2. Schularbeit 1. JG 2011-12

1.
Angewandte
Mathematik
2. Schularbeit
a)
1HL
13. April 2012
Kreuzen Sie an, ob die Abbildung den Graphen
einer Funktion 𝑥 ↦ 𝑦 zeigt und begrunden Sie
Ihre Entscheidung!


ist Graph einer Funktion

ist nicht Graph einer Funktion
Begründung: Bei einer Funktion wird jedem Argument eindeutig ein Funktionswert
zugeordnet. Diese Bedingung ist hier erfullt.
b)
HLW Graz
Kreuzen Sie an, ob es sich bei der Zuordnung „Größe ↦ Preis“ um
eine lineare Funktion handelt und begründen Sie Ihre Antwort!
 ist eine lineare Funktion
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
14–17 Punkte: Befriedigend
2.
11–13 Punkte: Genügend
Im Versandkatolog eines Kaufhauses finden sich die nebenstehenden Preisangaben einer Bluse.
 ist keine lineare Funktion

Größe
36
38
40
42
44
46
48
50
2 P.
Preis in €
72,30
72,30
74,80
74,80
74,80
76,20
76,20
77,00
Begründung: Bei linearen Funktionen andern sich die Funktionswerte immer um
denselben Wert, wenn die Argumente um 1 großer werden. Hier andert sich der Preis
manchmal gar nicht und manchmal schon wenn sich die Große andert.
2 P.
Kreuzen Sie an, welche Sachverhalte durch die dargestellten Graphen beschrieben werden
konnen:
2 P.
 Ein Auto steht.
 Ein Auto steht.

 Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit.

 Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit.
 Ein Auto beschleunigt.
 Ein Auto beschleunigt.
Aktuelle Handytarife im Vergleich: „bob vierer“ bietet ohne Grundgebuhr 4 Cent pro Minute
in alle Netze. „tele.ring Doppel Zehn“ kostet 20 € Grundgebuhr, dafur ist das Telefonieren in
Österreich danach unlimitiert. Ermitteln Sie (grafisch oder rechnerisch) jene Gesprachszeit,
ab der sich der zweite Tarif auszahlt.
Hinweis: Falls Sie die Aufgabe grafisch losen, wahlen Sie die Einheit auf der 𝑥-Achse in 100-Minuten-Intervallen.
20–22 Punkte: Sehr gut
14–17 Punkte: Befriedigend
HLW Graz
18–19 Punkte: Gut
11–13 Punkte: Genügend
3 P.
bob: 𝑇1 (𝑡) = 0,04𝑡, tele.ring: 𝑇2 (𝑡) = 20
Grafische Lösung:
Rechnerische Lösung:
Gleichsetzen der beiden Tarife:
0,04𝑡 = 20
𝑡 = 500
Angewandte
Mathematik
3.
Bei mehr als 500 Gesprachsminuten ist der zweite Tarif gunstiger.
4.
a)
Zeichnen Sie die Nullstellen der
Funktion 𝑓 im abgebildeten
Graphen ein!
b)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen korrekt sind und begrunden Sie
jeweils!
„Dort, wo eine Funktion die 𝑥-Achse
beruhrt, liegt eine Nullstelle.“
 richtig

 

 falsch
Begründung: Eine Stelle 𝑥 heißt Nullstelle
der Funktion 𝑓, wenn gilt 𝑓(𝑥) = 0. Das ist
der Fall, wenn der Graph die 𝑥-Achse
beruhrt oder schneidet.
„Jede Funktion
Nullstelle.“
 richtig
hat mindestens
eine
 falsch

Begründung: Gegenbeispiel: Die Funktion
𝑓(𝑥) = 5
hat beispielsweise keine
Nullstelle.
3 P.
Die Abbildung zeigt die Entwicklung der SchulerInnenzahlen an zwei steirischen Gymnasien:
BG/BRG/BORG Hartberg
BG Knittelfeld
950
900
850
Anzahl der SchülerInnen
Mathematik
Angewandte
5.
800
750
700
650
600
550
500
HLW Graz
450
Schuljahr
a)
Im heurigen Schuljahr hat das BG/BRG/BÖRG Hartberg um etwa 65 % mehr SchulerInnen als das BG Knittelfeld.
2 P.
Hinweis: Lesen Sie die benotigten Zahlen ungefahr aus der Grafik ab! Eine Nebenrechnung auf dem Beiblatt
ist notwendig!
20–22 Punkte: Sehr gut
14–17 Punkte: Befriedigend
11–13 Punkte: Genügend
18–19 Punkte: Gut
Exakte Werte: Knittelfeld: 506 (Grundwert), Hartberg.: 834
(Ableseungenauigkeiten werden naturlich toleriert.)
Differenz: 834 − 506 = 328
328 sind 𝑝 % von 506
b)
⇒
𝑝
328 = 100 ⋅ 506
⇒
32800
506
=𝑝
⇒
𝑝 ≈ 64,82
Erganzen Sie, sodass der Satz richtig ist:
Im Schuljahr 2007/08 konnte das BG/BRG/BÖRG Hartberg einen SchulerInnenzuwachs
verzeichnen, im darauffolgenden Schuljahr ging die Anzahl der SchulerInnen aber wieder zuruck.
1 P.
875
HLW Graz
825
800
𝑘 ≈ 16
775
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
14–17 Punkte: Befriedigend
1
750
725
0
1
2
3
4
5
6
t in Jahren ab dem dem Schuljahr 2004/05
a) Formulieren Sie die folgenden beiden Fragen in Worten und beantworten Sie sie durch
Ablesen aus der Grafik!

11–13 Punkte: Genügend
S
850
Anzahl der SchülerInnen S(t)
Mathematik
Die Entwicklung der SchulerInnenzahlen der HLW Schrodinger lasst sich fur einen gewissen
Zeitraum naherungsweise durch eine lineare Funktion 𝑆 beschreiben. Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des dazugehorigen Graphen:
Angewandte
6.

2 P.
𝑆(6) = ?
Formulierung in Worten: Wie viele SchulerInnen waren es nach 6 Jahren (im
Schuljahr 2010/11)?
Antwort: 𝑆(6) ≈ 853
𝑆(𝑡) = 790, 𝑡 = ?
Formulierung in Worten: Wann betrug die Anzahl der SchulerInnen 790?
Antwort: 𝑡 ≈ 2
b)
Zeichnen Sie in der Grafik ein Steigungsdreieck ein und ermitteln Sie durch Ablesen aus
der Grafik (ungefahre Werte) die Termdarstellung der Funktion 𝑆!
2 P.
Hinweis: Beachten Sie, dass die zweite Achse in der Grafik nicht bei null beginnt!
𝑆(𝑡) ≈ 16𝑡 + 759 (Das sind die exakten Werte auf Ganze gerundet; Ableseungenauigkeiten werden naturlich toleriert.)
c)
Genaugenommen ist die Darstellung als durchgehende Gerade in diesem Zusammenhang nicht richtig. Erklaren Sie, warum!
Die Zahlen werden jedes Jahr einmal erhoben, „zwischen den Jahren“ gibt es keinen stetigen Verlauf. Es sollten eigentlich nur einzelne Punkte eingezeichnet sein.
1 P.
Mathematik
Angewandte
7.
Bei der in den USA ublichen „Fahrenheit-Temperaturskala“ wird der Gefrierpunkt des Wassers (= 0°C) mit 32°F und der Siedepunkt (= 100°C) mit 212°F angegeben. Zwischen der
Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Grad Fahrenheit besteht ein linearer Zusammenhang.
Stellen Sie den Zusammenhang zwischen den beiden Skalen im folgenden Koordinatensystem grafisch dar und lesen Sie aus Ihrer Zeichnung ab, wie viel Grad Fahrenheit 40°C entsprechen!
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
11–13 Punkte: Genügend
14–17 Punkte: Befriedigend
HLW Graz
40°C entsprechen 104°F.
2 P.
1.
a)
Angewandte
Mathematik
2. Schularbeit
1HL
13. April 2012
Kreuzen Sie an, ob die Abbildung den Graphen einer
Funktion 𝑥 ↦ 𝑦 zeigt und begrunden Sie Ihre
Entscheidung!

ist Graph einer Funktion


ist nicht Graph einer Funktion
Begründung: Bei einer Funktion wird jedem Argument eindeutig ein Funktionswert
zugeordnet. Das ist hier nicht der Fall, da z. B. an der Stelle −5 zwei Werte angenommen werden.
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
11–13 Punkte: Genügend
14–17 Punkte: Befriedigend
HLW Graz
b)
Bei der Bestellung eines Haarshampoos fur einen Friseur ergeben
sich die nebenstehenden Preise.
Kreuzen Sie an, ob es sich bei der Zuordnung „Stückzahl ↦ Preis“
um eine lineare Funktion handelt und begründen Sie Ihre Antwort!
 ist eine lineare Funktion
2.
 ist keine lineare Funktion

Stückzahl
Preis in €
50
100
150
200
250
300
350
110
210
300
485
565
645
720
2 P.
Begründung: Bei linearen Funktionen andern sich die Funktionswerte immer um
denselben Wert, wenn die Argumente um 1 großer werden. Hier wird die Stuckzahl
immer um 50 erhoht, der Preis wird aber zuerst um 100 €, dann um 90 €, dann um
85 € usw. hoher
2 P.
Kreuzen Sie an, welche Sachverhalte durch die dargestellten Graphen beschrieben werden
konnen:
2 P.
 Ein Auto steht.
 Ein Auto steht.
 Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit.

 Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit.
 Ein Auto beschleunigt.
 Ein Auto beschleunigt.

Die ÖBB bieten im Normaltarif die Bahnfahrt um 17,5 Cent pro Kilometer an. Die
Anschaffungskosten fur die Vorteilscard unter 26 Jahren betragen 19,90 €, die Gultigkeit der
Karte betragt ein Jahr. Dafur fahrt man osterreichweit zum halben Preis. Ermitteln Sie
(rechnerisch oder grafisch) jene Strecke, die man mindestens fahren muss, damit sich die
Anschaffungskosten fur die Vorteilscard auszahlen.
Hinweis: Falls Sie die Aufgabe grafisch losen, wahlen Sie die Einheit auf der 𝑥-Achse in 100 km-Intervallen.
3 P.
Normaltarif: 𝑇1 (𝑠) = 0,175𝑠, tele.ring: 𝑇2 (𝑠) = 19,90 + 0,0875𝑠
Grafische Lösung:
Angewandte
Mathematik
3.
Rechnerische Lösung:
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
11–13 Punkte: Genügend
14–17 Punkte: Befriedigend
HLW Graz
Gleichsetzen der beiden Tarife:
0,175𝑠 = 19,90 + 0,0875𝑠
0,0875𝑠 = 19,90
𝑠 ≈ 227,43
Bei einer Strecke von mehr als 227,43 km rentiert sich die Anschaffung.
4.
a)
Zeichnen Sie die Nullstellen der
Funktion 𝑓 im abgebildeten
Graphen ein!
b)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen korrekt sind und begrunden Sie
jeweils!
„Eine Nullstelle liegt niemals auf der 𝑦Achse.“
 richtig
 falsch

Begründung: Jede Funktion, die durch den
Koordinatenursprung geht, hat eine
Nullstelle, die auf der 𝑦-Achse liegt.
„Dort, wo eine Funktion die 𝑥-Achse
schneidet, liegt eine Nullstelle.“



 richtig

 falsch
Begründung: Eine Stelle 𝑥 heißt Nullstelle
der Funktion 𝑓, wenn gilt 𝑓(𝑥) = 0. Das ist
der Fall, wenn der Graph die 𝑥-Achse
beruhrt oder schneidet.
3 P.
Die Abbildung zeigt die Entwicklung der SchulerInnenzahlen an zwei Grazer Gymnasien:
Bisch. Gymn.
BG Seebachergasse
800
750
Anzahl der SchülerInnen
Mathematik
Angewandte
5.
700
650
600
550
HLW Graz
500
Schuljahr
a)
Im heurigen Schuljahr hat das Bischofliche Gymnasium um etwa 14 % weniger SchulerInnen als das BG Seebachergasse.
2 P.
Hinweis: Lesen Sie die benotigten Zahlen ungefahr aus der Grafik ab! Eine Nebenrechnung auf dem Beiblatt
ist notwendig!
Exakte Werte: Seebachergasse: 759 (Grundwert), Bisch. Gymn.: 652
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
11–13 Punkte: Genügend
14–17 Punkte: Befriedigend
(Ableseungenauigkeiten werden naturlich toleriert.)
Differenz: 759 − 652 = 107
107 sind 𝑝 % von 759
b)
⇒
𝑝
107 = 100 ⋅ 759
⇒
10700
759
=𝑝
⇒
𝑝 ≈ 14,10
Erganzen Sie, sodass der Satz richtig ist:
Im Schuljahr 2010/11 (oder 2007/08) konnte das BG Seebachergasse einen SchulerInnenzuwachs verzeichnen, im darauffolgenden Schuljahr ging die Anzahl der SchulerInnen aber wieder zuruck.
1 P.
825
HLW Graz
775
𝑘 ≈ 14
20–22 Punkte: Sehr gut
14–17 Punkte: Befriedigend
18–19 Punkte: Gut
1
750
725
700
0
1
2
3
4
5
6
t in Jahren ab dem dem Schuljahr 2002/03
a)
Formulieren Sie die folgenden beiden Fragen in Worten und beantworten Sie sie durch
Ablesen aus der Grafik!

11–13 Punkte: Genügend
S
800
Anzahl der SchülerInnen S(t)
Mathematik
Die Entwicklung der SchulerInnenzahlen der HLW Schrodinger lasst sich fur einen gewissen
Zeitraum naherungsweise durch eine lineare Funktion 𝑆 beschreiben. Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des dazugehorigen Graphen:
Angewandte
6.

2 P.
𝑆(5) = ?
Formulierung in Worten: Wie viele SchulerInnen waren es nach 5 Jahren (im
Schuljahr 2007/08)?
Antwort: 𝑆(5) ≈ 802
𝑆(𝑡) = 745, 𝑡 = ?
Formulierung in Worten: Wann betrug die Anzahl der SchulerInnen 745?
Antwort: 𝑡 ≈ 1
b)
Zeichnen Sie in der Grafik ein Steigungsdreieck ein und ermitteln Sie durch Ablesen aus
der Grafik (ungefahre Werte) die Termdarstellung der Funktion 𝑆!
2 P.
Hinweis: Beachten Sie, dass die zweite Achse in der Grafik nicht bei null beginnt!
𝑆(𝑡) ≈ 14𝑡 + 730 (Das sind die exakten Werte auf Ganze gerundet; Ableseungenauigkeiten werden naturlich toleriert.)
c)
Genaugenommen ist die Darstellung als durchgehende Gerade in diesem Zusammenhang nicht richtig. Erklaren Sie, warum!
Die Zahlen werden jedes Jahr einmal erhoben, „zwischen den Jahren“ gibt es keinen stetigen Verlauf. Es sollten eigentlich nur einzelne Punkte eingezeichnet sein.
1 P.
Mathematik
Angewandte
7.
Bei der in den USA ublichen „Fahrenheit-Temperaturskala“ wird der Gefrierpunkt des Wassers (= 0°C) mit 32°F und der Siedepunkt (= 100°C) mit 212°F angegeben. Zwischen der
Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Grad Fahrenheit besteht ein linearer Zusammenhang.
Stellen Sie den Zusammenhang zwischen den beiden Skalen im folgenden Koordinatensystem grafisch dar und lesen Sie aus Ihrer Zeichnung ab, wie viel Grad Celsius 140°F entsprechen!
18–19 Punkte: Gut
20–22 Punkte: Sehr gut
11–13 Punkte: Genügend
14–17 Punkte: Befriedigend
HLW Graz
140°F entsprechen 60°C.
2 P.