Hedgen von Swing Optionen durch Randomisierte

Hedgen von Swing Optionen durch
Randomisierte Doppelstoppzeiten ohne
und mit Transaktionskosten
- Diplomarbeit -
Johann Wolfgang Goethe Universität Frankfurt/Main
Fachbereich Mathematik
eingereicht von: Guido Prill
geboren am: 28.08.1982, in: Hanau
Betreuer: Prof Dr. Christoph Kühn
Nidderau, den 17. Juli 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Swing Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Upper Hedging Preis aus Sicht der Linearen Optimierung . . . . . . . . .
2 Grundlegendes
2.1 Grundmodell . . . . . . .
2.2 Paarmaße . . . . . . . . .
2.3 Das Hedging Problem . .
2.4 Maße und Martingalmaße
2.5 Pfadrandomisierung . . .
2.6 Die Filtration . . . . . . .
2.7 Das Wechseln der Hedging
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Strategien
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3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
3.1 Das Primale Programm . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Das Duale Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Wichtige Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Der Upper Hedging Preis . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Reduktion auf Doppelstoppzeiten“ . . . . . . . . . . .
”
3.6 Darstellung des Upper Hedging Preises durch die Snell
4 Upper Hedging Preis mit Transaktionskosten
4.1 Transaktionskosten . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Das Primale Programm unter TAK . . . . . .
4.3 Das Duale Programm unter TAK . . . . . . .
4.4 Upper Hedging Preis unter TAK . . . . . . .
4.5 Die Notwendigkeit von Pfadrandomisierungen
5 Schlussbemerkung
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Einhüllende
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Inhaltsverzeichnis
2
1 Einleitung
1.1 Swing Optionen
Wir beschäftigen uns in dieser Arbeit mit dem Hedgen sogenannter Swing Optionen oder
Multiple Exercise Optionen. Diese Optionen verallgemeinern Amerikanische Optionen,
indem sie dem Halter das Recht einräumen, mehrfach -zu frei wählbaren Zeitpunkteninnerhalb eines endlichen Zeitraumes auszuüben. Einzige Einschränkung ist, dass die
Ausübungszeitpunkte nicht übereinstimmen dürfen, sondern einen gewissen Mindesabstand haben müssen.
Wir werden uns mit einer Swing Option mit zwei Ausübungszeitpunkten in einer
diskreten Zeitdarstellung sowie einem endlichen Zustandsraum befassen. Der Verkäufer
muss bei dem zweiten Ausübungszeitpunkt eine zum Startzeipunkt nicht bekannte Auszahlung tätigen, die allerdings auch von dem ersten Ausübungspunkt abhängt. Zwischen
den Ausübungszeiten (später auch Stoppzeiten genannt), muss mindestens ein Zeitschritt
liegen. Der Preis der Option wird zum Eintritt in den Vertrag fixiert. Dadurch sichert sich
der Käufer gegen eventuelle Preisänderungen während der Vertragslaufzeit. Andererseits
muss der Verkäufer den Preis der Option hoch genug ansetzen, um sich eben gegen diese
unbekannte Auszahlung abzusichern. Die Frage ist nun, wie hoch der Preis dieser Option
sein muss, damit sich der Verkäufer gegen die finanziellen Risiken vollständig absichern
kann? Der minimale Preis, mit dem dies möglich ist, wird Upper Hedging Preis (pup )
genannt.
Die Swing Optionen finden heutzutage wegen der sehr komplexen Nachfrage nach
Energie große Anwendung auf diesen Märkten. Der Verbrauch von Energie ist stark von
externen Faktoren wie z.B. dem Wetter abhängig. Außerdem gibt es aufgrund der begrenzten Speichermöglichkeit von Energie obere Nachfrageschranken für einen bestimmten Zeitraum. Dies sind Bedingungen, die auf den Finanzmärkten im Allgemeinen nicht
gelten: Hier ist es üblich, zum optimalen Zeitpunkt so viel wie möglich nachzufragen.
Um also diesen sehr variablen Verbrauch auf den Energiemärkten zu regeln, hat man
3
1 Einleitung
Swing Optionen mit Verträgen verbunden, sogenannte Swing Contracts. In diesen Verträgen wird im Allgemeinen eine feste Anzahl von Ausübungszeitpunkten vereinbart, die
auch realisiert werden müssen. Des weiteren muss die abgenommene Menge an Energie
des Halters zwischen einem vorher festgelegten Minmalverbrauch und Maximalverbrauch
liegen. Bei Über- bzw. Unterschreitung wird eine Vertragsstrafe fällig. Allerdings muss
diese Abnahmemenge nur über die gesamte Laufzeit realisiert werden, zu den verschiedenen Ausübungszeitpunkten kann der Halter seine Abnahmemenge variieren. Somit hat
er durch diese Art des Vertrages die Möglichkeit, seinen Verbrauch auszupendeln (engl.
to swing).
Näheres zu Swing Optionen, auch in Bezug auf den Aktienmarkt, kann man unter
anderem dem Artikel The Swing Option On The Stock Market“ von Martin Dahlgren
”
und Ralf Korn entnehmen.
1.2 Upper Hedging Preis aus Sicht der Linearen Optimierung
In dieser Arbeit werden wir eine Darstellung von pup mit Hilfe der Linearen Optimierung
für den Fall ohne und später mit Transaktionskosten (TAK) herleiten. Meine Arbeit ist
eine Verallgemeinerung des Papers Randomized Stopping Times and American Opti”
on Pricing with Transaction Costs“ von Prasad Chalasani und Somesh Jha. Bei der
Notation folge ich allerdings auch häufig dem Vorlesungsskript Stochastische Finanz”
mathematik“ von Herrn Prof. Dr. Christoph Kühn.
Im Falle einer Amerikanischen Option formuliere ich im Folgenden das Superhedging
Problem wie in Kapitel 1.3.1 der Dissertation von Herrn Prof. Dr. Kühn: Der Upper
Hedging Preis ist das kleinste Startkapital x̂, mit dem sich der Verkäufer ein selbstfinanzierendes Portfolio aufbauen kann, dessen Wert den Auszahlungsprozess L der Option
dominiert. D.h. es existiert eine Strategie ϕ so dass
Z
t
ϕu dSu ≥ Lt
x̂ +
∀ t ∈ [0, T ]
0
Dabei muss ϕ allerdings vorhersehbar bzgl. der Filtration des Verkäufers sein! Es stellt
sich heraus, dass
x̂ = sup sup EQ (Lτ ),
τ ∈S Q∈Me
4
1.2 Upper Hedging Preis aus Sicht der Linearen Optimierung
wobei S die Menge der Stoppzeiten und Me die Menge der äquivalenten Martingalmaße ist. Der Upper Hedging Preis ist also der kleinste Preis, mit dem sich der Hedger
vollständig gegen das Risiko absichern kann.
Dieses Superhedging Problem werden wir im Diskreten für eine Swing Option als Lineares Programm formulieren. Es wird unser Primales Programm sein. Mit Hilfe der
Dualitätstheorie bilden wir ein Duales Programm, dass exakt die gleiche Lösung besitzt.
Hierbei werden wir zum ersten Mal auf eine Art gemischte Stoppstrategie, die man als
Gewichtung von verschiedenen Stoppzeiten verstehen kann, stoßen.
Im Fall ohne Transaktionskosten (TAK) können wir die Nebenbedingungen des Dualen
Programmes derart umformen, dass sie eine Ein-Perioden Martingalbedingung ergeben.
Wir erhalten eine geschlossene Darstellung des Upper Hedging Preises, die der oben beschriebenden Darstellung für Amerikanische Optionen stark ähnelt. Es wird sich weiter
zeigen, dass man die erwähnten gemischten Strategien nicht benötigt, sondern dass ein
Paar von normalen“ Stoppzeiten ausreichend ist.
”
Später beschäftigen wir uns mit dem Fall, dass proportionale TAK auftreten. Wir erhalten ein anderes Primales und somit auch ein anderes Duales Programm als im Fall
ohne TAK. Hier lässt sich nun aus den Nebenbedingung allerdings nur eine schwache“
”
Martingalbedingung folgern. Die resultierende Darstellung von pup hält sich daher ziemlich allgemein. Für diese Darstellung werden in diesem Fall allerdings die gemischten
Strategien benötigt.
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1 Einleitung
6
2 Grundlegendes
2.1 Grundmodell
Wir befinden uns in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Filtration (Ft )t=1,...,T .
Jedes Ft erzeugt eine endliche Zerlegung (At,1 , . . . , At,mt ) von Ω, d.h. Ft = σ(At,1 , . . . , At,mt ),
S
Ω = i=1,...,mt At,i und At,i ∩ At,j = ∅ für i 6= j. Zur Zeit t kann der Beobachter also
sagen, welches der Ereignisse At,i eingetreten ist.
Eine Zufallsvariable Y : Ω 7→ R ist genau dann Ft messbar, wenn sie für festes i allen ω ∈ At,i den gleichen Wert zuordnet. Wir können also in diesen Fall schreiben:
P t
Y (ω) = m
i=1 yi IAt,i (ω), yi ∈ R.
Für den Rest der Arbeit stellen wir uns diesen Zustandsraum durch einen endlichen
Baum B der folgenden Form vor:
Beispielbaum mit T=2
Die At,i , i = 1, . . . , mt sind die Knoten des Baumes zur Zeit t (z.B. ist A1,1 = u). Der
Baum stellt somit keinen stochastischen Prozess dar, sondern die Knoten repräsentieren
die Zeit und den Informationsverlauf. Wir bezeichnen die Knoten des Baumen standardmäßig mit u, v, w oder b, k, l. Jeder Knoten k hat einen eindeutigen Vorgänger k −
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2 Grundlegendes
(z.B. ist u1− = u2− = u), d.h. zwei vergabelte Pfade treffen sich nicht wieder. Dies ist
allerdings keine Einschränkung, sondern es bedeutet vielmehr, dass jeder Knoten eindeutig mit einem Zeitpunkt und der Information zu diesem Zeitpunkt identifiziert werden
kann. Zu jedem Knoten gehört also auch seine gesamte Vorgeschichte.
Auf dem Baum ist die Abbildung t : B 7→ {0, . . . , T }, u 7→ t(u) definiert. Sie ordnet
jedem Knoten die Zeit zu, zu der er im Baum erscheint (z.B. ist t(u) = 1). Zeiten werden
in unserem Modell generell mit s, t oder i, j bezeichnet. Jeder Baum beginnt zur Zeit 0 im
eindeutigen Knoten 0 endet zur Zeit T . Die Knoten u mit t(u) = T heißen Endknoten“.
”
Jeder Knoten k ∈ B mit t(k) < T hat mindestens einen direkten Nachfolger.
Definition 2.1.1 Die Menge der direkten Nachfolger von einem Knoten u ∈ B wird mit
u+ bezeichnet. Diese Menge ist für jeden Knoten u mit t(u) < T nicht leer. Ist v ein
direkter Nachfolger von u, so schreiben wir v ∈ u+ .
Wie man der Graphik entnehmen kann, gilt z.B. v + = {v1, v2, v3}. Da die Menge der
direkten Nachfolger nicht leer ist, bricht kein Ast des Baumes vor der Zeit T ab. Da weiter zu jedem Knoten auch seine gesamte Vergangenheit gehört, steht jeder Endknoten
in unserem Modell für einen Pfad ω des Zustandsraumes. Die Menge aller Endknoten
beschreiben somit die möglichen Szenarien, die eintreten können.
“: dabei ist k l, wenn k und
”
l auf dem selben Ast liegen und t(k) ≤ t(l) ist. Beachte, dass durch die Relation “ “
Auf der Menge der Knoten existiert eine Relation
allerdings nur Knoten miteinander verglichen werden können, die auf mindestens einem
≺ “ definiert. Die Menge der durch
”
≺ “ vergleichbaren Knoten bezeichnen wir von nun an mit D.
gemeinsamen Ast liegen. Analog ist im Weiteren
”
D = {(u, v) ∈ B × B : u ≺ v}
Notation 1 Zur Vereinfachung werden wir im Verlauf der Arbeit bei diversen Beschreibungen und Beweisen auf folgende Notationen zurückgreifen:
Es sei k ein Knoten mit t(k) = T , der den Pfad ω beschreibt. Gilt für einen Knoten u,
dass (u, k) ∈ D, so schreiben wir auch u ∈ ω. Weiter können wir u = ωt(u) schreiben,
wenn u ∈ ω. Jeder Knoten kann also auch als Zeitpunkt auf den Pfaden beschrieben
werden, auf denen er liegt.
Es ist z.B. in der Graphik der letzten Seite v ∈ ω 0 , wenn ω 0 durch einen der Punkte
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2.2 Paarmaße
v1 − v3 beschrieben wird. In diesem Fall schreiben wir auch v = ω10 . Mit dieser Notation definieren wir uns abschließend die Menge der vergleichbaren Knoten entlang eines
Pfades ω:
D(ω) = {(u, v) ∈ D : v ∈ ω}
Aus der Struktur des Baumes wird klar, dass mit v ∈ ω auch u ∈ ω, wenn (u, v) ∈ D.
2.2 Paarmaße
Auf der Menge D ist eine Abbildung definiert, das sogenannte Paarmaß.
Definition 2.2.1 (Paarmaß) Eine Abbildung W : D 7→ [0, 1], (u, v) 7→ Wu,v heißt
Paarmaß, wenn
X
Wu,v = 1
(2.1)
(u,v)∈D
Da die Paare aus D später im Modell alle möglichen Stoppzeitpunkte bilden, kann Wu,v
als Wahrscheinlichkeit angesehen werden, dass man auf dem Baum in u und v stoppt.
2.3 Das Hedging Problem
Zur Vereinfachung befinden wir uns in einem Markt mit nur einer Aktie. Der Preisprozess
dieser Aktie ist S, also ist der Aktienpreis im Knoten u gleich Su (dies ist der Preis der
Aktie, falls zur Zeit t(u) das Ereignis“ u eintritt). Ein Portfolio Φ ist auf dem gesamten
”
Baum definiert und besteht aus der Aktienkomponente ϕ sowie der Bargeldkomponente
β:
Φ : B 7→ R2 , u 7→ (ϕu , βu ),
wobei ϕu die Anzahl der Aktien und βu das Bargeld im Knoten u ist. Der Wert des
Portfolios Φ wird durch die Abbildung V : B 7→ R,
∆ϕ(u) = ϕ(u) −
ϕ(u− )
sind die Aktienkäufe von
die Käufe ∆ϕ(u) bereits im Knoten
u−
u−
u 7→ Vu = ϕu Su + βu beschrieben.
nach u. In unserem Model finden
statt.
Bemerkung 2.3.1 Eine dynamische Handelsstrategie besteht darin, in jedem Knoten
u ∈ B eine (reellwertige) Anzahl an Aktien zum Preis Su zu kaufen. Die Wertsteigerung des Portfolios, die sich nach der Transaktion auf u− ergibt, wird erst durch
den Aktienpreis im Knoten u erkennbar. Die Wertsteigerung des Kaufes einer Aktie
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2 Grundlegendes
ist (S(u) − S(u− )) = ∆S(u). Der Portfoliowert in einem Knoten l hängt demnach nur
von den Transaktionen bis l− ab.
Es existieren weiter zwei Akteure. Einer von diesen, der Verkäufer, bietet dem Käufer
eine Swing Option mit zwei Ausübungszeitpunkten an. Bei dieser Art von Option muss
der Käufer zwei Mal ausüben (zukünftig auch stoppen genannt), kann dies allerdings zu
beliebigen Zeiten tun. Es muss lediglich mindestens ein Zeitschritt zwischen dem ersten
und dem zweiten Stoppen liegen. Da weiter die beiden Stoppknoten auf mindestens einem
gemeinsamen Pfad liegen müssen, kommen als mögliche Paare von Ausübungsknoten
(oder Stoppknoten) demnach nur Elemente der Menge der vergleichbaren Knotenpaare
D in Frage. Stoppt der Käufer in (u, v) ∈ D, so muss der Verkäufer zur Zeit t(v) die
Auszahlung Lu + Lv tätigen. L wird als Auszahlungsprozess bezeichnet. Man beachte,
dass die Auszahlung erst beim zweiten Stoppen fällig wird, d.h. erst zu diesem Zeitpunkt
muss der Wert des Portfolios die Auszahlung dominieren. Ziel des Verkäufers ist es nun,
den Preis x der Option so zu wählen, dass er sich mit diesem ein selbstfinanzierendes
Portfolio Φ aufbauen kann, dessen Wert Vk für jeden Knoten k 0 die Auszahlung für
ein beliebiges Paar (u, k) ∈ D dominiert. Der kleinste Preis, mit dem dies möglich ist,
wird Upper Hedging Preis (pup ) genannt:
Φ,x
≥ Lu + Lk
pup = min(x ∈ R+
0 | ∃ Φ selbstfinanz.: Vk
∀ (u, k) ∈ D)
(2.2)
Den Upper Hedging Preis zu finden, ist also ein Minimierungsproblem über den Optionspreis x.
2.4 Maße und Martingalmaße
Gemäß der allgemeinen Definition ordnet ein Maß Q den Pfaden (bzw. Endknoten des
Baumes) ω Wahrscheinlichkeiten zu. Es bestimmt also, mit welcher Wahrscheinlichkeit
die möglichen verschiedenen Szenarien eintreten. Diese Verteilung ist jedoch abhängig
von externen Ereignissen, die den Zustandsraum beeinflussen. Zu diesen zählen auch
die vorher nicht bekannten Stoppentscheidungen des Käufers (d.h. auf welchem Knoten
eines Pfades das erste Mal gestoppt wird). Die Wahl des Pfades alleine determiniert also
noch nicht die Stoppstrategie, sondern man benötigt zusätzlich eine von Ω unabhängigie
Information, die das zufällige Stoppen beschreibt. Dies modellieren wir, indem zu Be-
10
2.4 Maße und Martingalmaße
ginn eine Zahl e uniform aus [0, 1] gezogen wird. Wie aus dieser nun für jeden Pfad das
randomisierte Stoppen wird, beschreiben wir in Kapitel 2.5, wenn wir den Begriff der
Pfadrandomisierung kennengelernt haben.
e =
Mit dieser Modellierung erhalten wir nun den randomisierten Zustandsraum Ω
Ω × [0, 1]. Ein Maß auf diesem Zufallsraum ist wie folgt definiert:
e 7→ [0, 1], ({ω}, A) 7→
Definition 2.4.1 (randomisiertes Maß) Eine Abbildung Q : Ω
Q({ω} × A) heißt normiertes, randomisiertes Maß (im Folgenden stets randomisiertes
Maß genannt), wenn
X
Q({ω} × A) = λ(A)
∀ A ⊂ [0, 1]
(2.3)
ω
wobei λ(A) das Lebesgue-Maß auf [0, 1] ist und die Realisierung von e als “unabhängige
Randomisierung des Zustandsraumes“ bezeichnet wird. Q({ω} × A) erhält man durch
Integration über die Menge A:
Z
Q({ω} × A) =
Qe (ω)de
A
Wir schreiben im Folgenden zur Abkürzung: Q({ω} × A) = QA (ω).
Zu späteren Zwecken beschreiben wir nun, wie man das randomisierte Maß theoretisch
auf den gesamten Baum B erweitern kann. Sieht man Q(ω) nämlich als Wahrscheinlichkeit an, sich auf dem Baum bis zu dem Endknoten zu bewegen, der den Pfad ω beschreibt,
so kann man analog Q(u) als Wahrscheinlichkeit, durch u zu laufen, interpretieren und
definieren als:
QA (u) =
X
QA (ω) ∀ u ∈ B
(2.4)
ω:u∈ω
Die Wahrscheinlichkeit, durch u zu laufen, wird demnach als Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, auf denen u liegt, verstanden.
Bemerkung 2.4.2 Die Definition (2.4) ist äquivalent zu der Gleichung:
X
QA (v) = QA (u)
∀u : t(u) < T
v∈u+
Der Beweis ist trivial und sei an dieser Stelle dem Leser überlassen.
11
2 Grundlegendes
Bei dem Begriff des Martingalmaßes werden wir uns in dieser Arbeit verschiedener Definition bedienen. Mit TAK werden wir eine handlich Ein-Perioden Martingalbedingung
benutzen, ohne TAK müssen wir später allerdings mit einer unhandlichen Definition arbeiten. Näheres hierzu in den jeweiligen Kapiteln.
2.5 Pfadrandomisierung
Nun kommen wir zu einer Abbildung, die uns durch die gesamte Arbeit begleiten wird,
die Pfadrandomisierung. Aus ihr wird später durch die zufällige Realisierung von e eine
Stoppstrategie, die sogenannte Randomisierte Doppelstoppzeit. Dazu mehr in Kapitel
2.6.
Definition 2.5.1 (Pfadrandomisierung) Eine Abbildung X : D 7→ [0, 1], (u, v) 7→
Xu,v heißt Pfadrandomisierung, wenn
X
Xu,v = 1
∀ω ∈ Ω
(2.5)
(u,v)∈D(ω)
und wenn für jeden festen Knoten u die Zufallsvariable
ω 7→
X
Xu,v
(2.6)
v:(u,v)∈D(ω)
Ft(u) - messbar ist.
X lässt sich folgendermaßen interpretieren: Geht man entlang eines festen Pfades ω, so
ordnet eine Pfadrandomisierung X allen Punktepaaren (u, v) ∈ D(ω) Stoppwahrschein”
lichkeiten“ zu, die sich auf ω zu 1 addieren.
Bemerkung 2.5.2 Aus (2.6) folgt, dass ∀ l gilt:
•
X
P
Xu,v ist Ft(l− ) − messbar
u:0ul−
v:(u,v)∈D(ω)
|
⇒
12
P
{z
Ft(u) −messbar
(u,v)∈D(ω):lu
}
P
P
= 1 − ( u:0ul− v:(u,v)∈D(ω) Xu,v )
ist Ft(l− ) − messbar
2.6 Die Filtration
•
P
v∈ω:lv
X
Xk,v =
v∈ω:k≺v
|
X
Xk,v −
{z
Xk,v
ist Ft(l− ) − messbar
∀k ≺ l
v∈ω:k≺v≺l
}
Ft(k) −messbar
|
{z
}
Ft(l− ) −messbar
Durch Gleichung (2.6) wird eine Art Adaptiertheit von X an die Filtration F vorausgesetzt. Mit obiger Bemerkung folgt, dass durch diese Adaptiertheit der Pfadrandomisierungen X in jedem Knoten die “Reststoppwahrscheinlichkeit“ sowohl für den Fall, dass
noch nicht gestoppt wurde, als auch für den Fall, dass bereits das erste Mal gestoppt
wurde, unabhängig von dem weiteren Verlauf ist.
Bemerkung 2.5.3 Die Gleichung (2.6) ist äquivalent dazu, dass zu jedem u mit t(u) <
T und für je zwei Pfade ω, ω 0 , die u enthalten, gilt:
X
v:(u,v)∈D(ω)
X
Xu,v −
Xu,v = 0
v:(u,v)∈D(ω 0 )
Zusammen mit Gleichung (2.5) folgt nun, dass die Menge der Pfadrandomisierungen auf
einem festen Baum einen Polyeder bilden, da diese nur durch lineare Beschränkungen
beschrieben werden.
2.6 Die Filtration
In diesem Abschnitt beschreiben wir die Filtration (Fet )t=1...T in unserem Modell. Diese
enthält zusätzlich zu F Informationen über die unabhängigige Randomisierung des Zufallsraumes. e wird zwar zu Beginn gezogen, ist allerdings noch nicht direkt vollständig
bekannt. Nähere Informationen über e fließen sukzessiv in die Filtrierung Fe ein. Daraus
entsteht nun zu einer gegebenen Pfadrandomisierung X eine Stoppstrategie, die sogenannte Randomisierte Doppelstopptzeit (RDS ). Um diese herzuleiten, halten wir einen
Pfad ω fest und zerlegen zunächst für diesen das Intervall [0, 1] in die Teilintervalle
bi (ω) = (P (ω)i−1 , P (ω)i ] für i = 1, ..., T − 1 und b0 = [0, P (ω)0 ] wobei
(P (ω)s )s=0,...,T −1 =
X
Xu,v
(u,v)∈D(ω):t(u)≤s
die Wahrscheinlichkeit angibt, bis s bereits das erste Mal gestoppt zu haben, wenn man
entlang des Pfades ω geht. Es gilt offensichtlich, dass P (ω)T −1 = 1 ∀ω ∈ Ω. Ist e ∈ bi (ω),
so wird auf dem Pfad ω zur Zeit i das erste Mal gestoppt.
13
2 Grundlegendes
Um nun auch das zweite Stoppen aus e abzuleiten, unterteilen wir weiter die Intervalle
bi (ω) in die Teilintervalle bi,j (ω) = (P (ω)i,j−1 , P (ω)i,j ] für j = i + 1, ..., T wobei
P (ω)i,j = P (ω)i−1 +
X
Xωi ,v und P (ω)i,i = P (ω)i−1
v∈ω:t(v)≤j
sei und b0,1 (ω) = [0, P (ω)0,1 ]. Da weiter P (ω)i,T = P (ω)i , wird somit das Intervall bi (ω)
vollständig unterteilt. Ist e ∈ bi,j (ω), so wird auf dem Pfad ω zu den Zeiten i, j gestoppt.
Man beachte, dass für ω, ω 0 ∈ At,i gilt: bk,l (ω) = bk,l (ω 0 ), l ≤ t und aufgrund der
Adaptiertheit von X auch bk (ω) = bk (ω 0 ), k ≤ t. Wir setzen nun im Folgenden für
l < t : bk,l (At,i ) = bk,l (ω) für ein beliebiges ω ∈ At,i . Analog sei bk (At,i ) = bk (ω) für
k < t. In unserem Modell mit Randomisierung wird die Filtration zur Zeit t, (Fet ), nun
von Ft sowie von den Beobachtungen über die unabhängige Randomisierung e bis zur
Zeit t erzeugt, also
Fet = σ(Ft , {e ∈ bk,l (At,i )} × At,i , l ≤ t, {e ∈ bk (At,i )} × At,i , k ≤ t).
Zur Zeit t weiß der Verkäufer also auf welchem Knoten des Baumes er sich befindet sowie
ob und wie oft auf dem Weg dorthin bereits gestoppt wurde. Im Falle des Stoppens ist
auch der bzw. die Stoppknoten bekannt. Ein zukünftiges Stoppen, dass sich aus e ergibt,
kann er allerdings nicht voraussehen.
Mit dem Wissen der Filtration Fe ist aus der Pfadrandomisierung nun eine Stoppstrategie
geworden. Diese Stoppstrategie ist ein wichtiges Objekt in der weiteren Arbeit und wird
Randomisierte Doppelstoppzeit (RDS ) genannt. Die Pfadrandomisierung lässt sich also
als Gewichtung verschiedener Stoppstrategien verstehen. Durch die Ziehung von e entscheidet sich, welche Stoppstrategie eintritt. Es handelt sich also um eine Art zufällige
Stoppstrategie, der RDS .
e 7→ R ist genau dann Fet -messbar, wenn eine Funktion g existiert, so
Eine Funktion f : Ω
dass
f (ω, e) = g(I{e∈bk,l (At,i )}×At,i , I{e∈bk (At,i )}×At,i , k, l ≤ t, IAt,i , i = 1, . . . , mt ) ∀ (ω, e)
Da wie oben beschrieben aus der Realisierung von e die vom Pfad ω abhängigen Stoppentscheidungen (u, v) ∈ ω des Käufers folgen, kann man nun das Randomisierte Maß Q
aus Kapitel 2.4 statt von A für jeden Pfad ω spezifisch von den Stoppknoten (u, v) ∈ ω
14
2.6 Die Filtration
abhängig machen. Man betrachte dazu den Pfad ω
e . Folgt aus jeder Realisierung e ∈ A
das erste Stoppen in u ∈ ω
e (z.B. für A = bt(u) (e
ω )), so erhalten wir mit Gleichung (2.4)
schließlich die Wahrscheinlichkeit, durch v zu laufen, bedingt darauf, dass bei u das erste
Mal gestoppt wurde:
QA (v) = Qu (v) =
X
Qu (ω) ∀ A ⊂ bt(u) (e
ω)
(2.7)
ω:v∈ω
wobei A zusammenhängend sei. Auf diese Weise können wir nun je zwei Knoten (u, v) ∈
D eine Wahrscheinlichkeit Qu (v) zuordnen. Zuletzt definieren wir verschiedene Arten
von Produkten zweier Prozesse und deren Erwartung unter Q:
Definition 2.6.1 (Produktprozesse) Es sei X eine Pfadrandomisierung und L ein
e ein an Fe adaptierter Prozess auf B, so bezeichnen
an Fe adaptierter Prozess auf D bzw. L
e ∗ X den einfachen bzw. doppelten Produktprozess. Diese seien definiert als
L ∗ X bzw. L
(L ∗ X)(u,v) = Xu,v (Lu + Lv )
(2.8)
e ∗ X)(u,v) = Xu,v (Lv )
(L
(2.9)
bzw.
Bemerkung 2.6.2 Da wir nun Pfadrandomisierungen und die Filtration kennen, können
wir einen Erwartungswert unter dem randomisierten Maß aus Kapitel 2.4 definieren. Die
Erwartung ergibt sich per Mittelung über die Pfade sowie über die unabhängige Randomisierung des Zustandsraumes e. Sei also L ein adaptierter Prozess, so ist:
EQ (L) =
P
R
=
P
P
R
=
P
P
Q(ω, bi,j (ω))L(ω, bi,j (ω))
=
P
P
ω∈Ω
ω∈Ω
ω∈Ω
ω∈Ω
1
0 Qe (ω)L(ω, e)de
i,j:i<j≤T
i,j:i<j≤T
i,j:i<j≤T
bi,j (ω) Qe (ω)L(ω, e)de
Qωi ,ωj L(ω, bi,j (ω))
Es gilt demnach für die in Def. 2.6.1 beschriebenen Prozesse:
EQ (L ∗ X) =
X
X
Qωi ,ωj Xωi ,ωj (Lωi + Lωj )
ω∈Ω i,j:i<j≤T
15
2 Grundlegendes
und
e ∗ X) =
EQ (L
X
X
eω
Qωi ,ωj Xωi ,ωj L
j
ω∈Ω i,j:i<j≤T
2.7 Das Wechseln der Hedging Strategien
Da der Verkäufer nach der Modellierung der Filtration zu jedem Zeitpunkt t weiß, ob und
wenn auf welchen Knoten bereits gestoppt wurde, kann er seine weitere Strategie von
diesem Wissen abhängig machen. Also existiert bis zum ersten Stoppen eine eindeutige
Strategie Φ1 = (ϕ1 , β 1 ), direkt danach findet jedoch ein Strategiewechsel in Abhängigkeit
von der Stoppentscheidung statt, so dass zu jedem möglichen ersten Stoppknoten (k :
t(k) < T ) (bzw. zu jeder Realisierung von e und jedem ω) eine Folgestrategie Φ2k =
(ϕ2k , βk2 ) existiert. Welche der Φ2k schließlich gewählt wird, ist rein zufällig.
Anschaulich bedeutet dies, dass der Verkäufer der Swing-Option für jeden möglichen
ersten Stoppzeitpunkt k eine Strategie Φ2k bereithält. Der Verkäufer wird direkt nach
dem Stoppen des Käufers benachrichtigt, wählt dann seine zweite Strategie und beginnt
direkt in k anhand dieser zu handeln. Eine solche Modellierung lässt dem Verkäufer den
größt möglichen Handlungsrahmen, da dieser nicht schon zu Beginn seine Strategien
wählen muss. Φ setzt sich nun aus Φ1 und aus einem der Φ2 (k) (je nachdem, wo gestoppt
wurde) zusammen. Φ aus Kapitel (2.2) ist also in der weiteren Arbeit als eine Familie von
Strategien Φ(k) zu verstehen, wobei k alle möglichen ersten Stoppzeitpunkte durchläuft.
16
3 Upper Hedging Preis ohne
Transaktionskosten
3.1 Das Primale Programm
Zunächst betrachten wir das Problem ohne Transaktionskosten (TAK), um erst einmal
die Auswirkungen der Randomisierung des Zustandsraumes und damit eingehend des
Strategiewechsels beim ersten Stoppen besser zu verstehen. Die erste Hedging Strategie
Φ1 startet bei t = 0, d.h. zur Zeit (z.Z.) 0 wird zum ersten Mal mit Aktien gehandelt,
und endet mit dem ersten Stoppen bei k. In diesen Knoten beginnt dann die zweite
Strategie Φ2 . Diese ist, wie in Kapitel 2.7 beschrieben, vom Stoppknoten k abhängig, also
Φ2k . Theoretisch könnte man das Portfolio ohne TAK in k komplett auflösen und dann
direkt in k mit Φ2k neu beginnen. Da dies aber spätestens bei Auftreten von TAK unnötige
Kosten verursachen könnte, wird auch jetzt schon angenommen, dass das Portfolio beim
ersten Stoppen nicht aufgelöst wird, sondern direkt in die zweite Strategie einfließt. Für
den Start der zweiten Hedgingstrategie gilt also
Φ2k (k − ) = Φ1 (k − ) ∀k : t(k) < T
(3.1)
Ziel des Verkäufers ist es nun, seine Strategien Φ1 und (Φ2k )k:t(k)<T so zu wählen, dass
er sich mit einem möglichst geringen Startkapital x ein selbstfinanzierendes Portfolio
aufbauen kann, dessen Vermögensprozess V zu beliebigen Stoppzeiten (k, l) ∈ D die
Auszahlung an den Verkäufer Lk + Ll dominiert. Die Selbstfinanzierungsbedingung ist
erfüllt, wenn sich der Wert des Portfolios in einem Knoten l nur aus den Preisänderungen
der Aktie und des Bargeldes bis l ergibt. Da der Preis für Bargeld konstant ist, können
wir die Bargeldkomponenten in V vernachlässigen und erhalten:
Vl (k)x,Φ = x +
X
u:0≺uk
ϕ1 (u− )∆Su +
X
ϕ2k (u− )∆Su
(3.2)
u:k≺ul
17
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
Gilt nun Gleichung (3.2) ∀ (k, l) ∈ D, so ist das Portfolio selbstfinanzierend. Beachte,
dass das Vermögen auch von dem ersten Stoppknoten abhängig ist. Der Hedging-Preis
ist somit der minimale Betrag x, für den sich eine Strategie Φ finden lässt, so dass
Vl (k) die Auszahlung Lk + Ll für alle (k, l) ∈ D dominiert. Es ergibt sich folgendes
Optimierungsproblem:
N B : x+
min x
X
ϕ1 (u− )∆Su +
ϕ2k (u− )∆Su ≥ Lk +Ll
X
u:0≺uk
∀ (k, l) ∈ D
u:k≺ul
x≥0
Wir können einige Vereinfachungen an den Nebenbedingungen des Primalen Programms
vornehmen. Betrachte hierzu zunächst mit der Konvention ϕ1 (0− ) = 0:
P
u:0u≺k ∆ϕ
1 (u)(S
l
− Su )
− ϕ(1 u− ))(Sl − Su )
P
P
= Sl u:0u≺k (ϕ1 (u) − ϕ1 (u− )) − u:0u≺k (ϕ1 (u) − ϕ1 (u− ))Su
=
P
u:0u≺k (ϕ
1 (u)
= Sl (ϕ1 (k − ) − ϕ1 (0− )) + [(ϕ1 (0) − ϕ1 (0− ))(−S0 ) + . . .
| {z }
| {z }
+(ϕ1 (k − )
−
=0
1
ϕ (k −− ))(−S
=0
k− )]
= ϕ1 (k − )Sl + ϕ1 (0)(S1 − S0 ) + . . . + ϕ1 (k −− )(Sk− − Sk−− ) − ϕ1 (k − )Sk−
P
= u:0≺uk− ϕ1 (u− )∆Su + ϕ1 (k − )Sl − ϕ1 (k − )Sk−
⇔
X
X
ϕ1 (u− )∆Su + ϕ1 (k − )Sl − ϕ1 (k − )Sk− =
u:0≺uk−
∆ϕ1 (u)(Sl − Su )
u:0u≺k
Des Weiteren ergibt sich für jeden möglichen ersten Stoppknoten k:
2
u:ku≺l ∆ϕk (u)(Sl
P
− Su ) =
P
u:kul
∆ϕ2k (u)(Sl − Su )
= Sl (ϕ2k (l) − ϕ2k (k − )) − [(ϕ2k (k) − ϕ2k (k − ))Sk + . . . + (ϕ2k (l) − ϕ2k (l− ))Sl ]
| {z }
| {z }
ϕ1 (k− )
=
18
P
u:k≺ul
ϕ1 (k− )
ϕ2k (u− )∆Su + Sl (ϕ2k (l) − ϕ1 (k − )) + ϕ1 (k − )Sk − ϕ2k (l)Sl
(3.3)
3.1 Das Primale Programm
⇔
X
X
ϕ2k (u− )∆Su − ϕ1 (k − )Sl + ϕ1 (k − )Sk =
u:k≺ul
∆ϕ2 (u)(Sl − Su )
(3.4)
u:ku≺l
Fasst man nun die Gleichungen (3.3) und (3.4) zusammen, so erhält man ∀(k, l) ∈ D:
X
ϕ1 (u− )∆Su +
u:0≺uk
X
ϕ2k (u− )∆Su =
u:k≺ul
X
∆ϕ1 (u)(Sl −Su )+
u:0u≺k
X
∆ϕ2 (u)(Sl −Su )
u:ku≺l
(3.5)
Es ergibt sich folgendes Primale Problem (PP) mit geänderten Nebenbedingungen:
min x
NB : x +
P
u:0u≺k
∆ϕ1 (u)(Sl − Su )+
P
u:ku≺l
≥ Lk + Ll
∆ϕ2k (u)(Sl − Su )
∀(k, l) ∈ D
(Wk,l )
x≥0
Der Preis der Option ist positiv, also ist die endogene Variable x beschränkt. Die restlichen endogenen Variablen ϕ1 (•) und ϕ2k (•) sind frei, wobei (•) alle möglichen Knoten
und k alle möglichen ersten Stoppknoten durchläuft. Nach der Dualitätstheorie wird es
also im Dualen Programm nur eine Ungleichheitsnebenbedingung geben. Die restlichen
Nebenbedingungen, die zu den freien Variablen gehören, werden Gleichheitsnebenbedingungen sein.
Zu jedem Paar von Knoten (k, l) ∈ D wird es eine endogene Variable geben (Wk,l ). Daran spiegelt sich nun die Abhängigkeit der Strategie ϕ2 von der ersten Stoppentscheidung
wider. Alle Wk,l werden nach der Dualitätstheorie positiv sein.
19
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
3.2 Das Duale Programm
Das Duale Programm (DP) zu dem PP des letzten Abschnitts hat die folgende Form:
max
W
NB :
P
P(k,l)∈D
X
Wk,l (Lk + Ll )
(k,l)∈D
Wk,l
≤ 1 [I]
Wk,l (Sl − Su ) = 0 [II(u)] ∀u : t(u) < T
P(k,l)∈D:u≺k
= 0 [III(k,u)] ∀(k, u) : k u, t(u) < T
l:u≺l Wk,l (Sl − Su )
Wk,l ≥ 0
Die Bedingung I gehört zur primalen Variablen x und ist unabhängig von der Wahl
der ersten Stoppzeit. Bedingung II(u) gehört zur primalen Variblen ∆ϕ1 (u). Da alle
∆ϕ1 (•) noch nicht von der ersten Stoppentscheidung abhängen, taucht ∆ϕ1 (u) in allen
Nebenbedingungen Wk,l mit dem Faktor (S(l) − S(u)) auf, bei denen u ≺ k ist. Somit
ergibt sich für alle u mit t(u) < T , die Bedingung II(u).
Die Nebenbedingung II(k,u) gehört zu ϕ2k (u). Hier muss nun auf die erste Stoppentscheidung bedingt werden. Denn liegt diese z.B. bei k, so muss der Verkäufer durch
seine nun gewählte Strategie ϕ2k nur noch die Auszahlungen Lk + Ll , k ≺ l dominieren.
∆ϕ2k (u) kommt also nur dann zum Tragen, wenn k u ist und bei k das erste Mal
gestoppt wurde, also bei Wk,l , u ≺ l. Man beachte, dass hier sowohl u als auch k fest
gewählt sind und die Summation nur über l läuft. Hingegen wird bei I und allen II(u)
stets über Paare (k, l) ∈ D summiert!
Alle Nebenbedingungen außer I sind Gleichheitsbedingungen, da sie zu freien Variablen
im Primalen Programm gehören. Da alle freien Variablen zusätzlich mit dem Faktor 0
in der Minimierung auftauchen, x allerdings mit Faktor 1, ergibt sich die rechte Seite
des Gleichungssystems.
Da x ≥ 0 und der Prozess L beschränkt ist, hat das Primale Programm aus Kapitel
(3.1) immer eine Lösung. Mit dem Startkapital x = max(k,l)∈D Lk + Ll < ∞ lassen sich
trivialerweise alle Auszahlungen dominieren. Nach dem Dualitätssatz hat nun aber auch
das DP eine Lösung und diese stimmt mit der Lösung des PP überein!
20
3.3 Wichtige Sätze
3.3 Wichtige Sätze
Bevor wir im nächsten Abschnitt die gewünschte Darstellung des Upper Hedging Preises
herleiten, werden wir nun einige wichtige Sätze beweisen, die uns den Weg dorthin ebnen
werden.
Zunächst beschäftigen wir uns näher mit der Konstruktion von randomisierten Maßen, da wir im folgenden Satz anhand von einem Paarmaß W ein randomisiertes Maß Q
schrittweise durch seine Übergangswahrscheinlichkeiten auf dem Baum definieren werden. Auch bei der Konstruktion des Maßes muss aufgrund der Randomisierung des Zufallsraumes (wie in Kapitel 2 beschrieben) wiederum darauf bedingt werden, ob und wo
bereits gestoppt wurde. qkl ist im Folgenden die Übergangswahrscheinlichkeit von dem
Knoten k zu einem Nachfolger l zu wandern“, falls noch nicht gestoppt wurde. Wurde
”
hingegen bereits bei u gestoppt, so steht qkl (u) für die auf u bedingte Übergangswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, v zu erreichen, wenn bei u gestoppt wurde, ist
nun das Produkt der Übergangswahrscheinlichkeiten bis v:
Y
Qu (v) =
Y
qkl ∗
0k≺u
qkl (u) ∀(u, v) ∈ D
(3.6)
uk≺v
wobei mit l jeweils der Nachfolger von k in Richtung v gemeint ist. Damit die Gleichungen
(2.4) und (2.5) erfüllt sind, muss des Weiteren gelten, dass
X
qkl = 1 ∀k : t(k) < T − 1
bzw.
X
qkl (u) = 1
∀(u, k) : u k, t(k) < T (3.7)
l∈k+
l∈k+
Denn somit folgt direkt, dass
X
Q(l) = Q(k) ∀k : t(k) < T −1
l∈k+
bzw.
X
Qu (l) = Qu (k) ∀(u, k) : u k, t(k) < T
l∈k+
was nach Bem 2.4.2 äquivalent zu den Gleichungen (2.4) bzw. (2.5) ist. Die Gleichung
(3.6) ist somit konsistent zu der Erweiterung des Maßes von Kapitel 2.4 und Kapitel 2.6.
Kommen wir nun zu unserem ersten Hauptresultat:
Satz 3.3.1 Jedes Paarmaß W lässt sich in eine Pfadrandomisierung X und ein randomisiertes Maß Q zerlegen, so dass
Wu,v = Xu,v ∗ Qu (v)
∀ (u, v) ∈ D
(3.8)
21
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
Seien umgekehrt X eine Pfadrandomisierung und Q ein randomisiertes Maß auf B, so
bildet das Produkt (Xu,v ∗ Qu (v))(u,v)∈D ein Paarmaß auf B.
Beweis:
Beginnen wir mit dem ersten Teil des Satzes: Gegeben sei ein Paarmaß W . Definiere nun
die Übergangswahrscheinlichkeiten des gesuchten Maßes Q wie folgt.
P
qkl
=P
(u,v)∈D:lu Wu,v
(3.9)
(u,v)∈D:k≺u Wu,v
falls bis k noch nicht gestoppt wurde und
qkl (u)
P
v:lv Wu,v
=P
v:k≺v Wu,v
(3.10)
wenn bei u k bereits gestoppt wurde. Offensichtlich erfüllt das so definierte randomisierte Maß Q die Gleichung (3.7).
Anhand von Q definieren wir uns nun die Pfadrandomisierung. Setze für festes u mit
Q(u) > 0
Xu,v =













P
P
Wu,v
Qu (v)
für Qu (v) > 0
für Qu (v) = 0, Qu (v − ) = 0
0
v 0 :v − ≺v 0 Wu,v 0
Qu (v − )
Wu,v0
Q(u)
v 0 :u≺v 0
für Qu (v) = 0, Qu (v − ) > 0, v − 6= u
für Qu (v) = 0, Qu (v − ) > 0, v − = u
Ist Q(u) = 0, aber Q(u− ) > 0, so setze
(
Xu,v =
P
(u,v)∈D:u− ≺u
Q(u− )
0
Wu,v
für v ∈ u+
sonst
Gilt Q(u) = 0 und Q(u− ) = 0, so setze auch Xu,v = 0 ∀ v : u ≺ v.
Da mit (3.9) und (3.10) aus Qu (v) = 0 auch Wu,v = 0 folgt (da mindestens eine Übergangswahrscheinlichkeit auf dem Weg zu v gleich 0 sein muss), gilt offentsichtlich mit
der obgigen Definition von X, dass Xu,v ∗ Qu (v) = Wu,v
∀(u, v) ∈ D.
Zu zeigen ist nun allerdings noch, dass X eine Pfadrandomisierung ist, also die AdapP
tiertheit von X und dass (u,v)∈D(ω) Xu,v = 1 ∀ ω ∈ Ω. Beachte hierfür, dass nach der
22
3.3 Wichtige Sätze
Konstruktion von Q folgendes gilt:
P
Qu (l)
= qkl (u) ⇔
Qu (k)
und
Q(l)
= qkl ⇔
Q(k)
P
Wu,v
=
Qu (k)
P
(u,v)∈D:k≺u Wu,v
Q(k)
Wu,v
∀ l ∈ k+
Qu (l)
v:lv
v:k≺v
(3.11)
P
=
(u,v)∈D:lu Wu,v
∀ l ∈ k+
Q(l)
(3.12)
Kommen wir zunächst zum Beweis der Adaptiertheit. Wähle zu einem festen u mit
Q(u) > 0 einen beliebigen Pfad ω mit u ∈ ω. Es gilt mehrere Fälle zu betrachten:
Fall 1: Qu (ωT ) > 0
In diesem Fall folgt aus der Konstruktion des Maßes Q, dass keine der auf u bedingten
Übergangswahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ω ab u gleich 0 ist und somit auch
Qu (v) > 0
∀(u, v) ∈ D(ω), da Q(u) > 0 per Annahme. Im Weiteren sei mit u + 1 der
Nachfolger von u auf ω gemeint. Weiter sei im Folgenden, wie in Notation 1 beschrieben,
ωi der Knoten auf ω zur Zeit i. Es gilt also mit dem ersten Fall der Definition von X:
P
v:(u,v)∈D(ω) Xu,v
Wu,v
v∈ω:u≺v Qu (v)
=
P
=
Wu,u+1
Qu (u+1)
=
Wu,u+1
Qu (u+1)
(3.11)
=
=
=
+ ··· +
Wu,ωT −1
Qu (ωT −1 )
+
+ ··· +
Wu,ωT −1
Qu (ωT −1 )
+
Wu,u+1
Qu (u+1)
Wu,u+1
Qu (u+1)
Wu,u+1
Qu (u+1)
+ ··· +
P
+ ··· +
+ ··· +
Wu,ωT −1
Qu (ωT −1 )
v:ωT −1 v
(3.11) Wu,u+1
=
Qu (v) + · · · +
P
v:ωT v Wu,v
Qu (ωT )
P
+
v:ωT −1 ≺v
Wu,v Qu (ωT −1 )
Wu,v Qu (ωT −1 )
Wu,ωT −2
Qu (ωT −2 )
Wu,ωT
Qu (ωT )
P
v:ωT −1 v
+
Wu,ωT −2
Qu (ωT −2 )
Wu,v Qu (ωT −1 )
P
+
v:ωT −2 ≺v
Wu,v Qu (ωT −2 )
Durch das Wiederholen der letzten beiden Gleichungen für alle v entlang des Pfades ω
bis u (ωT −1 , · · · , u + 1) unter Verwendung von (3.11) erhält man schließlich:
=
P
Wu,v
Qu (u+1)
v:vu+1
=
P
v:vu+1 Wu,v
u+1
Q(u)∗qu
(u)
=
P
Wu,v
Q(u)
v:u≺v
23
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
Fall 2: Qu (ωT ) = 0, Qu (u + 1) > 0
Nun sind ab einem eindeutigen Knoten v̂ ∈ ω mit Qu (v̂) > 0 die Wahrscheinlichkeiten
Qu (v) = 0 ∀ v ∈ ω : v v̂ . Wir betrachten den Knoten v̂ + 1. Für diesen trifft der 3.
Fall, für alle nach ihm der zweite Fall der Definition von X (für Q(u) > 0 ist) zu. Es
folgt also:
P
v:(u,v)∈D(ω) Xu,v
Wu,v
v∈ω:u≺vv̂ Qu (v)
=
P
+ Xu,v̂+1
=
Wu,u+1
Qu (u+1)
+ ··· +
Wu,v̂
Qu (v̂)
=
Wu,u+1
Qu (u+1)
+ ··· +
=
Wu,u+1
Qu (u+1)
+ ··· +
(3.11)
=
Wu,u+1
Qu (v)
P
+
v:v̂≺v Wu,v
Qu (v̂)
Wu,v
Qu (v̂)
v:v̂v
Wu,v̂−
Qu (v̂ − )
+ ··· +
P
+
Wu,v̂−
Qu (v̂ − )
P
+
Wu,v
Qu (v̂)
v:v̂v
P
v:v̂ − ≺v Wu,v
Qu (v̂ − )
Durch das Wiederholen der letzten beiden Gleichungen für alle v entlang des Pfades ω
bis u (v̂ − , · · · , u + 1) unter Verwendung von (3.11) erhält man schließlich ebenfalls:
P
Wu,v
Qu (u+1)
v:vu+1
=
=
P
v:vu+1 Wu,v
u+1
Q(u)∗qu
(u)
=
P
Wu,v
Q(u)
v:u≺v
Fall 3: Qu (u + 1) = 0
Nun folgt direkt aus dem vierten Fall der Definition von X, dass
P
v:(u,v)∈D(ω) Xu,v =
P
Wu,v
Q(u)
v:u≺v
Aus Fall 1-3 folgt, dass :
X
v:(u,v)∈D(ω)
P
Xu,v =
Wu,v
Q(u)
v:u≺v
∀ u : t(u) < T
Ft(u) − messbar ist,
(3.13)
wenn Q(u) ≥ 0. Ist hingegen Q(u) = 0, so folgt direkt aus der Definition von X auch in
diesem Fall die Adaptiertheit von X.
Mit (3.12) und (3.13) werden wir nun weiter zeigen, dass
P
(u,v)∈D(ω) Xu,v
= 1 ∀ω ∈
Ω. Betrachte dazu wiederum einen beliebigen Pfad ω. Auf ω sei û der letzte Knoten mit
24
3.3 Wichtige Sätze
Q(û) > 0. Es gilt offensichtlich t(û) < T und man erhält für û = ωT −1 :
X
X
Wû,v =
v:û≺v
Wu,v
(u,v):ûu
Gilt hingegen û ≺ ωT , so folgt aus der Definition von X, dass
P
X
(u,v)∈D:û≺u Wu,v
Xu,v = Xû+1,û+2 =
Q(û)
(u,v)∈D(ω):û≺u
Mit den obigen Gleichungen, der Definition von X sowie Gleichung (3.13) erhält man
schließlich:
P
X
Xu,v =
(u,v)∈D:ûu Wu,v
(u,v)∈D(ω):ûu
(3.14)
Q(û)
Also haben wir:
P
(u,v)∈D(ω) Xu,v
=
P
u∈ω
P
(3.13)
=
(3.14)
=
(3.12)
=
=
P
P
P
P
v:(u,v)∈D(ω) Xu,v
W0,v
Q(0)
+ ··· +
W0,v
Q(0)
+ ··· +
W0,v
Q(0)
+ ··· +
v:v0
v:v0
v:v0
W0,v
Q(0)
v:v0
+ ··· +
P
P
v:vû− Wû− ,v
Q(û− )
+
v:vû− Wû− ,v
Q(û− )
+
v:vû− Wû− ,v
Q(û− )
+
P
P
P
P
P
(u,v)∈D(ω):ûu Xu,v
(u,v):uû
Wu,v
Q(û)
(u,v):uû−
Q(û− )
Wu,v
−
Wu,v
(u,v):uû
Q(û− )
Durch Wiederholen der letzten beiden Gleichungen für alle u entlang des
Pfades ω, (û− , · · · ,0) unter Verwendung von (3.12) erhält man schließlich:
=
P
(u,v):u0
Q(0)
Wu,v
=
1
1
=1
Damit wäre die Hinrichtung des Satzes gezeigt.
Für die Rückrichtung wähle ein beliebiges Paar X, Q. Zu zeigen ist nun, dass Xu,v ∗ Qu (v)
die Wahrscheinlichkeit ist, bei u und v zu stoppen, also Wu,v . Die Wahrscheinlichkeit,
dass man genau bei (u, v) stoppt, setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten zusammen,
• vor t(u) noch nicht gestoppt zu haben und bedingt darauf, nach u zu laufen
X
Y
1−
Xk,l ∗
qkl
(k,l)∈D(ω):t(k)<t(u)
k:0k≺u
25
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
wobei man aufgrund der Adaptiertheit von X einen beliebigen Pfad ω mit v ∈ ω
für diese Darstellung verwenden kann.
• in u das erste Mal zu stoppen (bedingt darauf, noch nicht gestoppt zu haben)
P
l:(u,l)∈D(ω) Xu,l
P
1 − (k,l)∈D(ω):t(k)<t(u) Xk,l
• bedingt auf dieses Stoppen weiter bis v zu laufen
Y
qkl (u)
k:uk≺v
• und schließlich in v das zweite Mal zu stoppen (bedingt darauf, in u bereits gestoppt
zu haben)
Xu,v
P
l:(u,l)∈D(ω) Xu,l
Also gilt
Wu,v = 1 −
Y
qkl (u) ∗ P
k:0k≺l
Y
k:0k≺l
qkl
∗
l:(u,l)∈D(ω) Xu,l
1−
P
(k,l)∈D(ω):t(k)<t(u) Xk,l
Xu,v
l:(u,l)∈D(ω) Xu,l
k:uk≺v
= Xu,v ∗
Y
Xk,l ∗
(k,l)∈D(ω):t(k)<t(u)
∗
P
X
qkl ∗
Y
qkl (u)
k:uk≺v
= Xu,v ∗ Qu (v)
Da sich diese Wahrscheinlichkeiten zu 1 aufsummieren, gilt also
P
(u,v)∈D
Xu,v ∗ Qu (v) =
1. Damit wäre unser erstes Hauptresultat gezeigt.
Im nächsten Satz werden wir eine Folgerung aus dem Dualen Programm aus Kapitel
(3.2) herleiten:
26
3.3 Wichtige Sätze
Satz 3.3.2 Aus dem Dualen Programm (DP) von Kapitel 3.2 folgt das Optimierungsproblem:
X
max
W
P
NB :
(k,l)∈D
Wk,l (Lk + Ll )
(k,l)∈D
Wk,l
P
b∈u+ (Sb
P
b∈u+ (Sb
= 1 [I’]
− Su )
P
− Su )
P
(k,l)∈D:bk
l:bl
Wk,l = 0 [II’(u)] ∀u : t(u) < T
= 0 [III’(k,u)] ∀(k, u) : k u, t(u) < T
Wk,l
Wk,l ≥ 0
Beweis:
Die Ungleichheitsbedingung I des DP kann bei dem gegebenen Maximierungsproblem
offensichtlich als Gleichheitsbedingung und somit als I’ geschrieben werden. Zu zeigen
bleibt, dass man die Nebenbedingungen II(u) ∀u : t(u) < T und III(k,u) ∀(k, u) : k u
in die Nebenbedingungen II’(u) und III’(k,u) überführen kann.
Beginnen wir mit II’(u): Setzt man in Bedingung III(k,u) k = u, so erhält man
X
Wk,l (Sl − Sk ) = 0
∀k≺T
(3.15)
l:k≺l
Also folgt ∀u : t(u) < T :
II(u)-
P
b∈u+
⇒
P
=
P
II(b)= 0
(k,l)∈D:u≺k
b∈u+
P
Wk,l (Sl − Su ) −
l:(b,l)∈D
P
b∈u+
Wb,l (Sl − Su ) +
P
P
(k,l)∈D:b≺k
b∈u+
P
Wk,l (Sl − Sb )
(k,l)∈D:b≺k
Wk,l [(Sl − Su ) − (Sl − Sb )]
{z
}
|
=Sb −Su
u+
Subtrahieren von Gleichung (3.15) für alle k = b ∈
ergibt
P
P
P
P
= b∈u+ l:(b,l)∈D Wb,l (Sb − Su ) + b∈u+ (k,l)∈D:b≺k Wk,l (Sb − Su )
P
P
P
= b∈u+
W
+
W
b,l
k,l (Sb − Su )
l:(b,l)∈D
(k,l)∈D:b≺k
P
P
= b∈u+ (Sb − Su ) ∗ (k,l)∈D:bk Wk,l = 0
= II’(u)
27
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
Kommen wir nun zu III’(u): Für jedes Paar (k, u) : k u gilt
III(k,u)-
P
b∈u+
⇒
III(k,b) = 0
P
l:u≺l
Wk,l (Sl − Su ) −
P
b∈u+
P
l:b≺l
Wk,l (Sl − Sb )
P
P
Wk,b (Sb − Su ) + b∈u+ l:b≺l Wk,l [(Sl − Su ) − (Sl − Sb )]
P
P
= b∈u+ Wk,b (Sb − Su ) + l:b≺l Wk,l (Sb − Su )
P
P
= b∈u+ (Sb − Su ) ∗ l:bl Wk,l = 0
=
P
b∈u+
= III’(k,u)
Damit wäre das Lemma bewiesen.
Definition 3.3.3 (Martingalmaß) Es sei S ein adaptierter, stochastischer Prozess.
Ein randomisiertes Maß Q heißt Martingalmaß für S, wenn
EQ (St+1 − St | Fet ) = 0
f ür t = 0, . . . , T − 1
Die Menge der Martingalmaße eines Prozesses S bezeichnen wir mit M(S).
Ein Martingalmass muss also nur die handliche Ein-Perioden Martingalbedingung erfüllen.
Da man allerdings auf Fet bedingt, fließen Informationen über das Stoppen in der Vergangenheit in die Erwartung mit ein.
Korollar 3.3.4 Gelten die Gleichungen
X
Wk,l (Sl − Su ) = 0
∀ u : t(u) < T − 1
(3.16)
∀ (k, u) : k u, t(u) < T
(3.17)
(k,l)∈D:u≺k
sowie
X
Wk,l (Sl − Su ) = 0
l:u≺l
so macht das durch die Gleichungen (3.9) und (3.10) definierte Maß Q den Preis der
Aktie S zu einem Martingal.
Beweis:
Der Beweis folgt sofort aus Satz 3.3.2. Aus II’(u) folgt die Martingaleigenschaft für
28
3.4 Der Upper Hedging Preis
den Fall, dass noch nicht gestoppt wurde und aus III’(k,u) für den Fall, dass bereits in
k gestoppt wurde.
3.4 Der Upper Hedging Preis
Mit den Ergebnissen des vorangegangenen Abschnitts kommen wir nun zu einem der
Hauptresultate dieser Arbeit:
Satz 3.4.1 Der Upper Hedging Preis pup hat folgende Darstellung:
pup = max
X
max
Q∈M(S)
EQ [L ∗ X]
(3.18)
wobei X eine Pfadrandomisierung ist.
Beweis
Das Minimierungsproblem des Primalen Programmes aus Kapitel 3.1 beschreibt den
Upper Hedging Preis pup . Dieser lässt sich nach der starken Dualität auch als Maximierungsproblem des Dualen Programmes aus Kapitel 3.2 schreiben. Die Nebenbedingung
I vom DP besagt, dass es sich bei W um ein Paarmaß handelt. Maximiert man also im
DP über Paarmaße, so entfällt diese Nebenbedingung.
Aus Satz 3.3.1 ergibt sich weiter, dass die Maximierung über alle Paarmaße W äquivalent zu der Maximierung über alle Pfadrandomisierungen X und alle randomisierten
Maße Q ist. Letztlich ergibt sich aus Korollar 3.3.4, dass man die Maximierung auf
Martingalmaße bzgl. dem Aktienpreisprozess S einschränken kann, da die Martingaleigenschaft von Q durch die Nebenbedingungen II’ und III’ verlangt wird. Also erhält
man die Form:
pup = max
X
X
max
Q∈M(S)
Xu,v Qu (v) (Lu + Lv )
(3.19)
(u,v)∈D
Wir definieren die Menge Ωi,j = {(k, l) ∈ D : t(k) = i, t(l) = j}. Es folgt nun:
P
(u,v)∈D
Xk,l ∗ Qu (v)(Lk + Ll )
=
P
P
Xk,l Qk (l)(Lk + Ll )
=
P
P
Xk,l
i,j:i<j≤T
i,j:i<j≤T
(k,l)∈Ωi,j
(k,l)∈Ωi,j
P
ω̃:l∈ω̃
Qω̃i (ω̃)(Lk + Ll )
29
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
=
P
P
P
Xk,l Qω̃i (ω̃)(Lk + Ll )
=
P
P
P
Xω̃i ,ω̃j Qω̃i (ω̃)(Lω̃i + Lω̃j )
=
P
P
=
P P
i,j:i<j≤T
i,j:i<j≤T
i,j:i<j≤T
(k,l)∈Ωi,j
(k,l)∈Ωi,j
ω
ω̃:l∈ω̃
ω̃:l∈ω̃
Xωi ,ωj Qωi (ω)(Lωi + Lωj )
Xωi ,ωj Qωi (ω)(Lωi + Lωj )
Bem 2.4.2 Q
=
E Xωi ,ωj (Lωi + Lωj )
ω
i,j:i<j≤T
= EQ (L ∗ X)
Somit erhalten wir nun die gewünschte Darstellung
pup = max
X
max
Q∈M(S)
EQ (L ∗ X)
(3.20)
3.5 Reduktion auf Doppelstoppzeiten“
”
In diesem Abschnitt werden wir die Ergebnisse des letzten Kapitels auf sogenannte Dop”
pelstoppzeiten“ reduzieren. Wir werden zeigen, dass im Fall ohne TAK keine Pfadrandomisierungen für die Darstellung des Upper Hedging Preises nötig sind.
Definition 3.5.1 (Doppelstoppzeit) Eine Pfadrandomisierung X ist eine Doppel”
stoppzeit“ wenn sie pro Pfad ω nur einem Punktepaar einen Wert > 0 zuordnet, d.h.
wenn
Xu,v > 0 f ür (u, v) ∈ D(ω) ⇒6 ∃ (k, l) ∈ D(ω) mit (k, l) 6= (u, v) : Xk,l > 0.
Da eine Doppelstoppzeit ein Spezialfall einer Pfadrandomisierung ist, folgt direkt, dass
auf jedem Pfad genau einem Knotenpaar die Stoppwahrscheinlichkeit 1 zugeordnet wird.
Eine Doppelstoppzeit ließe sich somit auch als Paar von Stoppzeiten (τ1 , τ2 ) mit τ2 >
τ1 + 1 P − f.s. interpretieren.
Nach Bem. 2.5.3 bildet die Menge der Pfadrandomisierungen einen endlich erzeugten
Polyeder P . Weiter ist offensichtlich f (X) = maxQ∈M(S) EQ [L ∗ X] konvex. Nach Satz
1.14. aus dem Skript zur Vorlesung Optimierung I, Sommersemester 2005 von Prof.
”
”
30
3.5 Reduktion auf Doppelstoppzeiten“
”
Rüdiger Frey gilt somit die Abschätzung f (x) ≤ max{f (xi ), 1 ≤ i ≤ r} ∀ x ∈ P wobei
{x1 , . . . , xr } die Extremalpunkte von P sind.
Im folgenden Satz werden wir nun zeigen, dass jeder Extremalpunkte des Polyeders der
Pfadrandomisierungen eine Doppelstoppzeit ist. Somit wird es ausreichen, die Maximierung im Ausdruck (3.20) über Doppelstoppzeiten durchzuführen.
Satz 3.5.2 Die Extremalpunkte der Menge der Pfadrandomisierungen sind Doppelstoppzeiten.
Beweis: Wir werden zeigen, dass eine echte“ Pfadrandomisierung kein Extremalpunkt
”
sein kann, was gleichbedeutend zu der Aussage des Satzes ist.
Sei nun also eine Pfadrandomisierung X keine Doppelstoppzeit, d.h. es existiert ein
ω mit (u, v), (ũ, ṽ) ∈ D(ω) so dass Xu,v > 0 und Xũ,ṽ > 0. Wir betrachten nun diesen Pfad ω sowie die Knotenpaare (u, v) und (ũ, ṽ). Wähle weiter ein > 0 so dass
< Xk,l
∀(k, l) ∈ D mit Xk,l > 0.
A) Es sei u 6= ũ :
Definiere nun X für einen festen Pfad ω durch
Xω i ,ωj =













Xωi ,ωj + Xωi ,ωj − wenn u 6= ωi 6= ũ
Xωi ,ωj
X
P
P
ωi ,ωj
v∈ω:u≺v
wenn ωi = u
wenn ωi = ũ
Xu,v
Xωi ,ωj
v∈ω:ũ≺v Xũ,v
Analog sei X − definiert.
Aus der Konstruktion von X und X − folgt sofort, dass X = 12 (X + X − ). Zu zeigen
bleibt nun also noch, dass X und X − Pfadrandomisierungen sind!
Beginnen wir mit X : Für einen festen Pfad ω gilt:
(k,l)∈D(ω) Xk,l
P
=
P
(k,l)∈D(ω):ũ6=k6=u Xk,l
+
P
+
Xu,l
=
P
+
P
Xu,l + +
=
P
(k,l)∈D(ω):ũ6=k6=u Xk,l
(k,l)∈D(ω) Xk,l
l∈ω:u≺l
l∈ω:u≺l
P
l∈ω:ũ≺l
P
Xũ,l
l∈ω:ũ≺l
Xũ,l − =1
Ähnlich zeigen wir die Adaptiertheit von X . Zu zeigen ist, dass für festes k : t(k) < T
31
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
die Zufallsvariable ω 7→
l:(k,l)∈D(ω) Xk,l
P
− Ft(k) messbar ist.
Fall 1: ũ 6= k 6= u
=X
In diesem Fall ist Xk,l
k,l
∀ l : (k, l) ∈ D(ω) und somit folgt aus der Adaptiertheit
von X auch die Adaptiertheit von X auf diesen Knoten.
Fall 2: k = u
X
Xk,l
=
l:(k,l)∈D(ω)
X
Xk,l + P
Xk,l
l:(k,l)∈D(ω) Xk,l
l:(k,l)∈D(ω)
=
X
Xk,l + ∀ ω : k ∈ ω
l:(k,l)∈D(ω)
Auch hier folgt damit aus der Adaptiertheit von X die Adaptiertheit von X auf dem
Knoten u.
Fall 3: k = ũ
Analog zu Fall 2 ergibt sich:
X
l:(k,l)∈D(ω)
=
Xk,l
X
Xk,l − ∀ ω : k ∈ ω
l:(k,l)∈D(ω)
und somit die gewünschte Eigenschaft von X auf ũ.
Mit Fall 1-3 folgt nun, dass X eine RDS ist. Der Beweis für X − läuft vollkommen
analog ab.
B) Ist hingegen u = ũ:
=X
In diesem Fall setze Xu,v
u,v − , Xũ,ṽ = Xũ,ṽ + und ansonsten Xk,l = Xk,l ∀ (k, l) :
(u, v) 6= (k, l) 6= (ũ, ṽ). Analog definiere X − . Offensichtlich sind sowohl X als auch X −
Pfadrandomisierungen und es gilt X = 21 (X +X − ).
Damit wäre der Satz 3.5.2 bewiesen und wir können uns nach der folgenden alternativen Herleitung von pup im nächsten Kapitel dem allgemeinen Problem mit TAK stellen.
32
3.6 Darstellung des Upper Hedging Preises durch die Snell Einhüllende
3.6 Darstellung des Upper Hedging Preises durch die Snell
Einhüllende
Zum Abschluss dieses Kapitels werden wir nun einen Weg skizzieren, den Upper Hedging
Preis mit Hilfe der Snell Einhüllenden zu finden. Die Zeit bei dieser Herleitung ist weiterhin diskret, allerdings kann der Zustandsraum beliebig gewählt werden. Wir gehen
analog zu dem Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik“ von Prof. Dr. Chri”
stoph Kühn vor. Alle Hinweise auf Sätze bzw. Definitionen beziehen sich auf das Kapitel
6 Superhedging“ des oben genannten Skripts. Wir verwenden somit nicht den Begriff
”
der Pfadrandomisierung bzw. Doppelstoppzeit, sondern betrachten in diesem Abschnitt
ein Paar von Stoppzeiten (τ1 , τ2 ) mit τ2 ≥ τ1 + 1 P − f.s. Die sonstigen Bezeichnungen
übernehmen wir aus den vorherigen Kapiteln dieser Arbeit.
Gesucht wird auch jetzt wiederum der minimale Optionspreis x, der Startkapital für
ein Portfolio Φ ist, so dass
Z
x+
t1
Z
1
t2
ϕ dS +
0
ϕ2 dS ≥ Lt1 + Lt2
∀(t1 , t2 ) : t2 ≥ t1 + 1
t1
Behauptung ist, dass
x̃ =
sup
(τ1 ,τ2 ):τ2 ≥τ1 +1
sup EQ (Lτ1 + Lτ2 )
Q∈M(S)
dieser minimale Preis ist.
Zunächste betrachten wir die obere Snell Einhüllende der Menge M(S):
Yt↑ = ess supτ2 ≥t ess supQ∈M(S) EQ (Lτ2 | Ft )
Den Sprung der Snell Einhüllenden von t auf t + 1 unterteilen wir nun folgendermaßen:
↑
Yt+0,5
= ess supτ2 ≥t+1 ess supQ∈M(S) EQ (Lτ2 | Ft )
Beim Schritt von t zu t + 0, 5 wird zunächst die Menge der Stoppzeiten bei gegebener
Filtration eingeschränkt. Es wird so modelliert, dass in diesem Schritt allerdings noch
kein Handel stattfindet, sondern erst von t + 0, 5 bis t + 1. Demnach gilt Ft+0,5 = Ft .
Man kann also zur Zeit t + 0, 5 erst in t + 1 wieder stoppen, hat allerdings nicht mehr
Informationen als zur Zeit t.
33
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
Definition 3.6.1 Sei Q eine nichtleere Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, FT ).
Ein adaptierter Prozess L heißt Q- Supermartingal, wenn L ein Q-Supermartingal für
alle Q ∈ Q ist.
↑
↑
Satz 3.6.2 Der zusammengesetzte Prozess Y0↑ , Y0,5
, Y1↑ , Y1,5
, ... ist ein M(S) Supermar-
tingal.
↑
Beweis: Es gilt offensichtlich: Yt+0,5
≤ Yt↑ . Also folgt ∀ Q ∈ M(S):
↑
EQ (Yt+0,5
| Ft ) ≤ EQ (Yt↑ |Ft )
= EQ (ess supτ2 ≥t ess supQ∈M(S) EQ (Lτ2 |Ft ) | Ft )
= ess supτ2 ≥t ess supQ∈M(S) EQ (Lτ2 |Ft )
= Yt↑
↑
↑
z.z. bleibt, dass E Q (Yt+1
|Ft+0,5 ) ≤ Yt+0,5
. Diesen Beweise führe ich analog zu dem Be-
weis, dass die obere Snell Einhüllende ein Supermartingal ist (Satz 6.11 aus dem oben
genannten Skript).
Es sei YtQ die Snell Einhüllende von L bzgl. des Maßes Q zur Zeit t. Es gilt:
↑
= ess supQ∈M(S) ess supτ2 ≥t EQ (Lτ2 | Ft−1 )
Yt−0,5
= ess supQ∈M(S) EQ (ess supτ2 ≥t E Q (Lτ2 | Ft ) | Ft−1 )
= ess supQ∈M(S) EQ (YtQ | Ft−1 )
(3.21)
Für ein festes Q∗ ∈ M(S) sei Qt (Q∗ ) die Menge der Maße Q, die auf Ft mit Q∗ übereinstimmt. Da YtQ Ft -messbar ist, gilt:
∗
EQ (YtQ | Ft−1 ) = EQ (YtQ | Ft−1 ) ∀ ∈ Qt (Q∗ )
(3.22)
Aus Lemma 6.3 und Lemma 6.6 folgt, dass die Menge {YtQ | Q ∈ Qt (Q∗ )} maximumsstabil ist und dass ess supQ∈M(S) YtQ = ess supQ∈Qt (Q∗ ) YtQ . Aus diesen beiden Aussagen
folgt, dass es eine Folge (Qk )k∈N ⊂ Qt (Q∗ ) mit YtQk % Yt↑ gibt. Mit Monotoner Konvergenz erhält man:
(3.22)
∗
ess supQ∈M(S) EQ (YtQ | Ft−1 ) = ess supQ∗ ∈M(S) ess supQ∈Qt (Q∗ ) EQ (YtQ |Ft−1 )
∗
= ess supQ∗ ∈M(S) limk→∞ EQ (YtQk |Ft−1 )
34
3.6 Darstellung des Upper Hedging Preises durch die Snell Einhüllende
= ess supQ∗ ∈M(S) EQ (Yt↑ |Ft−1 )
∗
Mit Gleichung (3.21) ergibt sich nun also ∀Q ∈ M(S):
∗
Yt−0,5 = ess supQ∗ ∈M(S) EQ (Yt↑ |Ft−1 ) ≥ EQ (Yt↑ |Ft−1 ) = E(Yt↑ | Ft−0,5 )
Somit wäre der Satz bewiesen.
Da der zusammengesetzte Prozess aus Satz 3.6.2 ein Supermartingal ist, existieren
nach Satz 6.13 ein monoton fallender Prozess At (mit A0 = 0) und eine Strategie ϕ2 so
Rt
P
dass Yt = Mt + tu=0 ϕ2u ∆Su + At = M0 + 0 ϕ2 dS + At . Da zwischen τ1 und τ1 + 0, 5
kein Handel stattfindet und wegen der Monotonie von At gilt:
Z
τ2
ϕ2 dS =
Yτ2 −Yτ1+0,5 ≤
Z
τ2
ϕ2 dS
für τ2 ≥ τ1 +1 P −f.s.
τ1
τ1+0,5
(3.23)
Definiere nun im zweiten Schritt
Vt = ess sup(τ1 ,τ2 ):τ2 ≥τ1 +1
ess supQ∈M(S) EQ (Lτ1 + Lτ2 | Ft ).
Man beachte, dass V0 = x̃! Es gilt weiter:
ess supτ1 ess supQ∈M(S) EQ (Lτ1 + Yτ1 +0,5 | Ft )
= ess supτ1 ess supQ∈M(S) EQ (Lτ1 | Ft )
+ EQ (ess supQ∈M(S) ess supτ2 ≥τ1 +1 EQ (Lτ2 | Fτ1 ) | Ft )
Der Ausdruck ess supQ∈M(S) ess supτ2 ≥t+1 EQ (Lτ2 | Fτ1 ) ist die Snell Einhüllende des
Prozesses L zur Zeit τ1 mit einem Zeitlag von 1. Mit den gleichen Argumenten wie
im zweiten Teil des Beweises von Satz 3.6.2 läßt sich zeigen, dass EQ (ess supQ∈M(S)
0
ess supτ2 ≥τ1 +1 EQ (Lτ2 | Fτ1 ) | Ft ) = ess supQ0 ∈Qt (Q) EQ (ess supτ2 ≥τ1 +1 EQ (Lτ2 | Fτ1 ) | Ft )
= EQ (ess supτ2 ≥τ1 +1 EQ (Lτ2 | Fτ1 ) | Ft ). Des Weiteren lässt sich eine Folge von Stoppzeiten (τ2l )l∈N finden mit EQ (Lτ l | Fτ1 ) % ess supτ2 ≥τ1 +1 EQ (Lτ2 | Fτ1 ). Also gilt weiter
2
= ess supτ1 ess supQ∈M(S) EQ (Lτ1 | Ft )
+ EQ (liml→∞ (EQ (Lτ l | Fτ1 ) | Ft )
2
35
3 Upper Hedging Preis ohne Transaktionskosten
Mit Monotoner Konvergenz erhält man für τ1 ≥ t
= ess supτ1 ess supQ∈M(S) liml→∞ EQ (Lτ1 | Ft ) + EQ (Lτ l | Ft )
2
= ess sup(τ2 ,τ1 ):τ2 ≥τ1 +1 ess
supQ∈M(S) EQ (Lτ1
+ Lτ2 | Ft )
Somit erhält man
Vt = ess supτ1 ess supQ∈M(S) EQ (Lτ1 + Yτ1 +0,5 | Ft ) ∀ τ1 ≥ t P − f.s.
(3.24)
Da auch Vt ein M(S)-Supermartingal ist, existieren nach Satz 6.13 ein monoton fallenet =
et (mit A
e0 = 0) und eine Strategie ϕ1 so dass Vt = V0 + Pt ϕ1 ∆Su + A
der Prozess A
u=0 u
Rt 1
et . Mit V0 = x̃ erhält man
V0 + 0 ϕ dS + A
Z
Vt ≤ x̃ +
t
ϕ1 dS
∀ t ≤ τ1 P − f.s.
(3.25)
0
Also gilt jetzt für 2 beliebige Stoppzeiten τ1 , τ2 mit τ2 ≥ τ1 + 1 P-f.s.:
x̃ +
R τ1
0
ϕ1 dS +
(3.25)
≥ Vτ1 +
R τ2
R τ2
τ1
τ1
ϕ2 dS
ϕ2 dS
(3.24)
≥ Lτ1 + Yτ1 +0,5 +
R τ2
τ1
ϕ2 dS
(3.23)
≥ Lτ1 + Yτ2
≥ Lτ1 + Lτ2
Andererseits ist x̃ die Snell Einhüllende U von L zur Zeit 0. Die Snell Einhüllende
ist nach Satz 6.11 das kleinste M(S)-Supermartingal, dass L dominiert. Sei nun ϕ eine
Strategie mit x+ϕ•S ≥ L, so folgt (da x+ϕ•S ein M(S)-Martingal ist), dass x ≥ U0 = x̃.
Es folgt nun also, dass x̃ der gesuchte Upper Hedging Preis ist. Wir haben sogar gezeigt, dass eine Bedingung der zweiten Strategie ϕ2 auf den ersten Stoppzeitpunkt nicht
notwendig ist. Die Information über die Wahl des ersten Stoppknotens muss also nicht
notwendigerweise in der Filtration stecken, um effektiv zu Hedgen. Der Halter der Option ist somit in der Lage, zur Zeit 0 eine universelle“ Strategie festlegen. Dieses Resultat
”
ist bei dem Beweis mit Hilfe der Linearen Optimierung nicht zu sehen.
36
4 Upper Hedging Preis mit
Transaktionskosten
4.1 Transaktionskosten
Im letzten Kapitel haben wir den Upper Hedging Preis hergeleitet. Wir sind davon ausgegangen, dass beim Handeln mit der Aktie keine Kosten auftreten. Da dies im Allgemeinen
nicht gilt, führen wir nun Transaktionskosten (TAK) ein.
In diesem Kapitel treten proportionale TAK auf, d.h. bei einer Aktie mit Preis S treten beim Kauf Kosten in Höhe von λ S bzw. beim Verkauf Kosten von µ S auf, wobei
λ, µ ≥ 0. Liegt der Preis der Aktie im Knoten u bei Su , so ist der Kaufpreis (inkl. TAK)
einer Aktie (1 + λ)Su und der Verkaufspreis (inkl. TAK) (1 − µ)Su . Der tatsächliche
Preis der Aktie hängt also davon ab, ob man sie kauft oder verkauft.
Um dieses Problem in den Griff zu bekommen, trennen wir die Käufe bzw. Verkäufe
der Aktie, indem wir uns im Folgenden zwei verschiedene Aktien vorstellen. Mit der Aktie
e können wir in jeder Periode nur in eine Long Position gehen (sie hat den Preisprozess
L
(1 + λ)Su ), mit der zweiten Aktie Se können wir hingegen nur in eine Short Position
gehen (sie hat den Preisprozess (1 − µ)Su ). Seien also ϕl (u) und ϕs (u) die Anzahl der
e bzw. Se im Knoten u, so gilt ϕl (u) ≥ 0 und −ϕs (u) ≥ 0. Des Weiteren gilt
Aktie L
offensichtlich auch, dass ∆ϕl (u) ≥ 0 und −∆ϕs (u) ≥ 0. Das Portfolio im Knoten u hat
nun also folgende Form: Φ(u) = [ϕl (u), ϕs (u), β(u)]. Die Gesamtanzahl von Aktien im
Knoten u ist dabei ϕl (u) + ϕs (u).
Beim finalen Auflösen des Portfolios treten allerdings weiterhin keine TAK auf, d.h. der
Preis der Aktie beim Auflösen ist S und somit ist der theoretische Wert des Portfolios
im Knoten u
VuΦ = (ϕl (u) + ϕs (u))Su + β(u)
(4.1)
Da unter anderem der Preis S der Aktie nun nicht mehr eindeutig bestimmt ist, muss
der Begriff des Martingalmaßes neu definiert werden.
37
4 Upper Hedging Preis mit Transaktionskosten
Definition 4.1.1 (Approximatives Martingalmaß) Sei S der Preisprozess der Aktie. Ein Maß Q heißt Approximatives Martingalmaß für S bzgl. den Transaktionskosten
λ, µ und der Pfadrandomisierung X, wenn
(1 − µ)Su ≤ EQ [S ∗ X | Fet(u) ] ≤ (1 + λ)Su
wobei S ∗ X dabei wie in Gleichung (2.9) definiert sei. Wir schreiben in diesem Fall
Q ∈ Mλ,µ,X (S).
Der erwartete Preis der Aktie in einem zukünftigen Knoten unter dem Approximativen
Martingalmaß bzgl. den TAK und einer Pfadrandomisierung muss also zwischen dem
aktuellen Kauf- und Verkaufspreis liegen. Dabei wird auf die Filtration Fe bedingt, d.h.
auch die Informationen über bisherige Stoppentscheidungen spielen eine Rolle.
4.2 Das Primale Programm unter TAK
Auch im Fall mit TAK liegt das Problem darin, den minimalen Verkaufspreis x der Swing
Option zu finden, mit dem es möglich ist, ein selbstfinanzierendes Portfolio Φ aufzubauen, so dass der Vermögensprozess des Portfolios für jedes Paar von Stoppknoten aus D
die Auszahlung an den Käufer der Option dominiert.
Da man nun technisch die Käufe und Verkäufe der Aktie trennt, erhält man mehr Primale Variablen als im Fall ohne TAK. Das Wechseln der Hedging Strategie zum ersten
Stoppzeitpunkt behandeln wir analog zum letzten Kapitel. Die Primalen Variablen sind
2,s
nun: x, ϕ1,l (•), −ϕ1,s (•), ϕ2,l
k (•), −ϕk (•) wobei (•) alle Knoten und k alle möglichen er-
sten Stoppzeitpunkte durchläuft. Diese sind, wie im letzten Abschnitt beschrieben, alle
beschränkt, d.h. es treten keine freien Primalen Variablen mehr auf. Das Duale Programm wird demnach nur Ungleichheitsnebenbedingungen haben.
Die Selbstfinanzierungseigenschaft des Portfolios wird wie im vorangehenden Kapitel durch die Form des Vermögensprozesses gewährleistet. Damit ergibt sich folgendes
Primale Programm
38
4.2 Das Primale Programm unter TAK
min x
NB : x +
P
ϕ1,l (u− )∆l Su −
P
+
P
−
l
ϕ2,l
k (u )∆ Su −
P
u:0≺uk
u:k≺uv
u:0≺uk
u:k≺uv
−ϕ1,s (u− )∆s Su
−
s
−ϕ2,s
k (u )∆ Su ≥ Lk + Lv
∀(k, v) ∈ D
2,s
x, ϕ1,l (•), −ϕ1,s (•), ϕ2,l
k (•), −ϕk (•) ≥ 0 ∀ k : t(k) < T
Man beachte die Unterscheidung in ∆l und ∆s . Es gilt: ∆l Su = (Su − Su− )(1 + λ) bzw.
∆s Su = (Su − Su− )(1 − µ). Zum zweiten Stoppzeitpunkt v (also zum Zeitpunkt des
finalen Auflösens des Portfolios) spielen die TAK, wie bereits erwähnt, keine Rolle. Hier
gilt demnach ∆l Sv = Sv − Sv− (1 + λ) bzw. ∆s Sv = Sv − Sv− (1 − µ).
Ähnlich wie im Fall ohne TAK lassen sich die Nebenbedingungen dieses Primalen Programmes in eine für uns angenehmere Form zum Weiterarbeiten bringen. Es gilt nämlich
auch hier:
P
u:0u≺k ∆ϕ
1,l (u)(S
= Sv
v
P
− Su (1 + λ))
u:0u≺k (ϕ
1,l (u)
− ϕ1,l (u− )) −
P
u:0u≺k (ϕ
1,l (u)
− ϕ1,l (u− ))Su (1 + λ)
= ϕ1,l (k − )Sv + ϕ1,l (0)(S1 − S0 )(1 + λ) + . . . + ϕ1,l (k −− )(Sk− − Sk−− )(1 + λ)
−ϕ1,l (k − )Sk− (1 + λ)
P
= u:0≺uk− ϕ1,l (u− )∆l Su + ϕ1,l (k − )Sv − ϕ1,l (k − )Sk− (1 + λ)
X
⇔
ϕ1,l (u)∆l Su +ϕ1,l (k − )Sv −ϕ1,l (k − )Sk− (1+λ) =
u:0≺uk−
X
∆ϕ1,l (u)(Sv −Su (1+λ))
u:0u≺k
(4.2)
Des Weiteren ergibt sich für jeden möglichen ersten Stoppknoten k:
2,l
u:ku≺v ∆ϕk (u)(Sv
P
− Su (1 + λ))
2,l −
−
= Sv (ϕ2,l
k (l ) − ϕk (k )) −
| {z }
P
u:ku≺v
∆ϕ2,l
k (u)Su (1 + λ)
ϕ1,l (k− )
ϕ1,l (k− )
z }| {
− ) − ϕ1,l (k − )) + ϕ2,l (k − ) S − ϕ2,l (l− )S (1 + λ)
= Sv (ϕ2,l
(l
k
v−
k
k
39
4 Upper Hedging Preis mit Transaktionskosten
2,l −− )(S
+ϕ2,l
v − − Sv −− )(1 + λ)
k (k)(Sk+ − Sk )(1 + λ) + . . . + ϕ (l
=
⇔
X
P
u:k≺uv
−
l
1,l −
1,l −
ϕ2,l
k (u )∆ Su − ϕ (k )Sv + ϕ (k )Sk (1 + λ)
−
l
1,l −
1,l −
ϕ2,l
k (u )∆ Su −ϕ (k )Sv +ϕ (k )Sk (1+λ) =
u:k≺uv
X
∆ϕ2,l (u)(Sv −Su (1+λ))
u:ku≺v
(4.3)
Fasst man nun (4.2) und (4.3) zusammen, so erhält man ∀ (k, v) ∈ D:
X
0≺uk
X
ϕ1,l (u− )+
X
X
2,l
−
l
1,l
ϕ2,l
(u
)
∆
S
=
∆ϕ
(u)+
∆ϕ
(u)
(Sv −Su (1+λ))
u
k
k
k≺uv
0u≺k
ku≺v
(4.4)
Vollkommen analog zu Gleichung (4.4) erhält man:
X
0≺uk
ϕ1,s (u− )+
X
X
X
2,s
−
s
1,s
ϕ2,s
(u
)
∆
S
=
∆ϕ
(u)+
∆ϕ
(u)
(Sv −Su (1−µ))
u
k
k
k≺uv
0u≺k
ku≺v
(4.5)
Mit den Gleichungen (4.4) und (4.5) erhalten wir dieses Primale Programm, mit dem
wir im Folgenden weiterarbeiten werden:
min x
P
P
2,l
1,l
N B : x+
u:ku≺v ∆ϕk (u) (Sv − Su (1 + λ))
u:0u≺k ∆ϕ (u) +
P
P
2,s
1,s (u)+
−∆ϕ
−∆ϕ
(u)
(Sv − Su (1 − µ))
−
u:ku≺v
u:0u≺k
k
≥ Lk + Lv
∀(k, v) ∈ D
2,s
1,s
x, ∆ϕ1,l (•), ∆ϕ2,l
k (•), −∆ϕ (•), −∆ϕk (•) ≥ 0 ∀ k : t(k) < T.
40
(Wk,v )
4.3 Das Duale Programm unter TAK
4.3 Das Duale Programm unter TAK
Da, wie oben bereits erwähnt, alle Variablen des PP-s beschränkt sind, erhalten wir
im Dualen Programm ausschließlich Ungleichheitsnebenbedingungen. Es ergibt sich das
folgende Duale Programm (DP):
max
W
NB :
P
P(k,l)∈D
X
Wk,l
P(k,l)∈D:u≺k
Wk,l (Lk + Ll )
(k,l)∈D
Wk,l (Sl − Su (1 + λ))
≤ 1 [I]
≤ 0 [II(u)l ] ∀u : t(u) < T
−Wk,l (Sl − Su (1 − µ)) ≤ 0 [II(u)s ] ∀u : t(u) < T
P(k,l)∈D:u≺k
≤ 0 [III(k,u)l ] ∀(k, u) : k u, t(u) < T
l:u≺l Wk,l (Sl − Su (1 + λ))
P
≤ 0 [III(k,u)s ] ∀(k, u) : k u, t(u) < T
l:u≺l −Wk,l (Sl − Su (1 − µ))
Die Bedingung I gehört zur primalen Variablen x . Da es sich um ein Maximierungsproblem handelt, kann diese Bedingung künftig auch als Gleichheitsbedingung geschrieben
werden.
Bedingung II(u)i gehört zur primalen Variblen ∆ϕ1,i (u) für i ∈ {l, s}. Sie spiegeln den
Fall wider, dass man sich in u befindet, aber noch nicht gestoppt hat.
Bedingung III(u,k)i gehört zur primalen Variablen ∆ϕ2,i
k (u) für i ∈ {l, s}. Sie spiegeln
den Fall wider, dass man sich in u befindet, bedingt darauf, bei k bereits gestoppt zu
haben.
4.4 Upper Hedging Preis unter TAK
Im Fall ohne TAK haben wir das Paarmaß W in eine Pfadrandomisierung X und ein
rondomisiertes Maß Q zerlegt. Weiter wurde gezeigt, dass die Nebenbedingungen vom
Dualen Programm gleichbedeutend mit der Ein-Perioden Martingalbedingung bzgl. des
Aktienpreises S für jeden Zeitschritt für Q ist! In diesem Kapitel übernehmen wir nun die
Zerlegung von W aus Satz 3.3.1. Allerdings herrscht unter TAK keine Äquivalenz mehr
zwischen den Nebenbedingungen II(u)i sowie III(k, u)i für i ∈ {s, l} und der handlichen
Ein-Perioden Martingalbedingung: Da wir die Aktie technisch trennen, ist ihr Preis nicht
mehr eindeutig und im Dualen Programm tauchen ausschließlich Ungleichheitsnebenbedingungen auf. Damit lässt sich das Duale Programm nicht ohne Weiteres wie in Satz
41
4 Upper Hedging Preis mit Transaktionskosten
3.3.2 vereinfachen. Somit zeigen wir nur eine Äquivalenz zwischen den Nebenbedingungen des Dualen Programms und der unhandlichen approximativen Martingaleigenschaft
aus Def 4.1.1, die abhängig von der Wahl der Pfadrandomisierung ist. Ein Herunterbrechen auf eine handliche lokale Bedingung ist nicht möglich.
Die Nebenbedingung I ist analog wie im Fall ohne TAK bindend, da es sich um ein
Maximierungsproblem handelt. Sie sichert, dass es sich bei W um ein Paarmaß handelt.
Aus Satz 3.2.1 folgt nun also, dass das DP äquivalent zu folgendem Linearen Programm
ist:
max max
Q
P
NB :
P(k,l)∈D:u≺k
X
X
Qk (l) Xk,l (Lk + Ll )
(k,l)∈D
Qk (l) Xk,l (Sl − Su (1 + λ)) ≤ 0 [II(u)l ] ∀u : t(u) < T
Qk (l) Xk,l (Su (1 − µ) − Sl ) ≤ 0 [II(u)s ] ∀u : t(u) < T
P(k,l)∈D:u≺k
Qk (l) Xk,l (Sl − Su (1 + λ))
≤ 0 [III(k,u)l ] ∀(k, u) : k u
Pl:u≺l
≤ 0 [III(k,u)s ] ∀(k, u) : k u
l:u≺l Qk (l) Xk,l (Su (1 − µ) − Sl )
Wie oben beschrieben ergeben sich die Nebenbedingungen II(u)l und II(u)s , wenn man
sich in u befindet, ohne auf dem Weg dorthin bereits das erste Mal gestoppt zu haben. Da
Fet(u) gerade die Informationen über den aktuellen Knoten, auf dem man sich befindet,
und über die vorherigen Stoppknoten enthält, folgt mit Bem 2.6.2 aus II(u)l :
P
(k,l)∈D:u≺k
⇔
P
P
⇔
P
P
ω:u∈ω
ω:u∈ω
Qk (l) Xk,l (Sl − Su (1 + λ)) ≤ 0
Qωi (ω)Xωi ,ωj (Sωj − Su (1 + λ)) ≤ 0
P
P
i,j:t(u)<i<j Qωi (ω)Xωi ,ωj Sωj ≤
ω:u∈ω
i,j:t(u)<i<j Qωi (ω)Xωi ,ωj Su (1 + λ)
i,j:t(u)<i<j
P
Multiplikation mit ( i,j:t(u)<i<j Xωi ,ωj )−1 (ist nach Bem 2.5.2 Fet(u) messbar) ergibt:
⇔
P
ω:u∈ω
≤
P
i,j:t(u)<i<j
P
ω:u∈ω
P
Qωi (ω)
i,j:t(u)<i<j
P
Xωi ,ωj
i,j:t(u)<i<j
Qωi (ω)
P
Xωi ,ωj
Xωi ,ωj
i,j:t(u)<i<j
⇔ EQ (S ∗ X | Fet(u) ) ≤ EQ (Su (1 + λ)| Fet(u) )
⇔ EQ (S ∗ X | Fet(u) ) ≤ Su (1 + λ)
42
Sωj
Xωi ,ωj
Su (1 + λ)
4.5 Die Notwendigkeit von Pfadrandomisierungen
Ganz analog erhält man aus II(u)s :
EQ (S ∗ X | Fet(u) ) ≥ Su (1 − µ)
und somit gilt schließlich:
Su (1 − µ) ≤ E S ∗ X | Fet(u) ≤ Su (1 + λ)
(4.6)
Dies entspricht der Martingaleigenschaft aus Def 4.1.1 für den Fall, bis u noch nicht
gestoppt zu haben.
Auf dem gleichen Weg erhalten wir aus den Nebenbedingungen III(k,u)l und III(k,u)s
diese Martingaleigenschaft für einen Knoten u, wenn man darauf bedingt, dass schon in
k u gestoppt wurde. Die Nebenbedingungen besagen also, dass Q ∈ Mλ,µ,X (S).
Mit obigen Ergebnissen erhalten wir nun also aus dem DP folgende Darstellung des
Upper Hedging Preises
pup = max
X
max
X
Q∈Mλ,µ,X (S)
Xu,v Qu (v) (Lu + Lv )
(4.7)
(u,v)∈D
und dies entspricht nach Bem 2.6.2 wiederum unserer gewünschten Darstellung:
pup = max
X
max
Q∈Mλ,µ,X (S)
EQ (L ∗ X)
(4.8)
4.5 Die Notwendigkeit von Pfadrandomisierungen
Am Ende des letzten Kapitels haben wir gezeigt, dass eine Maximierung über sogenannte Doppelstoppzeiten zur Darstellung von pup ausreichend ist. Ein Argument dazu war,
dass f (X) = maxQ∈M(S) EQ [LX ] im Falle ohne TAK konvex ist. Mit TAK allerdings
ist f (X) = maxQ∈Mλ,µ,X (S) EQ [LX ] im Allgemeinen nicht mehr konvex, da das Maß Q
nun auch von X abhängt. Im folgenden Beispiel werden wir sehen, dass wegen dieser
Abhängigkeit Pfadrandomisierungen für die Darstellung von pup notwendig sind.
Wir betrachten den folgenden Baum:
43
4 Upper Hedging Preis mit Transaktionskosten
Da nur ein Pfad existiert, hat das einzig mögliche Maß Q auf dem Baum die Form:
Qk (l) = 1
∀ (k, l) ∈ D. Eine Doppelstoppzeit kann die folgenden Formen haben:
Fall 1: X0,u = 1
Laut den Nebenbedingungen des DP-s muss nun gelten:
• für den Knoten 0:
Q0 (u) X0,u (Su − S0 (1 + λ)) = 2 − 1(1 + 2.5) = −1, 5 ≤ 0
Q0 (u) X0,u (S0 (1 − µ) − Su ) = (1 − 2) = −1 ≤ 0
Wir sehen, dass Q ∈ M2.5,0,X und wir haben maxQ∈M2.5,0,X EQ (L ∗ X) = 0 + 2 = 2
Fall 2: X0,v = 1
In diesem Fall sind nicht alle Nebenbedingungen erfüllt. Denn es gilt
• für den Knoten 0:
Q0 (v) X0,v (Sv − S0 (1 + λ)) = 4 − 1(1 + 2.5) = 0.5 > 0
Es folgt also, dass M2.5,0,X = ∅ und somit ist eine Maximierung über M2.5,0,X nicht
möglich.
Fall 3: Xu,v = 1
Auch hier sind nicht alle Nebenbedingungen erfüllt. Denn es gilt
• für den Knoten 0:
Qu (v) Xu,v (Sv − S0 (1 + λ)) = 4 − 1(1 + 2.5) = 0.5 ≤ 0
Es folgt also auch hier, dass M2.5,0,X = ∅ und somit ist wiederum keine Maximierung
über M2.5,0,X möglich.
Aus Fall 1-3 folgt nun, dass
max
X
max
Q∈M2.5,0,X
EQ (LX ) = 2
wenn X eine Doppelstoppzeit ist.
e mit X
e0,u = X
e0,v = 1/2. Es gilt
Nehmen wir nun die Pfadrandomisierung X
44
4.5 Die Notwendigkeit von Pfadrandomisierungen
P
• für den Knoten 0:
l:0≺l Q0 (l) X0,l (Sl − S0 (1
= 12 (2 − 1(1 + 2.5) + 4 −
e
+ λ))
1(1 + 2.5)) = −0.5 ≤ 0
1
e
l:0≺l Q0 (l) X0,l (S0 (1 − µ) − Sl ) = 2 (−1 − 3) = −2 ≤ 0
P
• für den Knoten u:
e0,v (Sv − Su (1 + λ))12(4 − 2(1 + 2.5)) = −1.5 ≤ 0
Q0 (v) X
e
Somit ist also Q ∈ Mλ,µ,X (S) und es gilt
max
e (S)
Q∈Mλ,µ,X
1
EQ (L ∗ X) = (2 + 4) = 3 ≥ 2
2
Wie man sieht, sind bei TAK im Allgemeinen Pfadrandomisierungen zur Darstellung
von pup erforderlich!
45
4 Upper Hedging Preis mit Transaktionskosten
46
5 Schlussbemerkung
Wir haben in dieser Arbeit gesehen, wie man ein Hedging Problem mit Methoden der
Linearen Optimierung lösen kann. Ohne TAK war der Weg zu der Darstellung des Upper
Hedging Preises pup sehr mühsam, da wir die Herleitung mit Hilfe von gemischten Strategien, sogannten Randomisierten Stoppzeiten, vollzogen haben. Wie sich zum Schluss
von Kapitel 3 herausgestellt hat, reichen allerdings auch normale Stoppzeiten zur Darstellung von pup aus und eine Bedingung der zweiten Hedgining Strategie auf den ersten
Stopppunkt ist ebenfalls unnötig.
In Kapitel 4 haben wir die Probleme, die Transaktionskosten verursachen, näher kennengelernt. Eine Umformung der Nebenbedingungen des Dualen Programms zu einer
Ein-Perioden Martingalbedingung war nicht möglich. Es hat sich also gezeigt, dass man
sich bei TAK mit einer schwachen Martingalbedingung begnügen muss. Diese schwache
Martingalbedingung für ein Maß Q ist abhängig von der gewählten Pfadrandomisierung,
was letztlich dazu führt, dass für die Darstellung von pup unter TAK die Doppelstoppzeiten nicht ausreichend sind, sondern die Einführung der gemischten Strategien notwendig
war. Dies haben wir am Ende des Kapitels anhand eines einfachen Beispiels verdeutlicht.
Das Ergebnis in diesem Fall war mit Hilfe der Dualitätstheorie schnell zu erreichen, hält
sich allerdings aber auch ziemlich allgemein.
Abschließend möchte ich mich noch bei Herrn Prof. Dr. Christoph Kühn für die vielen
Stunden bedanken, in denen er mich bei dieser Arbeit unterstützt hat.
47
Quellen
PRASAD CHALASANI und SOMESH JHA (2001): Randomized Stopping
Times and American Option Pricing with Transaction Costs. Mathematical
Finance, Vol 11, No.1, S.33-77
CHRISTOPH KÜHN (2007): Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathe”
matik“. Version vom 3. Juli 2007, Kaptiel 6: Superhedging.
CHRISTOPH KÜHN (2002): Shocks and Choices - an Analysis of Incomplete Market Models, S.15-16
RÜDIGER FREY (2005): Skript zur Vorlesung Optimierung I“, Sommer”
semester 2005, S.5
MARTIN DAHLGREN und RALF KORN: The Swing Option On The Stock
Market. International Journal of Theoretical an Applied Finance Vol.8, No.1
(2005), S123-139