Blatt 1

Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2016/17
Blatt 1: Mathematische Grundlagen
1. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
3
a)
b)
c)
d)
e)
2. P
(2xn )2
(xn+1 )
:
=
3 2 xn
(3xn 3 )3 · x9
p
1
5
2x 3 · x 4
p
=
4x
(x2 2xyz + y 2 z 2 ) · (x + yz)
=
x2 y 2 z 2
2
loga (aloga (a ) ) =
✓ 3 ◆
e
ln
=
e+3
Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:
"✓
3 (x
y)
3
b 2a
◆
3
4 a 2 b6
:
(x
y)4
#
.
9 (x + y)
=
a5 b 3
3. Bestimmen Sie die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen
nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
2x)2 = 35
1
b) (x 3) · (x + 1) · (x
)=0
2
p
c) 4
5x + 11 = 0
p
x2 1
d) x3 64 · p
=0
x2 + 1
a) (3x
6)2
(9
4. P Bestimmen Sie die Definitionsmenge der folgenden Gleichungen, lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an:
2
x 1
x+1
a)
=
2
x+1 x +x
x · (x 1)
p
p
b) 3x + 4 = 2 + 3x 8
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5. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
6!
a)
4!2!
n!
b)
(n 3)!
(2n)!
c)
(2n 2)!2!
6. P
Vereinfachen Sie:
a c
2 (a b)
a
b
2

2b
a2
b2
a+c
=
(a b)2
7. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichungen nach der Variablen x auf:
a) 2 log5 (3x + 1) = log5 (6x + 10)
b) xlnx+2 = e3
8. P Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie folgende Gleichungen nach der
Variablen x auf:
8x+4 · 16x+3
= 32x+4
4
9. Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über R an:
a) x2
b)
10. P
2x
x
5
3<0
8

x
x 2
Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über R an:
x 1
<3
x+1
11. Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R:
1
|x|
12. P
1
>1
Lösen Sie die folgende Betragsungleichung in R:
4
x
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13. Berechnen Sie:
a)
3
X
i=0
14. P
i·2
i+1
b)
120
X
5
k=1
Berechnen Sie die folgenden Summen:
a)
20
1 X
·
(2k + 3)
20 k=1
b)
5
X
i=3
i!
(i
1)!
c)
3
X
( 1)j+1
jj 1
j=1
15. Berechnen Sie die folgende Doppelsummen:
1 X
13
X
i
k+1
k=0 i=10
16. P
Berechnen Sie die folgende Doppelsumme:
2 X
3
X
2i
j+1
i=0 j=1
17. Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens an
a) 22 + 33 + 44 + 55
1 1 1 1 1
b) 1 + + + + +
2 3 4 5 6
c) a + aq + aq 2 + . . . + aq n
1
+ aq n
18. Wenn P und Q zwei Aussagen sind, so bedeutet P ) Q ,,P impliziert Q“ oder ,,aus P
folgt Q“ oder ,,wenn P, dann auch Q“. Man nennt
P eine hinreichende Bedingung für Q
Q eine notwendige Bedingung für P.
Gegeben sind nun die folgenden Aussagen:
A: ,,Die Figur F ist ein Quadrat“,
B: ,,Die Figur F hat vier gleich lange Seiten“
Welche der nachstehenden Behauptungen sind richtig?
a) A ist notwendig für B
b) B ist notwendig für A
c) A ist hinreichend für B
d) B ist hinreichend für A
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19. P
a) Geben Sie eine formale Definition für den Begri↵ ,,Teilmenge einer Menge“ und
erläutern Sie diesen Begri↵ anhand eines selbstgewählten Beispiels. Was ist der Unterschied zwischen einer ,,echten“ und einer ,,unechten“ Teilmenge?
b) Definieren Sie den Begri↵ ,,kartesisches Produkt zweier Mengen“ und veranschaulichen Sie diesen anhand eines selbstgewählten Beispiels.
20. P Gegeben sind die Mengen A = {a, {1, 2}, b, c} und B = {a, b, 1, 2}. P(A) ist die
Potenzmenge von A. Stimmen die folgenden Aussagen und wenn nicht, wie lautet eine
wahre Aussage?
a) {b} 2 A
b) {1, 2} ⇢ B
c) {1, 2} ⇢ A
d) {a, b} 2 P(A)
e) {a, b} 2 A\B
21. Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen – sämtlich Teilmengen einer Grundmenge
G – im allgemeinsten Fall und schraffieren Sie folgende Menge:
(A \ (C\B)) [ (B\A)
22. Unter 90 Befragten waren 60 Personen, die gerne Ka↵ee trinken, 50 Personen, die gerne
Tee trinken und 40 Personen, die gerne Milch trinken. Diese Zahlen schließen 35 Personen
ein, die gerne Ka↵ee und Tee trinken, 25 Personen, die gerne Ka↵ee und Milch trinken
und 20 Personen, die gerne Tee und Milch trinken. Diese Zahlen wiederum schließen 15
Personen ein, die gerne Ka↵ee, Tee und Milch trinken.
a) Erstellen Sie ein Venn Diagramm des Sachverhaltes
b) bestimmen Sie wie viele Personen keines der Getränke gern trinken!
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23. P
Gegeben ist die Grundmenge
G = {x |x ist ein im Wintersemster 2016 an der KF-Uni Graz immatrikulierter Studierender }
und die Mengen
A = {x 2 G | x studiert VWL }
B = {x 2 G | x studiert BWL }
C = {x 2 G | x ist jünger als 25 Jahre }
a) Skizzieren Sie ein Diagramm mit drei Mengen – sämtlich Teilmengen der Grundmenge G – und kennzeichnen Sie folgende Menge: A [ C \B. Welche Personengruppen
ist durch diese Menge festgelegt?
b) Beschreiben Sie mit Hilfe geeigneter Mengenoperationen die nachfolgende, im Venndiagramm farbig dargestellte Menge. Welche Personengruppe ist durch diese Menge
festgelegt?
G
C
A
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B
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24. Gegeben sind die folgenden vier Mengen::
M1 = {x 2 R | 0 < x  6}
M2 = {x 2 N | x3 < 64}
M3 = [1 ; 7]
M4 = {1, 5}
a) Skizzieren Sie diese Mengen auf einer Zahlengeraden der reellen Zahlen
4
\
b) Bestimmen Sie den Durchschnitt
Mi aller vier Mengen!
c) Bestimmen Sie die Vereinigung
i=1
4
[
Mi aller vier Mengen!
i=1
d) Bestimmen Sie das kartesische Produkt von M2 und M4 !
e) Bestimmen Sie die Komplementmenge von M1 bezüglich R!
f) Bestimmen Sie die symmetrische Di↵erenz von M1 und M3 !
g) Bestimmen Sie - falls möglich - die Potenzmenge der Menge M = M4 [ {0}!
25. Zeichnen bzw. schraffieren Sie die folgenden Mengen in R ⇥ R. Welche dieser Mengen sind
konvex? (Hinweis: Eine Menge heißt konvex, wenn sie zu je zwei beliebigen Punkten auch
deren ganze Verbindungsstrecke enthält.)
a) A = {(x, y) | 6x + 3y = 12 ^ x > 0}
b) B = {(x, y)|(y  2
c) C = {(x, y) | (x
26. P
x) ^ (x
2
5) + y
2
0) ^ (y > 0)}
25}
Skizzieren Sie die folgenden Mengen im R2 .
a) D = {(x, y) |
1  x  2 ^ |y| < 3}
b) E = (x, y) | (x + 1)2 + (y
1)2  9 ^ y >
x
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren!
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