Grundwissen Mathematik 7

Grundwissen Mathematik 7
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letzte Zeile der Umformungen
Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl oder
ergibt:
keine Zahl (unerfüllbare Gleichung, z.B. 3 =7.) oder alle
x = 4 L = {4}
Zahlen der Grundmenge (allgemeingültige Gleichung, z.B. 3 =
3 = 7 L = {}
3) als Lösung.
0=0 L=G
Lösungsmenge
Terme
Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen
und Rechenzeichen. Variablen stehen dabei als Platzhalter für
Zahlen. Treten in einem Term verschiedene Variablen auf,
dann dürfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen Zahlen
belegt werden.
Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so
muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden.
Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt,
erhält man den Wert des Terms
Terme aufstellen
Beispiele :
T(x) = x2 - 3x
T(-4) = (-4)2 - 3·(-4)
= 16 + 12 = 28
Hilfsmittel bei Textaufgaben:
- Gesuchte Größe mit x bezeichnen.
- Gegebene Daten in Tabelle übersichtlich darstellen
Vgl: Aufgabenbeispiele
T(x ;y) = 2x –y
T(5 ;6) = 2 ⋅ 5 − 6 = 4
Prozentrechnung
„40 % von 250 €“
40
....... = 100
• 250 €
= 0,4 ⋅ 250 € = 100 €
oder
100% =ˆ 250€
1% =ˆ 2,5€
40% =ˆ 40 ⋅ 2,5€ = 100€
Hilfsmittel: verschiedene Zahlenbeispiele ausrechnen
Vgl. Übungsaufgaben
Zusammenfassen von Termen
x + 3x + 7x =11x
x + 3x2 -7x =-6x + 3x2 (kann
Nur gleichartige Terme (gleiche Variable und gleiche Hochzahl)
können addiert werden!
Nur gleichartige Terme (gleiche Variable auch mit
unterschiedlichen Hochzahlen) können bei der Multiplikation
zusammengefasst werden!
nicht weiter zusammengefasst werden.)
x . 3x . 7x2 =21x4
2 x ⋅ y ⋅ 5 x 2 ⋅ y 3 = 10 x 3 y 4
Auflösen von Klammern:
Plusklammern,Minusklammern
60
Prozentschreibweise 60 % = 100
= 0,6
Grundgleichung der Prozentrechnung:
Prozentwert = Prozentsatz mal Grundwert
P = p ⋅ G oder PW = PS . GW
Beachte: PS von GW = PS • GW,
aber
( z.B. Wie viel sind 30 % von ............)
PW von GW = PW ÷ GW
( z.B. Wie viel Prozent sind 30€ von 200€)
Hilfreich ist auch die Textanalyse bei Sachaufgaben:
nach „von“ steht der Grundwert und die
Veranschaulichung durch Prozentstreifen
40
20
=20%
=
200 100
40% von den 32 Schülern der
Klasse ....
Grundwert
Mittelwert der Zahlen 1 bis 6
D = (1+2+3+4+5+6):6 = 3,5
40€ von 200€ =
Plusklammern können weggelassen werden. Bei
Minusklammern müssen die Rechenzeichen geändert werden
3 + ( x – 7 ) = 3 + x – 7 = ......
3 – ( x – 7 ) = 3 – x + 7 = ......
Mittelwert (Durchschnitt)
D = Summe der Werte : Anzahl der Werte
Faktor mal (Summen)Klammer (D-Gesetz):
Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Faktor
multipliziert. (Vorzeichen berücksichtigen)
3 . ( x – 7 ) = 3x – 21 aber nicht:
3 . ( x . 7 ) ≠ 3x . 21 sondern
3 . ( x . 7 ) = 21x
Kreisdiagramme:
Kreissektorgröße ergibt sich aus: 100% =ˆ 360°
Klammer mal Klammer
(3 − x) ⋅ ( x − 2) = 3x − 6 − x 2 + 2 x = ..
Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem
Summanden der zweiten Klammer multipliziert. (Vorzeichen
berücksichtigen) z.B. (a + b)(c – d) =ac+bc–ad–bd
Vorrangregeln
Auch beim Klammernauflösen gelten die Vorrangregeln
„Potenz vor Punkt vor Strich“:
Faktorisieren/Ausklammern
(Umwandlung einer Summe in ein Produkt!)
Jeder Summand muss durch den ausgeklammerten Term dividiert
werden! 6x + 9y = 3(2x + 3y) (6x :3= 2 x ; 9y : 3 = 3y )
Gleichungen
Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn
man auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder Variable addiert
(subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit der selben Zahl von
Null verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche
Umformungen sind Äquivalenzumformungen.
Bei komplizierteren Gleichungen vereinfacht man beide
Seiten so weit wie möglich (d. h. Klammern auflösen,
zusammenfassen (vgl. Termumformungen).
aber nicht
(3x) ⋅ (2 x) ≠ 6 ⋅ 3x ⋅ x ⋅ 2 ⋅ x 2
sondern
(3x ) ⋅ (2 x) = 3x ⋅ 2 x = 6 x 2
3 – ( x – 7 ) (5 – x) =
3 – [5x – x2 – 35 + 7x] =
3-5x+x2+35-7x=....
2a – 6 = 2(a-3)
3
2
2
2x – 4x + 6x = 2x(x – 2x + 3)
Achsenspiegelung:
Für Punkt P, Spiegelpunkt P´ und Spiegelachse a
gilt: P=P´, falls P auf a liegt, ansonsten wird [PP´]
von a senkrecht halbiert.
0,5(x-2)-(3x-5) = 2(3-2x)
0,5x-1-3x+5 = 6-4x
-2,5x + 4 = 6 – 4x + 4x
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Q'
a
P'
Eigenschaften: Die Achsenspiegelung ist längen-,
winkel- und kreistreu
Achsenpunktsatz: Achsenpunkte und nur diese sind
von zwei zueinander symmetrischen Punkten
gleichweit entfernt.
Grundkonstruktionen:
Spiegelpunkt
Spiegelachse
(Mittelsenkrechte)
Lot
Winkelhalbierende
l
P
w
m
5a3b-2a2 = a2(5ab-2)
5 – 0,5x =3 + 0,75x + 0,5x
5 = 3 +1,25x - 3
2 = 1,25x : 1,25
1,6 = x ; L ={1,6}
Q
P
A
g
B
P'
P
Oder: P an g spiegeln, falls P
nicht auf g
Punktspiegelung:
Eigenschaften: Die Punktspiegelung ist
längen-, winkel- und kreistreu. Der
Umlaufsinn bleibt erhalten.
Zentrum Z mit AZ = A´Z
Kongruenzsätze für Dreiecke:
Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie
-in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS)
-in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW)
-in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen (SWS)
-in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen (SsW)
Tangenten an einen Kreis:
Winkelgesetze
Scheitel-, Nebenwinkel
α=30o
β
α=γ
(Scheitelwinkel)
Die Tangente an einen Kreis steht
senkrecht auf dem Radius.
α+β=180°
Konstruktion einer Tangente durch einen
gegebenen Berührpunkt B auf dem Kreis:
Konstruiere in B das Lot zur Geraden MB.
γ
(Nebenw.)
Stufenwinkel, Wechselwinkel,
Nachbarwinkel
β
g
γ δ
ο
α=50
ο
h
Falls g||h, so
gilt:
β=α=50o
(Stufenwinkel)
δ=α=500
(Wechelwinkel)
ο
γ=180 −α=130
(Nachbarwinkel)
Dreiecke:
Winkelsummensatz: In jedem Dreieck
beträgt die Summe der Größen der drei
Innenwinkel 180°
Besondere Dreiecke:
Gleichschenkliges Dreieck:
-zwei gleiche Basiswinkel
-zwei gleich lange Seiten (Schenkel)
-achsensymmetrisch
Gleichseitiges Dreieck: Alle Seiten gleich
lang, alle Innenwinkel 60°
Rechtwinkliges Dreieck:
Ein Winkel 90°.
α + β + γ = 180°
b
o
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a
β
Konstruktion von Tangenten an einen
Kreis durch einen Punkt P außerhalb des
Kreises:
Die Berührpunkte sind die Schnittpunkte
des Thaleskreises über der Strecke [PM]
mit dem Kreis.
Umkreismittelpunkt eines Dreiecks:
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Falls a=b, gilt:
β=26o (Basiswinkel)
Inkreismittelpunkt:
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Vierecke:
Innenwinkelsumme: 360°
Satz von Thales:
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C
einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf
dem Kreis über [AB] liegt.
(Kreismittelpunkt M: Mittelpunkt von
[AB])
Besondere Vierecke und Zusammenhänge:
Haus der Vierecke
(mit eingezeichneten Symmetrieachsen
und Symmetriepunkten)