Aufgaben zu: Beweisverfahren 1 - Lehrer-Uni

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LGÖ Ks
VMa 11
Schuljahr 2015/2016
Aufgaben zu: Beweisverfahren 1
1) Gib an, ob der Satz wahr oder falsch ist.
Wenn der Satz wahr ist, gib die Voraussetzung und die Behauptung an. Gib auch an, welche
Aussage eine notwendige Bedingung für welche Aussage ist und welche Aussage eine
hinreichende Bedingung für welche Aussage ist.
Beweise den Satz bzw. widerlege ihn.
a) Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade.
b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
c) Jede natürliche Zahl n ≥ 2 hat eine gerade Anzahl von Teilern.
2) Formuliere den Umkehrsatz und gib an, ob er wahr oder falsch ist.
a) Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade.
b) Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
3) Beweise den Satz:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 und durch 3 teilbar, wenn sie durch 6 teilbar ist.
4) Formuliere die Kontraposition.
a) Jede Raute ist ein Parallelogramm.
b) Ist eine natürliche Zahl durch 6 teilbar, dann ist sie durch 2 und durch 3 teilbar.
5) Formuliere die Kontraposition und beweise sie:
Gegeben ist eine reelle Zahl a. Ist a 2 nicht rational, dann ist a nicht rational.
6) Formuliere den Satz von den Stufenwinkeln mit „Wenn …, dann …, sonst nicht“ und mit
„Genau dann, wenn …“ und mit „… ist eine notwendige und hinreichende Bedingung …“.
7) Beweise indirekt: Für jede reelle Zahl x gilt: x − 4 < 1 ⇒ x < 5 .
Hausaufgaben zu: Beweisverfahren 1
1) Gib an, ob der Satz wahr oder falsch ist.
Wenn der Satz wahr ist, gib die Voraussetzung und die Behauptung an. Gib auch an, welche
Aussage eine notwendige Bedingung für welche Aussage ist und welche Aussage eine
hinreichende Bedingung für welche Aussage ist.
Beweise den Satz bzw. widerlege ihn.
a) Jede natürliche Zahl hat mindestens zwei Teiler.
b) Ist eine natürliche Zahl durch 6 teilbar, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
c) Das Quadrat jeder reellen Zahl ist positiv.
d) Ist n ungerade, dann ist n 2 + 4n ungerade.
2) Formuliere den Umkehrsatz und gib an, ob er wahr oder falsch ist.
a) Ist eine natürliche Zahl durch 6 teilbar, dann ist sie durch 2 und durch 3 teilbar.
b) Ist eine natürliche Zahl durch 8 teilbar, dann ist sie durch 2 und durch 4 teilbar.
c) Ist n gerade, dann ist n 2 + 2n − 4 gerade.
d) Sind α und β Scheitelwinkel, dann gilt α = β .
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LGÖ Ks
VMa 11
Schuljahr 2015/2016
3) Beweise den Satz:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 und durch 11 teilbar, wenn sie durch 55 teilbar ist.
4) Formuliere die Kontraposition.
a) Ist n gerade, dann ist n 2 gerade.
b) Sind a und b rationale Zahlen, dann ist a ⋅ b eine rationale Zahl.
5) Formuliere die Kontraposition und beweise sie:
Gegeben ist eine rationale Zahl a ≠ 0 und eine reelle Zahl b. Ist b nicht rational, dann ist a ⋅ b
nicht rational.
6) Formuliere den
a) Satz von den Basiswinkeln in einem Dreieck;
b) Satz des Pythagoras;
c) Satz des Thales
mit „Wenn …, dann …, sonst nicht“ und mit „Genau dann, wenn …“ und mit „… ist eine
notwendige und hinreichende Bedingung …“.
7) Beweise, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
n3 ist genau dann gerade, wenn n gerade ist.
3
Hinweis: Für alle reellen Zahlen a und b gilt ( a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 .
8) Beweise indirekt und ohne Verwendung des Satzes von der Primfaktorzerlegung:
Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar, dann ist die Zahl durch 3 teilbar.
Hinweis: Für jede natürliche Zahl n gibt es eine (eindeutig bestimmte) natürliche Zahl k mit
n = 3k oder n = 3k + 1 oder n = 3k + 2 .
9) Zeige ohne Verwendung das Satzes von der Primfaktorzerlegung, dass 2 irrational ist.
Hinweis: Es darf verwendet werden: Eine natürliche Zahl ist gerade, wenn ihr Quadrat gerade
ist.
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