Zahlenteufel - Teplotaxl

Zahlenteufel - Teplotaxl
Einleitung
Die Reihe der Arbeitsblätter bezieht sich auf das Buch von
Hans Magnus Enzensberger
Der Zahlenteufel
Ein Kopfkissenbuch für alle, die Angst vor der Mathematik haben.
dtv, 5. Auflage 2003.
Aus der Einleitung des Buches:
„Das Teuflische an den Zahlen ist, dass sie so einfach sind.“ Das sagt
zumindest der Zahlenteufel. Dabei hasst Robert alles, was mit Mathematik zu
tun hat. Daran ist Dr. Bockel schuld, der Robert mit äusserst langweiligen
Rechenaufgaben plagt. Fast über Nacht, genau genommen in zwölf Nächten,
beweist der Zahlenteufel, dass Mathematik etwas anderes ist. Er berichtet
Robert von „hopsenden Zahlen“, „wie man Rettiche zieht“ oder vom „Platz
tauschen“. Robert merkt, dass die Welt der Mathematik gar nicht so düster
aussieht – und das Träumen macht wieder Spass.
Auf dem Umschlag:
Robert hasst alles, was mit Mathematik zu tun hat. Doch da hat er die
Rechnung ohne den Zahlenteufel gemacht! Das putzmuntere, rote Kerlchen
erscheint plötzlich in seinen Träumen und will ihm ausgerechnet von
Rechenaufgaben erzählen. Robert findet das gemein. Und ehe er sich’s
versieht, träumt er sich in zwölf Nächten gemeinsam mit dem Zahlenteufel
durch die spannende Welt der Mathematik.
Ich habe das Thema im Wahlfach Mathematik im 9. Schuljahr mit meinen
Schülerinnen und Schüler bearbeitet.
Ich habe Teile aus dem Buch vorgelesen und dann, wenn es um
mathematische Inhalte geht, auf die Arbeitsblätter gewechselt.
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Primzahlen
(Prima Zahlen, dritte Nacht)
Kreise in der Tabelle die Zahl 2 ein. Streiche dann alle Vielfachen von 2 mit einer Farbe durch.
Kreise in der Tabelle die Zahl 3 ein. Streiche dann alle Vielfachen von 3 mit einer zweiten Farbe.
Kreise in der Tabelle die Zahl 5 ein. Streiche dann alle Vielfachen von 5 mit einer dritten Farbe durch. Etc.
2
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31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Mit dem „Sieb des Eratosthenes“ (3. Jh. v. Chr., Alexandria) hast du die Primzahlen von 1 bis 100
herausgefunden.
Welche Zahlen sind nicht durchgestrichen?
Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen, nämlich 1 und sich selbst.
(Übrigens: 1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler besitzt!)
Nimm irgendeine Zahl grösser als 1 und verdopple sie dann. Zwischen einer solchen Zahl und ihrem
Doppelten gibt es immer eine Primzahl:
Z. B.: 222 und 444, Primzahl: 307.
Suche weitere Beispiele:
Nimm irgendeine gerade Zahl grösser als 2. Sie lässt sich immer als Summe zweier Primzahlen
darstellen.
Z. B.: 34 = 29 + 5.
Suche weitere Beispiele:
Nimm irgendeine ungerade Zahl grösser als 5. Sie lässt sich immer als Summe von drei Primzahlen
darstellen.
Z. B.: 55 = 5 + 19 + 31.
Suche weitere Beispiele:
2 
1945
Eine bestimmte Fermat’sche Primzahl, die mit F1945 = 2
+ 1 bezeichnet, hat mehr Stellen, als es überhaupt
Teilchen im Universum gibt und kann deshalb nicht ausgeschrieben werden.
Es gibt keine Formel, mit der alle Primzahlen bestimmt werden können. Mit der Formel n 2 + n + 17 können aber
einige berechnet werden. Wie heissen die ersten acht Primzahlen, die sich mit der Formel berechnen lassen?
17, 19, 23,
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Primzahlen
(Prima Zahlen, dritte Nacht)
Kreise in der Tabelle die Zahl 2 ein. Streiche dann alle Vielfachen von 2 mit einer Farbe durch.
Kreise in der Tabelle die Zahl 3 ein. Streiche dann alle Vielfachen von 3 mit einer zweiten Farbe.
Kreise in der Tabelle die Zahl 5 ein. Streiche dann alle Vielfachen von 5 mit einer dritten Farbe durch. Etc.
2
3
4
5
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7
8
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10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Mit dem „Sieb des Eratosthenes“ (3. Jh. v. Chr., Alexandria) hast du die Primzahlen von 1 bis 100
herausgefunden.
Welche Zahlen sind nicht durchgestrichen? 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Primzahlen sind Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen, nämlich 1 und sich selbst.
(Übrigens: 1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler besitzt!)
Nimm irgendeine Zahl grösser als 1 und verdopple sie dann. Zwischen einer solchen Zahl und ihrem
Doppelten gibt es immer eine Primzahl:
Z. B.: 222 und 444, Primzahl: 307.
Suche weitere Beispiele:
Zwischen 10 und 20: 11,13,17,19
Nimm irgendeine gerade Zahl grösser als 2. Sie lässt sich immer als Summe zweier Primzahlen
darstellen.
Z. B.: 34 = 29 + 5.
Suche weitere Beispiele:
4 = 2 + 2, 10 = 3 + 7
Nimm irgendeine ungerade Zahl grösser als 5. Sie lässt sich immer als Summe von drei Primzahlen
darstellen.
Z. B.: 55 = 5 + 19 + 31.
Suche weitere Beispiele:
15 = 3 + 5 + 7, 25 = 5 + 7 + 13, 7 = 2 + 2 + 3, 17 = 5 + 5 + 7
2 
1945
Eine bestimmte Fermat’sche Primzahl, die mit F1945 = 2
+ 1 bezeichnet, hat mehr Stellen, als es überhaupt
Teilchen im Universum gibt und kann deshalb nicht ausgeschrieben werden.
Es gibt keine Formel, mit der alle Primzahlen bestimmt werden können. Mit der Formel n2 + n + 17 können aber
einige berechnet werden. Wie heissen die ersten acht Primzahlen, die sich mit der Formel berechnen lassen?
17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73
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Zahlenteufel - Teplotaxl
(dreieckige – Zahlen, fünfte Nacht)
Dreieckszahlen
Die Nullen sind in Form eines Dreiecks angeordnet. Wie viele Nullen sind in jedem der fünf Bilder?
0
0
0 0
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0
0 0
0 0 0
0
0
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0
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0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
Bilde die Zahlenfolge mit den ersten zwölf Dreieckszahlen.
Dreieckszahl
Die Dreieckszahlen lassen sich auch berechnen:
1
3
6
Rechnung
1
1+
1+
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) hat für diese Folge eine Formel gefunden: Dreieckszahl =
n  (n  1)
.
2
Überprüfe die Formel für n = 4, 10, 200
Jede beliebige Zahl kann durch höchstens drei Dreieckszahlen zusammengesetzt werden.
Z. B.: 51 = 15 + 36.
Zerlege 12 und 83 in Additionen von Dreieckszahlen.
Zähle die ersten fünf natürlichen Zahlen zusammen.
Zähle die ersten acht natürlichen Zahlen zusammen.
Vergleiche die Ergebnisse mit der Folge der Dreieckszahlen:
Zähle jeweils zwei nebeneinanderstehende Zahlen der Dreiecksfolge zusammen. Welches sind die ersten zehn
Zahlen?
1 + 3 = 4, 3 + 6 =
Die Nullen sind in Form eines Vierecks angeordnet. Wie viele Nullen sind in jedem der fünf Bilder?
0
0 0
0 0
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0 0 0
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0
0
0
0
Formel für die Viereckszahlen: Viereckszahl = n2
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Zahlenteufel - Teplotaxl
(dreieckige – Zahlen, fünfte Nacht)
Dreieckszahlen
Die Nullen sind in Form eines Dreiecks angeordnet. Wie viele Nullen sind in jedem der fünf Bilder?
0
0 0
0 0 0
0
0 0
0
1
3
0
0
0
0
0
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0 0 0
0 0 0 0
6
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
10
15
Bilde die Zahlenfolge mit den ersten zwölf Dreieckszahlen.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78
Die Dreieckszahlen lassen sich auch berechnen:
Dreieckszahl
Rechnung
1
3
6
10
15
1
1+2
1+2+3
1 + 2 + 3+ 4
1+2+3+4+5
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) hat für diese Folge eine Formel gefunden: Dreieckszahl =
Überprüfe die Formel für n = 4, 10, 200
n  (n  1)
.
2
10, 55, 20100
Jede beliebige Zahl kann durch höchstens drei Dreieckszahlen zusammengesetzt werden.
Z. B.: 51 = 15 + 36.
Zerlege 12 und 83 in Additionen von Dreieckszahlen.
12 = 1 + 1 + 10, 83 = 10 + 28 + 45
Zähle die ersten fünf natürlichen Zahlen zusammen.1
Zähle die ersten acht natürlichen Zahlen zusammen.
+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
Vergleiche die Ergebnisse mit der Folge der Dreieckszahlen:
Die fünfte Zahl der Dreiecksfolge ist 15, die achte 36
Zähle jeweils zwei nebeneinanderstehende Zahlen der Dreiecksfolge zusammen. Welches sind die ersten zehn
Zahlen?
1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16, 10 + 15 = 25, 15 + 21 = 36, 21 + 28 = 49
Die Nullen sind in Form eines Vierecks angeordnet. Wie viele Nullen sind in jedem der fünf Bilder?
0 0
0 0
0
1
4
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0 0 0
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Formel für die Viereckszahlen: Viereckszahl = n2
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Fibonacci – Zahlen
(Bonatschi – Zahlen, sechste Nacht)
Fibonacci, mit vollem Namen Leonardo von Pisa (1180 – 1250) hat als Erster die Fibonaccizahlen beschrieben.
Die Folge beginnt mit zwei Einsen. Ab der dritten Zahl ist jedes Folgeglied die Summe der beiden
Vorgänger. Ergänze die untenstehende Tabelle:
Nummer
1
2
3
4
Fibonacci-Folge
1
1
2
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Wenn du die ersten fünf Fibonaccizahlen zusammenzählst und noch eine Eins dazu nimmst, kommt die siebte
heraus. Die ersten sechs Fibonaccizahlen + 1 = ergeben die achte. Überprüfe die beiden Fälle:
Die Fibonacci-Zahlen kann man in der Anordnung der Blätter einer Blume und der Schuppen einer Ananas oder
eines Kiefernzapfens wiederfinden.
Fortpflanzung von Kaninchen:
Wir stellen uns eine besondere Rasse Kaninchen vor. Das Besondere an diesen Kaninchen ist ihre Art der
Vermehrung. Jedes Kaninchenpaar bekommt in jedem Monat genau ein Paar (Männchen und Weibchen)
Junge. Diese sind schon nach einem Monat nach ihrer Geburt geschlechtsreif und bekommen ihrerseits ein
Paar Junge. Und so weiter....
Monat Eltern
Kinder
Enkel
Urenkel
0
Anzahl
Paare
1
1
2
3
4
5
6
7
Die Vermehrung der Kaninchen kann auch als Baum dargestellt werden.
Monat
Kaninchenpaare
Anzahl
0
0
1
1
0
1
2
3
2
0
0
4
5
6
7
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Fibonacci – Zahlen
(Bonatschi – Zahlen, sechste Nacht)
Fibonacci, mit vollem Namen Leonardo von Pisa (1180 – 1250) hat als Erster die Fibonaccizahlen beschrieben.
Die Folge beginnt mit zwei Einsen. Ab der dritten Zahl ist jedes Folgeglied die Summe der beiden
Vorgänger. Ergänze die untenstehende Tabelle:
Nummer
1
2
3
4
5
6
Fibonacci-Folge
1
1
2
3
5
8
7
8
9
10
11
12
13
14
13 21 34 55 89 144 233 377
Wenn du die erste fünf Fibonaccizahlen zusammenzählst und noch eine Eins dazu nimmst, kommt die siebte
heraus. Überprüfe:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13;
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
Die Fibonacci-Zahlen kann man in der Anordnung der Blätter einer Blume und der Schuppen einer Ananas oder
eines Kiefernzapfens wiederfinden.
Fortpflanzung von Kaninchen:
Wir stellen uns eine besondere Rasse Kaninchen vor. Das Besondere an diesen Kaninchen ist ihre Art der
Vermehrung. Jedes Kaninchenpaar bekommt in jedem Monat genau ein Paar (Männchen und Weibchen)
Junge. Diese sind schon nach einem Monat nach ihrer Geburt geschlechtsreif und bekommen ihrerseits ein
Paar Junge. Und so weiter.... (00: Erwachsene, oo Kinder)
Mon
at
Eltern
0
1
2
3
4
5
6
7
oo
00
00
00
00
00
00
00
Kinder
oo
00 oo
00 00 oo
00 00 00 oo
00 00 00 00 oo
00 00 00 00 00 oo
Enkel
Anza
hl
Paar
e
Urenkel
oo
00 oo oo
00 00 00 oo oo oo
oo
00 00 00 00 00 00 oo oo oo oo 00 oo oo oo
1
1
2
3
5
8
13
21
Die Vermehrung der Kaninchen kann auch als Baum dargestellt werden.
Monat
0
1
2
3
4
5
6
7
Kaninchenpaare
Anzahl
1
1
2
3
5
8
13
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Pascal’sches Dreieck, Sierpinski Dreieck
(siebente Nacht)
Ergänze die Zahlen im Pascal’schen Dreieck.
1
1
1
1
1
16
120
11
55
165
330
1
2
462
1
462
330
165
55
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1
560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560
120
16
1
Welche Zahl findest du an den schrägen Rändern links und rechts?
Welche Zahlenfolge ist in der zweiten schrägen Reihe?
Welche Zahlenfolge ist in der dritten schrägen Reihe?
Zähle die ersten fünf Zahlen der dritten schrägen Reihe zusammen.
Vergleiche das Resultat mit dem Baustein, der bei der letzten Zahl schräg unten rechts liegt.
Zähle die Bausteine einer Zeile zusammen. Mache das für die ersten sechs Zeilen. Was stellst du fest?
Male die durch zwei teilbaren Zahlen gelb aus. Was ergibt es für ein Muster?
Male die durch fünf teilbaren Zahlen orange aus. Was ergibt es für ein Muster?
Male die durch vier teilbaren Zahlen rot aus. Was für ein Muster entsteht?
Die Zahlen mit dem gleichen Buchstaben werden zusammengezählt.
Bestimme die ersten 10 Glieder der Zahlenfolge:
A
B
D
Wie heisst diese Folge?
E
C
D
C
E
E
F
F
F
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Pascal’sches Dreieck, Sierpinski Dreieck (2) (siebente Nacht)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
8
4
15
28
10
36
6
10
21
4
20
56
1
10
35
84
1
3
15
35
70
126
1
5
1
6
21
56
126
1
7
28
84
1
8
36
1
1
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165 330
462
462
330 165
55
11
1
1
12
66
220 495
792
924
792
495 220
66
12
1
1
13
78
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
78
13
1
1
14
91
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
14
1
1
15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
1
16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16
1
1
9
3
5
6
1
2
9
45
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
7
8
28
10
36
6
10
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21
56
1
4
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20
35
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1
3
5
15
35
70
126
1
1
6
21
56
126
1
7
28
84
1
8
36
1
1
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165 330
462
462
330 165
55
11
1
1
12
66
220 495
792
924
792
495 220
66
12
1
1
13
78
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
78
13
1
1
14
91
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
14
1
1
15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
1
16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16
1
1
9
2
3
4
6
1
9
45
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
7
8
28
10
36
6
10
15
21
10
35
1
5
15
35
70
126
1
4
20
56
84
1
3
21
56
126
1
6
1
7
28
84
1
8
36
1
1
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165 330
462
462
330 165
55
11
1
1
12
66
220 495
792
924
792
495 220
66
12
1
1
13
78
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
78
13
1
1
14
91
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
14
1
1
15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
1
16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16
1
1
9
2
3
4
6
1
9
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Zahlenteufel - Teplotaxl
Pascal’sches Dreieck, Sierpinski Dreieck
(siebente Nacht)
Ergänze die Zahlen im Pascal’schen Dreieck.
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
8
1
1
1
12
1
1
1
91
105
120
45
55
66
78
14
15
16
13
36
10
11
1
1
9
120
165
220
286
364
330
495
715
210
1287
1001 2002
462
1716
3003
455 1365 3003 5005
210
924
330
1716
6435
6435
9
1
45
10
165
495
1287
3003
1
36
120
792
3432
8
84
462
1
28
126
252
792
7
56
126
1
21
70
84
6
35
56
1
15
35
28
5
20
21
1
10
15
7
4
10
6
1
6
5
1
3
4
1
1
1
55
11
220
715
1
66
12
286
2002 1001
1
78
13
364
91
5005 3003 1365 455
14
Welche Zahlenfolge ist in der zweiten schrägen Reihe?
1
105
560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560
Welche Zahl findest du an den schrägen Rändern links und rechts?
1
15
120
1
16
1
nur 1
1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Welche Zahlenfolge ist in der dritten schrägen Reihe? 1,
3, 6, 10, 15, 21,... Dreieckszahlen
Zähle die ersten fünf Zahlen der dritten schrägen Reihe zusammen. 1
+ 3 + 6 + 10 + 15 = 35
Vergleiche das Resultat mit dem Baustein, der bei der letzten Zahl schräg unten rechts liegt.
Die Summe und die Zahlen schräg unten rechts sind 35.
Zähle die Bausteine einer Zeile zusammen. Mache das für die ersten sechs Zeilen. Was stellst du fest?
1 = 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25
Male die durch zwei teilbaren Zahlen gelb aus. Was ergibt es für ein Muster? (siehe nächste Seite)
Male die durch fünf teilbaren Zahlen orange aus. Was ergibt es für ein Muster? (siehe nächste Seite)
Male die durch vier teilbaren Zahlen rot aus. Was für ein Muster entsteht? (siehe nächste Seite)
Die Zahlen mit dem gleichen Buchstaben werden zusammengezählt.
Bestimme die ersten 10 Glieder der Zahlenfolge:
A
B
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55....
D
E
Wie heisst diese Folge? Fibonaccifolge
C
D
C
E
E
F
F
F
747138703
durch 2 teilbar
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
7
8
28
10
36
6
10
15
21
56
1
4
10
20
35
84
1
3
5
15
35
70
126
1
1
6
21
56
126
1
7
28
84
1
8
36
1
1
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165 330
462
462
330 165
55
11
1
1
12
66
220 495
792
924
792
495 220
66
12
1
1
13
78
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
78
13
1
1
14
91
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
14
1
1
15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
1
16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16
1
1
9
2
3
4
6
1
9
45
durch 5 teilbar
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
7
8
6
10
15
21
28
1
3
10
20
35
56
1
4
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
84
126
126
84
36
9
1
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165 330
462
462
330 165
55
11
1
1
12
66
220 495
792
924
792
495 220
66
12
1
1
13
78
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
78
13
1
1
14
91
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
14
1
1
15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
1
16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16
1
1
9
2
3
4
6
1
10
36
45
durch 4 teilbar
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
28
6
10
15
21
1
4
10
20
35
56
1
3
15
35
70
1
5
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
84
126
126
84
36
9
1
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165 330
462
462
330 165
55
11
1
1
12
66
220 495
792
924
792
495 220
66
12
1
1
13
78
286 715 1287 1716 1716 1287 715 286
78
13
1
1
14
91
364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364
91
14
1
1
15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
1
16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16
1
1
9
4
6
8
2
3
5
7
1
10
36
45
747138703
Zahlenteufel - Teplotaxl
Kombinatorik
(achte Nacht)
Eine Schulklasse besteht aus n Schülern. Auf wie viele Arten können n Schüler auf n Plätze gesetzt werden?
Suche alle Möglichkeiten für n = 1 bis n = 4.
Schülerzahl
1
2
3
4
Schüler
A
AB
ABC
ABCD
Kombinationen
Möglichkeiten
1
Wie entstehen die Zahlen auseinander:
Schüler
Zahl der Kombinationen
Berechnung
1
1
1
2
3
4
n
n ! bedeutet:
Unsere Klasse besteht aus 18 Schülerinnen und Schülern. Auf wie viele Arten können sie im Klassenzimmer
sitzen?
Eine Klasse besteht aus n Schülern. Jeder Schüler gibt jedem die Hand. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Schüler
Händedrücke
Anzahl
A
-
0
AB
AB
1
ABC
AB, AC
ABCD
ABCDE
ABCDEF
Diesen Zahlen bist du auch schon begegnet. Wie heissen sie?
n
n!
Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse:   
 k  k! (n  k )!
Überprüfe die Formel mit einigen Zahlen aus der Tabelle.
747138703
Zahlenteufel - Teplotaxl
Kombinatorik (2)
(achte Nacht)
Auf den ersten Kreisrand platzierst du die Buchstaben A und B, auf den zweiten Kreis die Buchstaben A, B, C,
auf den dritten die Buchstaben A, B, C, D etc.
Nun verbindest du die Buchstaben eines Kreises miteinander. Wie viele Verbindungen gibt es in jedem Bild?
Was stellst du fest?
Ein Schulhof soll gereinigt werden. Dazu stehen drei Besen zur Verfügung. Schreibe die Möglichkeiten auf, aus
einer Klasse Dreiergruppen zu bilden:
Schüler
Gruppen
Anzahl
ABC
ABCD
ABCDE
ABCDEF
Diese Zahlen findest du im Pascal’schen Dreieck. Wo sind sie?
Suche im Pascal’schen Dreieck die Werte, wenn acht Besen zur Reinigung des Pausenplatzes zur Verfügung
stehen würden.
Welche Zahlen sind das?
n
n!
Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse:   
 k  k! (n  k )!
Überprüfe die Formel mit einigen Zahlen aus der Tabelle.
747138703
Zahlenteufel - Teplotaxl
Kombinatorik (Lösungen)
(achte Nacht)
Eine Schulklasse besteht aus n Schülern. Auf wie viele Arten können n Schüler auf n Plätze gesetzt werden?
Suche alle Möglichkeiten für n = 1 bis n = 4.
Schülerzahl
1
2
3
4
Schüler
A
AB
ABC
ABCD
BA
ABC
ABCD
BACD
CABD
DABC
ACB
ABDC
BADC
CADB
DACB
BAC
ACBD
BCAD
CBAD
DBAC
BCA
ACDB
BCDA
CBDA
DBCA
CAB
ADBC
BDAC
CDAB
DCAB
CBA
ADBC
BDCA
CDBA
DCBA
Kombinationen
Möglichkeiten
1
2
6
24
Wie entstehen die Zahlen auseinander:
Schüler
Zahl der Kombinationen
Berechnung
1
1
1
2
2
1x2
3
6
1x2x3
4
24
1x2x3x4
n
n!
1 x 2 x 3 …..x (n - 1) x n
n ! bedeutet: n Fakultät
Unsere Klasse besteht aus 18 Schülerinnen und Schülern. Auf wie viele Arten können sie im Klassenzimmer
sitzen?
1 x 2 x …..x 17 x 18 = 6.4 x 1015
Eine Klasse besteht aus n Schülern. Jeder Schüler gibt jedem die Hand. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Schüler
Händedrücke
Anzahl
A
-
0
AB
AB
1
ABC
AB, AC, BC
3
ABCD
AB, AC, AD, BC, BD, CD
6
ABCDE
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE
10
ABCDEF
AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF
15
Diesen Zahlen bist du auch schon begegnet. Wie heissen sie? Dreieckszahlen
747138703
Zahlenteufel - Teplotaxl
Kombinatorik (2)
(achte Nacht)
Auf den ersten Kreisrand platzierst du die Buchstaben A und B, auf den zweiten Kreis die Buchstaben A, B, C,
auf den dritten die Buchstaben A, B, C, D etc.
Nun verbindest du die Buchstaben eines Kreises miteinander. Wie viele Verbindungen gibt es in jedem Bild?
A
A
A
B
B
C
B
analog
D
C
analog
Was stellst du fest? Die Verbindungslinien entsprechen den „Händedrücken“, 1, 3, 6, 10, 15 etc,
Dreieckszahlen
Ein Schulhof soll gereinigt werden. Dazu stehen drei Besen zur Verfügung. Schreibe die Möglichkeiten auf, aus
einer Klasse Dreiergruppen zu bilden:
Schüler
Gruppen
Anzahl
ABC
ABC
1
ABCD
ABC, ACD, ABD, BCD
4
ABCDE
ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
10
ABCDEF
ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF,
BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF
CDE, CDF, CEF
DEF
20
Diese Zahlen findest du im Pascal’schen Dreieck. Wo sind sie? Vierte 1 rechts, Kolonne nach schräg links
Suche im Pascal’schen Dreieck die Werte, wenn acht Besen zur Reinigung des Pausenplatzes zur Verfügung
stehen würden. 9. 1 rechts, Kolonne nach schräg links
Welche Zahlen sind das? 1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435 etc.
747138703
Zahlenteufel - Teplotaxl
Knoten, Flächen, Linien
(zehnte Nacht)
Knoten entstehen dort, wo sich Linien schneiden oder treffen. Eine Fläche ist durch Linien begrenzt.
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
Die Enden der Linien sind auch Knoten.
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
Welcher Zusammenhang gilt in allen diesen Fällen (Figuren in der Ebene) zwischen Knoten, Flächen und
Linien?
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
Welcher Zusammenhang gilt in allen diesen Fällen (räumliche Körper) zwischen Knoten, Flächen und Linien?
Leonard Euler (1701 – 1783) hat diesen Zusammenhang bei der Untersuchung von Polyedern (Vielflach)
gefunden. Deshalb heisst dieser Zusammenhang Eulerscher Polyedersatz.
747138703
Zahlenteufel - Teplotaxl
Knoten, Flächen, Linien
(zehnte Nacht)
Knoten entstehen dort, wo sich Linien schneiden oder treffen. Eine Fläche ist durch Linien begrenzt.
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
10
11
20
Die Enden der Linien sind auch Knoten.
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
7
2
8
Welcher Zusammenhang gilt in allen diesen Fällen (Figuren in der Ebene) zwischen Knoten, Flächen und
Linien?
Knoten + Flächen – Linien = 1
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
8
6
12
Anzahl
Knoten
Flächen
Linien
6
8
12
Welcher Zusammenhang gilt in allen diesen Fällen (räumliche Körper) zwischen Knoten, Flächen und Linien?
Knoten + Flächen – Linien = 2
Leonard Euler (1701 – 1783) hat diesen Zusammenhang bei der Untersuchung von Polyedern (Vielflach)
gefunden. Deshalb heisst dieser Zusammenhang Eulerscher Polyedersatz.
747138703