Die Musterlösung bezieht sich auf die Musterklausur 4, Aufgaben 2

Die Musterlösung bezieht sich auf die Musterklausur 4, Aufgaben 2-5, um am Beispiel zu zeigen, wie man
die Lösung von Aufgaben in der Klausur strukturiert und kompakt aufschreiben kann. Bei Aufgabe 1
besteht die Lösung aus 1-3 Sätzen, da hier nicht nach einer Rechnung gefragt ist. Aufgabe 6 fällt weg;
die damalige Klausur hatte noch eine längere Bearbeitungszeit. Bei den aktuellen 90 min-Klausuren gibt
es nur 5 Aufgaben.
Anmerkung: Die Rechenergebnisse können gerundet werden. 3-4 signifikante Ziffern reichen in der Regel
aus.
2. Aufgabe
a) XA = Jahresgewinn von ABC-Aktie, EXA = µ = 20, σ(XA ) = σ = 40
E(2XA ) = 2EXA = 40,
σ(2XA ) = 2σ(XA ) = 80
Antwort: Das Portfolio aus 2 ABC-Aktien hat Erwartungswert 40 EUR und Standardabweichung 80 EUR.
a) XE = Jahresgewinn von ED-Aktie, unabhängig von XA , EXE = µ, σ(XE ) = σ
E(XA + XE ) = EXA + EXE = 40,
var (XA + XE ) = var (XA ) + var (XE ) = 2σ 2
p
√
σ(XA + XE ) = var (XA ) + var (XE ) = 2 σ = 56, 57
Antwort: Das Portfolio aus 1 ABC-Aktie und 1 ED-Aktie hat denselben Erwartungswert 40 EUR und
eine geringere Standardabweichung 56,57 EUR.
3. Aufgabe
Daten: Stichprobe X1 , . . . , XN aus 2003, N = 20
Modell: X1 , . . . , XN sind u.i.v. N (µ, σ 2 )-verteilt.
(Das Modell muss hier nicht begründet werden, da es im Hinweis zur Aufgabe vorgegeben ist)
Behauptung des Verbands: µ = µ0 = 600000
In 2002: σ0 = 90000
Teste H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ 6= µ0 auf dem Niveau α = 1%.
(H1 : µ > µ0 wäre bei der Formulierung des Aufgabentexts auch möglich - der Test verläuft dann etwas anders,
aber beides wäre richtig)
a) σ = σ0 bekannt. Daher Gauss-Test.
√
Teststatistik: Z =
N (X N − µ0 )
=
σ
√
20(636000 − 600000)
= 1, 789
90000
(1 − α2 ) = 99, 5%-Quantil von N (0, 1): 2,576
Da |Z| < 2, 576: akzeptiere H0 .
b) σ unbekannt. Daher t-Test
√
Teststatistik: T =
N (X N − µ0 )
=
sN
√
20(636000 − 600000)
= 1, 789
90000
(1 − α2 ) = 99, 5%-Quantil von tN −1 = t19 : 2,861
Da |T | < 2, 861: akzeptiere H0 .
Antwort: In beiden Fällen wird H0 angenommen. Die Behauptung des Verbandes lässt sich anhand der
Daten nicht widerlegen.
1
4. Aufgabe
Daten: Stichprobe (X1 , Y1 ), . . . , (XN , YN ) der Wohnfläche und der Kaltmiete von N = 30 Wohnungen
2
a) Modell: X1 , . . . , XN u.i.v. N (µX , σX
)-verteilt
2
i) σX
unbekannt. Dann ist ein (1-α)-Konfidenzintervall für µX :
sN,X
XN ± √
tN −1,β
N
mit tN −1,β = β-Quantil der tN −1 = t29 -Verteilung mit β = (1 − α2 ) = 0, 975 ⇒ tN −1,β = 2, 045
r
78 ±
625
2, 045 = 78 ± 9, 33 = [68, 67, 87, 33]
N
Antwort: Das Konfidenzintervall [68, 67, 87, 33] enthält µX mit Wahrscheinlichkeit 95 %.
2
ii) Ein Konfidenzintervall [S1 , S2 ] für σX
ist gegeben durch:
S1 =
(N − 1)s2N,X
,
χ2N −1,1−α/2
S1 =
(N − 1)s2N,X
χ2N −1,α/2
Quantile der χ2N −1 = χ229 -Verteilung:
1 − α/2 : 45, 772
Einsetzen liefert
S1 =
29 · 625
= 396, 0
45, 772
α/2 : 16, 047
S1 =
29 · 625
= 1129, 5
16, 047
2
Antwort: Das Konfidenzintervall [396, 1129, 5] enthält σX
mit Wahrscheinlichkeit 95 %.
√
√
Wäre nach einem Konfidenzintervall für die Standardabweichung gefragt worden, wäre die Antwort [ S1 , S2 ] =
[19, 9, 33, 6]
b) Modell: (X1 , Y1 ), . . . , (XN , YN ) sind u.i.v. gemeinsam normalverteilt mit ρ = Korrelation von Xj , Yj .
Zu zeigen ist ρ > 0.
Test: H0 : ρ = 0 (oder ρ ≤ 0) gegen H1 : ρ > 0
ĉN
2250
√
= 0, 60
=√
sN,X sN,Y
625 22500
√
Teststatistik: N ρ̂N = 3, 286
Stichprobenkorrelation ρ̂N =
0, 99√= (1 − α)-Quantil von N (0, 1): 2,326
Da N ρ̂N > 2, 326: lehne H0 ab.
Antwort: Kaltmiete und Wohnungsgröße sind positiv korreliert (bis auf Irrtumswahrscheinlichkeit 1 %).
2
5. Aufgabe
a) Modell: Betriebsdauer X ist Exp(λ)-verteilt, λ = 3, 5 · 10−6
Gesucht: c, so dass Ws (X ≥ c) = 0,99
0, 99 = Ws (X ≥ c) = e−λc ⇒ −λc = ln 0, 99 ⇒ c =
− ln 0, 99
= 2872
3, 5 · 10−6
Antwort: Mit 99%-iger Sicherheit fällt der Motor nur während der ersten 2872 km nicht aus.
b) Modell: Betriebsdauer X ist lognormal verteilt mit µ = 12, 5 und σ 2 = 0, 16
Gesucht: c, so dass Ws (X ≥ c) = 0,99. Da ln X normalverteilt ist:
ln c − µ
0, 01 = Ws (X ≤ c) = Ws (ln X ≤ ln c) = Φ
σ
ln c − µ
= 1%-Quantil von N (0, 1) = −2, 326 ⇒
σ
p
ln c = µ − σ2, 326 = 12, 5 − 0, 16 · 2, 326 = 11, 57 ⇒ c = e11,57 = 105831
d.h.
Antwort: Mit 99%-iger Sicherheit fällt der Motor während der ersten 105831 km nicht aus.
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