Lambacher Schweizer - Klett und Balmer Verlag

Die Inhalte
Band 7/8
(Untergymnasium)
Das Lehrwerk im Überblick
II Geometrie
3 Grundlagen der Geometrie
4 Deckungsgleiche Figuren
5 Figuren und Körper
6 Die Satzgruppe des Pythagoras
Band 9/10
(Kurzzeitgymnasium)
I
Geometrie
1 Flächenberechnungen
2 Ähnliche Figuren – Strahlensätze
3 Das rechtwinklige Dreieck
4 Räumliche geometrische Körper
5 Trigonometrie
II Funktionen und Gleichungen
6 Funktionen
7 Lineare Funktionen und lineare Gleichungen
8 Systeme linearer Gleichungen
9 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen
10 Potenz- und Wurzelfunktionen
11 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktion
12 Trigonometrische Funktionen
13 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
III Vektorgeometrie
14 Vektoren
15 Geraden und Ebenen
16 Abstände und Winkel
17 Kreise und Kugeln
Band 11/12
(Kurzzeitgymnasium)
Lambacher Schweizer
I Grundlagen der Arithmetik und Algebra
1 Zahlenbereiche und elementare Rechenregeln
2 Terme und Gleichungen
I
Grenzwerte
1 Folgen und Reihen
2 Grenzwerte von Funktionen
II Differenzialrechnung
3 Die Ableitung
4 Kurvendiskussion von Polynomfunktionen
5 Graphen rationaler Funktionen
6 Weitere Ableitungsregeln
7 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
III Integralrechnung
8 Das Integral
9 Anwendungen und Ergänzungen der Integralrechnung
IV Stochastik
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Abzählverfahren
11 Beschreibende Statistik
12 Weiterführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lambacher Schweizer
Grundlagen der Mathematik
für Schweizer Maturitätsschulen
7/8
Klett und Balmer Verlag Zug
Lambacher Schweizer
Grundlagen der Mathematik
für Schweizer Maturitätsschulen
9/10
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Grundlagen der Mathematik
für Schweizer Maturitätsschulen
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Lambacher Schweizer 7/8
Lambacher Schweizer 9/10
Lambacher Schweizer 11/12
7. und 8. Schuljahr | Schulbuch
978-3-264-83981-4 | Fr. 28.50 $
9. und 10. Schuljahr | Schulbuch
978-3-264-83982-1 | Fr. 35.50 $
11. und 12. Schuljahr | Schulbuch
978-3-264-83983-8 | Fr. 32.50 $
Dazu empfehlen wir folgende Zusatzprodukte:
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Grundlagen der Mathematik
für Schweizer Maturitätsschulen
7/8
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Formelsammlung
Mathematik Gymnasium
Tafelwerk Mathematik
Formeln - Daten - Tabellen
9. bis 13. Schuljahr
978-3-12-718510-2 | Fr. 13.10 $
Sekundarstufe I und II
978-3-12-718513-3 | Fr. 13.10 $
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besteht, diese im Klassensatz einzuführen. | % Keine Prüfstücke möglich. | Die aufgeführten Preise
beinhalten die Mehrwertsteuer und gelten für den Direktkauf bei Klett und Balmer.
Änderungen vorbehalten, Preisstand 1.1.2012.
P264-2011 (03/12)
Klett und Balmer AG, Verlag, Baarerstrasse 95, 6302 Zug
Telefon 041 726 28 50, Telefax 041 726 28 51, [email protected]
www.klett.ch
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Grundlagen der Mathematik
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Grundlagen der Mathematik
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11/12
7/8
7/8
In drei Bänden zur Matura
§§ Das Stoffprogramm orientiert sich an den Lehrplänen von Gymnasien, an den Richtlinien der
Schweizerischen Maturitätskommission sowie an den Empfehlungen der Arbeitsgruppe
HSGYM (Schnittstelle Hochschule– Gymnasium)
Einblicke ins Lehrwerk
3 Grundlagen der Geometrie
II
Geometrie
Viele Dinge in der Natur und in der Technik sind scheinbar aus zwei gleichen Hälften zusammengesetzt. In der Natur haben sich solche Formen im Laufe der Zeit entwickelt. Sie sind teilweise für die Pflanzen und Tiere lebensnotwendig. Der Mensch baut aus technischen Überlegungen viele Gegenstände und Maschinen in dieser Form. §§ Band 1 richtet sich an Untergymnasien (7. und 8. Schuljahr)
Faltet man ein Blatt Papier einmal (Fig. 1) und schneidet ein Gebilde aus, dann erhält man nach dem Aufklappen eine Figur, die aus zwei gleichen, sich gegenüberliegenden Hälften besteht (Fig. 2).
§§ Die Bände 2 und 3 bedienen die Schuljahre 9/10 bzw. 11/12 an Schweizer Gymnasien
§§ Als Grundlage dienen die Inhalte der aktuellen Reihe «Lambacher Schweizer» aus dem Ernst
Klett Verlag
Fig. 1
Das Wort Symmetrie
kommt aus dem Griechischen und bedeutet
Ebenmass.
Fig. 2
Eine solche Figur nennt man achsensymmetrisch. Die Faltlinie, die die Figur teilt, ist die Symmetrieachse.
Bei einer achsensymmetrischen Figur findet man zu jedem Punkt auf der einen Seite einen dazugehörigen Punkt auf der anderen Seite (Fig. 3).
Inhalt
Über die mathematischen Grenzen hinaus
Passgenau für die Schweiz entwickelt
Neben reinen Rechenfertigkeiten vermittelt
ein zeitgemässer Mathematikunterricht weitere Fähigkeiten, die für die Allgemeinbildung
grundlegend sind und Gymnasiastinnen und
Gymnasiasten zu einem tieferen Verständnis
der Umwelt verhelfen.
Die Schweizer Ausgabe des «Lambacher
Schweizer» orientiert sich an verschiedenen
Länderausgaben aus dem Ernst Klett Verlag.
Die Auswahl der Inhalte erfolgte auf der Grundlage von kantonalen und schulinternen Gymnasiallehrplänen sowie auf den Empfehlungen
der Schweizerischen Maturitätskommission
und der Arbeitsgruppe HSGYM.
Der Erwerb fachlicher und überfachlicher Basisfähigkeiten wird durch einen folgerichtigen
Aufbau der Theorie, verknüpft mit einem vielfältigen Angebot an Aufgaben, sichergestellt.
Exkursionen zeigen Beispiele aus Anwendungen und Geschichte der Mathematik und tragen
zur Allgemeinbildung bei.
º Geraden und Winkel
º Dreiecke und Vierecke
º Kreis
º Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
º Spiegelungen, Drehungen und Fig. 3
Körpern
Die Auftaktseiten zu den
Themenkreisen bieten in Bild
und Text einen Überblick über
die Inhalte.
105
Spiegeln mit dem
Geodreieck
106 Fig. 5
Achsensymmetrische Figuren kann man durch Zeichnen herstellen. Diesen Vorgang nennt man Spiegeln an der Spiegelachse. Dabei geht man folgendermassen vor:
1. Man legt eine Spiegelachse fest.
2. Dann zeichnet man durch einen Punkt A der Figur eine Hilfslinie, die senkrecht zur Spiegelachse verläuft. 3. Man legt den Spiegelpunkt A’ so auf der Hilfslinie fest, dass der Punkt A und der Spiegelpunkt A’ den gleichen Abstand von der Spiegelachse haben.
4. Nun wiederholt man die Schritte 2 und 3 für alle Eckpunkte der Figur.
5. Zum Schluss verbindet man die gespiegelten Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge.
Die drei Bände bieten das komplette Stoffprogramm für Schweizer Gymnasien in
anregender, altersgerechter und attraktiver
Form.
Fortlaufend nummerierte Unterkapitel ermöglichen Übersicht und rasches Auffinden.
Unterkapitel beginnen jeweils
auf einer neuen Seite. Der
Einstieg in ein Thema erfolgt
in Form einer Überlegungsaufgabe, meist in dialogischer
Form, die Anlass zu Diskussionen in der Klasse bietet oder
von einzelnen Schülerinnen
oder Schülern kommentiert
werden kann.
Die einzelnen Kapitel werden
durch einen Farbbalken vom
Lehrbuchtext abgehoben.
a) Zeichne mehrere Dreiecke mit AB = 5 cm und c = 90°.
b) Zeichne einen Kreis k mit Radius 4 cm. Bestimme die Punkte A, B und C auf k so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Begründe deine Lösung.
5 Zeichne zuerst eine Skizze und schreibe eine Konstruktionsbeschreibung auf.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus
a) c = 6 cm; c = 90°; hc = 2 cm; b) a = 5 cm; a = 90°; hc = 1,5 cm;
c) b = 7,8 cm; b = 90°; hb = 3,2 cm; d) c = 5,4 cm; b = 35°; a = 55°.
6 Konstruiere, ohne Winkel zu messen, mit Zirkel und Lineal. Begründe.
a) Ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein weiterer Winkel 45° misst.
b) Ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein weiterer Winkel 30° misst.
7 Tangenten konstruieren
Zeichne in ein Koordinatensystem den Kreis um M (3 1 4) mit Radius 2,5 cm und den Punkt P (–1 1 –2). Bestimme beide Tangenten durch P. Gib die Koordinaten ihrer Berührungspunkte an.
C
A
M
8 Beweise den Satz von Thales, indem du das Dreieck ABC (Fig. 1) am Mittelpunkt M spiegelst und an dem entstandenem Viereck AC’BC über die Eigenschaften von punktsymmetrischen Figuren argumentierst.
B
C´
Fig. 1
Info
Thales von Milet (um 600 v. Chr.) – Wegbereiter der wissenschaftlichen Mathematik
Infolge der dorischen Wanderung (1200 v. Chr.) mussten viele Griechen ihre Heimat verlassen. Über die Inseln der Ägäis bevölkerten sie auch die kleinasiatische Küste. Im 7. Jahrhundert v. Chr. entwickel te sich dort die griechische Siedlung Milet zu einem bedeutenden Handelsplatz. Hier war Thales als Kaufmann, Philo soph und Mathematiker tätig.
Zu den grossen Verdiensten von Thales gehört, dass er die Vorgänge in der Natur nicht mehr dem Wirken der Götter zuschrieb, sondern die Ursachen in den Dingen selbst und ihren Zusammenhängen suchte. Er erklärte z. B. die jährlichen Überschwemmungen in Ägypten mit der Schneeschmelze in den Bergen und erkannte als Erster, dass die Sonne durch den Mond verfinstert wird. Für den 28. Mai 585 v. Chr. sagte er eine Sonnenfinsternis voraus, deren wirkliches Eintreten ihn selbst sehr erstaunt haben soll. Danach galt er als der grösste der sieben Weltweisen.
Der nebenstehende Satz ist nach ihm benannt. Er war schon den Babyloniern bekannt. Thales hat den Sachverhalt jedoch als Erster mit den symmetrischen Eigenschaften von Figuren begründet.
154 Satz des Thales Jeder Winkel von einem Punkt auf dem Halbkreis einer Strecke zu ihren Endpunkten ist ein Rechter.
Grau unterlegte Informationsboxen geben weitere Hinweise,
zum Beispiel zu berühmten
Mathematikern wie Thales von
Milet.
Exkursion Musikalische Stimmungen
Bei einer Drehung (Rotation) wird jedem Punkt P ein Bildpunkt Pq zugeordnet. Dabei gilt:
1. Ein Punkt P und sein Bildpunkt Pq liegen auf einem Kreis um das Drehzentrum Z.
2. Alle Punkte P und ihre Bildpunkte Pq bilden mit Z denselben Drehwinkel a:
¼ PZPq = a.
Grafisch hervorgehoben
sind die Definitionen, welche
den Stoff sprachlich und in
Formeln zusammenfassen.
Das Bild des Steuerrades muss man nicht vollständig drehen, um es auf sich selbst abzubilden (hier reicht eine Drehung um 60° um die Radachse aus). Figuren, die diese Eigenschaft haben, nennt man drehsymmetrisch. Bei einer Drehung um 180° bilden Original und Bild eine punktsymmetrische Figur (Fig. 1).
Eine Figur heisst drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehung von weniger als 360° auf sich selbst abgebildet wird. Eine Drehung um 180° entspricht einer Punktspiegelung.
Team
Fig. 4
Hat man zwei zueinander gehörende Punkte gefunden, so gilt:
– Die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten steht senkrecht auf der Symmetrieachse (Fig. 5).
– Die beiden Punkte haben denselben Abstand zur Symmetrieachse.
Verschiebungen
º Kongruenz
º Prismen und Kreiszylinder
º Satz des Pythagoras
º Katheten- und Höhensatz
º Berechnungen an Figuren und _
4 3.1 Achsensymmetrische Figuren
Da die beiden Kreise den
gleichen Radius haben,
sind ihre Schnittpunkte
gleich weit von A und B
entfernt.
Fig. 1
Der Schritt 2) dieser
Konstruktionsbeschreibung kürzt die ausführliche Angabe der Konstruktionsschritte mit
Zirkel und Lineal ab.
Beispiel 1
Konstruktion des Bildes bei der Drehung des Dreiecks PQR um Z um 90°.
Lösung:
– Zeichne das Dreieck PQR und das Drehzentrum Z.
– Verbinde Z mit P, Q und R. Trage jeweils den Drehwinkel von 90° ab. Zeichne um Z einen Kreisbogen von P (bzw. Q, R) zum zweiten Schenkel des Drehwinkels.
– Zeichne das Bilddreieck PqQqRq.
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke Konstruktionsbeschreibung:
1) Zeichne um A und B zwei sich schneidende Kreise mit gleichem Radius.
2) Zeichne die Gerade m durch die beiden Schnittpunkte der Kreise.
Die Mittelsenkrechte zu AB ist die Gerade m.
Mit Saiten, wie sie zum Beispiel bei Streich- oder Zupfinstrumenten verwendet werden,
kann man Töne verschiedener Höhen erzeugen. Die Höhe eines Tones hängt von der Anzahl der Schwingungen der Saite pro Sekunde, der Frequenz, ab. Die Frequenz gibt man
in Hertz (Hz) an: 1 Hz = 1 Schwingung in der Sekunde. Je grösser die Frequenz ist, desto
höher ist der Ton. Zum Musizieren verwendet man Töne, die „gut zueinanderpassen“.
Das Prinzip der pythagoreischen Stimmung
Pythagoras (etwa 580 – 500 v. Chr.) und seine Schüler untersuchten mithilfe eines Monochords (Fig. 1), welche Töne gut zusammen klingen. Sie verglichen den Ton einer Saite,
den Grundton, mit den Tönen, die man erhält, wenn man jeweils nur einen Teil dieser
Saite bei gleicher Spannung schwingen lässt:
Der Grundton und der Ton der halben Saite klingen besonders harmonisch zusammen.
Einen guten Zusammenklang ergeben auch der Grundton und der Ton von _ 23 der Saite.
3
Gerade noch angenehm empfanden die Pythagoreer den Grundton und den Ton von _ 4 der
Saite. Hat der Grundton die Frequenz f0 , so haben die drei mit ihm gut klingenden Töne
3
die Frequenzen 2 f0 , _ 2 f0 und _ 43 f0 , da die Frequenz eines Tones umgekehrt proportional zur
Länge der schwingenden Saite ist.
9
3
Das Verhältnis der Frequenzen _ 2 f0 und _ 34 f0 ist _ 8 . Die Pythagoreer nutzten das Frequenz9
verhältnis _ 8, um weitere Töne festzulegen. Tab. 1 zeigt eine „pythagoreische Tonleiter“ mit
den heutigen Tonbezeichnungen c’, d’, e’, …
Konstruktion der Winkelhalbierenden eines Winkels Konstruktionsbeschreibung:
1) Zeichne um den Scheitel von a einen Kreis, der die Schenkel in A und B schneidet.
2) Konstruiere die Mittelsenkrechte w der Strecke AB.
Die Winkelhalbierende von a ist der Strahl w.
Die Konstruktionen der Mittelsenkrechten einer Strecke und der Winkelhalbierenden eines Winkels gehören zu den geometrischen Grundkonstruktionen.
Für die Konstruktion von Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende reichen Zirkel und Lineal. Die Konstruktionsbeschreibung enthält die Reihenfolge der Zeichenschritte.
Tonbezeichnung
c’
Frequenz
f0
Frequenzverhältnis
zum vorherigen
Ton
d’
e’
a’
h’
9
_ f
8 0
81
_ f
64 0
4
_ f
3 0
3
_ f
2 0
27
_ f
16 0
243
_ f
128 0
2 f0
9:8
9:8
256 : 243
f’
9:8
g’
9:8
9:8
256 : 243
c’’
Tab. 1
Fachredaktion
Beispiel Konstruktion der Senkrechten zu einer Geraden g durch einen Punkt P
Konstruktionsbeschreibung:
1) Zeichne um P einen Kreis, der die Gerade g in den Punkten A und B schneidet.
2) Konstruiere die Mittelsenkrechte h der Strecke AB.
Die Gerade h ist senkrecht zu g und geht durch P. Sie heisst auch Lotgerade oder Normale.
Peter Jankovics | dipl. Mathematiker und Redaktor | Zürich
Beratung
Dr. Volker Dembinski | Mathematiklehrer an der Ecole d‘Humanité | Hasliberg-Goldern
Dr. Sebastian Lamm | Mathematiklehrer am Gymnasium Marienburg | Rheineck
Roman Oberholzer | Mathematiklehrer an der Kantonsschule Luzern | Luzern
Rita Völlmin | ehemalige Mathematiklehrerin am Gymnasium der Juventus Schulen | Zürich
Beispiel 2
Wie gross ist der Drehwinkel bei den drehsymmetrischen Figuren in Fig. 2?
Fig. 1
Das Prinzip der diatonischen Stimmung
Aufgaben
1 Fig. 2
2 Lösung:
Quadrat: 90°; Rhombus (Raute): 180°; Dreieck: 120°; Sechseck: 60°; Kreis: beliebiger Drehwinkel
a) Zeichne eine Gerade g. Konstruiere die beiden Parallelen zu g im Abstand 2 cm.
b) Zeichne eine Strecke AB der Länge 6 cm. Konstruiere die Mittelpunkte zweier Kreise mit dem gleichen Radius 4 cm, die durch die Punkte A und B gehen.
129
Beispiele mit Lösungen zeigen
exemplarisch die Anwendung
des Stoffes.
3 a) Zeichne einen Winkel der Grösse 87°. Konstruiere einen Winkel der Grösse 43,5°.
b) Zeichne einen Winkel der Grösse 110°. Konstruiere einen Winkel c der Grösse 27,5°.
c) Wie kann man ohne Geodreieck einen Winkel von 45° konstruieren?
124 Tonbezeichnung
c’
Frequenz
f0
Frequenzverhältnis
zum vorherigen
Ton
Verwende nur Zirkel und Lineal – Beschreibe deine Konstruktionen
a) Halbiere eine Strecke der Länge 11,7 cm.
b) Teile eine Strecke der Länge 17 cm in vier gleich lange Teilstrecken.
Der Zusammenklang von Tönen, deren Frequenzen im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen
stehen, empfindet man als besonders angenehm. Betrachtet man jedoch in der pythagoreischen Stimmung zum Beispiel den Dreiklang c’–e’–g’, so erhält man das Frequenzverhältnis 64 : 81 : 96, das heisst, zu c’–e’ gehört das Frequenzverhältnis 64 : 81 und
zu e’–g’ das Frequenzverhältnis 81 : 96.
Dem Prinzip der pythagoreischen Stimmung warf man Klangarmut vor, besonders beim
Spielen von Akkorden. Didymos (etwa 63 v. Chr. – 10 n. Chr.) entwickelte ein Stimmungsprinzip, das sehr gut die Forderung nach harmonischem Zusammenklang der Töne erfüllt:
Am Schluss jedes Unterkapitels befinden sich Aufgaben
zum vermittelten Stoff. Sie
ermöglichen das Üben und
Vertiefen der Theorie.
d’
e’
f’
g’
a’
h’
c’’
9
_ f
8 0
5
_ f
4 0
4
_ f
3 0
3
_ f
2 0
5
_ f
3 0
15
_ f
8 0
2 f0
9:8
10 : 9
16 : 15
9:8
10 : 9
9:8
16 : 15
Tab. 2
Dem Dreiklang c’–e’–g’ entspricht nun das Frequenzverhältnis 4 : 5 : 6. Die diatonische
Stimmung unterstützt im besonderen Masse den harmonischen Zusammenklang von
Tönen. Aber auch die diatonische Stimmung ist keine reine Stimmung in dem Sinne, dass
alle Intervalle rein gespielt werden können. Eine solche Stimmung gibt es nicht.
76
Exkursionen behandeln Themen aus der Geschichte der
Mathematik, zum Beispiel zur
Geschichte der reellen Zahlen
oder zum Zusammenhang
zwischen der Mathematik und
der musikalischen Stimmung.