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Elektronik: Einführung und Grundlagen
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Strom und Spannung
Der Ohmsche Widerstand
Widerstandsnetzwerke
Kondensatoren und RC-Netzwerke
Induktivitäten und RL-Netzwerke
Komplexe Widerstände, Impedanzen
RC- und RLC-Netzwerke
1.1 Strom und Spannung
• Die Elektronik beschäftigt sich mit der Verarbeitung von elektrischen
Strömen I und Spannungen U.
• Diese Signale sind im allgemeinen nicht konstant, sondern ändern sich mit der
Zeit t
• Beispiele:
U(t)
Gleichspannung
t
U(t)
Wechselspannung (periodisch)
t
Puls oder Pulsfolge
U(t)
t
Definition der Spannung
• Potentialdífferenz UAB gemessen zwischen zwei Punkten A und B einer Schaltung
A
U AB = φ A − φ B
R
B
•
UAB > 0 falls am Punkt A das Potential positiver ist als am Punkt B
•
Wenn eine Ladung q vom Punkt A zum Punkt B gebracht wird, wird die Arbeit
W = q U geleistet
•
Einheit der Spannung: Volt
•
Bereich der in der Elektronik abgedeckt wird:
•
Erzeugung von Spannungen: (Arbeit wird investiert, Ladungen verschoben)
[U] = V
- Batterie (elektro-chemisch)
- Generator (elektro-magnetisch)
- Solarzelle (Licht)
1 µV
bis
1 kV
Definition von Strom
• Bewegung von Ladungen (meist Elektronen) aufgrund einer Potentialdifferenz
+
I
-
I := ∆Q / ∆t = Ladung / Zeit
ve
•
Die Richtung des Stroms geht vom höheren zum niedrigeren Potential
(technische Stromrichtung) und ist daher der Bewegung der Elektronen in
einem Leiter entgegengesetzt
•
Einheit: Ampère
•
Typischer Arbeitsbereich in der Elektronik: 1 nA = 10-9 A bis 100 A
•
Erzeugung von Strömen: Anlegen einer Spannung z.B. an einen Widerstand
•
Verbrauchte Leistung in einem Stromkreis:
Diese wird abgegeben in Form von
- Wärme
- mechanischer Arbeit (Motor)
- Licht
- …
[I] = 1 A = 1 C/sec
P=
∆W ∆Q ⋅U
=
= I ⋅U
∆t
∆t
Die Kirchhoffschen Gesetze:
Knotenregel der Ströme:
i1
Die Summe der in einen Knotenpunkt (Verzweigungspunkt
von Leitungen) einfließenden Ströme ist gleich der Summe
der auslaufenden Ströme.
(Ladungserhaltung)
i3
i1 + i2 − i3 − i4 − i5 = 0
i4
i5
i2
Maschenregel der Spannungen:
u1
u0
u2
Die Summe der Spannungsabfälle in einer geschlossenen
Schleife ist Null.
u3
+
-
u4
u5
− u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 0
1.2 Der Ohmsche Widerstand
• Symbol:
R
R
• Das Anlegen einer Spannung an einen metallischen Leiter verursacht das Fließen
eines Stroms
• Zwischen dem Strom I und der Spannung U besteht ein linearer Zusammenhang
U = R⋅I
• Die Proportionalitätskonstante R wird als elektrischer Widerstand bezeichnet
(Ohmsches Gesetz)
• Der Widerstand hängt von der Länge, dem Querschnitt des Leiters und dem
materialabhängigen spezifischen Widerstand ρ ab
l
R= ρ⋅
A
• Der spezifische Widerstand ist temperaturabhängig, für Metalle steigt er mit der
Temperatur an
• Einheit: Ohm
• Wertebereich:
[R] = 1 Ω = 1 V/A
1 m Ω bis
1GΩ
Verfügbare Widerstände
• Widerstandsreihen: E3, E6, E12, E24 etc
• Bestimmung der Werte in der E6-Reihe: n-te Wert der Reihe ergibt sich zu
Rn = 6 10 n −1
⇒ 1,0 1,5 2,2 3,3 4,7 6,8 … mit 20% Genauigkeit
(6 Widerstandswerte innerhalb einer Dekade)
• Bestimmung der Werte in der E24-Reihe: n-te Wert der Reihe ergibt sich zu
Rn = 24 10 n −1
⇒ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0 3.3 ..… 9,1
mit 5% Genauigkeit, 24 Widerstandswerte innerhalb einer Dekade
• Kodierung
3 Ring Code 5%
4 Ring Code 2%
Standard Farbcodes
Beispiel eines 100 kΩ 5% Widerstands
rot
2%
1. und 2. Farbring:
3. Farbring:
4. Farbring:
Widerstandswert
Zehnerpotenz
Toleranz
•
Ausführung von Widerständen:
1. Draht: hohe Belastbarkeit, sehr hohe Stabilität und Genauigkeit erreichbar,
geringe Temperaturabhängigkeit (10-4/K )
2. Kohleschicht: sehr günstig herstellbar (meist 5% Genauigkeit), sehr hohe
Werte erreichbar (bis GΩ ), geringe Temperaturabhängigkeit
3. Metallschicht: hohe Genauigkeit (0,1 bis 2%), geringe
Temperaturabhängigkeit, sehr geringe Induktivität
•
Verlustleistung in Widerständen
U2
P = I ⋅R =
R
2
Standardwerte: 1/8, 1/4 , 1/2 und 1 Watt
Drahtwiderstände auch für hohe Verlustleistungen erhältlich!
Widerstand als Thermometer
•
Einige Materialien weisen starke Temperaturabhängigkeiten auf
z.B. Platinwiderstände: 4·10-3 Ω/K
PT-100
R=100 Ω bei 0 °C
[
R (T ) = 100 ⋅ 1 + 3.91 ⋅ 10−3 ⋅ T − 5.78 ⋅ 10−7 ⋅ T 2 − 4.18 ⋅ 10−12 ⋅ (T − 100) ⋅ T 3
Messung des Widerstands → Temperatur
Anwendungsbereich: -200o C < T < 500o C
]
1.3 Schaltungen mit Widerständen
(i) Reihenschaltung
I
R1
R2
Rges
I = const.
U = R1 ⋅ I + R2 ⋅ I = ( R1 + R2 ) ⋅ I = Rges ⋅ I
(ii) Parallelschaltung
R1
I1
I
I = I1 + I 2
U1 = R1 ⋅ I1 = R2 ⋅ I 2 = U 2 = U = Rges ⋅ I
⇒ Rges =
I2
R2
U
I1 + I 2
1
I1 I 2
1
1
= +
=
+
Rges U U
R1 R 2
⇒ Rges =
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Beachte: Bei einer Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als
der kleinste Einzelwiderstand !
Beispiel: 10 kΩ || 5 kΩ ergibt insgesamt 3.3 kΩ
Spannungsteiler (ideal):
Die Eingangsspannung U0 wird um einen festen Faktor 1/α reduziert:
R1
U0
I=
R1 + R2
R2
U A = I ⋅ R2 = U 0 ⋅
R1 + R2
U0
R2
Extremfälle:
U A = α ⋅U 0
UA
R2
⇒ α=
R1 + R2
R2 → 0 ⇒ U A = 0
R2 → ∞ ⇒ U A = U 0
R
Oft wird der Spannungsteiler in der Praxis einstellbar (Potentiometer)
ausgeführt.
Realer Spannungsteiler
U0
UA
RL
R2
- In der Realität fällt UA an dem Lastwiderstand RL und R2 ab
⇒ Parallelschaltung von R2 und RL
R1
-Vorherige Betrachtung gilt nur für große
Lastwiderstände RL >> R2
R2 L =
R2 ⋅ RL
R2 + RL
⇒ U A = U0 ⋅
R2 L
R1 + R2 L
• d.h. die Ausgangsspannung hängt vom
Lastwiderstand ab
• Problem kann durch kleine Widerstände R1 und
R2 verringert werden, aber dann fließt ein hoher
Strom ⇒ hohe Verlustleistung
Ausgangsspannung UA [V]
Der Gesamtwiderstand ist daher
R1 = R2 = 100 Ω
R1 = R2 = 1 kΩ
• Abhilfe durch aktive Bauteile z.B. Transistor
Lastwiderstand RL [Ohm]
Spannungsquelle
 Bei einer idealen Spannungsquelle sollte die Ausgangsspannung UA unabhängig
von der Belastung (vom Strom) sein
 Jede reale Spannungsquelle kann nur einen begrenzten Strom liefern und weist
daher einen gewissen Innenwiderstand Ri auf
UA
U0
RL
Ri
Ri = 100 Ω
• Innenwiderstand sollte möglichst klein gegen den
Lastwiderstand sein
• Leistung einer Spannungsquelle:
U A2
P = U A ⋅ IL =
RL
maximal für RL = Ri
Extremfälle:
RL = 0 ⇒ U A = 0 ⇒ P = 0
RL = ∞ ⇒ I L = 0 ⇒ P = 0
• Belasteter Spannungsteiler (cont.)
UA
+ IL
R2
R1
I0 = I2 + I L =
U0
U

⇒ U A = U 0 − I 0 ⋅ R1 = U 0 −  A + I L  ⋅ R1
 R2

UA
RL
R2
U 0 = U1 + U A
 R2   R1 ⋅ R2 
⇒ U A = U0 ⋅ 
−
⋅ IL


 R1 + R2   R1 + R2 
• Äquivalenter Innenwiderstand
R2
U = U0
R1 + R2
´
0
U´ 0
⇔ (R1 || R2)
UA
RL
R1 ⋅ R2
Ri =
R1 + R2
Ri
Thévenin-Äquivalent Schaltkreis
Jedes Netzwerk von Widerständen und Spannungsquellen kann durch ein
Ersatzschaltbild mit einem Widerstand Rth und einer Spannungsquelle Uth ersetzt
werden
RTh =
U Th
I Kurzschluß
• Spannungsquelle:
⇒
I L=
wobei UTh = U (offener Schaltkreis)
i. allg. gilt:
RL >> Ri
U0
U
≈ 0
Ri + RL RL
d.h. Strom hängt von äußerer Last ab
• Stromquelle:
⇒
I L=
meist gilt
RL << Ri
U0
U
≈ 0
Ri + RL Ri
d.h. Strom nur von inneren Parametern abhängig
1.4 Der Kondensator
• Symbol:
C
• Speicherung von Ladung und damit von Energie
• Zwischen der anliegenden Spannung und der Ladung besteht ein linearer
Zusammenhang:
Q = C ⋅U
• C = Kapazität, hängt ab von der Geometrie
(Fläche der Elektroden, Abstand der Elektroden und dem Dielektrikum)
• Einheit:
Farad
• Gängige Werte
• Strom:
I=
[C] = 1 F = 1 C/V
1 pF = 10-12 F bis 1 mF
dQ
dU
=C
dt
dt
Der Strom ist nicht proportional zur Spannung,
sondern zur Spannungsänderung
Frequenzabhängigkeit des Widerstands:
Bei konstanter Spannung fließt kein Strom, Wechselstrom wird übertragen
⇒ Weitere Eigenschaften: verformen Impulse, verzögern Schaltvorgänge,
filtern Störungen aus
Verfügbare Kondensatoren
Verschiedene Materialien kommen zum Einsatz:
1. Beschichtete Papiere oder Kunststofffolien (gewickelte Folienkondensatoren)
• Temperaturstabil
• Hohe Genauigkeit
• Geringer Leckstrom
2. Keramische Dielektrika mit Metallelektroden
• Sehr weiter Frequenzbereich (bis 108 Hz)
• Sehr stabil
3. Elektrolytische Kondensatoren
• Sehr große Kapazitäten günstig herstellbar
Toleranzen
Eigeninduktivität
Abmessung
Betriebsspannung
gepolt
Kondensator
Kapazitätsbereich
PapierMetall-PapierStyroflexMetall-KunststoffMetall-LackKeramikElektrolyt-
100 pF..1µF
0,1..50 µF
2 pF..50 nF
0,01..0,25 µF
0,1..200 µF
0,5 pF..50 nF
0,5..10000 µF
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
-20%..+50%
groß
groß
klein
mittel
mittel
sehr klein
groß
groß
groß
mittel
klein
sehr klein
groß
sehr klein
125..1000 V
160..600 V
50..500 V
300 V..5 kV
60..120 V
250..500 V
3..650 V
nein
nein
nein
nein
nein
nein
ja
Einsatzgebiete:
(i) Folienkondensatoren: Signalformung und Filterung bis 10 MHz
(ii) Keramische Kondensatoren: Hochfrequenzanwendungen
(iii) Elektrolytische Kondensatoren: Filterung hoher Ströme bei Frequenzen bis MHz
Schaltungen mit Kondensatoren
(i) Reihenschaltung
Q
Q
U1 = , U 2 =
C1
C2
die gespeicherte Ladung ist auf
allen Kondensatoren gleich
C1
1
1  Q
U = U1 + U 2 = Q ⋅  +  =
 C1 C2  Cges
1
1
1
⇒
= +
Cges C1 C2
U
C2
Beachte: Bei einer Reihenschaltung ist die Gesamtkapazität immer kleiner als die
kleinste Einzelkapazität !
(ii) Parallelschaltung
U1 = U 2 = U
C2
U
C1
Qtot = Q1 + Q2
C ges =
Qtot Q1 + Q2 Q1 Q2
=
=
+
= C1 + C2
U
U
U1 U 2
(iii) RC-Netzwerk
Serienschaltung eines Widerstands und eines Kondensators
• Schalter wird zur Zeit t=0 geschlossen
R
• UA(0) = 0
Uo
C
• Wie verhält sich UA(t) ?
UA(t)
• Maschenregel ergibt eine inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung
R ⋅ I (t ) + U A (t ) = U 0
I (t ) =
dU A (t )
⇒ R ⋅C ⋅
+ U A (t ) = U 0
dt
• Lösung
U A (t ) = U 0 ⋅ (1 − e
−t / RC
)
dQ C ⋅ dU A (t )
=
dt
dt
U 0 −t / RC
; I (t ) =
⋅e
R
Strom und Spannung in einem RC-Netzwerk
U0
R=1 kΩ
C=1 µF
τ = 1ms
U A (t ) = U 0 ⋅ (1 − e − t / RC )
τ
U0 / R
I (t ) =
U 0 −t / RC
⋅e
R
Spannung über dem Kondensator für Signal mit Periode T
τ=RC << T
τ=RC = T
τ=RC >> T
1.5 Die Induktivität (Spule)
• Symbol:
L
L
• Speicherung von magnetischer Energie
• Stromänderung dI/dt in der Spule ruft eine induzierte Spannung hervor, die der
Stromänderung entgegenwirkt (Induktionsgesetz, Lenz´sche Regel)
U ind
dI
= −L ⋅
dt
• L = Induktivität, hängt ab von der Geometrie und vom Material
• Einheit:
Henry
[L] = 1 H = 1 Vs / A
• Gängige Werte: 1µH bis 1 H
• Da die Spannung über der Spule von dI/dt abhängt, ist der Widerstand
frequenzabhängig:
- Gleichstrom wird ungehindert durchgelassen
- Wechselstrom wird behindert
• Weitere wichtige Eigenschaften in Schaltkreisen: verformen Impulse,
Filtereigenschaften, Übertragen Signale von einem Schaltkreis in einen anderen
RL-Netzwerk
Serienschaltung eines Widerstands und einer Induktivität
• Schalter wird zur Zeit t=0 geschlossen
R
• UL(0) = 0
U0
• Wie verhält sich UL(t) ?
L
UL(t)
• Maschenregel ergibt eine inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung
R ⋅ I (t ) + U L (t ) = U 0
• Lösung
I (t ) =
dI
⇒ R ⋅ I (t ) + L = U 0
dt
U0
dI U 0 −t⋅R / L
⋅ (1 − e −t⋅R / L ) ;
=
⋅e
R
dt
L
Zeitkonstante: τ = L / R
Spannung über der Spule für Signal mit Periode T
τ = L/R ~ T
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften
Bauteil/Netzwerk
Spannung
Widerstand
U = R⋅I
I =U / R
Kondensator
U = Q/C
I=
Spule
U ind = − L ⋅
RC-Netzwerk
(U und I am Kondensator)
RL-Netzwerk
(U und I der Spule)
dQ
dU
=C
dt
dt
1
I = − ∫ U ind dt
L
dI
dt
(
U C (t ) = U 0 ⋅ 1 − e − t / RC
U L (t ) = − L
Strom
)
dI
= U 0 ⋅ e −t ⋅R / L
dt
I (t ) =
I (t ) =
U 0 −t / RC
⋅e
R
U0
⋅ (1 − e −t⋅R / L )
R
 Übersicht der Schaltsymbole
R
Passive Komponenten
ZR =
Widerstand
Kondensator
ZC =
C
L
Spule
U
I
1
i ⋅ω ⋅ C
Z L = i ⋅ω ⋅ L
L
~
Wechselspannungsquelle
=
Gleichspannungsquelle
U
Aktive Komponenten
U
→
I
Stromquelle
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