Formelsammlung für Mathematik I A

Formelsammlung für Mathematik I A
Julian Hammer
Wintersemester 2008/2009
1
Grundlagen
1.1
Mengen
∪ Vereinigung
∩ Durchschnitt
\ Differenz
× Kartesisches Produkt z.B.: {1, 2, 3} × {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
1.2
Logik
∧ und
∨ oder
1.3
1.3.1
Kreisfunktionen
Additionstheoreme
sin(x + y) = (cos x)(sin y) + (sin x)(cos y)
cos(x + y) = (cos x)(cos y) + (sin x)(sin y)
1.4
Quadratische Gleichung
2
ax + bx +√c = 0, a 6= 0
b2 −4ac
x1,2 = −b± 2a
Mitternachtsformel
q
b
b 2
x1,2 = − 2 ± ( 2 ) − c pq-Formel (bei a=1)
1.5
Binomischeformeln
1. (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
2. (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
3. (a + b)(a − b) = a2 − b2
1.6
Komplexe Zahlen
j = sqrt−1
√
a + jb = a2 + b2 ejφ
√ ϕ+2kπ
nte-Wurzel: wk+1 = n re n mit k = 0, 1, ..., n − 1
1
2
2.1
Linearealgebra
Untervektorräume
(i) ~u, ~v ∈ U ⇒ ~u + ~v ∈ U
(ii) ~u ∈ U, λ ∈ R ⇒ λ~u ∈ U
2.2
Beträge
k~xk1 = |x
p1 | + |x2 | + ... + |xn | p
k~xk2 = x21 + x22 + ... + x2n = hx, xi
k~xk∞ = max(|x1 | + |x2 | + ... + |xn |)
2.3
Skalarprodukt
h~a, ~bi = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn
h~a, ~bi = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn Im Komplexen!
~
cos(~a, ~b) = h~a,bi
k~
ak2 k~bk2
h~a, ~bi = 0 Orthogsonalität
2.4
Determinante
Nur bei quadratischen Matrizen (n × n)!
det(αA) = αn det(A)
1
det(A−1 ) = det(A)
det(AB) = det A det B
2.5
Bild & Kern
Kern(Φ): Φ(~x) = 0
Bild(Φ): Linearunabhänige Vektoren von Φ
2.6
LR
LR = A
A~x = ~b ⇒ LR~x = ~b ⇒ L(R~x) = ~b
2.7
Eigenwerte & -vektoren
1
Eigenwert(A−1 ) = Eigenwert(A)
Eigenwert(An ) = Eigenwert(A)n
Eigenwert(A) = Eigenwert(A> )
Eigenwert(nA) = nEigenwert(A)
Eigenwert(A + 2A) = Eigenwert(A) + Eigenwert(2A)
2.8
Diagonalisierbarkeit
Sicher Diagonalisierbar, wenn: Keine doppelten Eigenwerte, Symetrisch oder Hermiteisch
Bei doppelten Eigenwerten, muss für jeden Eigenwert ein anderer Eigenvektor existieren.
2
2.9
Ausgleichsrechnung
Ax = b ⇒ A> Ax = A> b
2.10
h~
x,~
yi
h~
x,~
xi
Orthogonalprojektion
· ~y , von ~x in ~y
2.11
Matrixeigenschaften
Regulär: det(A) 6= 0
Orthogonal Matrix: A · A> = E
Symmetrische Matrix: A> = A, Eigenvektoren sind Orthogonal
Hermitesche Matrix: A = A>∗ , Eigenvektoren sind Orthogonal, diagonalisierbar
Positiv definite Matrix: Eig(A) > 0
2.12
Rechenregelen für Matrizen
(A · B) · C = A · (B · C)
(A + B) · C = A · C + B · C
(A + B)> = A> + B >
(c · A)> = c · A>
(A> )> = A
(A · B)> = B > · A>
(A−1 )> = (A> )−1
3