Blatt 1

Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2017
Blatt 1: Mathematische Grundlagen
1. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
3
a)
b)
c)
d)
e)
2. P
(2xn )2
(xn+1 )
: 2 n =
3x
(3xn 3 )3 · x9
p
1
5
2x 3 · x 4
p
=
4x
2
loga (aloga (a ) ) =
✓ 3 ◆
e
ln
=
e+3
log3 (9) + log3 (27x) log3 (9x) =
Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:
✓
2x2 y n
4xn
◆3 ✓ n+1 2n
x y
·
3x
1
◆2
:
✓
3xn 1 y n+1
(xy)2n
◆
2
=
3. Bestimmen Sie jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
2x)2 = 35
1
b) (x 3) · (x + 1) · (x
)=0
2
p
c) 4
5x + 11 = 0
p
x2 1
d) x3 64 · p
=0
x2 + 1
a) (3x
6)2
(9
4. P Was versteht man unter der Definitionsmenge einer Gleichung, was unter der Lösungsmenge?
Bestimmen Sie nun jeweils die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die
Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
x 2
2x2 x 1
a)
=
x 3
(x 3) · (x 1)
p
p
b) 9x 5 = 4
x+3
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5. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
6!
a)
4!2!
n!
b)
(n 3)!
(2n)!
c)
(2n 2)!2!
6. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichungen nach der Variablen x auf:
a) 2 log5 (3x + 1) = log5 (6x + 10)
b) xlnx+2 = e3
7. P Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichung nach der Variablen x auf:
p
p
3
54x 8 = 59x+1
8. Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über R an:
a) x2
3<0
x
8
b)

5 x
x 2
9. P
2x
Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über R an:
x 1
x+3
1
10. Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R:
1
|x|
1
>1
11. P Geben Sie eine Definition des Absolutbetrages einer reellen Zahl an. Lösen Sie die
folgende Betragsungleichung in R:
3 · (x
2
1)
2x
12. Berechnen Sie:
a)
3
X
i=0
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i·2
i+1
b)
120
X
5
k=1
2
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13. P
Berechnen Sie die folgenden Summen:
a)
20 ✓
X
k=1
k+1
10
◆
b)
5
X
i=3
ii
(i
3
3)!
c)
n
P
i=1
3 · i2
n
P
i
i=1
14. Berechnen Sie die folgende Doppelsummen:
1 X
13
X
i
k+1
k=0 i=10
15. P
Berechnen Sie die folgende Doppelsumme:
2 X
10
X
2ij
i=1 j=1
16. Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens an
a) 22 + 33 + 44 + 55
1 1 1 1 1
b) 1 + + + + +
2 3 4 5 6
c) a + aq + aq 2 + . . . + aq n
1
+ aq n
17. Wenn P und Q zwei Aussagen sind, so bedeutet P ) Q ,,P impliziert Q“ oder ,,aus P
folgt Q“ oder ,,wenn P, dann auch Q“. Man nennt
P eine hinreichende Bedingung für Q
Q eine notwendige Bedingung für P.
Gegeben sind nun die folgenden Aussagen:
A: ,,Die Figur F ist ein Quadrat“,
B: ,,Die Figur F hat vier gleich lange Seiten“
Welche der nachstehenden Behauptungen sind richtig?
a) A ist notwendig für B
b) B ist notwendig für A
c) A ist hinreichend für B
d) B ist hinreichend für A
18. Gegeben sind die Mengen A = {a, {1, 2}, b, c} und B = {a, b, 1, 2}. P(A) ist die Potenzmenge von A. Stimmen die folgenden Aussagen und wenn nicht, wie lautet eine wahre
Aussage?
a) {b} 2 A
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b) {1, 2} ⇢ B
c) {1, 2} ⇢ A
3
d) {a, b} 2 P(A)
e) {a, b} 2 A\B
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19. P
Was versteht man unter einer Menge? Wie können Mengen festgelegt werden?
a) Geben Sie eine beschreibende Darstellung der Menge {2, 4, 6, 8, 10} an.
b) Geben Sie die Menge k 2 | k 2 Z ^
3  k < 5 in aufzählender Darstellung an.
⇢
1
c) Entscheiden Sie für die Menge A = 0, 2, 3,
welche der folgenden Aussagen
2
richtig sind. Begründen Sie Ihre Antwort!
i. Die Menge A enthält genau 4 Elemente.
ii. 3 2 A.
iii. Nur eines der
⇢ Elemente von A ist eine rationale Zahl.
1
iv. Die Menge 2,
ist eine Teilmenge von A.
2
20. Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen – sämtlich Teilmengen einer Grundmenge
G – im allgemeinsten Fall und schraffieren Sie folgende Menge:
(A \ (C\B)) [ (B\A)
21. Unter 90 Befragten waren 60 Personen, die gerne Ka↵ee trinken, 50 Personen, die gerne
Tee trinken und 40 Personen, die gerne Milch trinken. Diese Zahlen schließen 35 Personen
ein, die gerne Ka↵ee und Tee trinken, 25 Personen, die gerne Ka↵ee und Milch trinken
und 20 Personen, die gerne Tee und Milch trinken. Diese Zahlen wiederum schließen 15
Personen ein, die gerne Ka↵ee, Tee und Milch trinken.
a) Erstellen Sie ein Venn Diagramm des Sachverhaltes.
b) Bestimmen Sie wie viele Personen keines der Getränke gern trinken!
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22. P
Gegeben ist die Grundmenge
G = {x |x ist ein im Sommersemster 2017 an der KF-Uni Graz immatrikulierter Studierender }
und die Mengen
A = {x 2 G | x studiert VWL }
B = {x 2 G | x studiert BWL }
C = {x 2 G | x ist jünger als 25 Jahre }
a) Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen – sämtlich Teilmengen der Grundmenge G – und kennzeichnen Sie folgende Menge: ((A \ C) \ B) [ (B \ (A [ C)).
Welche Personengruppen ist durch diese Menge festgelegt?
b) Beschreiben Sie mit Hilfe geeigneter Mengenoperationen die nachfolgende, im Venndiagramm farbig dargestellte Menge. Welche Personengruppe ist durch diese Menge
festgelegt?
G
C
A
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B
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23. Gegeben sind die folgenden vier Mengen::
M1 = {x 2 R | 0 < x  6}
M2 = {x 2 N | x3 < 64}
M3 = [1 ; 7]
M4 = {1, 5}
a) Skizzieren Sie diese Mengen auf einer Zahlengeraden der reellen Zahlen
4
\
b) Bestimmen Sie den Durchschnitt
Mi aller vier Mengen!
c) Bestimmen Sie die Vereinigung
i=1
4
[
Mi aller vier Mengen!
i=1
d) Bestimmen Sie das kartesische Produkt von M2 und M4 !
e) Bestimmen Sie die Komplementmenge von M1 bezüglich R!
f) Bestimmen Sie die symmetrische Di↵erenz von M1 und M3 !
g) Bestimmen Sie - falls möglich - die Potenzmenge der Menge M = M4 [ {0}!
24. Zeichnen bzw. schraffieren Sie die folgenden Mengen in R ⇥ R. Welche dieser Mengen sind
konvex? (Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei beliebigen Punkten auch
deren ganze Verbindungsstrecke enthält.)
a) A = {(x, y) | 6x + 3y = 12 ^ x > 0}
b) B = {(x, y)|(y  2
c) C = {(x, y) | (x
25. P
x) ^ (x
2
5) + y
2
0) ^ (y > 0)}
25}
Gegeben sind die Mengen A = {(x, y) 2 R2 | y > |x|},
B = {(x, y) 2 R2 | y + x2
Mengen
1  0} und C = (x, y) | x2 + (y
1)2  9 . Stellen Sie die
a) A \ B und
b) C \ Ā graphisch dar!
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren!
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