < 7}.
3. Gegeben sind zwei Mengen reeller Zahlen:
A = [0; 5) (= {x ∈ R | 0 ≤ x < 5}),
B = (2; 10] (= {x ∈ R | 2 < x ≤ 10}.
Beschreiben Sie die Mengen A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A und B jeweils
(wenn möglich) als Intervall und als Erfüllungsmenge.
4. Rechnen mit Summenzeichen
a) Schreiben Sie die folgenden Summen aus:
5
3
4
P
P
P
i)
k2,
ii) (2i + 1),
iii)
(k + 1)
i=0
k=1
j=1
b) Schreiben Sie mit Summenzeichen:
i) 3 + 4 + . . . + 99 + 100
ii) 43 + 63 + 83 + . . . + 203
iii) z−10 + z−9 + . . . + z10
c) Zeigen Sie unter Verwendung von Rechengesetzen bzw. durch ein Gegenbeispiel:
n
n
n
P
P
P
i)
(ak + bk ) =
ak +
bk
ii)
k=0
n
P
k=0
n
P
(ak · bk ) 6= (
k=0
k=0
n
P
ak ) · (
k=0
bk )
k=0
d) Lassen sich die folgenden Terme zu einer Summe zusammenfassen?
Geben Sie, falls möglich, die Lösung an bzw. begründen Sie, warum
kein solches Zusammenfassen möglich ist.
10
15
7
10
4
10
P
P
P
P
P
P
ak +
ai ,
ak +
ak ,
ak +
ak
k=0
i=11
k=0
k=5
k=0
k=8
5. Schreiben Sie
die folgenden Summen
jeweils auf zwei Arten: unter Verwen...
...
P
P
dung von
... sowie von
... :
i=0
k=1
a) 7 + 11 + 15 + . . . + 39
1
1 1 1
b) 1 + + + + . . . +
2 4 8
1024
1
1
1
1
c)
+
+
+ ... +
1·2 2·3 3·4
n · (n + 1)
6. Umgang mit dem Produktzeichen Π
a) Berechnen Sie:
5
Q
i) (3i − 2)
i=0
ii)
58
Q
(k − 20)
2
iii)
2
Q
m=0
k=1
(1 +
1
)
2(2k )
b) Schreiben Sie unter Verwendung des Produktzeichens:
i) 3 · 5 · 7 · . . . · 23
ii) 1 · 4 · 16 · . . . · 65536
iii) 1 · 9 · 25 · 49 · 81
2
7. Skizzieren Sie die folgenden Funktionen, geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie die Achsenschnittstellen an und untersuchen Sie Monotonie und Beschränktheit:
a) f (x) = 3x − 1
b) f (x) = − 23 x − 5
c) f (x) = 14x − 42
√
d) f (x) = − 2 · x − 3
e) f (x) = x2 − 6x + 9
f) f (x) = −x2 + 3
g) f (x) = x2 + 5x − 8
h) f (x) = −x2 + 7x − 13
8. Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich Df für
√
√
a) f (x) = x − 1 + 6 − x
√
√
b) f (x) = x2 − x − 2 + 3 + 2x − x2
√
c) f (x) = sin x − 1
d) f (x) = ln(x2 − 5x + 4)
√
1
+ x+2
e) f (x) = ln(1−x)
f) f (x) = ln(cos x)
g) f (x) = ln |4 − x2 |
Welche der Funktionen besitzen einen Schnittpunkt mit der y-Achse?
3