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Programmierkurs
Python II
Stefan Thater & Michaela Regneri
Universität des Saarlandes
FR 4.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik)
Übersicht
• Topologische Sortierung (einfach)
• Kürzeste Wege finden (ziemlich einfach)
• Größter gemeinsamer Teilgraph
-
Modulares Graph-Produkt (nicht formal)
Cliquen (etwas komplexer)
2
Ein Graph zum Frikadellen-Machen
„X ➞ Y“: X muss erledigt sein, damit Y gemacht werden kann
Zwiebel Schälen ! ! ! ➞ Zwiebeln hacken
Zwiebeln hacken ! ! ! ➞ Zwiebeln in die Schüssel
Hackfleisch auspacken ! ➞ Hackfleisch in die Schüssel
∅ "" " " " " " " ➞ Gewürze in die Schüssel
[alles in die Schüssel] !➞ Masse Verkneten
Masse Verkneten ! ! ! ➞ Frikadellen formen
Frikadellen Formen ! ! ➞ Frikadellen braten
[...]
3
Ein Graph zum Frikadellen-Machen
Zwiebeln
schälen
Fett in
Pfanne
Zwiebeln
hacken
Zwiebeln in
Schüssel
Hackfleisch in
Schüssel
Masse
verkneten
Pfanne
erhitzen
Gewürze in
Schüssel
Frikadellen
formen
Frikadellen
braten
4
Topologische Sortierung graphische Variante
Zwiebeln
schälen
Zwiebeln
hacken
Zwiebeln in
Schüssel
Hackfleisch in
Schüssel
Masse
verkneten
Fett in
Pfanne
Pfanne
erhitzen
Gewürze in
Schüssel
Frikadellen
formen
lineare Ordnung,
Frikadellen
braten
alle Kanten
zeigen nach
rechts
5
Topologische Sortierung Algorithmus (im Bild)
Schritt 1
0
Zwiebeln
schälen
1
0
0
Fett in
Pfanne
Zwiebeln
hacken
1
Hackfleisch in
Schüssel
1
Zwiebeln in
Schüssel
Masse
verkneten
1
x: Eingangsgrad
3
Gewürze in
0
Schüssel
Frikadellen
formen
Pfanne
erhitzen
2
Frikadellen
braten
6
Topologische Sortierung Algorithmus (im Bild)
Schritt 2
Zwiebeln
hacken
0
Masse
verkneten
0
Zwiebeln
schälen
Fett in
Pfanne
Gewürze in
Schüssel
Pfanne
erhitzen
Hackfleisch
in Schüssel
x: Eingangsgrad
Zwiebeln in
1
Schüssel
1
Frikadellen
formen
1
Frikadellen
braten
2
Beliebige Ordnung
untereinander
7
Topologische Sortierung Algorithmus (im Bild)
Schritt 3
Zwiebeln in
Schüssel 0
Masse
verkneten
1
Frikadellen
formen
1
x: Eingangsgrad
Frikadellen
2
braten
Zwiebeln
schälen
Fett in
Pfanne
Gewürze in
Schüssel
Hackfleisch
in Schüssel
Zwiebeln
hacken
Pfanne
erhitzen
8
Topologische Sortierung Algorithmus (im Bild)
Schritt 6
x: Eingangsgrad
Komplexität:
bester Fall: O(n)
worst case: O(n2)
Frikadellen
braten
Zwiebeln
schälen
Fett in
Pfanne
Gewürze in
Schüssel
Hackfleisch
in Schüssel
Zwiebeln
hacken
0
Pfanne
erhitzen
Zwiebeln in
Schüssel
Masse
verkneten
Frikadellen
formen
9
a
1
2
Kürzeste Wege finden
d
b
1
5
3
8
e
7
c
2
f
• „Single source shortest path problem“
• Aufgabe: Gegeben einen Knoten im Graph, finde die
kürzesten Wege zu allen anderen Knoten
• Meistens assoziiert mit Kantengewichten (kürzester Weg
= billigster Weg)
• Der Weg vom Startknoten zu unerreichbaren Knoten
kann unendlich sein (unzusammenhängende
ungerichtete / nicht stark zusammenhängende
gerichtete Graphen)
10
a
1
2
Dijkstra-Algorithmus
d
b
1
5
3
8
e
7
c
2
f
• Initialisierung:
-
Startknoten: Distanz 0, permanent, aktiv
andere: Distanz ∞, temporär (nicht aktiv)
• So lange es Knoten mit temporären Nachbarn gibt...
-
Berechne die Distanz der temp. Nachbarn des aktiven
Knoten (Distanz aktiver Knoten + Kantengewicht)
-
wenn berechnete Distanz > notierter Distanz:
-
-
aktualisiere notierte Distanz;
notiere aktiven Knoten als Vorgänger
neuer aktiver Knoten: Knoten mit kleinster (Gesamt-)Distanz;
markiere den als permanent
11
Dijkstra-Algorithmus
a
1
2
d
0
a
5
3
1
2
d
∞
b
e
∞
b
5
3
e
∞
8
1
7
8
1
7
c
2
f
∞
c
2
f
∞
Startknoten hier: a
Initialisiere Distanzen:
Startknoten = 0, alle anderen = ∞
Initialisiere Markierungen:
Startknoten = permanent
alle anderen = temporär
Initialisiere aktiven Knoten:
Startknoten
12
Dijkstra-Algorithmus
0
a
2
1
5
a
e
∞
7
f
∞
1
1(a)
8
b
∞
c
2
1
5
e
∞
d
3
2(a)
• Berechne alle Nachbar-Distanzen
zum aktiven Knoten (nur zu
temporären Knoten)
2
3
d
2(a)
0
∞
c
1(a)
8
b
1
• Wenn die berechnete Distanz kleiner
ist als die bisher gefundene,
aktualisiere Distanz und Vorgänger
• neuer aktiver Knoten: temporärer
2
Knoten mit kleinster Distanz
• markiere neuen aktiven Knoten als
f
∞
7
permanent
13
Dijkstra-Algorithmus
0
a
1
2
d
2
1(a)
8
b
1
5
3
9 (b)
c
e
6
(b)
7
0
a
0
a
2
2
f
∞
1
2
d
3
2(a)
1
1(a)
8
b
5
1
5
e
5(d)
1
6(e)
c
2
f
7
(e)
X 8(c)
12
a
2
e
d
3 (b) (d) 7
X
6
(a)
5
2
1 (a)
8
b
0
9(b)
c
0
a
2
2
d
3
2(a)
1(a)
8
b
5
e
5(d)
1
5
e
d
3
2(a)
f
∞
1
1(a)
9X(b) 6(e)
8
b
c
1
1
7
5
(d)
7
2
f
12(e)
6(e)
c
2
fertig
f
8(c)
14
Dijkstra-Algorithmus - Ergebnis
• jeder Knoten: minimale Distanz, und direkter Vorgänger
• Ableitbarer „Spannbaum“: ein Teilgraph des Graphen, der
ein Baum ist und alle Knoten des Graphen enthält
• die enthaltenen Kanten markieren hier die kürzesten Pfade
0
a
1
2
d
3
2(a)
1(a)
8
b
5
e
5(d)
1
7
6(e)
c
2
f
8(c)
1
b
a
2
d
3
e
1
c
2
f
15
Kürzeste Wege finden
• Komplexität von Dijkstra: O(Knoten * log(Knoten) + Kanten)
• SSSP mit neg. gewichteten Kanten
-
Dijkstra erlaubt keine negativen Gewichte
SSSP mit negativen Gewichten (aber ohne negative Zyklen):
Bellman-Ford-Algorithmus
• All pairs shortest path problem
-
Aufgabe: berechne für alle Paare von Knoten die kürzesten Pfade
zwischen den Knoten
- Floyd-Warshall-Algorithmus
16
Graph-Ähnlichkeit:
Größter gemeinsamer Teilgraph
• Problem: Welches ist der maximale Graph, der Teilgraph
von zwei Graphen ist?
Person
Person
Hyponym
Schriftsteller
verfasst
Dramen
Hyponym
Hyponym
Literatur
Schriftsteller
Hyponym
Hyponym
Stephen
King
Lebens
mittel
Romane
verfasst
Lyrik
Hyponym
Stephen
King
verfasst
liest
Literatur
Hyponym
Romane
Lyrik
verfasst
17
Graph-Ähnlichkeit:
Größter gemeinsamer Teilgraph
• Eine Möglichkeit:
-
Berechne das modulare Produkt der beiden Graphen (ein neuer
Graph, der beide Graphen repräsentiert)
-
finde den größten maximalen vollständigen Teilgraphen (Definition
später)
18
Graph-Ähnlichkeit:
Modulares Graph-Produkt (MGP)
• oft angewendet für „reinen“ Graph isomorphismus
(ungelabelte, ungerichtete Kanten, Knoten-Label egal)
• MGP von G=(V,E) und H=(V‘,E‘) ist P=(W,F) so dass
-
W = kartesisches Produkt von E und F
[(u,v) | u ∈ V, v ∈ W]
-
F = [((u,v),(u‘,v‘))] für alle
-
-
(u,u‘) ∈ E & (v,v‘) ∈ E‘
(u,u‘)∉ E & ∉ (v,v‘) F
Knoten sind also Knotenpaare, Kanten repräsentieren „gleiche
Verbindung“ in den Ursprungsgraphen
19
Graph-Ähnlichkeit:
Modulares Graph-Produkt (MGP)
• Abwandlung hier für Knoten mit „Typen“ und ggf.
unterschiedliche Kanten
• MGP von G=(V,E) und H=(V‘,E‘) ist P=(W,F) so dass
-
W = [(u,v) | u ∈ V, v ∈ W, v≈u]
(hier: v‘s Knoten-Typ ist kompatibel mit u)
-
F = [{(u,v),(u‘,v‘)}] für alle
-
{u,u‘} ∈ E & {v,v‘} ∈ E‘
{u,u‘} ∉ E & {v,v‘} ∉ E‘
Zur Vereinfachung ignorieren wir
hier Kantentypen, weil die
Datenstruktur sie so nicht vorsieht.
20
Graph-Ähnlichkeit:
Modulares Graph-Produkt (MGP)
21
Graph-Ähnlichkeit: Cliquen
• Ein Graph G heißt vollständig, wenn alle seine Knoten
paarweise verbunden sind
• Ein maximaler vollständiger Teilgraph (oder eine Clique)
eines Graphen G ist ein Teilgraph G‘, so dass G‘ vollständig
ist und es keinen vollständigen Teilgraphen G‘‘ von G gibt,
so dass G‘ ein Teilgraph von G‘‘ ist.
22
Graph-Ähnlichkeit: größte Clique
23
Cliquen finden - Prinzip
• beginne bei einem minimalen vollständigen Teilgraphen (=
ein Knoten)
• mache eine Cliquen-Knotenmenge (CS) damit auf
• füge so lange Knoten zu CS, bis es keine Knoten mehr gibt,
die mit CS zusammen eine noch unbekannte Clique
ergeben
• Speichere CS als Clique und suche die nächste (mit einem
anderen Startknoten)
24
Cliquen finden Grundlagen des Algorithmus
• eine aktuelle Cliquen-Menge CS (inital: leer)
• Kandidaten, Knoten, die mit allen Elementen aus
CS verbunden sind (initial: alle Knoten)
C
• Visited, Knoten, die schon betrachtet wurden
und für das aktuelle CS gültige Erweiterungen
sind (= die zu schon gesehenen Cliquen führen)
(initial: leer)
• ein aktueller aktiver Kandidat S
• im aktuellen Schritt ignorierte Knoten
25
Cliquen finden Erfolgsbedingung (finden einer Clique)
• keine Kandidaten mehr
• keine Elemente in Visited
-
sonst gäbe es Knoten, die
die aktuelle Cliquen-Menge
zu einer Clique erweitern
können
-
der vollständige Teilgraph
wäre nicht maximal
26
Cliquen finden - Algorithmus
• in diesem Schritt: ein
Knoten in Visited (= eine
Clique schon gefunden)
• 3 Knoten in der CliquenMenge
C
C
• 2 Kandidaten übrig
27
Cliquen finden - Algorithmus
1. Wähle einen aktiven
Kandidaten, entferne ihn aus
der Kandidaten-Menge
S
C
28
Cliquen finden - Algorithmus
1. Wähle einen aktiven
Kandidaten, entferne ihn aus
der Kandidaten-Menge
2. füge ihn zur Cliquen-Menge
hinzu
S
C
29
Cliquen finden - Algorithmus
1.Wähle einen aktiven Kandidaten,
entferne ihn aus der KandidatenMenge
2.füge ihn zur Cliquen-Menge hinzu
C
3.gehe in die Rekursion mit neuen
Mengen:
- Entferne alle Knoten von
Kandidaten u. Visited, die nicht
mit dem letzten aktiven
Kandidaten verbunden sind)
- beginne damit bei 1
30
Cliquen finden - Algorithmus
5.Wenn Rekursion fertig:
- alte Mengen (Visited und
Kandidaten) wieder zurück
holen
- den alten aktiven Kandidaten
zu Visited hinzufügen
C
S
C
31
Cliquen finden - Algorithmus
• Abbruchs-Bedingungen:
-
es gibt keine Kandidaten mehr
es gibt einen Knoten in Visited,
der mit allen übrigen Kandidaten
verbunden ist
C
32
Cliquen finden
• der Basis-Algorithmus ist sehr ineffizient
• Verbesserung des Standard-Falls: Bron-KerboschAlgorithmus
-
Prinzip: optimiere die Auswahl des nächsten aktiven
Kandidaten, so dass möglichst früh abgebrochen wird
-
Ziel: möglichst früh ein Knoten in Visited, der zu allen
Kandidaten adjazent ist
-
Für jeden Knoten in Visited wird die Anzahl der nicht
Adjazenten Kandidaten gespeichert
-
Der nächste Kandidat hat immer eine Verbindung zu dem
Knoten in Visited mit kleinsten Zähler
33
Mehr Cliquen
34
Zusammenfassung
• Heute: verschiedene Graph-Algorithmen
• Topologische Soritierung: „Plan-Management“
• Single Source Shortest Path: Kürzeste Wege
• Größter gemeinsamer Teilgraph
-
Modulares Graph-Produkt
Cliquen
35