Praktikumsprotokoll: Schwingungssiebe, Schwinkreis

Praktikumsprotokoll: Schwingungssiebe,
Schwinkreis
Robin Marzucca, Andreas Liehl
17. Mai 2011
Protokoll zum Doppelversuch Schwingungssiebe und Schwingkreis, durchgeführt am 10.05.2011
und am 17.05.2011 an der Universität Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums II von Robin Marzucca und Andreas Liehl unter Tutorin Annkathrin
Matthias
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Grundlagen
2.1 Energie in magnetischen und elektrischen Feldern
2.1.1 Kondensator im Gleichstromkreis . . . . .
2.1.2 Kondensator im Gleichstromkreis . . . . .
2.2 Widerstandsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Wirkwiderstand XR . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Induktiver Widerstand XL . . . . . . . . .
2.2.3 Kapazitiver Widerstand XC . . . . . . . .
2.3 RC-Hoch/Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 LC-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
5
5
5
7
10
11
3 Elektromagnetische Schwingungen
3.1 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dämpfungskonstante β und logarithmisches Dekrement
3.4 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Λ
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12
12
13
15
15
4 Versuch 1 - Schwinngungssiebe
4.1 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . .
4.1.1 Bestimmung von RC- Konstanten
4.1.2 RC-Hoch/Tiefpass . . . . . . . . .
4.1.3 LC-Hoch/Tiefpass . . . . . . . . .
4.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Durchlasskurven . . . . . . . . . .
4.2.2 Diskussion der Phasenverschiebung
4.2.3 Zeitkonstante τ des RC-Glieds . .
4.2.4 Vergleich der Grenzfrequenzen . .
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17
19
19
20
21
21
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23
23
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27
29
29
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31
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5 Versuch 2 - Schwingkreis
5.1 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Langsame angestoßene gedämpfte Schwingung
5.1.2 Angestoßene gedämpfte Schwingungen . . . .
5.1.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . .
5.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Versuchsteil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Versuchsteil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Resonanzkurve und Phasenverschiebung . . .
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6 Fragen und Antworten
32
7 Zum Doppelversuch
33
2
1 Einleitung
Im Doppelversuch Schwingungssiebe und Schwingkreis sollen diverse Reihenschaltungen
aus Wirk- und Blindwiederständen im Wechselstromkreis genauer untersucht werden.
Zum einen soll dabei untersucht werden, wie man mit Hilfe von Hoch- und Tiefpässen
bestimmte Frequenzen herausfiltert, zum anderen soll die Entstehung einer elektromagnetischen Schwingung anhand eines Schwingkreises erklärt werden. Dieser soll auch dazu
genutzt werden Phänomene wie Dämpfung und die Erzwungene Schwingung zu untersuchen.
2 Grundlagen
2.1 Energie in magnetischen und elektrischen Feldern
2.1.1 Kondensator im Gleichstromkreis
Legt man an ein RC-Glied, also eine Reihenschaltung aus Ohmschem Widerstand und
Kondensator eine Gleichspannung an, so lädt sich der Kondensator exponentiell auf.
Dabei nähert die Spannung am Kondensator sich asymptotisch der angelegten Spannung.
Die selbe Beobachtung wird man auch beim Entladen des Kondensators machen, wobei
hier die ängelegteßpannung = 0V ist. Hier gelten die Zusammenhänge:
UQuelle =
U0 beim Aufladevorgang
0 beim Entladevorgang
˙
UR (t) = R · I(t) = RQ(t)
UC (t) =
Q(t)
C
Abbildung 1: Schaltbild und Auf bzw. Entladevorgang eines Kondensators der Kapazität
C mit der Spannung U0 über den Widerstand R
3
Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz gilt:
UQuelle = UR + UC
˙ + Q(t)
= R · Q(t)
C
− R ·t C
)
→ U (t) = U0 · (1 − e
(1)
Betrachten wir die Aufladung des Kondensators als Verschiebung der Ladung dQ von
einer Kondensatorplatte auf das höhere Potential der anderen Platte, so erhalten wir für
die aufgewendete Arbeit dW :
dW = U · dQ =
1
C
· Q · dQ
Für die Elektrische Feldenergie eines Kondensators mit Kapazität C, der mit der Spannung U aufgeladen wurde erhalten wir durch Integrieren:
WC
=
=
=
Z Q
1
(Q · dQ)
·
C
0
Q2
2·C
1
CU 2
2
(2)
τ = R · C wird als Zeitkonstante des RC- Glieds bezeichnet, da zu diesem zeitpunkt der
Auf- bzw. Entladevorgang bis auf 1e abgeschlossen ist.
2.1.2 Kondensator im Gleichstromkreis
Legt man an eine Spule eine Spannung an, so wird beim Durchfließen der Spule ein
Magnetfeld erzeugt. Dieses erzeugt in der Spule wiederum eine Induktionsspannung, die
gemäß der Lentzschen Regel der Spannung entgegen wirkt.
Die im Magnetfeld der Spule enthaltene Energie erhalten wir über den Zusammenhang:
4
dW
⇒W
= Uind · I · dt
Z ∞
U · I · dt
=
0
Z ∞
Z ∞
˙
= −
L · I · I · dt = −L
I · I˙ · dt
0
0
Z 0
I · dI
= −L
I0
=
1 2
LI
2
(3)
2.2 Widerstandsarten
2.2.1 Wirkwiderstand XR
Für den Wirkwiderstand XR im Wechselstromkreis gilt nach wie vor die Beziehung des
Ohmschen Gesetzes1 :
XR =
Uef f
Ief f
Gehen wir von einer sinusförmigen Wechselspannung aus, so gilt:
U (t) = U0 cos ωt
U0
U (t)
=
cos ωt
I(t) =
XR
XR
(4)
U und I sind also phasengleich.
2.2.2 Induktiver Widerstand XL
Der Widerstand, der in einem Wechselstromkreis durch eine Spule induziert wird, nennt
man induktiven Widerstand XL . Er kommt durch die Selbstinduktion der Spule mit
Induktivität L zustande. Vernachlässigt man den Ohmschen Widerstand der Spule, so
erhält man eine einfache Schaltung mit angelegter Spannung U und Spule. Nach der
1
Im Falle der Wechselspannung
rechnet man mit sog. Effektivwerten Uef f und Ief f . Sie sind jeweils
√
um einen Faktor 2 kleiner. Auf die genaue Herleitung der Effektivwerte wollen wir nun nicht weiter
eingehen.
5
Lentzschen Regel ist die in der Spule induzierte Spannung Uind der Ausgangsspannung
U entgegengerichtet und berechnet sich durch:
Uind = −L
dI
dt
Nun müssen die Spannungen, wie in Abb. (2) zu erkennen ist, gleich sein und wir erhalten
so:
U (t) + Uind = 0
⇔
dI
dt
I(t) = I0 sin ωt
U0 cos ωt = L
⇔
(5)
U0
wobei I0 = ωL
die maximale Stromstärke ist. Daraus erhalten wir nun den Betrag des
induktiven Widerstandes:
|XL | =
U0
= ωL
I0
(6)
Aus den Gleichungen (5) und (4) sieht man, dass beim induktiven Widerstand U und
Abbildung 2: Einfache Schaltung mit einer Spannungsquelle U0 und einer Spule L, die
eine Induktionsspannung Uind induziert. aus [Dem09]
I nicht mehr in Phase sind, sondern eine Phasenverschiebung von ϕ = 90◦ aufweisen.
Daraus erhalten wir den induktiven Widerstand XL als komplexe Zahl. Da die Phasenverschiebung 90◦ beträgt, muss der Realteil von XL null sein2 und es gilt:
XL = iωL
Diese komplexe Zahl lässt auch in der komplexen Ebene darstellen:
2
Es ist ϕ =
=(XL )
<(XL )
und die Polstelle des Tangens liegt bei 90◦ . Daher muss der Realteil null sein.
6
Abbildung 3: Darstellung des induktiven Widerstands in der komplexen Ebene als Zeigerdiagramm. aus [Nol06]
2.2.3 Kapazitiver Widerstand XC
Der Widerstand, der in einem Wechselstromkreis durch das ständige Auf- und Entladen
eines Kondensators zustande kommt wird als kapazitiver Widerstand XC bezeichnet. Die
Spannung an einem Kondensator errechnet sich durch:
U=
Q
C
(7)
wobei Q die auf dem Kondensator vorhandene Ladung und C dessen Kapazität ist. Bilden
der Zeitableitung von Gleichung (7) liefert:
dU
1 dQ
1
=
= ·I
dt
C dt
C
Nun gehen wir wieder von einer sinusförmigen Wechselspannung aus (Gleichung (4)) und
erhalten:
d
(U0 cos ωt)
dt
= −ωC · U0 · sin ωt
I(t) = −C ·
= ωC · U0 cos(ωt + 90◦ )
= I0 cos(ωt + 90◦ )
Es liegt also auch hier eine Phasenverschiebung von ϕ = −90◦ vor. Den Betrag des
kapazitiven Widerstandes erhalten wir durch:
|XC | =
U0
U0
1
=
=
I0
ωU0 C
ωC
(8)
7
Man kann den kapazitiven Widerstand wieder in der komplexen Ebene darstellen. Da
nun eine Phasenverschiebung von ϕ = −90◦ vorliegt, muss der Realteil wieder null sein,
jedoch erhält der Imaginärteil ein negatives Vorzeichen und es ist:
XC = −i
1
ωC
Die folgende Abbildung stellt den kapazitiven Widerstand wieder im Zeigerdiagramm
dar:
Abbildung 4: Darstellung des kapazitiven Widerstands in der komplexen Ebene als Zeigerdiagramm. aus [Nol06]
Komplexe Widerstandsebene Betrachtet man nun eine Reihenschaltung aus Wirk und
Blindwiderständen bei angelegter Wechselspannung U0, so erhält man den Scheinwiederstand und die resultierende Phasenverschiebung sehr leicht durch die Betrachtung der
komplexen Widerstandsebene. Gemäß dem 2. Kirchhoffschen Gesetz (siehe Abschnitt
3.1) muss die Summe der angelegten Spannung U und der Induktionsspannung Uind
gleich dem Spannungsabfall an Widerstand und Kondensator entsprechen. Es gilt also:
U = L·
dI
Q
+ + I ·R
dt
C
Durch ableiten nach der Zeit erhalten wir die Differentialgleichung
1
LI¨ + RI˙ + I = −U0 ω sin ωt
C
(9)
mit der Lösung:
U (t) = U0 · eiωt
(10)
iωt−ϕ
I(t) = I0 · e
(11)
8
Wir erhalten schließlich den Komplexen Widerstand Z aus der Beziehung:
1
2
iωU0 = −Lω + iωR +
· I0
C
U0
1
Z :=
= R + i ωL −
I0
ωC
(Abb. (5)) stellt den komplexen Widerstand Z in der Komplexen Widerstandsebene dar.
Für die Phasenverschiebung ϕ gilt demnach:
tan ϕ =
={Z}
<{Z}
(12)
Der Betrag von Z wird auch Scheinwiderstand oder Impendanz genannt und ergibt sich
Abbildung 5: Darstellung des Scheinwiderstands in der komplexen Ebene als Zeigerdiagramm. aus [Nol06]
direkt durch anwendung des Satzdes des Pythagoras:
s
1 2
|Z| = R2 + ωL −
ωC
9
(13)
2.3 RC-Hoch/Tiefpass
Eine Reihenschaltung aus Ohmschem Widerstand und Kondensator eignet sich im Wechselstromkreis als Spannungsteiler. Da der Blindwiderstand des Kondensators frequenzabhängig ist lassen sich wahlweise hohe Frequenzen (im Hochpass) beim Abgreifen der
Ausgangsspannung am Wirkwiderstand oder niedrige Frequenzen (im Tiefpass) beim Abgreifen am Kondensator bevorzugt weiterleiten kann.
Für den Hochpass gilt dabei:
U3 R = U1 R + XC R
= 1
R + iωC =
1
q
(14)
1
1 + ( ωRC
)2
Und für den Tiefpass:
1
U4 = iωC U1 1 R + iωC
=
1
p
(15)
1 + (ωRC)
Die Frequenz ωgr , bei der das Verhältnis aus Ausgangsspannung und Eingangsspannung
genau √12 beträgt nennt man Grenzfrequenz. Aus (14) und (15) ergibt sich direkt ωgr =
10
1
RC
= τ1
Als Phasenverschiebung δ zwischen Eingangs- und Ausgangssignal ergibt sich
Im
U3
U1
Re
U3
U1
tan δ =
=
1
ωRC
(16)
beim Hochpass und
Im
U4
U1
Re
U4
U1
tan δ =
= ωRC
(17)
2.4 LC-Tiefpass
Als Frequenzfilter bieten sich auch andere RLC-Kombinationen an. Ein gutes Beispiel
dafür ist eine Reihenschaltung aus Kondensator und Spule wie in folgendem Schaltbild:
Abbildung 6: Schaltbild eines LC-Hoch/Tiefpasses mit Lastwiderstand
Analog zum RC-Hochpass erhält man hier für das Verhältnis zwischen Ausgangs- und
Eingangsspannung
- Beim LC-Hochpass
U5 = XL
U1 XL + XC iωL = 1 iωL + iωC
=
1
1 −
(18)
1 ω 2 LC
11
- Beim LC-Tiefpass
U6 = XC
U1 XL + XC 1
iωC
= 1 iωL + iωC
=
1
|1 − ω 2 LC|
(19)
1
verschwinden in den beiden Fällen (18) (19) die NenFür die Grenzfrequenz ωgr = √LC
ner, was dazu führt, dass solche LC-Reihenschaltungen nicht nur hohe bzw. niedrige
Frequenzen herausfiltern, sondern auch Frequenzen um die Grenzfrequenz ωgr verstärken.
Diese Annahmen gelten allerdings nur für den Fall, dass alle Ohmschen Widerstände
vernachlässigbar sind und der Ausgang nicht mit einem solchen belastet ist.
In sämtlichen realen Fällen wird allerdings zumindest am Ausgang ein Widerstand angelegt, wodurch der Überhöhungseffekt abgeschwächt oder sogar aufgehoben wird.
Im idealisierten Fall tritt im gesamten Durchlassfrequenzbereich keine Phasenverschiebung auf (δ = 0), im Sperrbereich dagegen eine Phasenverschiebung von δ = 180◦ = π,
sie laufen also gegenphasig.
Bei endlichen Widerständen ist der Verlauf schwächer.
3 Elektromagnetische Schwingungen
3.1 Schwingkreis
Lädt man einen Kondensator an einer Gleichstromquelle und entlädt ihn wieder über eine
Induktivität, wird man feststellen, dass der Kondensator, sobald er vollständig entladen
ist beginnt sich umgekehrt gepolt erneut zu laden.
Da beim Entladen des Kondensators über die Spule ein Strom durch diese fließt entsteht
in ihr ein Magnetfeld. Dabei wird zunächst eine Spannung induziert, die dem Entladevorgang des Kondensators der Letzschen Regeln entsprechend entgegen wirkt.
Nimmt die Spannung am Kondensator und damit auch der fließende Strom ab, wird das
induzierte Magnetfeld wieder schwächer. Dadurch nimmt der magnetische Fluss in der
spule ab und es wird, erneut nach der Lentzschen Regel ein Strom induziert, der den
Abbau des Magnetfeldes hemmt, also in die selbe Richtung fließt wie beim Entladevorgang des Kondensators.
Bei diesem Vorgang wird zunächst die gesamte Energie des elektrischen Feldes in magnetische und anschließend wieder in elektrische Feldenergie umgewandelt. Anschließend
wiederholt sich der gesamte Vorgang mit umgekehrtem Vorzeichen.
Da allerdings an den Ohmschen Widerständen der Spule und der Leitung nach und nach
12
Energie in Wärme umgewandelt wird klingt die Schwingung nach und nach ab.
Die entstehende Schwingung lässt sich dabei analog zur Mechanischen Schwingung betrachten. Dabei entspricht die Elektrische Feldenergie im Kondensator der Potentiellen
Energie des Pendels und die Magnetische Feldenergie der kinetischen Energie der schwingenden Masse.
3.2 Freie Schwingung
Aus den Kirchhoffschen Regeln können wir folgern, dass bei getrennter Spannungsquelle die Summe der Spannungen an Widerstand, Spule und Kondensator Null sein
muss, also:
UL + UR + UC
dI
Q
L·
+ RL · I +
dt
C
2
d Q
dQ Q
L · 2 + RL ·
+
dt
dt
C
= 0
= 0
= 0
(20)
Drücken wir nun Die Ladung Q mit UC =
densator aus, so erhalten wir:
LC ·
Q
C , UC (0)
d2 UC
dUC
+ RC ·
+ UC = 0
2
dt
dt
R
Mit β := 2L
, ω0 :=
Schwingung
q
1
LC
= U0 über die Spannung am Kon-
(21)
erhalten wir die Bewegungsgleichung der freien, gedämpften
d2 UC
dUC
+ 2β ·
+ ω02 · UC = 0
dt2
dt
(22)
welche die allgemeine Lösung
UC (t) = e−βt (U1 eiωt + U2 eiωt )
(23)
13
besitzt.
Durch Berücksichtigung der Anfangsbedingung ergibt sich für U1 und U2 :
β
1
U1 = U0 1 − i
2
ω
1
β
U2 = U0 1 + i
,
2
ω
wobei ω =
p
(24)
(25)
ω02 − β 2
Dabei lassen sich nun drei Fälle unterscheiden:
1. Schwingfall
Der Schwingfall tritt bei einer Schwachen Dämpfung β 2 < ω02 auf.
Dabei kommt es zu einer gedämpften Schwingung, bei der die Amplitude exponentiell
abnimmt. Mit (24) und (25) ergibt sich für die Schwingung schließlich:
UC (t) = U0 e−βt cos (ωt)
(26)
2. Aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall tritt auf, wenn omega = 0, also wenn ω02 = β 2 ist. Dabei ist die Dämpfung
so groß, dass die Spannung am Kondensator auf 0 abfällt und sich nicht mit negativem
Vorzeichen erneut lädt.
In diesem Fall wird die Schwingung durch die Gleichung
UC (t) = U0 (1 + βt)e−βt
(27)
beschrieben.
Bei dieser Form der Schwingung Fällt die Spannung am Kondensator am schnellstenw
ieder auf 0 ab.
3. Kriechfall
Diesen Fall erhalten wir für β 2 > ω02 . ω ist in diesem Fall rein imaginär, weshalb sich für
die Schwingung
UC (t) = e−βt (e−γt + U2 E γt )
ergibt, wobei γ =
p
(28)
β 2 − ω02 , U1 = 12 U0 1 − βγ und U2 = 21 U0 1 + βγ ist.
14
3.3 Dämpfungskonstante β und logarithmisches Dekrement Λ
Als logarithmisches Dekrement Λ bezeichnet man den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Maxima:
!
Ûn
(29)
Λ = ln(k) = ln
Ûn+1
Wie im vorherigen Kapitel bereits gesehen gibt die Dämpfungskonstante ein Maß für
die Dämpfung eines schwingenden Systems an. Experimentell lässt sie sich mit Hilfe des
logarithmischen Dekrements und der Periodendauer über den Zusammenhang
Λ
T
bestimmen.
β=
(30)
3.4 Erzwungene Schwingung
Regt man einen elektrischen Schwingkreis periodisch mit einer sinusförmigen Wechselspannung Uerr (t) = U err, 0 · sin(ωerr t) an, nennt man die so entstehende Schwingung
eine erzwungene elektrische Schwingung.
In diesem Fall ist die Schwingungsgleichung die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie besteht aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung und der speziellen Lösung, die sich aus den Eigenschaften der Erregerschwingung
ergibt.
UC (t) = UC,hom (t) + UC,spez (t)
(31)
Die Homogene Lösung enthält dabei wieder den Vorfaktor e−βt , auf Grund dessen sie
nach einiger Zeit verschwindet und nur noch eine Sinusförmige Schwingung hinterlässt,
deren Amplizude mit ωerr variiert. Der Zeitraum zwischen Anlegen der Erregerspannung
und dem Zeitpunkt, an dem der Homogene teil der Lösung abgeklungen ist nennt man
Einschwingvorgang. Danach gilt dann:
UC (t) = UC,0 · sin(ωerr t − ϕ)
(32)
mit
ω02
UC,0 = Uerr,0 · p 2
,
2 )2 + 4β 2 ω 2
(ω0 − ωerr
err
2βωerr
tan ϕ =
2
ω02 − ωerr
Die Maximale Spannung am Kondensator erhält man bei der Erregerfrequenz:
q
ωres = ω02 − 2β 2
15
(33)
(34)
(35)
4 Versuch 1 - Schwinngungssiebe
Der Versuch Schwingungssiebe lässt sich in drei versuchsteile gliedern.
In Versuchsteil 1 sollen die Zeitkonstanten eines RC-Glieds experimentell ermittelt werden, in den Versuchsteilen 2 und 3 sollen Durchlasseigenschaften von RC-Hoch/Tiefpässen
beziehungsweise von LC-Hoch/Tiefpässen untersucht werden.
4.1 Versuchsdurchführung
4.1.1 Bestimmung von RC- Konstanten
Im ersten Teil des Versuches soll die Zeitkonstante τ eines RC-Gliedes bestimmt werden.
Dazu wird eine RC-Kombination nach Abbildung 1 an eine Rechtecksspannung angelegt
und mit Hilfe eines Oszilloskopes untersucht. Da die Bestimmung von τ auf direktem
Wege zu aufwendig und ungenau wäre messen wir hier den Zeitpunkt T1/2 , zu dem der
Kondensator zur hälfte geladen ist und errechnen τ mit der Formel
τ =−
T1/2
(36)
ln( 12 )
Der Fehler δτ ergibt sich dabei aus der Formel
δτ = −
δT1/2
(37)
ln( 12 )
Diese Messung führen wir für insgesamt 5 verschiedene RC-Kombinationen durch.
Messung
1
2
3
4
5
R [Ω
1000
4000
100
1000
2000
C [nF ]
25
25
25
10
10
T1/2 [µs]
18
72
2,2
8
16
δT1/2 [µs]
2
2
2
2
2
τ [µs]
25,97
104
3,17
11,54
23,08
δτ [µs]
2,89
2,89
2,89
2,89
2,89
Tabelle 1: Tabelle mit den experimentell bestimmten Werten für τ
4.1.2 RC-Hoch/Tiefpass
Für den zweiten teil des Versuches bauen wir zunächst einen RC-Hochpass nach ?? auf
und verwenden dafür einen Ohmschen Widerstand von 600 Ω und einen Kondensator mit
der Kapazität C = 0, 1nF . Mit diesem Aufbau messen wir für 10 verschiedene Frequenzen
jeweils die Eingangsspannung U1 und die Ausgangsspannung U3 , um anschließend eine
16
Durchlasskurve für diese RC-Kombination zu zeichnen. Dazu legen wir eine Sinusspannung an den Hochpass an und messen mit dem Oszilloskop Ein- und Ausgangsspannung.
Um für die Frequenz genaue Werte zu erhalten überprüfen wir diese mit dem Oszilloskop,
indem wir die Periodendauer T messen und mit der Formel f = T1 umrechnen. Da die
Werte des Sinusgenerators allerdings sehr genau mit denen des Oszilloskopes übereinstimmen werden wir im Folgenden auch mit diesen weite rechnen.
Dabei ergab unsere Messung die folgenden Werte34 :
f [Hz]
5 · 105
3 · 105
2 · 105
1, 6 · 105
1, 2 · 105
8 · 104
4 · 104
2 · 104
1 · 104
5 · 103
U1 [c · V ]
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,48
1,53
1,53
U3 [c · V ]
1,38
1,38
1,38
1,36
1,36
1,31
1,19
0,79
0,55
0,274
δU [c · V ]
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
T [s]
2 · 10−6
3, 33 · 10−6
5 · 10−6
6, 24 · 10−6
8, 3 · 10−6
1, 25 · 10−5
2, 5 · 10−5
5 · 10−5
1 · 10−4
2 · 10−4
δT [s]
2 · 10−8
2 · 10−8
2 · 10−8
2 · 10−8
2 · 10−8
1 · 10−8
1 · 10−8
1 · 10−8
1 · 10−8
1 · 10−8
U3
U1
0,986
0,986
0,986
0,971
0,971
0,936
0,85
0,534
0,36
0,18
3
δU
U1
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,019
0,015
0,014
0,013
Tabelle 2: Messwerte zum RC-Hochpass
Nun werden wir die Spannung über den Kondensator abgreifen und somit mit der gleichen RC-Kombination die Durchlasseigenschaften des Tiefpasses untersuchen. Auch hier
werden wir die Messung für 10 verschiedene Frequenzen durchführen und die Durchlasskurven anschließend in einem gemeinsamen Schaubild darstellen.
Aus dem Diagramm der beiden Durchlasskurven sollte anschließend durch ablesen des
Schnittpunktes die Grenzfrequenz fgr bestimmt werden, um damit für den Hoch und den
Tiefpass jeweils die Phasenverschiebung für f fgr , f = fgr und f fgr zu bestimmen.
4.1.3 LC-Hoch/Tiefpass
Im letzten Teil des Versuches werden wir die Eigenschaften von LC-Hoch- und Tiefpässen anhand einer Reihenschaltung nach ?? untersuchen. Wir verwenden dabei einen
Kondensator mit der Kapazität C ≈ 10nF , eine Spule der Induktivität L ≈ 5mH und
einen Lastwiderstand mit R = 600Ω.
Wir legen auch hier wieder eine Sinusspannung an den Hochpass an und betreiben diesen
zunächst ohne Lastwiderstand, um die Grenzfrequenz fgr zu bestimmen, indem wir die
3
c ist dabei eine reelle Konstante, die jedoch nicht berücksichtigt werden muss, da wir lediglich das
Verhältnis zwischen U1 und U3 verwenden.
UA
4
Der Fehler für U
wurde jeweils mit der Formel (4.2.1) berechnet. Das gilt sowohl für die LCE
Schaltungen, als auch für die RC-Schaltungen
17
f [Hz]
5 · 103
1 · 104
1, 5 · 104
2 · 104
3 · 104
5 · 104
8 · 104
1, 2 · 105
1, 6 · 105
4 · 105
U1 [c · V ]
1,53
1,53
1,51
1,48
1,41
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
U4 [c · V ]
1,49
1,39
1,27
1,14
0,92
0,63
0,42
0,296
0,224
0,092
δU [c · V ]
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
T [s]
2 · 10−4
1 · 10−4
6, 66 · 10−5
5 · 10−5
3, 33 · 10−5
2 · 10−5
1, 25 · 10−5
8, 34 · 10−6
6, 25 · 10−6
2, 5 · 10−6
δT [s]
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
U4
U1
0,974
0,908
0,841
0,770
0,652
0,45
0,3
0,211
0,16
0,066
4
δU
U1
0,018
0,018
0,017
0,017
0,017
0,016
0,015
0,015
0,014
0,014
Tabelle 3: Messwerte zum RC-Tiefpass
Schaltung
Hochpass
Tiefpass
f fgr
ϕ = π2
ϕ≈0
f = fgr
ϕ = 0, 757 ≈ π4
9
ϕ = 0, 908 · π ≈ 31
π
f fgr
ϕ≈0
ϕ = π2
Frequenz so lange erhöhen, bis die Ausgangsspannung maximal wird. In unserem Fall
ergab sich dabei die Frequenz fgr ≈ 23, 6kHz.
Wir belasten den LC-Hochpass nun mit dem Widerstand und messen auch hier für
10 Frequenzen jeweils Eingangsspannung U1 und Ausgangsspannung U5 . Die Messwerte
werden in folgender Tabelle zusammengetragen:
f [Hz]
5 · 104
1 · 104
1, 5 · 104
2 · 104
3 · 104
5 · 104
8 · 104
1, 2 · 103
1, 6 · 103
4 · 103
U1 [c · V ]
1,4
1,42
1,43
1,48
1,51
1,53
1,52
1,53
1,53
1,53
U5 [c · V ]
1,47
1,42
1,29
1,23
1,02
0,63
0,278
0,22
0,134
0,045
δU [c · V ]
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
T [s]
2, 5 · 10−6
3, 32 · 10−6
4 · 10−6
4, 24 · 10−6
5 · 10−6
6, 67 · 10−6
1 · 10−4
1, 11 · 10−4
1, 43 · 10−4
2, 5 · 10−4
δT [s]
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
Tabelle 4: Messwerte zum LC-Hochpass
18
U5
U1
1,05
1
0,902
0,860
0,689
0,417
0,182
0,145
0,088
0,029
5
δU
U1
0,021
0,02
0,019
0,018
0,016
0,014
0,013
0,013
0,013
0,013
Diesen Vorgang wiederholen wir auch hier für den Tiefpass:
f [Hz]
5 · 102
5 · 103
2 · 104
2, 36 · 104
3 · 104
3, 5 · 104
4 · 104
5 · 104
7 · 104
1 · 105
U1 [c · V ]
1,42
1,42
1,4
1,42
1,46
1,48
1,49
1,5
1,51
1,51
U6 [c · V ]
1,32
1,34
1,34
1,22
0,92
0,71
0,55
0,343
0,18
0,086
δU [c · V ]
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
T [s]
2 · 10−3
2 · 10−4
5 · 10−5
4, 24 · 10−5
3, 24 · 10−5
2, 85 · 10−5
2, 5 · 10−5
2 · 10−5
1, 43 · 10−5
1 · 10−5
δT [s]
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
1 · 10−7
U6
U1
0,929
0,944
0,957
0,860
0,630
0,480
0,370
0,229
0,120
0,057
6
δU
U1
0,019
0,019
0,019
0,019
0,016
0,015
0,014
0,014
0,013
0,013
Tabelle 5: Messwerte zum LC-Tiefpass
Für die Phasenverschiebung ϕ ergab sich bei den LC-Kombinationen:
Schaltung
Hochpass
Tiefpass
f fgr
ϕ = 1, 16 · π
ϕ≈0
f = fgr
ϕ = 1, 64 ≈ π2
ϕ = 1, 54 · π ≈ π2 π
f fgr
ϕ≈0
ϕ = 0, 9 · π
4.2 Auswertung
4.2.1 Durchlasskurven
Um die Durchlasskurven der RC/LC-Hoch/Tiefpässe zu zeichnen berechnen wir zunächst
das Verhältnis aus Eingangsspannung und Ausgangsspannung UA /UE Der Fehler für
dieses verhältnis ergibt sich folglich über
s
2
UA
δUA 2
UA
δ
=
+ − 2 · δUE
(38)
UE
UE
UE
19
Damit sehen die Durchlasskurven unserer Schaltungen folgendermaßen aus:
4.2.2 Diskussion der Phasenverschiebung
Sowohl bei der RC-Schaltung, als auch bei der LC-Kombination wurde im Hoch und
Tiefpass jeweils die Phasenverschiebung ϕ für f = fgr , so wie für f / fgr gemessen.
Schaltung
Hochpass
Tiefpass
f fgr
ϕ = π2
ϕ≈0
f = fgr
ϕ = 0, 757 ≈ π4
9
ϕ = 0, 908 · π ≈ 31
π
f fgr
ϕ≈0
ϕ = π2
Hier sollte die Phasenverschiebung zwischen 0◦ und 90◦ schwanken und für f = fgr genau
45◦ betragen. Diese Werte erklären sich bei Betrachtung der Gleichungen (16) und (17).
Die Von uns gemessene Phasenverschiebung bestätigt diese Überlegung.
20
Schaltung
Hochpass
Tiefpass
f fgr
ϕ = 1, 16 · π
ϕ≈0
f = fgr
ϕ = 1, 64 ≈ π2
ϕ = 1, 54 · π ≈ π2 π
f fgr
ϕ≈0
ϕ = 0, 9 · π
Wie im Grundlagenteil bereits angesprochen sollte die Phasenverschiebung im Sperrbereich des LC-Passes gerade 180◦ betragen, im Duchlassbereich hingegen 0◦ . Da diese
Überlegungen allerdings nur im Idealisierten Fall ohne Reibung gelten müssen wir hier
für den Bereich um fgr einen Flachenren Verlauf annehmen. Damit Bestätigen unsere
Werte auch in diesem Fall die theoretischen Grenzwerte.
4.2.3 Zeitkonstante τ des RC-Glieds
Die Zeitkonstanze τ wurde schon im Versuchsteil in Tabelle 01 bestimmt. Wir vergleichen
diese nun mit den Werten, die sich durch τ = R · C ergeben:
τ ± δτ
± 2, 885 · 10−6
−4
1, 04 · 10 ± 2, 885 · 10−6
3, 174 · 10−6 ± 2, 885 · 10−6
1, 154 · 10−5 ± 2, 885 · 10−6
2, 308 · 10−5 ± 2, 885 · 10−6
2, 597 · 19−5
τ = R · C ± δτ
2, 5 · 10−5 ± 9, 69 · 10−7
1 · 10−4 ± 3, 87 · 10−6
2, 5 · 10−6 ± 6, 74 · 10−7
1 · 10−5 ± 1, 54 · 10−6
2 · 10−5 ± 3, 08 · 10−6
Fehlerbetrachtung
Sowohl die gemessenen Zeiten, als auch der verwendete Widerstand und der Kondensator
sind mit einem Fehler behaftet. Den Fehler der Zeitmessung folgt aus der Ungenauigkeit des Oszilloskops. Wir haben ihn auf δT 1 = 2 · 10−6 s geschätzt, da wir mit dem
2
Cursor keine feineren Sprünge machen konnten. Durch den bei der Umrechnung vererbten Fehler werden die meisten Abweichungen des experimentell bestimmten Wertes vom
theoretischen kompensiert, lediglich in zwei Fällen liegt ein etwas größerer Fehler vor. In
diesen beiden Fällen wurde allerdings ein relativ großer Widerstand verwendet, so dass
die Abweichung durch den Fehler des Widerstandes zu erklären ist. Die experimentell
bestimmten Werte bestätigen somit die Richtigkeit der Zeitkonstante τ = RC.
4.2.4 Vergleich der Grenzfrequenzen
Schaltung
RC
LC
fgr,ex [kHz]
30
23,6
fgr,th [kHz]
26,5
22,5
21
Die von uns als Grenzfrequenz bestimmten Werte stimmen recht gut mit den theoretischen Werten überein. Selbstverständlich sind auch hier die Kondensatoren, Spulen
und Widerstände mit Fehlern behaftet, außerdem gilt die im Grundlagenteil hergeleitete
Formel für das Amplitudenverhältnis zwischen Ausgangs und Eingangsspannung für den
LC-Hoch/Tiefpass nur, falls alle Widerstände vernachlässigbar sind. In sämtlichen realen
Fällen besteht also allein durch den Widerstand der Kabel ein gewisser Fehler, womit die
von uns bestimmte Grenzfrequenz der theoretischen sehr nahe kommt.
22
5 Versuch 2 - Schwingkreis
5.1 Versuchsdurchführung
5.1.1 Langsame angestoßene gedämpfte Schwingung
Abbildung 7: Schaltbild zum Zeichnen einer Schwingung im Schwingkreis mit einer Spule
hoher Induktivität [Run11]
Für diesen Versuchsteil schalten wir eine Spule der Induktivität L0 = 630H und dem
Widerstand RSpule ≈ 280Ω mit zwei wiederum parallel geschalteten bipolaren Kondensatoren der Kapazität C0 ≈ 20µF parallel nach Abb. 07
Dabei zeichnen wir die Schwingung mit einem y-t-Schreiber auf, der durch die am Kondensator anliegende Spannung ausgelenkt wird. Wir stellen den Umschalter zunächst so
ein, dass die Kondensatoren voll geladen werden. Danach verbinden wir den Kondensator
mit der Spule zu einem Schwingkreis und starten die Aufzeichnung mit dem y-t-Schreiber.
Danach wechseln wir die Spule aus und wiederholen den Vorgang. In unserem Fall verwenden wir die selbe Spule, schließen den Stromkreis allerdings schon nach der Hälfte
der Windungen. Da die Induktivität einer Spule sich berechnet durch L = n2 · µ0 µl r A
beträgt die Induktivität der neuen Spule L1 = L40 = 157, 5H. Entsprechend sollte auch
ihr Widerstand proportional zu ihrer Länge abnehmen, so dass wir von einem Ohmschen
Widerstand R ≈ 140Ω ausgehen.
23
Wir zeichneten dabei folgende Kurven5 :
Abbildung 8: Spannungskurve am Kondensator unter Versuchsaufbau 1
Abbildung 9: Spannungskurve am Kondensator unter Versuchsaufbau 2
Aus diesen Kurven lesen wir nun die Periodendauer T und das Dämpfungsverhältnis
k ab. Da sowohl die Periodendauer, als auch das Dämpfungsverhältnis der einzelnen
aufeinanderfolgenden Perioden sehr rasch zunimmt messen wir die Periodendauer der
5
Beide Kurven wurden digital nachbearbeitet, da die Kurve sehr schwach vom y-t-Schreiber gezeichnet
wurde.
24
ersten n Perioden und errechnen daraufhin den Durchschnittswert mit
T =
Messung
1
2
1 s
·
n v
Perioden
4
4
(39)
s [cm]
18,4
18,25
T [s]
0,92
0,46
Tabelle 6: Aus der Zeichnung des yt-Schreibers hergeleitete Periodendauer
Analog dazu berechnen wir die ersten drei Dämpfungsverhältnisse und arbeiten mit dem
Durchschnitt daraus weiter.
k=
n−1
X Ûi
1
·
n−1
i=1 Ûi+1
(40)
Der Fehler entspricht dann der empirischen Standartabweichung:
v
u
n−1
u 1
X
δk = t
·
(ki − k)2
n−2
(41)
i=1
Messung
1
2
Û1 [V]
6,8
4,9
Û2 [V]
3,4
2,4
Û3 [V]
1,5
1
Û4 [V]
0,55
0,4
Û5 [V]
0,2
0,125
k ± δk
2, 436 ± 0, 211
2, 535 ± 0, 28
Tabelle 7: Tabelle mit den Abgelesenen und teilweise bereits ausgewerteten Daten aus
der Zeichnung des yt-Schreibers
5.1.2 Angestoßene gedämpfte Schwingungen
In diesem Fall verwenden wir einen kondensator der Kapazität C = 0, 01µF , eine Spule
der Induktivität L ≈ 10mH , einen Vorwiderstand Rv = 10kΩ und einen Einstellbaren
Widerstand R. Wir schalten diese Widerstände an einen Frequenzgenerator, den wir auf
eine Rechtecksspannung einstellen nach ?? und messen die Spannung am Kondensator
mit einem Oszilloskop.
25
Abbildung 10: Schaltbild zum Messen von Schwingungen mit kleinen Induktivitäten
[Run11]
Mit diesem Aufbau messen wir für 3 verschiedene Werte von R jeweils die Schwingungsdauer T und das Dämpfungsverhältnis k:
Messung 1
Messung 2
Messung 3
RV = 10kΩ
T [µs]
60
RV = 10kΩ
T [µs]
60
RV = 10kΩ
T [µs]
60
C = 0, 01µF
Û1 [V]
146
C = 0, 01µF
Û1 [V]
132
C = 0, 01µF
Û1 [V]
115
L ≈ 9mH
Û2 [V]
58
L ≈ 9mH
Û2 [V]
36
L ≈ 9mH
Û2 [V]
23,2
26
R = 100Ω
Û3 [V]
24
R = 200Ω
Û3 [V]
10
R = 300Ω
Û3 [V]
4,8
5.1.3 Erzwungene Schwingungen
Im dritten und letzten Teil des Versuches bauen wir unter Verwendung der gleichen Teile
wie im Versuchsteil 2 folgende Schaltung auf:
Abbildung 11: Schaltbild zur bestimmung der Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung im elektrischen Schwingkreis [Run11]
Wir stellen den Frequenzgenerator auf eine Sinusspannung ein. Dabei wird die Spannung durch eine induktive Kopplung 6 der beiden Stromkreise erzeugt, wodurch eine
Schwingung erzwungen wird.
In diesem Versuchsteil messen wir für drei verschiedene Widerstände die Amplitude der
Spannung am Kondensator und die Phasenverschiebung ϕ zur angelegten Spannung auf
dem Frequenzbereich von 5 kHz - 30 kHz, indem wir für jeden Widerstand jeweils 10
Messungen vornehmen, die in folgenden Tabellen zusammengetragen wurden:
6
Bei der induktiven Kopplung zweier Spulen wird die zweite Spule vom Magnetfeld durchflossen, das
in der ersten Spule erzeugt wird. Dadurch wird in ihr eine Spannung induziert.
27
f [kHz]
5
7
10
12
15
17
20
23
27
30
Û [mV]
348
392
512
664
1320
1560
640
360
208
152
∆ t [µs]
92
72
49,2
39,2
26
13,2
4,8
3,2
1,6
≈0
T [µs]
200
142
100
83,4
66,6
43,6
50
43,6
36,8
33,2
Tabelle 8: Messwerte zu Messung 1 mit R = 100Ω, L1 9, 82mH, L2 = 9, 64mH, C =
0, 01µF
f [kHz]
5
7
10
12
15
17
20
23
27
30
Û [mV]
336
360
440
504
576
528
392
276
180
142
∆ t [µs]
99
68
44
33,2
21,2
14,8
8,4
5,6
3,2
1,6
T [µs]
200
143
100
83
66,8
58,8
50
43,6
36,8
33,2
Tabelle 9: Messwerte zu Messung 2 mit R = 500Ω, L1 9, 82mH, L2 = 9, 64mH, C =
0, 01µF
Sämtliche Spannungsangaben sind mit einem Fehler von 4 mV, Zeitangaben mit einem
Fehler von 0,5 µs behaftet.
28
f [kHz]
5
7
10
12
15
17
20
23
27
30
Û [mV]
344
400
480
584
840
806
493
325
190
150
∆ t [µs]
97
71
47
36
22,5
15
7,2
4,2
2,6
2
T [µs]
201
143
100
83
66,5
59
50
43,4
37
33,4
Tabelle 10: Messwerte zu Messung 3 mit R = 300Ω, L1 9, 82mH, L2 = 9, 64mH, C =
0, 01µF
5.2 Auswertung
5.2.1 Versuchsteil 1
Die Periodendauer T und das Dämpfungsverhältnis k wurden bereits in Tabelle 06 und
07 bestimmt und aufgelistet. Wir bestimmen nun die Frequenz f = T1 , die Dämpfungskonstante β und den Gesamtwiderstand Rges mit:
β = Λf = ln(k)f
Rges = β · 2L
(42)
Der Fehler ergibt sich mittels Fehlerfortpflanzung über:
δk
·f
k
= δβ · 2L
δβ =
δRges
Messung 1
Messung 2
T [s]
0,92
0,46
f [Hz]
1,09
2,19
(43)
k
2, 436 ± 0, 211
2, 535 ± 0, 28
29
β
0, 968 ± 0, 094
2, 04 ± 0, 24
Rges
1219, 4 ± 118, 85
642, 33 ± 76, 22
Fehlerbetrachtung
Wir stellen also fest, dass der Widerstand nicht wie erwartet im wesentlichen vom Drahtwiderstand der Spule geleistet wird, sonder andere Widerstände im Aufbau nicht zu
vernachlässigen sind. Außerdem wurde der Widerstand der spule nicht überprüft, so dass
auch hier abweichungen vorhanden sien können. Da die beiden errechneten Gesamtwiderstände wie die Widerstände der verwendeten Spulen zueinander ein Verhältnis von
etwa 2:1 haben gehen wir davon aus, dass der Widerstand der Spule ein Vielfaches des
angegebenen Widerstandes beträgt. Des weiteren weicht die Periodendauer ebenso, wie
das Dämpfungsverhältnis von Periode zu Periode stark ab, was sich letztlich auch auf
den Gesamtwiderstand auswirkt.
5.2.2 Versuchsteil 2
q
1
Ziel ist mit Hilfe der Thomson-Kirchhoffschen Schwingungsgleichung ω0 =
LC
die unbekannte Induktivität L der Spule, sowie aus den gemessenen Werten erneut die
Dämpfungskonstante β und damit den Gesamtwiderstand Rges zu berechnen.
Die Kreisfrequenz ergibt sich durch ω = 2π mit dem Fehler δω = 2π · δT . Es folgt damit
0
0
T
T2
sofort
L=
1
= 9, 12 mF
ω02 · C
(44)
mit dem Fehler
δL =
δω0
= 38 µF
2Cω03
(45)
Um die Dämpfungskonstante β zu berechnen müssen wir zunächst wieder das Dämpfungsverhältnis k berechnen. Da wir drei Amplituden gemessen haben werden wir den
Durchschnitt aus den sich ergebenden Dämpfungsverhältnissen berechnen:
k =
δk =
1
2
Û1
Û2
+
Û2 Û3
v
u
1
1 u
δU t 2 +
2
Û2
!
(46)
Û1
Û22
+
1
Û3
!2
+
Û22
Û34
Mit (42) und (43) ergibt sich folgende Tabelle:
30
(47)
R [Ω]
100
200
300
k ±δk
2, 47 ± 0, 07
3, 63 ± 0, 23
4, 9 ± 0, 61
β ± δβ
15000 ± 518
21500 ± 1085
26500 ± 2098
Rges [Ω]
274 ± 9, 52
392 ± 19, 86
483 ± 38, 32
Rges − R [Ω]
174 ± 9, 52
192 ± 19, 86
183 ± 38, 32
Fehlerbetrachtung
Wie sich hier deutlich erkännen lässt ist der Gesamtwiderstant des Schwingkreises höher
als der Widerstand R, den wir zwischengeschaltet haben. Da die Differenz Rges − R
konstant zu sein scheint können wir aus den Messungen schließen, dass in diesem Fall die
Widerstände der Kabel und der anderen Bauteile nicht zu vernachlässigen sind. Da der
Fehler hier sehr gut erklärbar ist haben die gemessenen Werte eine hohe Glaubwürdigleit.
5.2.3 Resonanzkurve und Phasenverschiebung
Die im dritten Versuchsteil gemessenen Werte sollten hier noch in Abhängigkeit von der
Kreisfrequenz ω = 2π
T graphisch dargestellt werden:
Dazu zeichneten wir eine Resonanzkurve und ein Schaubild, das die Phasenverschiebung
darstellt, wobei diese sich ergibt mittels
ϕ =
δϕ =
∆t
2πT
s
(48)
δ∆t
2πT
2
+
∆t
· δT
T2
2
(49)
Abbildung 12: Resonanzkurve der gemessenen schwingung in Abhängigkeit von der
Kreidfrequenz ω
31
Abbildung 13: Darstellung der gemessenen Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der
Kreidfrequenz ω
Hierbei wurden die Fehler nicht eingezeichnet, da diese zu gering waren, um sie graphisch
erkennbar darzustellen.
6 Fragen und Antworten
1. Ist die in diesem Experiment mit dem Oszilloskop erzielte Messgenauigkeit ausreichend,
um die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zu bestimmen?
Für die Periodendauer T in Abhängigkeit von der Periodendauer T0 der ungedämpften
Schwingung und der Dämpfungskonstante β gilt der Zusammenhang:
T =q
1
(50)
1
T02 −β 2
Durch einsetzen der von uns gemessenen Werte wird man bemerken, dass die Zeitdifferenz
∆T = T −T0 im Nanosekundenbereich liegt. Da mit dem von uns verwendeten Oszilloskop
jedoch nur eine Messgenauigkeit von ±1µs möglich ist eignet es sich nicht dazu, die
Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zu untersuchen.
2. Beweisen Sie, dass das
p sog. Spannungsresonanzmaximum für die Spannung UC am
Kondensator bei ωres = ω02 − 2β 2 liegt.
p
Wie bereits im Abschnitt 3.4 erwähnt entspricht die Resonanzfrequenz ωres = ω02 − 2β 2 .
Um diese zu bestimmen genügt es Gleichung (33) nach ωerr abzuleiten und mit null gleich
zu setzen.
3. Beweisen Sie, dass im Gegensatz zur vorhergehenden Aufgabe das Stromresonanzmaximum bei ωres = ω0 liegt.
32
Leitet man die Stromstärke über die Beziehung
I0 =
Uerr · iωerr
p
2
2
L · (ω0 − ωe rr2 )2 + 4β 2 ωerr
her und leitet diesen Term dann wieder nach ωerr ab, so erhält man für
0=
Uerr
·
L dI0
dωerr
= 0:
4
ω04 − ωerr
2
2
3
2
2
+ 4β 2 ωerr
ω02 − ωerr
Durch Betrachtung des Zählers liest man das gewünschte Ergebnis direkt ab.
4. Warum muss bei der induktiven Ankopplung des Erregerkreises an den Schwingkreis
die gegenseitige Induktivität der Spulen klein gegen die Selbstinduktivität der Spule im
Schwingkreis sein?
Über die induktive Kopplung wird in der Spule L2 eine Spannung induziert, die den
Schwingkreis anregt. Da jedoch auch im Schwingkreis eine Spannung induziert wird würde es zu einer Rückkopplung in den Erregerstromkreis kommen, wäre die Induktivität
der Spulen groß gegenüber der Spule im Schwingkreis.
7 Zum Doppelversuch
Die Versuche Schwingungssiebe und Schwingkreis eignen sich alleine deswegen schon sehr
gut für einen Doppelversuch, weil für beide ein Grundverständnis für die Zusammenhänge
bei der Betrachtung von Schwingungen nötig ist. Somit finden viele der im Grundlagenteil
beschriebenen Überlegungen in beiden Versuchen anwendung. Zudem wird in beiden Versuchen ein ähnlicher Umgang mit dem digitalen Speicheroszilloskop verlangt, was es im
zweiten Versuch deutlich angenehmer macht, die Messwerte zusammenzutragen. Ebenso
ist es in beiden Versuchen wichtig das Verhalten von Induktivitäten und Kapazitäten im
Wechselstromkreis zu verstehen.
33
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabelle mit den experimentell bestimmten Werten für τ . . . . . . . . . .
Messwerte zum RC-Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte zum RC-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte zum LC-Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte zum LC-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aus der Zeichnung des yt-Schreibers hergeleitete Periodendauer . . . . . .
Tabelle mit den Abgelesenen und teilweise bereits ausgewerteten Daten
aus der Zeichnung des yt-Schreibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte zu Messung 1 mit R = 100Ω, L1 9, 82mH, L2 = 9, 64mH,
C = 0, 01µF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte zu Messung 2 mit R = 500Ω, L1 9, 82mH, L2 = 9, 64mH,
C = 0, 01µF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messwerte zu Messung 3 mit R = 300Ω, L1 9, 82mH, L2 = 9, 64mH,
C = 0, 01µF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
17
18
18
19
25
25
28
28
29
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Schaltbild und Auf bzw. Entladevorgang eines Kondensators der Kapazität
C mit der Spannung U0 über den Widerstand R . . . . . . . . . . . . . .
L-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Ebene: induktiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Ebene: kapazitiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Ebene: Scheinwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltbild eines LC-Hoch/Tiefpasses mit Lastwiderstand . . . . . . . . . .
Schaltbild zum Zeichnen einer Schwingung im Schwingkreis mit einer Spule
hoher Induktivität [Run11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannungskurve am Kondensator unter Versuchsaufbau 1 . . . . . . . . .
Spannungskurve am Kondensator unter Versuchsaufbau 2 . . . . . . . . .
Schaltbild zum Messen von Schwingungen mit kleinen Induktivitäten [Run11]
Schaltbild zur bestimmung der Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung im elektrischen Schwingkreis [Run11] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resonanzkurve der gemessenen schwingung in Abhängigkeit von der Kreidfrequenz ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung der gemessenen Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der
Kreidfrequenz ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatur
Noch einige Anmerkungen zum Literaturverzeichnis.
34
3
6
7
8
9
11
23
24
24
26
27
31
32
[Dem09] Wolfgang Demtröder:Experimentalphysik
Springer-Verlag, BerlinHeidelberg, 2009.
2
Elektrizität
und
Optik
[Gre07] Walter Greiner:Klassische ElektrodynamikVerlag Harri Deutsch Frankfurt
am Main, 2007.
[Nol06] Nolting,
Wolfgang:Grundkurs
Theoretische
ElektrodynamikSpringer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2006.
Physik
3
-
[Run11] ap.physik.uni-konstanz.deVersuchsanleitungen, Stand 29.05.2011.
[Ger06] Dieter Meschede:Gerthsen PhysikSpringer-Verlag, Berlin Heidelberg, 23.
Aufage, 2006
[Stö10] Horst Stöcker:Taschenbuch der PhysikVerlag Harri Deutsch Frankfurt am
Main, 2010.
35