Prüfung Vlsg StochNat, Juni 2008

Prüfung Vlsg StochNat, Juni 2008
Ein-Minuten-Aufgaben
Aufgabe 1 [je 1 Punkt pro Teilaufgabe]
a) Die Grösse von 25-jährigen Männern sei N (175 cm, 36 cm2 )-verteilt. Wieviele Prozent der Männer sind
grösser als 185 cm?
b) In der Situation von a): wieviele Prozent der Männer grösser als 180 cm sind sogar grösser als 192 cm?
c) Sei X ∼ N (5, σ 2 )-verteilt; P [X > 9] = 0.2. Berechnen Sie die Varianz.
d) Sei Ereignis E1 unabhängig von Ereignis E2 . Sei F auch ein Ereignis. Sind dann E1 ∩ F und E2 ∩ F auch
unabhängig voneinander? Falls Ja, beweisen Sie das - falls Nein, finden Sie ein einfaches Gegenbeispiel.
e) In einer besonders kluftigen Bergregion ist das Klima derart schwer zu verstehen, dass man bisher am
besten mit folgendem Modell gefahren ist: Die Temperatur geht gegenüber dem Vortag mit Wahrscheinlichkeit p um ein Grad nach oben und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p um ein Grad nach unten - jeweils
unabhängig vom Vortag. Wir gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur nach 2 Tagen exakt
wieder am gleichen Ort ist wie vorher?
f) In der Situation von e); wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur nach 3 Tagen um 1
Grad höher ist?
g) In der Situation von e); Gegeben die Temperatur ist nach 3 Tagen genau 1 Grad höher: wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur am ersten der 3 Tage gestiegen ist?
WT
Aufgabe 2 [2+2 Punkte]
Sei X ∼ exp(3)-verteilt.
a) Finden Sie a, sodass P [X ≥ a] = 0.4
b) Finden Sie b, sodass P [1/X ≥ b] = 0.6
Bei dieser Aufgabe dürfen Sie den Taschenrechner erst am Schluss benutzen.
Aufgabe 3 [1+1+1+1+1 Punkte]
Eine Zufallsgrösse X nehme nur Werte an aus der Menge {0, 5, 10}. Mit Wahrscheinlichkeit 0.5 nimmt X
den Wert 5 an; die beiden anderen möglichen Werte sind gleichwahrscheinlich.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion von X an; machen Sie dazu auch eine Skizze.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E[X]. Geben Sie auch den Median an.
d) Berechnen Sie die Varianz dieser Zufallsgrösse.
e) Berechnen Sie P [X 2 ∈ [20, 120]].
Aufgabe 4 [3+1 Punkte]
Petri Fischer geht mit seinem Fischkutter Aurora auf Fischfang. Im heutigen Fanggebiet ist das Gewicht
der Fische normalverteilt mit Erwartungswert 500 Gramm und Varianz 50 Gramm2 . Er fängt 3600 Fische.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese 3600 Fische mehr als 1820 Kilogramm wiegen (die maximal
erlaubte Nutzlast)? Benutzen Sie den zentralen Grenzwertsatz zur Berechnung.
b) Abgesehen von der Verwendung der Normalverteilungstabelle: Gibt der zentrale Grenzwertsatz hier ein
exaktes oder approximatives Resultat? Antwort bitte mit Begründung.
Statistik
Aufgabe 5 [3+2 Punkte]
Die Länge von 36 Nägeln wird gemessen. Das arithmetische Mittel war 2.03 cm und die emprische Standardabweichung berechnete sich mit
v
u
36
u1 X
t
(xi − x̄)2 = 0.02 cm.
35 i=1
Geben Sie ein 95 und ein 99 Prozent Konfidenzintervall für den Mittelwert an (Genauigkeit 3 Stellen nach
dem Komma). Gehen Sie dabei davon aus, dass die Länge der Nägel mit einer Normalverteilung modelliert
wird.
Aufgabe 6 [4 Punkte]
318 runde, gelbe Erbsen, 102 runde, grüne Erbsen sowie 108 verschrumpfte, gelbe Erbsen und 26 verschrumpfte grüne Erbsen werden bei Kreuzungsversuchen gezählt. Aus theoretischen Gründen erwartet
man ein Verhältnis (in obiger Reihenfolge) von
9 : 3 : 3 : 1.
Untersuchen Sie auf dem 1 % und 5 %-Niveau, ob die Zahlen aus dem Experiment mit dem theoretischen
Modell vereinbar sind.
Aufgabe 7 [1+1+3+1 Punkte]
Bei antiken Ausgrabungsstätten werden an 2 Orten Münzen gefunden. Man will herausfinden, ob die Münzen
am selben Ort und in der gleichen Periode hergestellt wurden. Dazu misst man den Silbergehalt der Münzen
- man will den durchschnittlichen Silbergehalt der Münzen an den beiden Orten vergleichen. Am einen Ort
sind die Werte (in einer gewissen Einheit) 4.3, 4.6, 5.1, 4.0 und am anderen Ort 4.0, 4.3, 5.3, 4.6, 4.4. Gehen
Sie davon aus, dass die Stichproben unabhängig voneinander sind und modellieren Sie den Silbergehalt mit
einer Normalverteilung. Nehmen Sie als Signifikanzniveau 5 %.
a) Wie lauten die Hypothesen?
b) Mit welchen beiden Methoden kann man diese Frage exakt gleichwertig lösen?
c) Lösen Sie obige Aufgabe mit einer der beiden Methoden aus b) - und bitte nur mit einer. (Falls Sie die
Aufgabe mit beiden Methoden lösen, gibt es nicht mehr Punkte. Wenn eine der beiden Lösungen falsch ist,
zählt die falsche Lösung!)
d) Welche Voraussetzung, welche oben nicht erwähnt wurde, muss erfüllt sein?
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner benutzen werden: geben Sie bitte genau an, in welche Formel Sie
welche Zahlen eingesetzt haben.
Aufgabe 8 [2+2+1 Punkte]
Eine (einfache) Theorie besagt, dass das Einkommen von Söhnen (in komplexer Weise) abhängig vom
Einkommen der Väter ist. Sie untersuchen diesen Zusammenhang jetzt mit Hilfe einer linearen Regression. Auf Grund der jetzigen Prüfungssituation stehen Ihnen nur 5 Wertepaare zur Verfügung; in (x, y)
bezeichnen wir mit x das Einkommen des Vaters und mit y das Einkommen des mittlerweile erwachsenen
Sohnes: erstes Paar: (100’000, 125’000), zweites Paar: (88’000, 73’000), drittes Paar: (90’000, 103’000),
viertes Paar: (200’000, 188’000), fünftes Paar: (143’000, 177’000). Modellieren Sie diese Abhängigkeit mit
einer linearen Regression.
a) Berechnen Sie β̂0 (=y-Achsenabschnitt), β̂1 (=Steigung) mit der OLS-Methode.
b) Testen Sie auf dem 5 %-Niveau zweiseitig, ob es obigen stipulierten Zusammenhang gibt oder nicht.
c) Falls Sie in b) zum Schluss gekommen sind, dass ein signifikanter Zusammenhang besteht: formulieren Sie
dies in Worten der Art: ”pro 1’000 Franken mehr Lohn des Vaters hat auch der Sohn ....”.
Da Sie sinnvollerweise den Taschenrechner benutzen werden: geben Sie bitte genau an, in welche Formel Sie
welche Zahlen eingesetzt haben.