Sachrechnen/Größen WS 14/15 - Universität Koblenz · Landau

Sachrechnen/Größen WS 14/15-
Kapitel
Daten & Wahrscheinlichkeit
3.1 Kombinatorische Grundlagen
3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit
in der Grundschule
3.3 Daten Darstellen
Sachrechnen/Größen WS 14/15-
3.1 Kombinatorische Grundlagen
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Verschiedene Bereiche der Mathematik befassen sich mit den Fragestellungen
rund um die Themen Möglichkeiten, Anordnungen, Kombinationen, Anzahlen,
Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, etc…
BSP: Würfeln mit mehreren Würfeln
Welche Augenzahlen sind möglich?
Wie viele Kombinationen gibt es für jede mögliche Augenzahl?
⇒ Kombinatorik
Wie wahrscheinlich ist eine bestimmte Augenzahl?
Welche Augenzahl kann ich erwarten?
⇒ Wahrscheinlichkeitstheorie
Stichprobe -> Ergebnisse -> Darstellung der Ergebnisse
(deskriptive Statistik)
-> allgemeine Eigenschaften werden abgeleitet
(induktive Statistik)
⇒ Statistik
3
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Verschiedene Bereiche der Mathematik befassen sich mit den Fragestellungen
rund um die Themen Möglichkeiten, Anordnungen, Kombinationen, Anzahlen,
Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, etc…
abzählbare diskrete Strukturen & Berechnungen von Anzahlen.
Beispiele: Parkettierungen, Permutationen, Partitionen,
lateinische Quadrate, Graphentheorie
Man untersucht, modelliert und formalisiert Strukturen hinter
Zufallsgeschehen (z.B. Glücksspiel). Endliche, diskrete
Wahrscheinlichkeiten hängen immer eng mit der Anzahl der
Möglichkeiten (Kombinatorik) zusammen
Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen.
Diese Daten werden erhoben, dargestellt und
analysiert um Prognosen zu erstellen
⇒ Kombinatorik
⇒ Wahrscheinlichkeitstheorie
⇒ Statistik
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Wahrscheinlichkeit
Wir wollen verschiedenen Ereignissen einen Grad der Gewissheit
zuordnen
Alltagssprache & Mathematik:
„Das wird hundertprozentig passieren!“
„Die Chancen dafür liegen bei 0%!“
„Die Chancen sind fifty-fifty!“
P1 = 100%
P2 = 0%
P3 = 50%
=1
=0
= 0,5
Wahrscheinlichkeiten
werden nicht in %,
sondern als Werte zwischen
0 und 1 angegeben.
5
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt
P(Ereignis)
P steht für probability (Wahrscheinlichkeit)
Grundvorstellung für ein zufälliges Ereignis: ein Wert wird zufällig bestimmt
P(X = x)
Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert x annimmt
6
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Wahrscheinlichkeit
P(X = x)
Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert x annimmt
Bsp: Würfel (Hexaeder)
Menge aller möglichen Ergebnisse
Zufallsvariable
Ω = {1,2,3,4,5,6}
X: Augenzahl
Es gilt immer
P(Ω) = P( X=1 v X=2 v X=3 v X=4 v X=5 v X=6 ) = 1
Bei einem fairen Würfel gilt
P(X=1) = P(X=2) = …= P(X=6)
Aus diesen beiden Beobachtungen folgt
P(X=1) = …= P(X=6) = 1/6
(LaGrange)
7
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Wahrscheinlichkeit
Definitionen
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:
• Das Experiment wird unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt und
• kann unter diesen beliebig oft wiederholt werden
• Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt
• Das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden
Ergebnismenge
Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Genauer:
Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge, wenn jedes Element aus Ω ein Ergebnis des
Experiments bezeichnet und wenn jedem Ergebnis des Experiments genau ein
Element aus Ω entspricht.
Ereignis
Ist Ω eine Ergebnismenge, dann heißt jede Teilmenge A ∈ Ω ein Ereignis.
• Ω heißt sicheres Ereignis
• ∅ (Nullmenge) heißt unmögliches Ereignis
• die einelementigen Teilmengen von Ω heißen Elementarereignisse.
8
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Der Erwartungswert
Der Erwartungswert E einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die
Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ist gleich dem Durchschnitt aller
Ergebnisse eines unbegrenzt wiederholten Experiments.
Im diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als Summe der
Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses
des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.
In unserem Beispiel (einmal Würfeln) gilt also für unsere Zufallsvariable X
E(X)
= 1/6 ∙ 1 + 1/6 ∙ 2 + … + 1/6 ∙ 6
= 1/6 ∙ (1+2+…+6)
= 3,5
Der Erwartungswert für die Augenzahl eines Würfels beträgt 3,5.
9
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Kombinatorik
Überblick
Parkettierungen
10
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Überblick
Kombinatorik
Partitionen
Partition einer Menge M:
eine Menge P, deren Elemente nichtleere Teilmengen von M sind,
sodass jedes Element von M in genau einem Element von P enthalten ist
Die Partitionen von {1,2,3} sind
{{1,2,3}},
{{1,2},{3}},
{{1},{2,3}},
{{1,3},{2}},
{{1}, {2}, {3}}
11
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Kombinatorik
Überblick
Lateinische Quadrate
ein quadratisches Schema mit n Reihen und n Spalten.
In jedem Feld ist genau eines von n verschiedenen Symbolen
enthalten, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder
Spalte jeweils genau einmal auftritt.
Ein Sudoku ist ein Lateinisches
Quadrat der Ordnung 9
mit einer zusätzlichen
Eigenschaft: in den neun
3x3-Quadraten kommt jede Zahl
genau einmal vor.
12
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Überblick
Kombinatorik
Graphen
Ein Graph besteht aus Knoten
und Kanten (die paarweisen
Verbindungen zwischen Knoten)
ein leichter Beweis aus der
Graphentheorie:
das Haus vom Nikolaus
kann nur gezeichnet werden,
wenn man in einer der
beiden unteren Ecken
beginnt
Vollständige Graphen haben wir schon
zur Lösung eines Problems genutzt
13
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Permutationen
eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten
in einer bestimmten Reihenfolge.
Interessant ist bei einer gegebenen Menge von Objekten
die Anzahl der möglichen Permutationen.
Dabei kann zugelassen werden, dass Objekte
mehrfach auftreten dürfen, oder nicht
Permutation ohne Wiederholung
gegeben: n paarweise verschiedene Objekte.
Dann ist die Anzahl der möglichen Permutationen
n! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n
14
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Permutation mit Wiederholung
n Anzahl Objekte
r Anzahl Rote
y Anzahl Gelbe
b Anzahl Blaue
g Anzahl Grüne
Anzahl der Permutationen:
n!
r! y! b! g!
15
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Problemaufgabe (Kombinatorik) für die 1. und 2. Klasse:
Stelle dir vor, du willst verschiedene Türme aus drei Bausteinen bauen.
In jedem Turm soll ein roter, ein gelber und ein blauer Stein sein.
Wie viele verschiedene Türme könntest du mit diesen drei Steinen
bauen?
16
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Problemaufgabe (Kombinatorik) für die 1. und 2. Klasse:
Stelle dir vor, du willst verschiedene Türme aus drei Bausteinen bauen.
In jedem Turm soll ein roter, ein gelber und ein blauer Stein sein.
Wie viele verschiedene Türme könntest du mit diesen drei Steinen
bauen?
17
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Problemaufgabe (Kombinatorik) für die 1. und 2. Klasse:
Jetzt hast du einen roten, einen blauen, einen grünen, einen gelben und
einen blauen Stein. Es soll trotzdem nur ein dreistöckiger Turm gebaut
werden. Wie viele verschiedene Türme könntest du jetzt bauen?
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der i-elementigen
Teilmengen einer Menge mit n Elementen an.
Es gilt:
18
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Das Pascalsche Dreieck
k=0
k=1
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
k=7
19
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Das Pascalsche Dreieck
k=0
k=1
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
k=7
20
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
21
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Die sechs kombinatorische Grundaufgaben
alle Objekte,
Beachtung der
Reihenfolge
Auswahl,
ohne Beachtung der
Reihenfolge
Auswahl,
mit Beachtung der
Reihenfolge
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
Permutation
Permutation
Ohne Wiederholung
mit Wiederholung
Kombination
Kombination
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
Variation
Variation
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
22
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Die sechs kombinatorische Grundaufgaben
URNENMODELLE
Eine Kombination ohne Wiederholung ist eine
Zusammenstellung/Auswahl von k Elementen
aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die
Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt und
ein Element nur einmal ausgewählt werden darf.
Dabei ist k ≤ n.
Eine Kombination mit Wiederholung ist eine
Zusammenstellung/Auswahl von k Elementen
aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die
Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt und
ein Element mehrmals ausgewählt werden darf.
Dabei ist k>n erlaubt.
23
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Die sechs kombinatorische Grundaufgaben
URNENMODELLE
Eine Variation ohne Wiederholung ist eine
Auswahl von k Elementen aus n unterscheidbaren Elementen, bei der die Reihenfolge der
Elemente berücksichtigt wird und ein Element
nur einmal ausgewählt werden darf.
Dabei ist k ≤ n.
Eine Variation mit Wiederholung ist eine
Auswahl von k Elementen aus n
unterscheidbaren Elementen, bei der die
Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird.
Dabei ist k>n erlaubt.
1. 2.
1.
2.
3.
3.
4. 5. 6. 7.
24
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Die sechs kombinatorische Grundaufgaben
Die Variation mit Wiederholung
ist das k-fache kartesische Produkt
der Menge mit sich selbst
1. 2.
3.
4. 5. 6. 7.
Anzahl Möglichkeiten: nk
n
∙
n
∙
n
∙
n
∙
n …
25
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Die sechs kombinatorische Grundaufgaben
Die Variation mit Wiederholung
ist das k-fache kartesische Produkt
der Menge mit sich selbst
1. 2.
3.
4. 5. 6. 7.
Variante (kartesisches Produkt von 4 verschiedenen Menge):
Hans hat 4 Pullover und 3 Hosen. Außerdem 2 Hüte und 3
Paar Schuhe. Auf wie viele Arten kann er sich damit anziehen?
26
Sachrechnen/Größen WS 14/153.1 Kombinatorik Grundlagen
Die sechs kombinatorische Grundaufgaben
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
n!
Permutation
mit Wiederholung*
n!
a!b!...
Kombination
ohne Wiederholung
n
k
Kombination
mit Wiederholung
n+k-1
k
Variation
ohne Wiederholung
n!
(n-k)!
Variation
mit Wiederholung
nk
Permutation
ohne Wiederholung
Anzahl möglicher Ergebnisse, n=Anzahl Objekte, k=Anzahl gezogene Objekte
27