Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker- Metrik

Kosmologie
der Allgemeinen Relativitätstheorie
Das expandierende
Universum
Historie der Theorie – Albert Einstein 1916



Es gibt keinen „absoluten Raum“ im
Newtonschen Sinne.
Massen bestimmen die Geometrie des
Raumes.
Mathematischer Ausdruck dieser Aussage sind
Einsteins Feldgleichung der Allgemeinen
Relativitätstheorie (1916):
R  
1
 gR    T
2
Geometrie
A. Einstein

Masse
Er kann damit die Periheldrehung des Merkur
und die Lichtablenkung an der Sonne
erklären.
© Dr. R. Göhring
[email protected]
2
Kosmologie Einstein‘s und de Sitter‘s
Einstein veröffentlichte schon 1916 seine
„kosmologischen Betrachtungen zur
Allgemeinen Relativitätstheorie“:
• Materie ist im Raum gleichmäßig verteilt und
• sie ist im wesentlichen in Ruhe.
Um seine Vorstellung eines statischen
Universums zu gewährleisten, muß er das
Lambda-Glied einführen:
R 
1
  gR  g    T
2
Willem de Sitter stellte 1916 fest, daß die
Lösung dieser Gleichungen für ein Universum
ohne Materie einen Raum mit sonderbaren
Eigenschaften darstellt:
• die Lichtgeschwindigkeit hängt vom Ort ab;
• werden Probekörper in das Universum
eingebracht, so streben sie auseinander.
© Dr. R. Göhring
[email protected]
3
Historie der Entdeckungen – Edwin Hubble 1929
• Rotverschiebung von 24 Galaxien
gemessen. Annahme: Entfernung zum
Andromedanebel 300.000 pc.
• Entfernung anhand einzelner Sterne
(Cepheiden) und Helligkeit von Galaxien
bestimmt.
• Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz
V = H0·L mit
H0 = 500 [km sec-1 Mpc-1]
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[email protected]
4
Rotverschiebung und Geschwindigkeit
Stern
Labor
Doppler-Gesetz:
Stern  Labor
V
z
Labor
c
V = c·z
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5
„Entfernungs-Leiter“
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6
Standardkerzen Cepheiden
Perioden-Leuchtkraft-Beziehung
Entdeckt 1912 von Henrietta Leavitt
Aufnahme von mit 2 Cepheiden
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7
Standardkerze Supernova
Supernova 1a
SN 1994D
NGC 4526
im Virgo Haufen
Entfernung: ca. 17 Mpc
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8
Supernova Typ 1a
http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/image_category/star/supernova/
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9
Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz
Ergebnisse mit Cepheiden
Ergebnisse mit SN 1a
Geschwindigkeit errechnet mit: V = z·c = H0·L
H0 = Hubble-Konstante
Heutiger Wert: H0 = 72 ± 7 [km sec-1 Mpc-1]
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10
Geschwindigkeits-Entferungs-Gesetz
0
z
V
c
5
z
4,5
Q 0051-279
nur gültig für V < 0,01·c
4
PK 2000-330
3,5
Für größere V müßte
relativistisch gerechnet werden!
Q 2313-423
3
2,5
Das bedeutet aber:
c ist Grenzgeschwindigkeit !
2
1,5
Beobachtung (genauer:
Berechnung) zeigt aber:
z·c = const.·Entfernung
z·c = H0·L
1
0,5
Mpc
3C 123
0
0
© Dr. R. Göhring
5.000
10.000
[email protected]
15.000
20.000
25.000
30.000
11
Das kosmologische Prinzip

Das Weltall ist homogen:
unabhängig vom Ort im Raum, an dem sich ein Beobachter
befindet, stellt sich das Weltall immer gleich dar
(Dieses Prinzip der Homogenität wird auch als
Kopernikanisches Prinzip bezeichnet).

Das Weltall ist isotrop:
unabhängig davon, in welche Richtung man auch schaut, das
Weltall sieht immer gleich aus.

Das kosmologische Prinzip gilt aber nur für sehr große
Dimensionen !
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[email protected]
12
Expansion eines Rosinienbrötchens
Quelle: wikipedia.org
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13
ERSU – Expanding Rubber Sheet Universe
(Harrison)
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14
ERSU – Expanding Rubber Sheet Universe
 Die Objekte scheinen radial weg
vom Beobachter verschoben zu
sein.
 Je weiter das Objekt vom
Beobachter entfernt ist, um so
größer erscheint die durch die
Expansion hervorgerufene
Verschiebung
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15
ERSU – Expanding Rubber Sheet Universe
Wegen der Homogenität und
Isotropie gilt das vorher Gesagte
für alle Beobachter in dem Raum
in gleicher Art und gleicher
Größenordnung
© Dr. R. Göhring
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16
Skalenfaktor
Frankfurt
50o N
8,5o O
Radius des Globus r10  10 cm
L10  r10 
o
o
2(90  50 )
 7cm
360o
Koordinatendistanz
Radius des Globus r30  3  r10  30 cm
L 30  3  r10 
2(90o  50o )
 21cm
360o
Koordinatendistanz
Allgemein: Entfernung = Skalenfaktor · r10 · Koordinatendistanz
© Dr. R. Göhring
[email protected]
17
Hubble-Funktion
Skalenfaktor a(t) ist der Betrag, um den sich die Größe des „Raumes“ ändert:
L(t)  a(t)  r10  Koordinatendis tan z
Fluchtgeschwindigkeit V(t) ist die Rate, mit der sich die Distanz L(t) ändert:
V(t) 
dL(t) da(t)

 r10  Koordinatendis tan z
dt
dt
Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz:
V(t) 
a(t)
 L(t)  H(t)  L(t)
a(t)
Hubble-Funktion:
H(t) 
a(t)
a(t)
H0
72
Hubble-Konstante H0:
= heutiger Wert der
Hubble-Funktion
© Dr. R. Göhring
7
[email protected]
km
sec Mpc
18
Geschwindigkeits-Entfernungs-Gesetz
Beobachter
Skalenfaktor a(t)
V(t) 
a
 L(t)  H(t)  L(t)
a
Vheute = H0·Lheute
© Dr. R. Göhring
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19
Hubble Sphäre

V>c
Nach dem GeschwindigkeitsEntfernungs-Gesetz gilt
Vheute = H0 · Lheute

V<c
LH

© Dr. R. Göhring
Die Entfernung LH, bei der die
Fluchtgeschwindigkeit V = c
ist, ist die Hubble-Länge
LH = c/H0 ≈ 4.200 Mpc
Fluchtgeschwindigkeiten V > c
sind möglich, da die Expansion
des Raumes ein Effekt der
allgemeinen und nicht der
speziellen Relativitätstheorie
ist!
[email protected]
20
Rotverschiebung durch die Expansion

Emission


Empfang
Zum Zeitpunkt der der Emission te einer
elektromagnetischen Welle der Wellenlänge  sei
der Skalenfaktor a(te).
In der Zeitspanne bis zum Empfang der Welle
(heute) ist der Raum expandiert auf den
Skalenfaktor a(t0).
Im gleichen Verhältnis wird die Wellenlänge
gestreckt; d.h. die Änderung der Wellenlänge ist
proportional der Änderung des Skalenfaktors:
0 a(t0 )


a(t e )
0
a(t0 )
1z 1z 

a(t e )
© Dr. R. Göhring
[email protected]
21
Warum nehmen Objekte im Universum nicht an der
Expansion teil ?
4 Grundkräfte der Physik:
• Starke Wechselwirkung: hält Atomkerne zusammen.
• Elektromagnetische Wechselwirkung: hält Atome und Moleküle
zusammen.
• Schwache Wechselwirkung: verantwortlich für radioaktive
Zerfallsprozesse.
• Gravitation: dominiert die großräumigen Strukturen des Universums.
Starke Wechselwirkung
1038
Elektromagnetische Wechselwirkung
1036
Schwache Wechselwirkung
1025
Gravitation
1
Expansion des Universums
≈10-36
© Dr. R. Göhring
[email protected]
22
Entfernungen
Lemission
Lheute
Lheute
a
 heute  1  z
L emission aemission
Lheute  (1  z)  L emission
© Dr. R. Göhring
[email protected]
23
Hubble Space Telescope: Blick in die Vergangenheit
Hubble Ultra Deep Field
© Dr. R. Göhring
[email protected]
24
Raum-Zeit-Koordinaten expandierender Sphäre
© Dr. R. Göhring
[email protected]
25
Expandierender Raum
Zeit
Eigenabstand
Zeit
Zeit
A
Raum
Raum
B
Emissionsabstand
E
Lichtkegel
big
big
bang
bang
© Dr. R. Göhring
[email protected]
26
Raum-Zeit-Diagramm
Entfernung O-C heute
t0 ≡ heute ≈ 13,5 Gj
z=0,23
O
0,73*t0 ≈ 9,9 Gj
z=0,56
0,51*t0 ≈ 6,9 Gj
0,22*t0 ≈ 3,0 Gj
z=1,74
Entfernung O-C früher
0
0
big
bang
© Dr. R. Göhring
[email protected]
27
Weltlinien im Einstein-de Sitter Universum
Lp(t0)
t0 ≡ heute ≈ 13,5 Gj
z=0,23
O
0,73*t0 ≈ 9,9 Gj
z=0,56
0,51*t0 ≈ 6,9 Gj
0,22*t0 ≈ 3,0 Gj
z=1,74
Le(te)
0
0
big
bang
© Dr. R. Göhring
[email protected]
28
Das kosmologische Prinzip

Das Weltall ist homogen:
unabhängig vom Ort im Raum, an dem sich ein Beobachter
befindet, stellt sich das Weltall immer gleich dar.
(Dieses Prinzip der Homogenität wird auch als
Kopernikanisches Prinzip bezeichnet).

Das Weltall ist isotrop:
unabhängig davon, in welche Richtung man auch schaut, das
Weltall stellt sich immer gleich dar.

Das kosmologische Prinzip gilt aber nur für sehr große
Dimensionen und stellt eine erste Näherung zur
Berechnung kosmologischer Modelle dar!
© Dr. R. Göhring
[email protected]
29
Ab wann muß relativistisch gerechnet werden?
Es kann nach der Newtonschen Theorie gerechnet werden,
solange der Schwarzschildradius sehr klein gegen die räumliche
Dimension r ist:
 2Gm

r
c2  r
1
Unsere Milchstraße hat ca. 1011 Sterne und einen Radius von
15 kpc; als Verhältnis ergibt sich daraus:

 106
r
Relativistisch muß gerechnet werden, wenn mindestens R/r≈0,01 ist:
 2  G  m 8Gr 3
3



r

0,
01

c

r
8G
c2  r
3c2r
Bei einer mittleren Dichte im Universum von 10 -28 kg·m-3 ergibt
sich r zu:
r  4  103 Mpc
© Dr. R. Göhring
[email protected]
30
Alexander Friedmann (1888 – 1925)




Russischer Physiker und Mathematiker
In seinem Artikel „Über die Krümmung
des Raumes“ untersuchte er 1922
verschiedene Weltmodelle und sagte
die Expansion des Universums voraus.
1923 erschien sein Buch „Die Welt als
Raum und Zeit“, in dem er seine
kosmologischen Gedanken allgemeinverständlich darlegt.
Er starb 1925 in St. Petersburg an
Typhus.
Quelle: http://friedmann.objectis.net
© Dr. R. Göhring
[email protected]
31
Georges Edouard Lemaître (1894 – 1966)




1927 erschien sein Artikel „Un
universe homogène de masse
constante et de rayon croissant“, in
dem er ein expandierendes
Universum beschrieb.
Der Artikel blieb praktisch
unbeachtet, bis Eddington 1931
eine Übersetzung herausbrachte.
Auf Lemaître geht die Idee des
Urknalls zurück.
Ab 1960 bis zu seinem Tod war er
Präsident der Päpstlichen Akademie
der Wissenschaft.
Quelle: http://www.catholiceducation.org
© Dr. R. Göhring
[email protected]
32
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik
FLRW-Metrik

Robertson


Walker
Robertson und Walker entwickelten eine
Metrik für die Expansion eines homogenen
und isotropen Universums als exakte
Lösung der Feldgleichungen.
Zu Ehren von Friedmann und Lemaître, die
eine analoge nutzten, wird die Metrik
Friedmann-Lemaître-Robertson-WalkerMetrik oder FLRW-Metrik genannt.
Diese Metrik in Verbindung mit einem
geeigneten Energie-Impuls-Tensor führt auf
die Friedmann-Gleichungen der
Kosmodynamik.
© Dr. R. Göhring
[email protected]
33
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metrik
FLRW-Metrik
 (d)2
2
2
2
2 


d  R 



(d

)

sin

(d

)
2


 1  k

2
2
0
d
ds2  c2dt2  d2
 (d)2

2
ds  c dt  a (t)  R 



d


2
1

k



2
0;
k=
+1;
2
=r
2
2
2
0
FLRW-Metrik
Euklidischer Fall: offener Raum
=sin(r) positive Krümmung: geschlossener Raum
-1; =sinh(r) negative Krümmung: offener Raum
© Dr. R. Göhring
[email protected]
34
Bogenelemente
Analogie:
d2  (dr)2  r 2 (d)2  sin2 (d)2 

d2  R 20 (dr)2  sin2 (r)  (d)2  sin2 (d)2 


d2  R 20 (dr)2  sinh2 (r)  (d)2  sin2 (d)2 
© Dr. R. Göhring
[email protected]

35
Sphäre variabler Größe
Bogenelement auf der Kugel:
d2  R20
d
2
 sin2    d
2

r
r

d2  R20  dr   sin2 r   d

2
2

Bogenelement bei zeitabhängigem Radius a(t)·R0:
Beobachter

d2(t,r, )  a2(t)  R20  dr   sin2 r  d
© Dr. R. Göhring
[email protected]
2
2

36
Kosmokinetik

ds2  c2dt2  a2 (t)  R 20 (dr)2  S2 (r)  d

Bestimmung der Entfernung Lp vom Beobachter
zu Galaxie G zu einem festen Zeitpunkt t:
d  0; dt  0; R 0  1
ds  a(t)dr
G
rG

Die Galaxie G hat die Koordinatendistanz r G.
Die (metrische) Entfernung Lp ist dann:
Lp (t) 
rG
 ds  a(t) dr  a(t)  r
G
0
Beobachter
rG
0
und die Fluchtgeschwindigkeit Vp(t):
Vp (t) 
© Dr. R. Göhring
d
a&
&
Lp (t)  a(t)
 rG   L p
dt
a
[email protected]
37
Voraussetzungen für die Friedmann-Gleichungen
 Das Universum ist homogen
und isotrop.
 Die Materie im Universum (im
wesentlichen die Galaxien)
wird als nichtrelativistisches
ideales Gas aufgefaßt:
• materiedominiert
• Druck p=0
 Im frühen Universum
dominiert die Strahlung als
Quelle des Gravitationsfeldes:
2dF Galaxy Redshift Survey (Australien)
© Dr. R. Göhring
• strahlungsdominiert
• Druck p≠0
[email protected]
38
Friedmann-Gleichung der Kosmodynamik
beschreibt die Dynamik eines isotropen und homogenen Universums:
2
.

2
a(t)
1


  H2 (t)  8G (t)  kc

 a(t) 
3c2
R 20 a2 (t) 3


Friedmann-Gleichung:
Beschleunigungs-Gleichung:
a(t)
4G


[

(t)

3p(t)]

a(t)
3
3c2
4 freie Parameter: Krümmungskonstante:
k
Energiedichte: (t)
Druck: p(t)
Kosmologische Konstante: 
Einstein-de Sitter Modell:
H2 (t) 
© Dr. R. Göhring
8G
(t)
2
3c
[email protected]
(k
p(t)
0)
39
Kritische Energie- und Massendichte
Einstein-de Sitter Modell:
H2 (t) 
8G
(t)
2
3c
Definition der kritischen Energiedichte:
3c2 2
c (t) 
H (t)
8G
Definition der kritischen Massendichte:
c (t) 
3
H2 (t)
8G
Die kritische Energie- und Massendichte zum heutigen Zeitpunkt t0:
 kg 
c,0 (t)  (8, 8  1,7)  1011 
2
 m  sec 
 kg 
c,0 (t)  (9,7  2, 0)  1027  3 
m 
© Dr. R. Göhring
[email protected]
40
Kosmologische Modelle
a(t)
(Änderung des Skalenfaktors mit der Zeit)
a(t)
t
t0
k=0
t0
t
k=1
k = -1
a(t)
a(t)
~t
a(t)
2/3·1/H0
1/H0
t0
flacher Raum (offen)
t
Big bang
Big crunch
sphärischer Raum (geschlossen)
t
t
hyperbolischer Raum (offen)
Lambda-Parameter = 0
© Dr. R. Göhring
[email protected]
41
Modellvarianten
© Dr. R. Göhring
[email protected]
42
Einstein-de Sitter Modell
8G
kc2 1

H (t) 

(t)


3c2
R 20 a2 (t) 3
2
a(t)
Flaches Universum: k=0
Kosmologische Konstante: =0
2
& 
 a(t)
8G
H (t)  

(t)

3c2
 a(t) 
2
Zeitliches Verhalten des Skalenfaktors:
2 1
3 H0
1/H0
1/3
 9 
a(t)  

 4 
t0
t2 /3
t
Die Hubble-Funktion:
&  2 1
 a(t)
H(t)  
 
a(t)

 3 t
2 1
Weltalter: t0  
3 H0
© Dr. R. Göhring
[email protected]
43
Hubble-Sphäre = Schwarzes Loch
Die Masse MH innerhalb der Hubble-Sphäre
mit dem Radius LH
Der Schwarzschildradius
(t)
MH
4
3
3
(t)
L
c
H (t)
(t)der Masse MH ist gegeben als
2 GMH
c2
2G 4
c2 3
mit der kritischen Massendichte
c
(t) L3H (t)
c (t)
LH (t)
© Dr. R. Göhring
3
H2 (t) und L H (t)
8 G
c
H(t)
(t)
[email protected]
44
Weltlinien im Einstein-de Sitter Universum
Lp(t0)
t0 ≡ heute ≈ 13,5 Gj
z=0,23
O
0,73*t0 ≈ 9,9 Gj
z=0,56
0,51*t0 ≈ 6,9 Gj
0,22*t0 ≈ 3,0 Gj
z=1,74
Le(te)
0
0
big
bang
© Dr. R. Göhring
[email protected]
45
Partikelhorizont und Hubble-Länge
Partikel-Horizont heute
jetzt
Weltlinie der Galaxie „H“ entspricht dem
Partikelhorizont: Grenze der Sichtbarkeit.
O A B
C
D
H
LH(t) ist die Hubble-Länge in Abhängigkeit
von der Zeit:
c
LH(t) 
H(t)
Die Geschwindigkeit, mit der die HubbleSphäre expandiert:
UH(t) 
LH(t)
d
L (t)  c  1  q(t)
dt H
Universum mit gebremster Expansion heißt
q>0 und Hubble-Sphäre expandiert schneller als das Universum; Folge: immer mehr
Objekte sind innerhalb der Hubble-Sphäre.
In beschleunigt expandierende Universen,
q<0, expandiert die Hubble-Sphäre langsamer: immer weniger Objekte sind innerhalb.
Urknall
© Dr. R. Göhring
[email protected]
46
Partikelhorizont – 2
D
H
LH(t)
Das Licht der Galaxie „D“ wird
emittiert zu einer Zeit, in der
sie selbst jenseits der HubbleSphäre ist.
Trotzdem können wir sie sehen;
das von ihr ausgesandte Licht
wird von der Hubble-Sphäre
„überholt“.
te
© Dr. R. Göhring
[email protected]
47
Friedmann-Gleichung mit „heutigen“ Parametern
Heutige Massen- (eigentlich Energiedichte) und Vakuumenergiedichte:
(Herleitung siehe Skriptum !)
Massendichte:
m,0 
(t0 )
c,0
Vakuumenergiedichte:
 ,0 

1
1
mit

 c,0
 c,0
3  H20
Damit ist die Friedmann-Gleichung mit heute meßbaren Parametern:
m,0
d
a(t)  H0
  m,0   ,0  1  a2 (t)   ,0
dt
a(t)
=1 Euklidischer Fall: offener Raum
m,0+,0
>1 positive Krümmung: geschlossener Raum
<1 negative Krümmung: offener Raum
© Dr. R. Göhring
[email protected]
48
Meßwerte der Hubble-Konstante
© Dr. R. Göhring
[email protected]
49
Modell-Universen
3
Vakuumenergiedichte  ,0
kein
Urknall
Art des Raumes in Abhängigkeit von den
Parametern m,0 und ,0
2
m,0
d
a(t)  H0
  m,0   ,0  1  a2 (t)   ,0
dt
a(t)
1
 m,0+,0
0
=1 Euklidischer Fall:
offener Raum
>1 positive Krümmung:
geschlossener Raum
<1 negative Krümmung:
offener Raum
-1
0
kein
Urknall
1
2
3
Massendichte  m,0
© Dr. R. Göhring
[email protected]
50