gedämpfte harmonische Schwingung

gedämpfte harmonische Schwingung
x + 2 βx + ω 02 x = 0
Der Term prop. zur Geschwindigkeit beschreibt
viskose Reibung (Kraft proportional zu v).
Falls β=0, kennen wir die Lösungen Î harmonische Schwingungen
Falls β≠0, sind die Lösungen harmonische Schwingungen mit exponentiell gedämpfter
Amplitude oder einfache Exponentialfunktionen in der Zeit.
Die Lösungen erhält man, indem man den Ansatz x(t ) = x0 e
auf eine quadratische Gleichung für p:
pt
einsetzt. Dies führt
p 2 + 2 βp + ω o2 = 0
2
2
Diese Gleichung hat immer zwei Lösungen: p1 und p2. Sie lauten: p1,2 = − ± − & 0
Die Lösungen für p sind reell, falls β≥ω0. Sie sind andernfalls komplex und führen
dann auf Schwingungen (Cosinus- und Sinus-Funktionen).
Definition: Güte Q:=ω0/2β Î gedämpfte harmonische Schwingungen, falls Q>0.5.
Physik 1
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1. Februar 2001
62
Bespiele
ω0 = 1
Anfangsbedingungen: x(0)=0 und v(0)=1
Q = 10
Q = 0.1
Physik 1
Q = 0.5
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Resonanz
Periodische Anregung (Frequenz ω) eines harmonischen Oszillator mit Eigenfrequenz ω0
x + 2x + &02 x = a 0 &02 cos(ωt)
Gegeben sind: ω0 , a0 und β. Gesucht ist x(t)
Die sogenannte stationäre Lösung,
Lösung die sich nach hinreichend langer Zeit einstellt, ist eine
harmonische Schwingung mit der Anregungsfrequenz ω, d.h.
x(t) = Acos(ωt + -
Das Problem besteht also darin A und Φ zu bestimmen.
A(ω) ist der „Amplitudengang“ und Φ (ω) der „Phasengang“
A(&) =
a0
(1 - ) + (ξ/Q)
2 2
wobei:
2
& = &&0
 4 

-& = −arctan
2 
1− 
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Beispiel: Amplitudengang
Q=1
Q = 100
Q = 10
vertikale Achse = Auslenkung des Oszillators
horizontale Achse = normierte Frequenz ξ
Phänomen der „Resonanzüberhöhung“, die mit der
Güte Q zunimmt!
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Schwebung
Ueberlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen
Beispiel: 0.4*cos(x)+0.6*cos(1.05*x)
Schebung = Ton, dessen „Lautstärke“ periodisch ändert. Die Schwebungsfrequenz entspricht
dem Unterschied der beiden Frequenzen.
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Fourierdarstellung einer periodischen
Funktion an einem Beispiel
Jede periodische Funktion (x(t+T) = x(t), für alle t) kann in als Summe von Sinus- und
Cosinusfunktionen dargestellt werden, und zwar in der Form (ω=2π/T):
x(t) = a0 + ∑ {an cos(nωt ) + bn sin( nωt )}
n
Für eine Rechteckfunktion lautet die Darstellung explizit:
A
t
0
x(t) =
4A 
sin(3ωt ) sin(5ωt )

sin(
)
t
ω
+
+
+
⋅
⋅
⋅

3
5
π 
T
Das Frequenzspektrum sieht wie folgt aus:
ω
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3ω
5ω
7ω
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Wellen
Zusätzlich zum zeitlichen Ablauf einer Schwingung kommt nun eine räumliche Komponente
hinzu. Eine Welle pflanzt sich im Raum mit einer festen Geschwindigkeit c fort.
fort
Wir unterscheiden zwischen
1. Transversalwellen (Auslenkung quer zur Ausbreitung),
2. Longitudionalwellen (Auslenkung in Ausbreitungsrichtung) und
3. Torsionswellen (rotierende Bewegung).
y
z.B. Auslenkung eines Seils zur Zeit t=0: y=f(x)
ct
t
Auslenkung des Seils zu einer späteren Zeit t: y=f(x-ct) (nach rechts laufende Auslenkung)
resp.: y=f(x+ct) (für eine nach links laufende Auslenkung)
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Wellengleichung
Eine Welle wird mathematisch beschrieben durch die sogenante Wellengleichung:
2
∂2 y
2 ∂ y
=c
2
∂t
∂x 2
Für eine Seilwelle erhält man (kleine Auslenkungen): c = σ / ρ
wobei σ die Zugspannung im Seil ist und ρ die Massendichte.
Beachte: Bei einer Welle bleiben die Massen am Ort, d.h. es wird keine Masse transportiert.
transportiert
Jedoch transportiert eine Welle Energie (Schallwellen, elektromagnetische Wellen
„Elektrosmog“...)
An den „Wänden“ (z.B. eingespanntes Seil) wird eine einlaufende Welle zurückreflektiert.
zurückreflektiert
Die Form der reflektierten Welle hängt von der Randbedingung ab (z.B. freies Ende oder
eingespanntes Ende).
Harmonische Welle:
Wellenzahl/Wellenlänge k =
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y ( x, t ) = A cos(kx ± ωt + ϕ )
2π
λ
Kreisfrequenz/Periodendauer ω =
f ⋅λ = c
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2π
= 2πf
T
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stehende Wellen
zeitliche Abfolge: rot → grün → gelb
sin ( 2Œ[ − t)) + sin(2π ( x + t ))
= (2 cos(2πt ) )⋅ sin(2πx)
c
(a)
sin ( 2Œ[ − t))
(a+b)
K
K
K
c
(b)
B
sin ( 2Œ[ + t))
B
B
Die Ueberlagerung einer nach rechts und nach links
laufenden Welle derselben Frequenz (c=konst) führt
zu einer stehenden Welle.
stehende Wellen haben raumfeste „Knoten“ (K) und „Bäuche“ (B)
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70
Eigenschwingung (Beispiel)
Grundschwingung: L=λ/2
L
1. Oberschwingung L=λ
2. Oberschwingung L=3λ/2
allgemein für diesen Fall:
Physik 1
λ 
n ⋅  = L
2
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fn =
nc
2L
71
Dopplereffekt (bewegte Quelle)
ct
f = Frequenz, c = Ausbreitungsgesch., v = Gesch. der
Quelle, und T = Periodendauer
c(t-T)
ruhender Beobachter B
Quelle zur Zeit t=0 (, resp. t=T)
vT
Für B kommen die Wellenberge in dichterer
(und schnellerer) Abfolge.
Abfolge
Die Frequenz ist also erhöht (f* > f).
v
f*=c/S und mit
S = ct – {c(t-T)+vT} = T(c-v), folgt:
f
f =
1 − v/c
S
*
(Beachte Singularität bei v=c: Ueberschallknall !)
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Dopplereffekt (bewegter Beobachter)
Diesen Fall kann man durch eine Koordinatentransformation lösen.
Angenommen wir haben die Welle y(x,t)=Acos(kx-ωt) vorliegen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist c (ruhendes Medium).
Die Welle kann man auch schreiben als: y(x,t)=Acos(k(x-ct)).
bewegtes System, z.B. mit v nach rechts
x*
x
Galileitransformation:
Galileitransformation x=x*+vt Î y(x*,t)=Acos(k(x*-(c-v)t)), so dass die Frequenz
gegeben ist durch: ω*=k(c-v)=ω(1-v/c).
Bewegt sich B auf die Quelle zu, folgt sinngemäss: ω*=ω(1+v/c).
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Wärmelehre: Gasgleichung...
der Masse m, die sich
ideales Gas: Ensemble von nicht-wechselwirkenden Punktteilchen
Punkt
rein zufällig bewegen unter der Einschränkung der Boltzmann Gleichung.
für ideale Gase gilt die Gasgleichung: pV/T = konst (p=Druck, V=Volumen, T=Temp.)
explizit: für Chemiker...
Chemiker
für Physiker
pV = νRT
p = nkT
ν=Anzahl Mole, R=Gaskonstante
n = Teilchendichte, k=Boltzmann-Konstante
(Exp.)
p
für ein reales Gas (1 mol) gilt die van der Waals Gleichung
a 

p
⋅ (V − b ) = RT
+

2 
V 

a/V2=ist der „Binnendruck“ (attraktive Wechselwirkung)
b = „Kovolumen“ (endliche Abmessung der Teilchen)
flüssig
fest
T
gasförmig
T
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latente
Wärme
(Exp.: an Wasser pumpen)
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kinetisches Gasmodell
v
Statistische Beschreibung der Bewegung: hier
der Geschwindigkeitsverteilung
&
W(v) ∝ exp(−E/kT)
Daraus kann man die Maxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung P(v) gewinnen. P(v) ist
die Wahrscheinlichkeit, Teilchen mit der Geschwindigkeit v (Betrag von v Vektor) zu finden.
E kin
P(v)
P(v) ∝ v 2 exp(− E/kT)
3
= kT
2
allgemeiner (f=# Freiheitsgrade)
E kin
v
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Boltzmann!
Æ Wandtafel:
f
= kT
2
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Wärmekapazität, spez. Wärme
Wärme ist Energie, die man einem Körper zu- oder abführen kann (Erwärmen, Abkühlen).
T
T+∆T
Q
Q+∆Q
∆Q
Def. Wärmekapazität: C =
∆Q
∆T
Da C mit der „Grösse“ des Körpers zunimmt, normiert man C:
•
C/Masse = spezifische Wärmekapazität (J/Kkg)
•
C/(# Mole) = molare Wärmekapazität (J/Kmol)
•
C/V = spez. Wärme pro Volumen (J/Km3)
3
Für ein ideales Gas
Cmol = R
(bei konst. Volumen):
2
Für einen Festkörper:
Cmol = 3R
Wärmeleitung
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(gilt nur bei hinreichend hoher Temperatur,
da allgemein C(T->0) = 0 !! )
(proportional zum Temperaturgradient
und Querschnitt. Proportionalitätskoeff.
enthält C)
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„Ueberströmungsversuch“
Schieber
T
T=?
abgeschlossen
ideales Gas: Temperatur bleibt konstant,
konstant weil ?
ƒ pV/T = konst (V verdoppelt, p halbiert)
ƒ es wird keine Energie (Wärme...) zu- oder abgeführt
Experiment nochmals zeigen (He-Gas, CO2-Gas)
reales Gas: Temperatur nimmt i.a. ab,
ab weil ?
ƒ van der Waals-Gleichung (Binnendruck)
ƒ es wird auch keine Energie zu- oder abgeführt, aber die
die potentielle Energie nimmt zu, sodass die kinetische
Energie (die Temperatur) abnehmen muss!
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Wärmetransport
1.
2.
3.
Wärmeleitung (Wärme wird durch „Stösse“ übertragen)
Konvektion (Wärme wird transportiert falls Medium sich bewegt: d.h. <v>≠ 0
Strahlung
1.1 T
power
die abgestrahlte Leistung (summiert über
alle Frequenzen) ist proportional zu T4
(Stefan-Boltzmann Gesetz)
T
Erklärung: durch Planck
!
Frequenz
Experiment: Schwarzkörperstrahlung, Thermokamera
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Random Walk
Zufallsbewegung eines Teilchens in einer Dimension: Sprünge der Länge a nach rechts oder
links, wobei die Wahl der Richtung dem Zufall überlassen ist.
Frage: Wie wahrscheinlich ist es, das Teilchen am Ort x zu einer bestimmten Zeit vorzufinden?
 N!  − N
 ⋅ 2
Binominalverteilung: PN (m) = 
 nr!nl! 
, wobei nr + nl = N
nr − nl = m
Bsp.Æ Wandtafel
„Gauss‘sche Glockenkurve“
N=5
N=80
N=40
N=20
N=10
 1  x 2 
2 1
exp −   
P(x) =
 21  
Π1


N=25 und σ=5 (√N)
Das Wesentliche: die „Breite“ (auf halber Höhe)
der Verteilung wächst mit der Wurzel aus N
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NGKFGTPKEJVKO6KRNGT
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Brown‘sche Bewegung
z.B. „Zitterbewegung“ von Pollen in Wasser.
Die Zitterbewegung ist rein zufällig Î „random walk“
Frage: Wie weit kommt das Teilchen im Mittel mit
zunehmender Zeit t ?
(am Anfang)
random walk Î
<x2> ∝ √t
Da die Zitterbewegung eine Folge der thermischen Agitation ist, folgt: <x2> ∝ kT
Die Bewegung wird „gehemmt“ durch Reibung.
Reibung Annahme: viskose Reibung mit
Reibkraft: FR=6πηR. Wir erwarten also, dass <x2> ∝ 1/η
Einstein:
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NGKFGTPKEJVKO6KRNGT
 kT 
 ⋅ t
x 2 = 
 3πµR 
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80
Diffusion
„Diffusion“ ist die Folge der Zufallsbewegung der Teilchen.
n1
es fliesst ein Diffusionsstrom von links nach rechts
n2
x
Die Stromdichte j (Anzahl Teilchen pro Sekunde und Querschnitt) ist proportional
zum Gradienten der Konzentration:
Konzentration
j = −D
∂n
∂x
D=
kT
6πηR
Die „Vielen“ gehen zu den „Wenigen“!
Der Prozess läuft bis sich die Konzentrationsunterschiede ausgeglichen haben.
Bemerkung: Atmosphäre
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