Galilei-Transformation - Physikalischer Verein

Spezielle
Relativitätstheorie
Dynamik
der
Speziellen Relativitätstheorie
Dynamik
Dynamik als Teilgebiet der Mechanik beschreibt die
Änderung der Bewegungsgrößen
Weg,
Geschwindigkeit und
Beschleunigung
unter Einwirkung von Kräften im Raum
Wichtige Sätze der Dynamik sind
der Impulssatz (Kraftgesetz) und
der Energiesatz
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VII-2
Impulssatz der klassischen Mechanik
• Der Impuls ist per definitionem
proportional der Geschwindigkeit
und der (konstanten) Masse.
• Mit dem Impuls läßt sich das
Newtonsche Kraftgesetz – „lex
secunda“ –bei konstanter Masse
formulieren :


p  m v




dv dp
F  ma  m

dt
dt
• Es gilt der Erhaltungssatz des
Impulses
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Quelle: Wikipedia
VII-3
Klassische Mechanik und Galilei-Transformation
Relativitätsprinzip:
Es gibt unendlich viele, relativ zueinander in Translationsbewegungen
befindliche, gleichberechtigte Systeme, Inertialsysteme, in denen die
Gesetze der Mechanik in ihrer einfachen, klassischen Form gelten.
Koordinatentransformation:
Die Transformation von einem Inertialsystem auf ein anderes
beschreibt die Galilei-Transformation:
x(1)  x  vt
y(1)  y
z(1)  z
t(1)  t
Invarianz:
Unter der Galilei-Transformation ist die Beschleunigung invariant
und damit auch alle Gesetze der Mechanik.
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VII-4
Invarianz der Beschleunigung
Die Ortskoordinate transformiert sich
entsprechend der Galilei-Transformation:
Die Geschwindigkeit ist die Änderung der
Ortskoordinate nach der Zeit. u(1) ist ein
Ausdruck für die Addition der
Geschwindigkeiten.
Die Beschleunigung ist die Änderung der
Geschwindigkeit mit der Zeit. Da „v“ nicht
von der Zeit abhängt, ist dv/dt=0 und
damit die Beschleunigung in beiden
Inertialsystemen gleich.
x(1)  x  v t
(1)
u
(1)
b
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dx(1) dx


v uv
dt
dt
du(1) du dv



dt
dt dt
du

b
dt
VII-5
Dilemma
•
Einstein hat in seiner Arbeit 1905 gezeigt, daß die Gesetze der Kinematik
und der Elektrodynamik invariant gegenüber der Lorentz-Transformation
sind; es gilt dafür das Relativitätsprinzip.
•
In der klassischen Mechanik ist die Beschleunigung invariant gegenüber
der Galilei-Transformation.
•
Die Beschleunigung „b“ mit der Definition
b = dv/dt = d2x/dt2
ist in der Speziellen Relativitätstheorie nicht invariant!
(mathematische Ableitung siehe Skriptum Kap. B.5 und B.6)
•
Um zu vermeiden, daß für Kinematik und Elektrodynamik die Lorentz-, für
die Dynamik aber die Galilei-Transformation gilt, müssen Gesetze der
relativistischen Dynamik gefunden werden, die die Lorentz-Transformation
erfüllen.
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VII-6
Prämissen der Speziellen Relativitätstheorie
1. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist für alle
gleichförmig gegeneinander bewegten Systeme
gleich groß.
2. In allen gleichförmig gegeneinander bewegten
Systemen gelten durchweg die gleichen
Naturgesetze (Relativitätsprinzip).
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VII-7
Grundlage der relativistischen Dynamik
Der Impulssatz der klassischen Dynamik würde sich anbieten, die
Gesetze der relativistischen abzuleiten. „u“ ist die Geschwindigkeit.
p  mu
Daraus leitet sich das Kraftgesetz ab:
K
dp
du
 m
 mb
dt
dt
Die Beschleunigung „b“ ist aber nicht Lorentz-invariant, so daß
die Verwendung des Impulssatzes ausfällt!
Der Ausweg ist statt dessen die Nutzung des Erhaltungssatzes des
Impulses mit der Ergänzung, daß bei dem Impuls die Masse abhängig
von „u“ ist:
p  m(u)  u
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VII-8
Erhaltungssatz des Impulses
ct
ct(1)
2,00
Ein Teilchen zerfalle im Ruhesystem in zwei Sekundärteilchen.
1,50
Der Erhaltungssatz des Impulses
besagt, daß dabei
ct(1) =1
p2
1,00
x(1)
p3
p1
Der gleiche Sachverhalt muß
auch in einem relativ dazu
bewegten Inertialsystem
gelten.
x(1) =1
0,50
0,50
1,00
1,50
p 1 = p2 + p 3
2,00
x
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VII-9
Unelastischer Stoß – 1
A
u
u
B
Kugel A bewegt sich mit der Geschwindigkeit „u“ auf die ruhende Kugel B zu.
Bei dem unelastischen Stoß fliegen beide zusammen als vereinigtes Objekt
mit der Geschwindigkeit ū davon.
Impuls vor dem Stoß ist:
pvor  m(u)  u  m(0)  0  m(u)  u
Impuls nach dem Stoß:
pnach  M(u)  u
Dabei wird nicht angenommen, daß M(ū) = 2·m(u) ist!
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VII-10
Unelastischer Stoß – 2
- u(1)
A
- u(1)
B
Betrachten wir den Stoß von einem System S(1) aus, das sich mit der
Geschwindigkeit +u in Bewegungsrichtung der Kugel A bewegt. Von diesem
System aus gesehen ruht die Kugel A und B bewegt sich mit –u(1) auf sie zu.
Nach dem Stoß bewegt sich das Konglomerat aus A und B mit der Geschwindigkeit –ū (1) und es gilt |u(1)| =u und |ū(1)| =ū.
Mit dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten können wir schreiben:
 u (1)  u
u
u (1) u
1
c2
Nach „u“ aufgelöst ergibt:
u
2u
u2
1 2
c
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VII-11
Herleitung der relativistischen Masse
Es gilt das Gesetz von der Erhaltung (bewegter) Massen: m(u)  m(0)  M(u)
(Beweis dazu im Skriptum Kap. B.3)
Die Beziehung für den Gesamtimpuls können wir damit schreiben:
m(u)  u  M(u)  u  m(u)  m(0)  u
Oder aufgelöst nach m(u):
Mit
u
2u
u2
1 2
c
m(u)  m(0) 
u
u u
erhalten wir nach einigen Umrechnungen
(siehe Skriptum Kap. 2.4.1)
Für die Abhängigkeit der Masse von ihrer
Geschwindigkeit „u“ ergibt sich so:
m(u) 
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u

uu
1
u2
1 2
c
m(0)
u2
1 2
c
VII-12
Die relativistische Masse
Wenn wir für m(0) = m0 schreiben, erhalten wir für die Abhängigkeit
der Masse von der Geschwindigkeit den Ausdruck:
m(u) 
m0
u2
1 2
c
Die Masse m0 ist die Ruhemasse, die Masse, die in dem System
gemessen wird, in dem das Teilchen ruht. Die relativistische Masse
m(u) wächst mit der Geschwindigkeit, wie der Faktor k.
104
k
103
102
10
1
0,2 c
0,4 c
0,6 c
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0,8 c
c
VII-13
Der relativistische Impuls
Der Impuls ist ein Vektor in Richtung der Geschwindigkeit; mit der
relativistischen Masse ergibt sich für ihn:


p  m(u)  u 
m0
u2
1 2
c

u
Dabei ist zu berücksichtigen, daß die relativistische Masse m(u) nur
von dem Betrag der Geschwindigkeit u abhängt und nicht von deren
Richtung!
Mit steigender Geschwindigkeit nimmt die Masse immer mehr zu; sie
setzt einer Steigerung der Geschwindigkeit einen immer höheren
Trägheitswiderstand entgegen; die Lichtgeschwindigkeit ist auch hier
wieder eine Grenzgeschwindigkeit.
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VII-14
Zusammenhang Masse/Energie
Es gilt das Gesetz der Erhaltung bewegter Massen: m(u)  m(0)  M(u)
Wie aber bestimmt man die Ruhemasse des vereinten Objektes M(0)=M0?
Dazu nutzen wir ein System S(2), in dem M ruht. Es bewegt sich mit der
Geschwindigkeit |ū| relativ zum System S.
Von diesem System S(2) aus gesehen fliegen die Kugeln A und B aus
Symmetriegründen mit der Geschwindigkeit ±ū auf das vereinte Objekt zu
(Addition der Geschwindigkeiten):
A
u
u
B
In dem System S(2) gilt natürlich auch das Gesetz der Erhaltung bewegter
Massen:
m(u)  m(u)  2 m(u)  M0
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VII-15
Energie-Äquivalent – 1
m(u)  m(u)  2 m(u)  M0
Für die bewegten Massen 2·m(ū) setzen wir die Formel für die
Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit ein und erhalten
so für die Ruhemasse M0:
M0 
2 m0
u2
1 2
c
Für kleine Geschwindigkeiten ū « c wird die Wurzel in Reihe entwickelt
und nach dem quadratischen Glied abgebrochen:


1 u2
1
1
2

M0  2 m0 1 



2
m

2

m
u

0
0

2 c2
2
c2


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VII-16
Energie-Äquivalent – 2


1 u2
1
1
2

M0  2 m0 1 



2
m

2

m
u

0
0
2

2
2
c
c2


Die Ruhemasse M0 ist nicht, wie man annehmen würde, 2·m0, sondern
um einen kleinen Betrag (zweiter Ordnung) größer.
Die kinetische Energie der einzelnen Kugeln ist vor dem Stoß: Ekin 
1
m0 u 2
2
Nach dem Stoß kommen beide Kugeln zur Ruhe.
Ihre gesamte kinetische Energie wird in Wärme umgewandelt: 2  Ekin  Q
Für die Ruhemasse M0 gilt also: M0  2 m0 
Q
c2
Ein Zuwachs an Wärmeenergie Q erhöht die Masse um Q/c2.
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VII-17
Energie-Äquivalent – 3
Die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit war gegeben
durch die Formel:
m0
m(u) 
u2
1 2
c
Hier kann man ebenfalls für kleine Geschwindigkeiten – u « c – die
Wurzel in Reihe entwickeln und nach dem quadratischen Glied
abbrechen.


1 u2
1
1
Ekin
2

m(u)  m0 1 



m

m
u


m

0
0
0

2 c2
2
c2
c2


Ein Zuwachs an kinetischer Energie Ekin erhöht die Masse um Ekin/c2
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VII-18
Energie-Äquivalent – 4
Einstein hat nach seiner Originalarbeit 1905 in einem nächsten Artikel
mit dem Titel: „Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt
abhängig?“ gezeigt:
Gibt ein Körper die Energie L in Form von Strahlung ab, so
verkleinert sich seine Masse um L/c2.
Das bisher abgeleitete können wir auf alle Arten von Energie erweitern
- elektrische, chemische usw. – und verallgemeinern:
Die Zuführung/Abgabe einer Energie E vergrößert/verkleinert
die Masse eines Körpers um E/c2.
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VII-19
Energieinhalt einer Masse
Für die Ruhemasse M0 des vereinten Objektes
bei dem unelastischen Stoß wurde die Formel
abgeleitet:
Q
M0  2 m0  2
c
Beide Seiten dieser Gleichung mit c2 multipliziert ergibt:
M0  c2  m0  c2  Q
Auf beiden Seiten dieser Gleichung, die aus dem Gesetz der Erhaltung
der Massen abgeleitet wurde, stehen Energieterme. M0c2 ist die
Ruheenergie der Masse M, m0c2 die der Masse m. Verallgemeinert:
Der Energiegehalt E eines Körpers ist gleich seine Masse m
multipliziert mit c2.
E=m·c2
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VII-20
Lorentz-Transformation des Impulses und der Energie
ct
ct(1)
2,00
Im Ruhesystem S ist der Impuls:
p = m(u)·u
und die Energie:
1,50
ct(1) =1
p2
1,00
p1
E = m(u)·c2
x(1)
p3
Im dazu mit der Geschwindigkeit v
bewegten System S(1) ist der Impuls:
x(1) =1
p(1) = m(u(1))·u(1)
0,50
und die Energie:
E(1) = m(u(1))c2
0,50
1,00
1,50
2,00
x
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VII-21
Lorentz-Transformation des Impulses und der Energie
Den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit u im ruhenden System S
und der Geschwindigkeit u(1) im dazu bewegten System S(1) ist durch das
Additionstheorem der Geschwindigkeit bestimmt:
u(1)  v
u
u(1)v
1 2
c
Wir nehmen hier der Einfachheit halber an, daß die Richtung der Geschwindigkeiten u und v in x-Richtung liegt.
Für den Impuls p – genauer entsprechend unserer Annahme px – gilt dann:
p  m(u)  u  m0
u
2
u
1 2
c

u(1)  v
2


u(1)v 
u(1)  v
1  2  
c 
c2

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
2
VII-22
Lorentz-Transformation des Impulses und der Energie
Nach einigen Umformungen der Formel erhalten wir schließlich für den
Impuls p:
p  m0
u(1)  v
v2
(u(1) )2
1 2 1
c
c2
E(1)
p v 2
c

2
v
1 2
c
(1)
Analog erhalten wir für die (bewegte) Masse resp. E/c2:
E
 m(u)  m0
2
c
v (1)
E(1)
p(1)
1 2 u
v 2
2
c
c
c

v2
(u(1) )2
v2
1 2 1
1 2
c
c2
c
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VII-23
Lorentz-Transformation des Impulses und der Energie
Damit können wir die Transformationsgleichungen für dem Impuls und die
Energie schreiben:
E(1)
p v 2
c
px 
v2
1 2
c
(1)
x
(1)
y
py  p
(1)
z
pz  p
E(1)
p(1)
v 2
2
E
c
c

2
c
v2
1 2
c
x
x
(1)
vt
1
yy
zz
t
t
(1)
2
v
c2
(1)
(1)
y
p
(1)
z
(1)
(1)
p(x1) 
v
 2  x(1)
c
v2
1 2
c
E
c2
v2
1 2
c
px  v
 py
p
pz
E(1)
c2
E
p

v
2
c2
 c
v2
1 2
c
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x(1) 
xvt
v2
1 2
c
y(1)  y
z(1)  z
t(1) 
v
x
c2
v2
1 2
c
t
VII-24
Vierervektoren der Lorentz-Transformation
x
(1)

x vt
v2
1 2
c
y(1)  y
(1)
z
t
(1)
 z

v
x
c2
v2
1 2
c
t 
Mit dem „Ortsvektor“
im
Raum-Zeit-Diagramm
x
 
y
z
 
 ct 
 
Notation als Vierervektor:
ct  x0
x  x1
y  x2
z  x3
x(1) 
v
 ct
c
v2
1 2
c
x 
y(1)  y
z(1)  z
ct (1) 
v
x
c
v2
1 2
c
ct 
v 1
x
0
c
x 
v2
1 2
c
v
 x0  x1
x1  c
v2
1 2
c
x0 
x 2  x2
x 3  x3
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VII-25