Lösungen Probeklausur

Lösungen der Probeklausur zur Physik PHY 127, FS 2011
Besprechung 15.06.11
Multiple-choice Aufgaben, Typ A
1. Welleneigenschaften [MC:A, 1P]
Wellen werden durch verschiedene Eigenschaften beschrieben: Frequenz, Kreisfrequenz, Periode,
Amplitude, Wellenlänge. Welche dieser verschiedenen Eigenschaften sind proportional zueinander?
E
Kreisfrequenz und Frequenz
2. Polarisation [MC:A, 1P]
Welche der folgenden Wellen können nicht polarisiert werden?
D
Schallwellen in einem Gas
3. Resonanz [MC:A, 1P]
Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Resonanz?
A
Ohne Dämpfung ist die maximale Anregung bei der natürlichen Frequenz
4. Elektrostatik [MC:A, 1P]
Wie hängt das elektrische Feld eines sehr langen, homogen geladenen Fadens (z.B. ein DNA Molekül)
vom Abstand r ab?
C
Wie 1/r
5. Fourier-Zerlegung [MC:A, 1P]
Welche Fourier-Zerlegung erwarten Sie für eine Funktion der Breite τ mit einem Maximum Bei
einer Zeit T ?
F
Eine oszillierende Kurve mit der Periode 1/T die auf der Skala 1/τ abklingt
6. Kernspinresonanz [MC:A, 1P]
Wieviele Spins werden in einem typischen Kernspintomographen (B = 3T) ausgerichtet?
D
Ein paar Millionstel
7. Regenbogen [MC:A, 1P]
Jemand möchte mit einer Kamera einen Regenbogen fotographieren, bekommt aber nicht den
gesamten Bogen auf das geschossene Bild. Was muss die Person machen um den ganzen Regenbogen
aufs Bild zu bekommen?
C
Das ist mit dieser Kamera nicht möglich
8. statische Magnetfelder [MC:A, 1P]
Ein grosser Magnet zieht eine Eisenschraube mit einer sehr grossen Kraft an. Mit welcher Kraft
zieht die Eisenschraube am Magneten?
C
Mit der gleichen
9. Geometrische Optik [MC:A, 1P]
Sie wollen einen Laserstrahl zur internationalen Raumstation ISS schicken. Die ISS befindet sich
ausserhalb der Atmosphäre der Erde schicken. Luft hat einen Brechungsindex von n = 1.003. Wie
müssen Sie mit dem Laser zielen, dass Sie die ISS treffen?
C
Genau drauf
1
10. Elektrische Ströme [MC:A, 1P]
Sie verbinden zwei Glühbirnen in einem Schaltkreis in Serie. Dabei erscheint Birne A, die beim
Pluspol der Batterie ist, heller. Was passiert wenn Sie die Reihenfolge der beiden Birnen vertauschen
mit deren Helligkeit?
A
Birne A ist heller
11. Stromkreise [MC:A, 1P]
Durch welchen der beiden Stromkreise fliesst mehr Strom?
C
Beide gleich
12. Spiegel [MC:A, 1P]
Sie möchten in einem Handspiegel einen grösseren Bereich Ihres Gesichtes sehen. Was müssen Sie
machen?
A
Einen grösseren Spiegel kaufen
2
Multiple-choice Aufgaben, Typ B
1. Teilchen im Feld [MC:B, 3P]
Ein Teilchen mit Geschwindigkeit v fliegt auf einer Kreisbahn (gestrichelt) durch ein elektromagnetisches Feld. Welche Aussage ist richtig?
C
Das Teilchen ist negativ geladen
D
Das Feld ist ein Magnetfeld
2. Elektromagnetische Wellen [MC:B, 3P]
Welche der folgenden Wellen sind elektromagnetische Strahlen?
A
Radiowellen
B
Licht
C
Mikrowellen
D
Röntgenwellen
F
Gammastrahlen
3. Fourier Zerlegung [MC:B, 3P]
Welche der folgenden Skizzen stellen durch Fourier-Transformation verbundene Funktionen dar?
A, D, E, F
4. Interferenz [MC:B, 3P]
Welche Kriterien müssen erfüllt sein, damit zwei harmonische Wellen an einem Punkt vollständig
destruktiv interferieren?
A Der Phasenunterschied der Wellen ist konstant
B Die Wellen haben gleiche Amplitude
D Der Wegunterschied zwischen den Wellen beträgt ∆x = λ(m + 1/2), wobei m eine ganze Zahl ist
E Die Wellen müssen monochromatisch sein
3
Aufgaben
Ein allgemeiner Hinweis zum Rechnen ohne Taschenrechner: Bestimmen Sie immer zuerst eine Beziehung
zwischen den gegebenen Variablen (lösen Sie das Problem als Gleichung) und vereinfachen das Resultat
soweit wie möglich. Erst dann setzen Sie Zahlenwerte ein. Zur Vereinfachung von Rechnungen können
Sie folgende
verwenden
(alle diese Näherungen stimmen auf mindestens 2% Genauigkeit):
√
√
√ Näherungen
π 2 = 10; 2 = 1.4; 5 = 2.2; 3 = 1.7; ln(2) = 0.7; ln(10) = 2.3; kB T = 4pN nm (bei einer Temperatur
von 293 K); g = 10 m/s2 ; e = 1.6 ∗ 10−19 C; 4π0 = 1.1 ∗ 10−10 As/(V m); 0 = 8.8 ∗ 10−12 As/(V m);
µ0 = 12.5 ∗ 10−7 V s/(Am)
1. Schwingungen und Wellen [6P]
a) Intensität einer Punktquelle geht mit 1/r2 , das heisst im gegebenen Fall wird die Intensität um
einen Faktor 100 reduziert. Ein Faktor 100 entspricht log10 (100) = 2 Bel also 20 dB.
p
p
b) Grundton heisst: L = λ/2. Ausserdem ist λ = v/ν = σ/rho/ν. Damit wird L = σ/rho/(2ν) =
p
8 ∗ 109 /(8 ∗ 103 )m2 /s2 /(880Hz) = 1000/880m = 1/0.88m ' 1.15m
p
p
E/rho/ν.
Damit
wird
d
=
E/rho/ν =
c)
Auflösungsgrenze
in
etwa
d
=
λ.
λ
=
v/ν
=
p
√
√
6
6
9
3
2
2
2.25 ∗ 10 /10 m /s /(2.25 ∗ 10 Hz) = 2.25/2.25 ∗ 1000/10 m = 1/ 2.25 ∗ 10−3 m ' 0.7mm
d) Ortsbild Fig. a), Zeitbild Fig. b)
Der Stand von E und B-Feldern ist in der folgenden Figur gegeben
e) Die Bewegungsgleichung lautet: md2 x/dt2 = −kx − f dx/dt. Ansatz für die Lösung eine exponentiell abklingende Position, also x(t) = x0 exp(−t/τ ) mit Abklingzeit τ . Einsetzen in Bew. Gl.
ergibt mx0 exp(−t/τ )/τ 2 = −kx0 exp(−t/τ ) + f x0 exp(−t/τ )/τ . Alle Terme auf eine Seite bringen:
2
2
(m/τ 2 + k − f /τ )x0 exp(−t/τ ) = 0. Das heisst
p (m/τ + k − f /τ ) = 0 oder (m + kτ − f τ ) = 0 Lösen
der quadratischen Gleichung: τ = (f ± f 2 − 4mk)/(2k). Da f 2 = 4mk im gegebenen Beispiel
ergibt sich: τ = f /(2k).
4
√
f) Betrachte relative Fehler: rτ2 = rf2 +rk2 . Nach Aufgabe ist rf = rk = 0.05, also ist rτ = 2∗0.05 =
0.07. Der absolute Fehler beträgt στ = rτ ∗ τ = rτ ∗ f /(2k) = 0.07 ∗ 20/200s = 7 ∗ 10−3 s = 7ms.
2. Elektrische Phänomene [6P]
a) Die Spannungsdifferenz in einem Kondensator ist U = Qd/(0 A). Also ist die Ladungsdichte auf
der Membran: Q/A = 0 U/d. Numerisch: Q/A = 8∗8.8∗10−12 ∗7∗10−2 /(5∗10−9 )C/(V m)∗V /m =
56 ∗ 8.8 ∗ 10−5 /5C/m2 ' 10−3 C/m2
b) Nernst sagt: U = kB T /q ∗ ln(c1 /c2 ). Das Verhältnis der Konzentrationen ist 20 und die Ladung
ist eine Elementarladung. Damit wird U = 4 ∗ 10−21 J/(1.6 ∗ 10−19 C) ∗ ln(20) = 4/1.6 ∗ 10−2 ∗
(ln(10) + ln(2))V = 12/1.6 ∗ 10−2 V = 0.075V .
c) Maschenregel besagt: U = RI + Q/C. Ableiten nach der Zeit ergibt: 0 = RdI/dt + I/C oder
dI/dt = −1/(RC)I
d) Lösung der Gleichung durch Exponentialfunktion: I(t) = I0 exp(−t/τ ). Einsetzen in Gleichung
ergibt: −I0 exp(−t/τ )/τ = −1/(RC)I0 exp(−t/τ ) oder 1/τ = 1/(RC), sprich τ = RC. Numerisch:
τ = 10−6 F 104 Ω = 10−2 s
e) Grundzustand heisst der Umfang der Kreisbahn muss die Wellenlänge sein, also λdB = 2πaBohr .
Mit aBohr = 0.5Å ergibt sich eine Wellenlänge von λdB = π Å.
f) Der Ersatzwiderstand ist gegeben durch 1/R = 1/R1 + 1/R2 oder 1/R = (R1 + R2 )/(R1 R2 ),
sprich R = (R1 R2 )/(R1 + R2 ). Fehlerrechnung mittels Ableitungen: ∂R/∂R1 = R2 /(R1 + R2 ) −
(R1 R2 )/(R1 + R2 )2 = (R1 R2 + R22 − R1 R2 )/(R1 + R2 )2 = (R2 /(R1 + R2 ))2 . Analog ∂R/∂R2 =
2
2
2
. Mit σR1 = σR2 = σ
+ (R1 /(R1 + R2 ))4 σR
= (R2 /(R1 + R2 ))4 σR
(R1 /(R1 + R2 ))2 . Also wird σR
2
1
p
√
2
4
4
wird: σR = R2 + R1 /(R1 + R2 ) σ Numerisch: σR = 16 + 1/3Ω ' 1.3Ω
3. Magnetische Phänomene [6P]
a) In grossem Abstand können die Ströme addiert werden, es ist also wie wenn ein Draht mit Strom
2I durchflossen wäre. Dazu sagt Ampére: B2πr = 2µ0 I oder B = µ0 I/(πr).
b) Kreisbeschleunigung ist durch Lorentz-Kraft gegeben, also mv 2 /r = qvB. Das heisst v = qBr/m
oder F = qvB = (qB)2 r/m. Numerisch wird: F = (1.6 ∗ 8AsV s/m2 )2 ∗ 10−38 ∗ 4 ∗ 103 m/(5 ∗
10−22 kg) = 1.62 ∗ 64 ∗ 4/510−13 (Js/m2 )2 m/kg ' 2.5 ∗ 4 ∗ 64/5 ∗ 10−13 (N s/m)2 ∗ m/kg = 32 ∗ 4 ∗
10−13 N ∗ kgm/s2 ∗ s2 /m2 ∗ m/kg = 128 ∗ 10−13 N ' 1.3 ∗ 10−11 N
c) Feld der Spule ist B = konstI, wobei die konst = 0.1T /A. Der magnetische Fluss ist Φm =
BA = konstIA. Das maximum der Ableitung (also Umax ) ist gegeben durch Umax = konstωI0 A.
Numerisch: Umax = 0.1T /A10s−1 1A0.1m2 = 0.1V s/m2 ∗ (m2 /s) = 0.1V .
d) Maschenregel sagt: U − LdI/dt = Q/C einmal ableiten ergibt: −LCd2 I/dt2 = I.
e) Die Feldänderung ∆B über eine gewisse Strecke ist ∆B = ∂B/∂x∆x. Die beste Feldauflösung ist
gegeben als ∆B = 10−4 B. Damit wird die beste örtliche Auflösung ∆x = 10−4 B(∂B/∂x)−1 . Der
maximal mögliche Gradient ist nach Aufgabe ∂B/∂x = 1T /m. Das heisst ∆x = 10−4 B ∗ 1m/T =
1.5 ∗ 10−4 m = 150µm.
f) Die Massenunsicherheit die wir höchstens haben dürfen ist σm = 1u = 2 ∗ 10−27 kg. Im Massenspektrometer ist mv 2 /r = qvB oder mv = qBr und mv 2 = 2qU , also (qBr)2 = 2mqU , bzw
m = qB 2 r2 /(2U ). Das heisst der relative Fehler von m istp
zweimal der relative
p Fehler von r oder
2 /(4qm2 σ 2 ) =
rp= 2 ∗ mσr /(σm ). Damit wird das anzulegende Feld B = 2mU/(qr2 ) = 2mU σm
r
2
2
U σp
m /(2qmσr ). Numerisch ist σr = 0.5mm und
p
4
−54
2
−19
B
∗ 2 ∗ 10−27 kg ∗ 25 ∗ 10−8 m2 ) = 4 ∗ 104 V kg/(1.6 ∗ 100Cm2 ) =
p = 10 V ∗ 4 ∗ 10 kg /(2
p ∗ 1.6 ∗ 10 C √
103 /4V Js2 /(m2 Cm2 ) = 250V 2 s2 /m4 = 2.5 ∗ 10V s/m2 ' 16T.
4. Optik [6P]
a) Beugung: ∆θ = 2λ/d = 2 ∗ 2π ∗ 10−7 m/(2 ∗ 10−3 m) = 2π ∗ 10−4 rad = 180/(π)2π ∗ 10−4 Grad =
3.6 ∗ 10−2 Grad
5
b) m = b/g und 1/g = 1/f + 1/b das heisst: m/b = 1/f + 1/b oder (m − 1)/b = 1/f sprich
b = (m − 1)f und entsprechend g = b/m = (m − 1)/mf . Numerisch: b = 3f = 6cm und
g = 3/4f = 1.5cm.
Alternative Lösung: m = b/g und 1/g = 1/f −1/b das heisst: m/b = 1/f −1/b oder (m+1)/b = 1/f
sprich b = (m + 1)f und entsprechend g = b/m = (m + 1)/mf . Numerisch: b = 5f = 10cm und
g = 5/4f = 2.5cm.
c) Sammellinse, virtuelles Bild. Alternative Lösung: Sammellinse, reelles Bild.
d) Minimum entspricht destruktiver Interferenz, also wegen Phasensprung durch Reflexion: λ =
2nd = 400nm4/3 = 1600/3nm = 533nm. Das ist bei grünem Licht.
e) Die rote Farbe die man sieht wird nicht vom Material absorbiert. Absorption findet also im
restlichen Spektralbereich (Blau-Grün) statt.
f) Die Brennweite der Linse ist f = n1 /(n1 − n2 ) ∗ r. Fehlerfortpflanzung sagt: σf2 = (∂f /∂r)2 σr2 +
(∂f /∂n1 )2 σn2 1 . Für die Ableitungen erhalten wir: ∂f /∂r = n2 /(n2 − n1 ) = f /r und ∂f /∂n1 =
r(1/(n1 − n2 ) − n1 /(n1 − n2 )2 ) = r(−n2 /(n1 − n2 )2 ) = f ∗ n2 /(n1 ∗ (n2 − n1 )). Damit ergibt sich:
σf2 = (f /r)2 σr2 + (f ∗ n2 /(n1 ∗ (n2 − n1 )))2 σn2 1 . Oder mit relativen Fehlern: rf2 = rr2 + (n2 /(n1 −
√
n2 ))2 ∗ rn2 1 Numerisch: n2 /(n1 − n2 ) = 2 und rf = 5/150 ' 0.015. Mit f = 3r = 45cm wird
σf = 45cm ∗ 0.015 ' 7mm.
June 12, 2011
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