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Elektronik: Einführung und Grundlagen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Strom und Spannung Der Ohmsche Widerstand Widerstandsnetzwerke Kondensatoren und RC-Netzwerke Induktivitäten und RL-Netzwerke Komplexe Widerstände, Impedanzen RC- und RLC-Netzwerke 1.1 Strom und Spannung • Die Elektronik beschäftigt sich mit der Verarbeitung von elektrischen Strömen I und Spannungen U. • Diese Signale sind im allgemeinen nicht konstant, sondern ändern sich mit der Zeit t • Beispiele: U(t) Gleichspannung t U(t) Wechselspannung (periodisch) t Puls oder Pulsfolge U(t) t Definition der Spannung • Potentialdífferenz UAB gemessen zwischen zwei Punkten A und B einer Schaltung A U AB = φ A − φ B R B • UAB > 0 falls am Punkt A das Potential positiver ist als am Punkt B • Wenn eine Ladung q vom Punkt A zum Punkt B gebracht wird, wird die Arbeit W = q U geleistet • Einheit der Spannung: Volt • Bereich der in der Elektronik abgedeckt wird: • Erzeugung von Spannungen: (Arbeit wird investiert, Ladungen verschoben) [U] = V - Batterie (elektro-chemisch) - Generator (elektro-magnetisch) - Solarzelle (Licht) 1 µV bis 1 kV Definition von Strom • Bewegung von Ladungen (meist Elektronen) aufgrund einer Potentialdifferenz + I - I := ∆Q / ∆t = Ladung / Zeit ve • Die Richtung des Stroms geht vom höheren zum niedrigeren Potential (technische Stromrichtung) und ist daher der Bewegung der Elektronen in einem Leiter entgegengesetzt • Einheit: Ampère • Typischer Arbeitsbereich in der Elektronik: 1 nA = 10-9 A bis 100 A • Erzeugung von Strömen: Anlegen einer Spannung z.B. an einen Widerstand • Verbrauchte Leistung in einem Stromkreis: Diese wird abgegeben in Form von - Wärme - mechanischer Arbeit (Motor) - Licht - … [I] = 1 A = 1 C/sec P= ∆W ∆Q ⋅U = = I ⋅U ∆t ∆t Die Kirchhoffschen Gesetze: Knotenregel der Ströme: i1 Die Summe der in einen Knotenpunkt (Verzweigungspunkt von Leitungen) einfließenden Ströme ist gleich der Summe der auslaufenden Ströme. (Ladungserhaltung) i3 i1 + i2 − i3 − i4 − i5 = 0 i4 i5 i2 Maschenregel der Spannungen: u1 u0 u2 Die Summe der Spannungsabfälle in einer geschlossenen Schleife ist Null. u3 + - u4 u5 − u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 0 1.2 Der Ohmsche Widerstand • Symbol: R R • Das Anlegen einer Spannung an einen metallischen Leiter verursacht das Fließen eines Stroms • Zwischen dem Strom I und der Spannung U besteht ein linearer Zusammenhang U = R⋅I • Die Proportionalitätskonstante R wird als elektrischer Widerstand bezeichnet (Ohmsches Gesetz) • Der Widerstand hängt von der Länge, dem Querschnitt des Leiters und dem materialabhängigen spezifischen Widerstand ρ ab l R= ρ⋅ A • Der spezifische Widerstand ist temperaturabhängig, für Metalle steigt er mit der Temperatur an • Einheit: Ohm • Wertebereich: [R] = 1 Ω = 1 V/A 1 m Ω bis 1GΩ Verfügbare Widerstände • Widerstandsreihen: E3, E6, E12, E24 etc • Bestimmung der Werte in der E6-Reihe: n-te Wert der Reihe ergibt sich zu Rn = 6 10 n −1 ⇒ 1,0 1,5 2,2 3,3 4,7 6,8 … mit 20% Genauigkeit (6 Widerstandswerte innerhalb einer Dekade) • Bestimmung der Werte in der E24-Reihe: n-te Wert der Reihe ergibt sich zu Rn = 24 10 n −1 ⇒ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0 3.3 ..… 9,1 mit 5% Genauigkeit, 24 Widerstandswerte innerhalb einer Dekade • Kodierung 3 Ring Code 5% 4 Ring Code 2% Standard Farbcodes Beispiel eines 100 kΩ 5% Widerstands rot 2% 1. und 2. Farbring: 3. Farbring: 4. Farbring: Widerstandswert Zehnerpotenz Toleranz • Ausführung von Widerständen: 1. Draht: hohe Belastbarkeit, sehr hohe Stabilität und Genauigkeit erreichbar, geringe Temperaturabhängigkeit (10-4/K ) 2. Kohleschicht: sehr günstig herstellbar (meist 5% Genauigkeit), sehr hohe Werte erreichbar (bis GΩ ), geringe Temperaturabhängigkeit 3. Metallschicht: hohe Genauigkeit (0,1 bis 2%), geringe Temperaturabhängigkeit, sehr geringe Induktivität • Verlustleistung in Widerständen U2 P = I ⋅R = R 2 Standardwerte: 1/8, 1/4 , 1/2 und 1 Watt Drahtwiderstände auch für hohe Verlustleistungen erhältlich! Widerstand als Thermometer • Einige Materialien weisen starke Temperaturabhängigkeiten auf z.B. Platinwiderstände: 4·10-3 Ω/K PT-100 R=100 Ω bei 0 °C [ R (T ) = 100 ⋅ 1 + 3.91 ⋅ 10−3 ⋅ T − 5.78 ⋅ 10−7 ⋅ T 2 − 4.18 ⋅ 10−12 ⋅ (T − 100) ⋅ T 3 Messung des Widerstands → Temperatur Anwendungsbereich: -200o C < T < 500o C ] 1.3 Schaltungen mit Widerständen (i) Reihenschaltung I R1 R2 Rges I = const. U = R1 ⋅ I + R2 ⋅ I = ( R1 + R2 ) ⋅ I = Rges ⋅ I (ii) Parallelschaltung R1 I1 I I = I1 + I 2 U1 = R1 ⋅ I1 = R2 ⋅ I 2 = U 2 = U = Rges ⋅ I ⇒ Rges = I2 R2 U I1 + I 2 1 I1 I 2 1 1 = + = + Rges U U R1 R 2 ⇒ Rges = R1 ⋅ R2 R1 + R2 Beachte: Bei einer Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand ! Beispiel: 10 kΩ || 5 kΩ ergibt insgesamt 3.3 kΩ Spannungsteiler (ideal): Die Eingangsspannung U0 wird um einen festen Faktor 1/α reduziert: R1 U0 I= R1 + R2 R2 U A = I ⋅ R2 = U 0 ⋅ R1 + R2 U0 R2 Extremfälle: U A = α ⋅U 0 UA R2 ⇒ α= R1 + R2 R2 → 0 ⇒ U A = 0 R2 → ∞ ⇒ U A = U 0 R Oft wird der Spannungsteiler in der Praxis einstellbar (Potentiometer) ausgeführt. Realer Spannungsteiler U0 UA RL R2 - In der Realität fällt UA an dem Lastwiderstand RL und R2 ab ⇒ Parallelschaltung von R2 und RL R1 -Vorherige Betrachtung gilt nur für große Lastwiderstände RL >> R2 R2 L = R2 ⋅ RL R2 + RL ⇒ U A = U0 ⋅ R2 L R1 + R2 L • d.h. die Ausgangsspannung hängt vom Lastwiderstand ab • Problem kann durch kleine Widerstände R1 und R2 verringert werden, aber dann fließt ein hoher Strom ⇒ hohe Verlustleistung Ausgangsspannung UA [V] Der Gesamtwiderstand ist daher R1 = R2 = 100 Ω R1 = R2 = 1 kΩ • Abhilfe durch aktive Bauteile z.B. Transistor Lastwiderstand RL [Ohm] Spannungsquelle Bei einer idealen Spannungsquelle sollte die Ausgangsspannung UA unabhängig von der Belastung (vom Strom) sein Jede reale Spannungsquelle kann nur einen begrenzten Strom liefern und weist daher einen gewissen Innenwiderstand Ri auf UA U0 RL Ri Ri = 100 Ω • Innenwiderstand sollte möglichst klein gegen den Lastwiderstand sein • Leistung einer Spannungsquelle: U A2 P = U A ⋅ IL = RL maximal für RL = Ri Extremfälle: RL = 0 ⇒ U A = 0 ⇒ P = 0 RL = ∞ ⇒ I L = 0 ⇒ P = 0 • Belasteter Spannungsteiler (cont.) UA + IL R2 R1 I0 = I2 + I L = U0 U ⇒ U A = U 0 − I 0 ⋅ R1 = U 0 − A + I L ⋅ R1 R2 UA RL R2 U 0 = U1 + U A R2 R1 ⋅ R2 ⇒ U A = U0 ⋅ − ⋅ IL R1 + R2 R1 + R2 • Äquivalenter Innenwiderstand R2 U = U0 R1 + R2 ´ 0 U´ 0 ⇔ (R1 || R2) UA RL R1 ⋅ R2 Ri = R1 + R2 Ri Thévenin-Äquivalent Schaltkreis Jedes Netzwerk von Widerständen und Spannungsquellen kann durch ein Ersatzschaltbild mit einem Widerstand Rth und einer Spannungsquelle Uth ersetzt werden RTh = U Th I Kurzschluß • Spannungsquelle: ⇒ I L= wobei UTh = U (offener Schaltkreis) i. allg. gilt: RL >> Ri U0 U ≈ 0 Ri + RL RL d.h. Strom hängt von äußerer Last ab • Stromquelle: ⇒ I L= meist gilt RL << Ri U0 U ≈ 0 Ri + RL Ri d.h. Strom nur von inneren Parametern abhängig 1.4 Der Kondensator • Symbol: C • Speicherung von Ladung und damit von Energie • Zwischen der anliegenden Spannung und der Ladung besteht ein linearer Zusammenhang: Q = C ⋅U • C = Kapazität, hängt ab von der Geometrie (Fläche der Elektroden, Abstand der Elektroden und dem Dielektrikum) • Einheit: Farad • Gängige Werte • Strom: I= [C] = 1 F = 1 C/V 1 pF = 10-12 F bis 1 mF dQ dU =C dt dt Der Strom ist nicht proportional zur Spannung, sondern zur Spannungsänderung Frequenzabhängigkeit des Widerstands: Bei konstanter Spannung fließt kein Strom, Wechselstrom wird übertragen ⇒ Weitere Eigenschaften: verformen Impulse, verzögern Schaltvorgänge, filtern Störungen aus Verfügbare Kondensatoren Verschiedene Materialien kommen zum Einsatz: 1. Beschichtete Papiere oder Kunststofffolien (gewickelte Folienkondensatoren) • Temperaturstabil • Hohe Genauigkeit • Geringer Leckstrom 2. Keramische Dielektrika mit Metallelektroden • Sehr weiter Frequenzbereich (bis 108 Hz) • Sehr stabil 3. Elektrolytische Kondensatoren • Sehr große Kapazitäten günstig herstellbar Toleranzen Eigeninduktivität Abmessung Betriebsspannung gepolt Kondensator Kapazitätsbereich PapierMetall-PapierStyroflexMetall-KunststoffMetall-LackKeramikElektrolyt- 100 pF..1µF 0,1..50 µF 2 pF..50 nF 0,01..0,25 µF 0,1..200 µF 0,5 pF..50 nF 0,5..10000 µF 20 % 20 % 20 % 20 % 20 % 20 % -20%..+50% groß groß klein mittel mittel sehr klein groß groß groß mittel klein sehr klein groß sehr klein 125..1000 V 160..600 V 50..500 V 300 V..5 kV 60..120 V 250..500 V 3..650 V nein nein nein nein nein nein ja Einsatzgebiete: (i) Folienkondensatoren: Signalformung und Filterung bis 10 MHz (ii) Keramische Kondensatoren: Hochfrequenzanwendungen (iii) Elektrolytische Kondensatoren: Filterung hoher Ströme bei Frequenzen bis MHz Schaltungen mit Kondensatoren (i) Reihenschaltung Q Q U1 = , U 2 = C1 C2 die gespeicherte Ladung ist auf allen Kondensatoren gleich C1 1 1 Q U = U1 + U 2 = Q ⋅ + = C1 C2 Cges 1 1 1 ⇒ = + Cges C1 C2 U C2 Beachte: Bei einer Reihenschaltung ist die Gesamtkapazität immer kleiner als die kleinste Einzelkapazität ! (ii) Parallelschaltung U1 = U 2 = U C2 U C1 Qtot = Q1 + Q2 C ges = Qtot Q1 + Q2 Q1 Q2 = = + = C1 + C2 U U U1 U 2 (iii) RC-Netzwerk Serienschaltung eines Widerstands und eines Kondensators • Schalter wird zur Zeit t=0 geschlossen R • UA(0) = 0 Uo C • Wie verhält sich UA(t) ? UA(t) • Maschenregel ergibt eine inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung R ⋅ I (t ) + U A (t ) = U 0 I (t ) = dU A (t ) ⇒ R ⋅C ⋅ + U A (t ) = U 0 dt • Lösung U A (t ) = U 0 ⋅ (1 − e −t / RC ) dQ C ⋅ dU A (t ) = dt dt U 0 −t / RC ; I (t ) = ⋅e R Strom und Spannung in einem RC-Netzwerk U0 R=1 kΩ C=1 µF τ = 1ms U A (t ) = U 0 ⋅ (1 − e − t / RC ) τ U0 / R I (t ) = U 0 −t / RC ⋅e R Spannung über dem Kondensator für Signal mit Periode T τ=RC << T τ=RC = T τ=RC >> T 1.5 Die Induktivität (Spule) • Symbol: L L • Speicherung von magnetischer Energie • Stromänderung dI/dt in der Spule ruft eine induzierte Spannung hervor, die der Stromänderung entgegenwirkt (Induktionsgesetz, Lenz´sche Regel) U ind dI = −L ⋅ dt • L = Induktivität, hängt ab von der Geometrie und vom Material • Einheit: Henry [L] = 1 H = 1 Vs / A • Gängige Werte: 1µH bis 1 H • Da die Spannung über der Spule von dI/dt abhängt, ist der Widerstand frequenzabhängig: - Gleichstrom wird ungehindert durchgelassen - Wechselstrom wird behindert • Weitere wichtige Eigenschaften in Schaltkreisen: verformen Impulse, Filtereigenschaften, Übertragen Signale von einem Schaltkreis in einen anderen RL-Netzwerk Serienschaltung eines Widerstands und einer Induktivität • Schalter wird zur Zeit t=0 geschlossen R • UL(0) = 0 U0 • Wie verhält sich UL(t) ? L UL(t) • Maschenregel ergibt eine inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung R ⋅ I (t ) + U L (t ) = U 0 • Lösung I (t ) = dI ⇒ R ⋅ I (t ) + L = U 0 dt U0 dI U 0 −t⋅R / L ⋅ (1 − e −t⋅R / L ) ; = ⋅e R dt L Zeitkonstante: τ = L / R Spannung über der Spule für Signal mit Periode T τ = L/R ~ T Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften Bauteil/Netzwerk Spannung Widerstand U = R⋅I I =U / R Kondensator U = Q/C I= Spule U ind = − L ⋅ RC-Netzwerk (U und I am Kondensator) RL-Netzwerk (U und I der Spule) dQ dU =C dt dt 1 I = − ∫ U ind dt L dI dt ( U C (t ) = U 0 ⋅ 1 − e − t / RC U L (t ) = − L Strom ) dI = U 0 ⋅ e −t ⋅R / L dt I (t ) = I (t ) = U 0 −t / RC ⋅e R U0 ⋅ (1 − e −t⋅R / L ) R Übersicht der Schaltsymbole R Passive Komponenten ZR = Widerstand Kondensator ZC = C L Spule U I 1 i ⋅ω ⋅ C Z L = i ⋅ω ⋅ L L ~ Wechselspannungsquelle = Gleichspannungsquelle U Aktive Komponenten U → I Stromquelle
