Der Absolutbetrag Sei a eine reelle Zahl. Manchmal interessiert man

Der Absolutbetrag
Sei a eine reelle Zahl. Manchmal interessiert man sich nur für den
Abstand von a zur 0, gleichgültig, ob a positiv oder negativ ist.
Diesen Abstand nennt man den Betrag von a:
(
a falls a ≥ 0
|a| :=
−a falls a < 0.
Beachte: −a > 0 falls a < 0. Das Zeichen “:=” hier in der Definition
bedeutet, das auf der linken Seite des Doppelpunktes ein neues Symbol durch Ausdrücke definiert wird, die auf der rechten Seite stehen
(also auf der Seite des Gleichheitszeichens), und die schon bekannt
sind. Wir haben hier ein erstes Beispiel, wo eine Funktion (hier die
Betragsfunktion) durch eine Fallunterscheidung definiert wird.
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Beispiel 1.5 | − 4| = 4, |4| = 4, |0| = 0,
√
2
x2 = |x|
Es gelten die beiden folgenden einfachen Regeln
| − a| = |a|
|a · b| = |a| · |b|
Von großer Bedeutung ist die Dreiecksungleichung
|a + b| ≤ |a| + |b|
Beispiel 1.6
(a) |3 + (−5)| = 2 ≤ |3| + | − 5| = 8
(b) | − 2 − 6| = 8 ≤ | − 2| + | − 6| = 8 (hier haben wir Gleichheit
in der Dreiecksungleichung).
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Summen- und Produktzeichen
Ein großer Vorteil der formalen mathematischen Sprache ist es, komplizierte Zusammenhänge einfach und klar ausdrücken zu können.
Gerade auch diese Eigenschaft der Mathematik macht sie zu einer
geeigneten Hilfswissenschaft der Wirtschaftswissenschaften.
Seien a1, . . . , an reelle Zahlen. Dann schreiben wir statt
a1 + a2 + · · · + an
auch
n
X
ai
i=1
(gelesen: Summe der ai mit i von 1 bis n). Der Laufindex i heißt
Summationsindex, 1 und n sind die untere und obere Schranke. Die untere Schranke muss nicht 1 sein:
5
X
i2 = 32 + 42 + 52 = 9 + 16 + 25 = 50.
i=3
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Folgende einfachen Regeln gelten für den Umgang mit dem Summenzeichen:
n
X
a = (n − k + 1)a (a ist konstant!)
i=k
n
X
cai = c
i=k
n
X
n
X
ai (ausklammern!)
i=k
(ai + bi) =
i=k
n
X
i=k
n
X
ai +
i=k
ai =
m
X
i=k
ai +
n
X
i=m+1
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n
X
bi
i=k
ai für k ≤ m < n.
Ähnlich wie das Summenzeichen kann man das Produktzeichen
einführen:
n
Y
Q
ai = ak · ak+1 · · · an.
i=k
Das Produktzeichen ist etwas weniger gebräuchlich als das Summenzeichen. Hier sind einfache Rechenregeln für den Umgang mit
Π:
n
Y
a = an−k+1
i=k
n
Y
cai = cn−k+1
i=k
n
n
Y
Y
(ai · bi) =
ai ·
i=k
i=k
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n
Y
i=k
n
Y
i=k
ai
bi
Die folgende Ungleichung (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) ist
manchmal sehr nützlich:
n
X
i=1
!2
aibi
≤(
n
X
ai2) · (
i=1
n
X
bi2)
i=1
Beispiel 1.7 Setzen Sie die Zahlen
i=1 i=2
ai 2
3
bi 4
1
in die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ein und Sie erhalten
(2 · 4 + 3 · 1)2 = 121 ≤ (22 + 32) · (42 + 12) = 13 · 17 = 221.
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Man kann auch Gleichheitin der Cauchy-Schwarz-Ungleichung haben: Wähle
i=1 i=2
ai 2
−1
bi 4
−2
und erhalte
(2·4+(−1)·(−2))2 = 100 = (22 +(−1)2)·(42 +(−2)2) = 5·20 = 100.
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