Lös.8

Lösungen zu Übung (8)
1. Wir wollen eine Matrix angeben, welche das Einheitsquadrat [0, 1]2 im R2 überführt in ein Parallelogramm mit
den (beliebigen) Seitenlängen a, b und dem Winkel α, welcher von zwei Seiten dieser Längen. (Wir setzen das
übliche kartesische System voraus.)
→
an, ob α spitz ist
(a) (Der blau gezeichnete Vektor −
e 1 beginnt ebenfalls im Ursprung, es kommt nicht darauf
−
−
→
→
−
−
→
→
wie hier gezeichnet oder stumpf, a soll der Vektor mit a = a sein und b mit b = b)
1
e
0.9
2
0.8
0.7
0.6
0.5
b
0.4
0.3
0.2
0.1
e
a
α
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) Nach der Skizze hat man:
−
→
a =
(c) Damit ist die gesuchte Matrix
a
0
cos (α)
sin (α)
=
a b cos (α)
0 b sin (α)
.
−
→
, b =b
b cos (α)
b sin (α)
Diese stellt eine bijektive lineare Abbildung dar genau dann, wenn a, b = 0. Gleichwertig ist die Bedingung,
dass das Parallelogramm nicht ausgeartet ist.
(d) Man kann jedes nicht ausgeartete Dreieck zu einem nicht
ausgearteten
ergänzen. Mit der
Parallelogramm
0
1
0
Matrix aus c wird dann das Dreieck D0 der Punkte
,
,
in ein beliebiges Dreieck (der
0
0
1
Form nach) überführt. Um nun ein beliebiges Dreieck D1 in ein beliebiges Dreieck D2 (beide nicht ausgeartet) zu überführen, überführe man D1 (mit der entsprechenden Umkehroperation) in D0 und dann D0 in
D1 . Wenn man noch die genaue Lage erwischen will, benötigt man eventuell noch eine Spiegelung und eine
Translation.
1
2. Wir betrachten ein gleichseitiges Dreieck.
(a) Hier eine entsprechende Skizze, natürlich könnte Ihr Bild dazu gedreht erscheinen:
c
a
b
(b) Mit den eingeführten Bezeichnungen DP,ϕ und Sa für Drehung um P mit Winkel ϕ (entgegen dem Uhrzeigersinn) und Spiegelung an der Achse a (für die Ebene!) und der Bezeichnung M für den Mittelpunkt des
gleichseitigen Dreiecks sowie a, b, c für die drei Achsen, welche durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt
gehen (man könnte auch sagen: für die seitenhalbierenden Greaden des Dreiecks, usw.) können wir leicht
die Symmetrien aufzählen:
DM,0 , DM,2π/3 , DM,4π/3 , Sa , Sb , Sc .
Bitte machen Sie sich noch einmal klar, dass durch Produkte davon und von den Umkehroperationen nichts
Neues entsteht.
Zusatzfrage: Wir haben eine dreizählige Achse (senkrecht zum Dreieck durch dessen Mittelpunkt), also
sind es mit den Spiegelungen 3 · 2 = 6 Symmetrien.
(c) Die Aufgabe
hat viele
Lösungen, aber nur zwei wesentlich verschiedene, hier sind sie, z. B.: {Sa , Sb } , aber
auch DM,2π/3 , Sa .
(d) 1) Wir stellen Sc durch Sa , Sb dar (für das erste System). Idee (an anderem Beispiel aus der Vorlesung
bekannt!): Man dreht um den Winkel 2π/3 entgegen dem Uhrzeigersinn die Achse c, damit geht c in b über,
dann spiegelt man an b und dreht mit 2π/3 zurück, also mit dem Uhrzeigersinn. Nun wissen wir aber (den
zugehörigen allgemeinen Sachverhalt aus der Vorlesung), dass DM,2π/3 = Sb Sa . Algebraisch ausgeführt
heißt das (mit den eingeführten Bezeichnungen):
Sc
−1
= DM,2π/3
Sb DM,2π/3
Sa Sb Sb Sb Sa
= Sa Sb Sa (vereinfacht!)
denn (ab)−1 = b−1 a−1 gilt in jeder Gruppe, und spezifisch für Spiegelungen hat man Sa = Sa−1 .
2) Für das zweite System stellen wir beispielhaft Sb durch DM,2π/3 , Sa dar - die Idee ist dieselbe
wie in 1):
Sb
= DM,−2π/3 Sa DM,2π/3
−1
= DM,2π/3
Sa DM,2π/3 .
2
(e) Hier ist ein Fundamentalgebiet (schraffiert) - offenbar kann man das Dreieck mit seinen Symmetrien darauf
dezimieren, und offenbar ist keine Symmetrie des Fundamentalgebietes mehr eine Symmetrie des ursprünglichen Dreiecks:
a
b
Anwendung der Spiegelung Sb ergibt dann:
a
b
3
Nun wenden wir wieder Sa an und bekommen:
a
b
Wenden wir dann wieder Sb an, so füllt sich das ganze Dreieck.
3. Wir betrachten die Sinuskurve (also den Funktionsgraphen von sin auf ganz R) als Bandornament, zeichnen in
(vgl. a) ein Stück davon, stellen uns aber das Ganze vor, beidseitig ins Unendliche fortgesetzt.
(a) Hier sind geeignete Objekte in der Skizze bezeichnet:
a
4
3
2
1
c
P a
0
-1
-2
v
-3
-4
0
2
4
6
8
10
12
Damit können wir aufzählen:
−
−
T→
v , DP,π , Sa , Gc,→
a.
Beachten Sie noch einmal: Dies sind vier konkrete einzelne Symmetrien der Sinuskurve. Natürlich kann man
−
auch T−5→
v angeben und einen anderen der unendlich vielen Drehpunkte statt P und eine der unendlich
vielen zu a parallelen Achsen als Symmetrieachsen. Aber man sollte bei Translationen kürzestmögliche
Vektoren nehmen im Hinblick auf b. Dasselbe gilt für Gleitspiegelungen.
4
−
(b) Eine erste Lösung: {Sa , DP,π , T→
v } bildet ein minimales Erzeugendensystem für die Symmetriegruppe
der Sinuskurve. Aus dem Fundamentalgebiet, das nur aus der Hälfte des Buckels unmittelbar links von a
besteht, entsteht durch Sa der ganze Buckel, durch DP,ϕ dann eine ganze Sinusschwingung, anschließend
−1
−
−
wird immer wieder zuerst T→
angewandt, um die beidseitig unbegrenzte Folge von
−
v und dann T−→
v = T→
v
Schwingungen zu erhalten.
−
Zweite Lösung: {Sa , Gc,→
a } ist ein eleganteres minimales Erzeugendensystem: Aus dem zuvor genannten
−
Fundamentalgebiet entsteht wieder durch Anwendung von Sa ein ganzer Buckel. Anwenden von Gc,→
a ergibt
−1
→
−
−
= Gc,− a und Gc,→
dann eine ganze Schwingung. Wendet man nunmehr immer wieder abwechselnd Gc,→
−
a
a
an, so setzt sich die Schwingung nach links und rechts fort, jeweils wird dort eine neue angesetzt.
Bemerkung: An diesen Beispielen sieht man auch, dass minimale Erzeugendensysteme von einer Gruppe
existieren können, die verschiedene Anzahlen haben. (Bei Vektorräumen ist das anders, dort haben minimale
Erzeugendensysteme (d.h. hier: Basen) stets dieselbe Anzahl von Vektoren.
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