PHYSIK FÜR VERMESSER , TEIL III, ELEKTRIZITÄT UND

PHYSIK FÜR VERMESSER , TEIL III, ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
0 BEMERKUNGEN ZUR MATHEMATIK
1
0.1
0.1.1
0.1.2
0.2
0.2.1
0.2.2
0.2.3
0.3
0.4
0.5
0.6
1
1
2
3
3
3
3
4
5
5
6
VORBEMERKUNGEN
PROPORTIONALITÄT UND ÄNDERUNG
DAS BEISPIEL KRAFTDEFINITION
VEKTOREN
DEFINITION
BEDEUTUNG DES VEKTORCHARAKTERS
ÜBERLAGERUNG
DIFFERENZIEREN
INTEGRIEREN
KOMPLEXE ZAHLEN
DIE 7 BASISGRÖßEN UND IHRE BASISEINHEITEN
1. ATOMARE STRUKTUR DER MATERIE
7
2. ELEKTROSTATISCHE GRUNDVERSUCHE
10
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.8.1
2.8.2
2.8.3
2.9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
12
12
REIBUNGSELEKTRIZITÄT
LEITER UND NICHTLEITER
ELEKTROSKOP
TRANSPORT VON LADUNGEN:
INFLUENZ
BANDGENERATOR UND GLIMMLAMPE
STROMBEGRIFF
WIRKUNGEN DES STROMES
WÄRMEWIRKUNG
CHEMISCHE WIRKUNG
MAGNETISCHE WIRKUNG
MAGNETFELD EINER SPULE
3. DIE LORENTZ- KRAFT
13
3.1
LEITERSCHAUKELVERSUCH
3.2
LORENTZKRAFT
3.3
DEFINITION DER BASISGRÖßE STROMSTÄRKE
3.3.1
MAGNETFELD EINES GERADEN, STROMDURCHFLOSSENEN LEITERS
3.3.2
FESTLEGUNG DER BASISEINHEIT AMPERE
3.3.3
ALTE FESTLEGUNG DER STROMSTÄRKE
3.3.4
GLÜHELEKTRISCHER EFFEKT
13
13
13
13
13
14
14
4. ELEKTROSTATIK - ELEKTRISCHES FELD
15
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
15
15
16
17
17
20
COULOMBSCHES GESETZ
VERGLEICH VON WECHSELWIRKUNGSKRÄFTEN
ELEKTRISCHE FELDSTÄRKE
FELDLINIEN
ELEKTRISCHER DIPOL
ARBEIT IM ELEKTRISCHEN FELD
AUSZUG AUS DEN LERNZIELKATALOGEN DER VERMESSER FÜR PHYSIK UND
MATHEMATIK
Dieser Lernzielkatalog wurde in dieser Form aus den Unterlagen des Fachbereichs Vermessungswesen (Stand 1994) der UGHS Essen übernommen. Das Skript hält sich nicht streng an
die Lernzielreihenfolge des Katalogs. Dennoch ist natürlich die Gestaltung des Skript durch
den Katalog vorgegeben.
A
Physik: Elektrizität und Magnetismus
- Atomare Struktur der Materie, elektrisch neutrale und elektrisch geladene Körper, Kräfte
zwischen Ladungen, Coulombsches Gesetz, elektrisches Feld, Spannung und Potential, Influenz, Polarisation
- elektrischer Strom, Wirkungen und Messung, Ohmsches Gesetz, Kennlinien von Widerständen
- innerer Widerstand von Spannungsquellen, Kirchhoffsche Gesetze, Serien- und Parallelschaltung
- Wheatstonesche Brücken- und Potentiometerschaltung
- Arbeit und Leistung
- Magnetfelder bei Permanentmagneten und elektrischen Strömen
- magnetische Induktion, magnetische Erregung, Lorentzkraft, magnetischer Fluß, elektromagnetische Induktion, Lenzsche Regel, Wirbelströme, Selbstinduktion
- Materie im magnetischen Feld
- Elektrogeneratoren und -motoren, Drehstrom, Transformator, Wechselstomkreise
- Thomsongleichung
- Wechselstromleistung, Effektivwerte
- Diode, Triode, Transistor
- Erzeugung von ungedämpften Schwingungen
- Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
- Modulation und Demodulation von HF-Wellen
B
Mathematik (nicht Gegenstand der Veranstaltung)
1 Vektoren und Vektorraum
2 Lineare Gleichungssysteme (Matrizen, Determinanten, Eigenwerte)
3 Kegelschnitte
4 Differentialrechnung (mit Taylorreihen)
5 Integralrechnung
6 Komplexe Zahlen
Stand: 1994 Ausdruck am 10.06.98.
Skript zur Veranstaltung von E. Hörber
Seite 1
0
BEMERKUNGEN ZUR MATHEMATIK
0.1
Vorbemerkungen
Für viele Schüler und Studenten ist das eigentlich schwer Verständliche an der Physik die
Mathematik. Es gelingt häufig nicht, von der physikalischen Aussage zur berechenbaren
Gleichung und umgekehrt zu kommen. Um dies zu erleichtern, hat die Physik wie jede Wissenschaft ihre eigene Sprache entwickelt. Wenn man diese Sprache nicht versteht, ist die
Umsetzung in eine mathematische Form erschwert statt erleichtert. Wichtige Hilfen zum Verständnis der Umsetzungen (Formel zur Sprache und umgekehrt) sind die Begriffe "Proportionalität" und "Änderung".
0.1.1
Proportionalität und Änderung
Sobald man in der Umgangssprache formuliert: "je größer(mehr, kleiner) A wird, um so kleiner (weniger, größer) wird B", handelt es sich meist um eine Proportionalität. Man sagt auch
"A ist proportional zu B". Aus einer Proportionalität wird durch Einfügen einer sogenannten
"Proportionalitätskonstanten" eine Gleichung. Bei Proportionalitäten kann wie folgt verfahren
werden:
A ist proportional zu B
A~B
oder (c, k Proportionalitätskonstanten)
A = c B bzw. B = k A
A ist umgekehrt proportional (antiproportional) zu B:
A ~ 1/B bzw. A = c 1/B
A ist proportional zu B und A ist proportional zu C; daraus folgt:
A=cBC
Der Fall B = k C, mit der Möglichkeit A = c k C C muß selbstverständlich ausgeschlossen
werden.
A ist proportional zu B und umgekehrt proportional zu C:
A = k B/C
Wie schon erwähnt, hat die Physik ihre eigene Sprache entwickelt. Die in der Physik gebräuchlichen Begriffe werden häufig auch in der Umgangssprache benutzt. Dadurch wird die
physikalische Definition und Bedeutung oft nicht verstanden. So ist Geschwindigkeit als
Quotient "zurückgelegter Weg durch benötigte Zeit" definiert. Demnach steht auf dem Verkehrsschild für die erlaubte Höchstgeschwindigkeit eine Wegangabe (Verwaltungsjuristen
haben dies wahrscheinlich festgelegt). In den Medien wird häufig von Stundenkilometern für
eine Geschwindigkeitsangabe gesprochen. Daraus müßte man schließen, daß Geschwindigkeit
Zeit mal Weg ist. Richtig heißt die Einheit Kilometer pro Stunde. Leider kann man aus den
Anfangsbuchstaben von Kilometer, pro und Stunde keine Silbe bilden. Wenn man aber Kilometer in der Stunde (hour im Englischen) formulieren würde (d.h. das Wort "in" ersetzt den
Bruchstrich), dann ließe sich eine aussprechbare Einheit definieren, nämlich "kih" (kilometers
in hour). Auf gleiche Art könnte man für Meter in der Sekunde die Einheit "mis" einführen.
Hier soll der Versuch unternommen werden, diese beiden Einheiten zu verwenden.
Seite 2
Umgangssprachliche Ungenauigkeiten (wie Stundenkilometer) erschweren natürlich das Verständnis physikalischer Begriffe.
Am Beispiel der Geschwindigkeit kann der Begriff "Änderung" klar gemacht werden. Jeder
berechnet nämlich die Geschwindigkeit richtig. Man liest den Tachostand (Weg sa in Kilometern) und die Uhr (Zeit in Stunden) zu Beginn und Ende (Weg se) einer Reise ab und dividiert
die entsprechenden Differenzen. Geändert hat sich der Tachostand und die Anzeige der Uhr.
D.h. unter Änderung versteht der Physiker entweder eine Differenz oder als Folge einer mathematischen Operation (Grenzübergang) ein Differential.
Unter Änderung einer Größe soll einmal (etwas ungenau) die Differenz der Größe zwischen
End- und Anfangszustand bzw. zum anderen (genauer) ihr "Differential" verstanden werden.
Als Abkürzung für eine Differenz ist das ∆-Zeichen und für ein Differential das d-Zeichen definiert worden.
Beispiel :
Wegdifferenz:
∆s = se - sa
Wegänderung:
ds
In Textaufgaben wird oft sprachlich nicht zwischen Differenz und Differential unterschieden.
Meistens muß gesagt werden, mit was sich eine Änderung z.B. der Größe "y" vollzieht. Häufig ändern sich physikalische Größen mit der Zeit t oder mit dem Weg s. Es wird daher vorgeschlagen dy/dt als zeitliche Änderung (t: Zeit) der Größe "y" und dy/ds als örtliche Änderung
(s: Weg) der Größe "y" zu bezeichnen.
0.1.2
Das Beispiel Kraftdefinition
Als weiteres wichtiges Beispiel dafür, wie schwierig es ist, eine Gleichung aus einer verbalen
Formulierung zu finden, soll der Kraftbegriff gebracht werden. Der Kraftbegriff selber ist
problematisch. Es geht hier nur um die Umsetzung einer verbalen Formulierung in eine
Gleichung.
Die gültige Definition der Kraft, die durch eines der Newtonschen Axiome gegeben ist, ist nur
schwer in eine Gleichung umzusetzen. Laut Stroppe heißt dieses Axiom: "Jeder Körper verharrt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, solange keine äußeren Kräfte auf ihn wirken."
Im Gerthsen heißt dieses Axiom: "Ein kräftefreier Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig." Die letztere Formulierung dürfte von keinem Schüler in eine Gleichung umsetzbar sein.
Besser steht es mit der ersten Formulierung. Weil im Gleichgewichtszustand die Summe der
Kräfte gleich Null ist, läßt sich daraus keine Definition der Kraft finden. Deshalb muß der
Nichtgleichgewichtszustand betrachtet und daraus die Definition der Ursache (in diesem
Falle der Kraft) benutzt werden. Das Axiom würde nun so heißen: Solange äußere Kräfte auf
einen Körper wirken, ändert sich sein Bewegungszustand. In "solange" steckt die Zeitdauer,
während der die Kräfte wirken, also eine Zeitdifferenz; indem Wort "ändert" steckt ebenso
eine Differenz (bzw. ein Differential). Es muß bekannt sein, daß der "Bewegungszustand"
durch den Impuls, der wiederum als Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit definiert ist,
beschrieben wird. Jetzt lautet das Axiom: Die Summe der äußeren Kräfte ist gleich der Änderung des Impulses pro Zeitänderung, bzw. gleich der Impulsdifferenz während der zugehörigen Zeitdifferenz, in der die Kräfte auf einen Körper wirken. Die letzte Formulierung ist nun
leicht in eine Gleichung zu bringen:
v
v
F = dp/dt in N
Seite 3
v
also: Summe der äußeren Kräfte Fa = (Impulsdifferenz / Zeitdifferenz). Weil der Impuls
gleich dem Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit, ist bei der Berechnung der Kraft die
Produktenregel der Differentialrechnung anzuwenden. Wirkt nun eine Kraft und bleibt die
Masse des Körpers während der Impulsänderung konstant, geht die Formel in die bekannte
Gleichung:
v
v
v
F = dp/dt = m a in N
(Kraft gleich Masse mal Beschleunigung) über.
Umgekehrt gelingt es, sofern man d (Differentialoperator) oder ∆ (Differenz) wie vorgeschlagen durch das Wort "Änderung" verbalisiert, Gleichungen leichter in Sprache zu übersetzen,
z.B.:
F = dp/dt heißt: "Kraft gleich Impulsänderung pro Zeitänderung". Hierbei wird der Bruchstrich durch "pro" oder "in der" verbalisiert.
Am Beispiel Kraft ist hoffentlich die Bedeutung des Wortes "Änderung" für die Verbalisierung von Gleichungen und für die Umsetzung einer verbalen Aussage in eine Gleichung klar
geworden.
0.2
Vektoren
0.2.1
Definition
Unter einem Vektor versteht man eine gerichtete Größe, d.h. ein Vektor ist durch Maßzahl,
Richtung und Einheit gegeben. Im Gegensatz dazu hat ein Skalar keine Richtung. Die einzige
Basisgröße, die ein Vektor ist, ist die Länge. Vektoren sind durch Pfeile über den Bezeichnungen gekennzeichnet. Fehlt der Pfeil, so ist nur der Betrag gemeint.
0.2.2
Bedeutung des Vektorcharakters
Eine Masse ist nicht gerichtet. Ein kg Wachs bleibt ein kg Wachs auch nach Verformung. Dagegen ist nicht egal, ob man 30 km von Bochum in Richtung Essen oder in Richtung Dortmund fährt.
Die Bedeutung des Vektorcharakters einer physikalischen Größe kann vielleicht noch besser
am Beispiel des Vektors "Geschwindigkeit" (Geschwindigkeit = Wegdifferenz pro Zeitdifferenz) klar gemacht werden. Leider kommt es auch hier zur Verwirrung durch die Umgangssprache. Im Deutschen fehlt nämlich ein Begriff; man sagt: ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn. Es ist gemeint: ein Punkt bewegt sich auf einer
Kreisbahn mit einer Geschwindigkeit, deren Betrag konstant, deren Richtung sich aber ständig ändert. Im Englischen heißt der Betrag der Geschwindigkeit "speed", während der Vektor
Geschwindigkeit "velocity" genannt wird. Analog dazu könnte man den Betrag einer Geschwindigkeit im Deutschen "Tempo" nennen.
0.2.3
Überlagerung
Hier kann natürlich auch nicht kurz die Vektoralgebra oder gar die Vektoranalysis dargestellt
werden. Es sei auf zwei Bände Mathematik für Physiklehrer (Weltner) hingewiesen. Was dort
drin steht ist das Minimum dessen, was einem Naturwissenschaftler nach 3 Semestern nicht
fremd sein sollte.
Seite 4
Dennoch seien einige Bemerkungen gestattet. Vektoren stellt man durch Pfeile dar. Die Länge
des Pfeiles ist proportional zum Betrag. Die Pfeilspitze ist das Ende des Vektors und zeigt in
die Richtung des Vektors.
Vektoren können addiert werden (wenn Sie die gleiche Dimension haben), indem der Anfang
des zweiten Vektors durch Parallelverschiebung an das Ende des ersten Vektors gesetzt wird.
Der Summenvektor beginnt am Anfang des ersten Vektors und endet an der Pfeilspitze des
zweiten Vektors.
Man subtrahiert Vektoren, indem man beim zweiten Vektor Anfang und Ende (und damit die
Pfeilspitze) vertauscht und addiert.
Man kann Vektoren auch zerlegen und zwar so, daß die Summe der Vektoren, die man durch
Zerlegung erzeugt hat, wieder den ursprünglichen Vektor ergibt. Man kann sich vorstellen,
daß es beliebig viele Zerlegungen gibt. Das wichtige ist nun, eine sinnvolle Zerlegung zu finden. Häufig ist eine sinnvolle Zerlegung eine Zerlegung parallel zu den Koordinatenachsen
oder in senkrecht zueinander stehenden Richtungen (z. B. parallel zur schiefen Ebene und
senkrecht dazu).
r
r
v
Wenn ein Vektor v in Komponenten v x und v y zerlegt wird, die senkrecht aufeinander ster r
r
v
v
hen, ergibt sich: v = v x + v y = x e x + y e y
v
Für Länge v (Betrag) des Vektors v gilt nach dem Satz von Pythagoras:
2
2
2
v2 = vx2 + vy2 oder v = x + y .
v
Ist v ein Ortsvektor (ein Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung) mit dem Betrag v gilt:
r
r
r
v = v e x cos α + v ey sin α
Meist wird ein Ortsvektor mit r bezeichnet.
Unter Skalarprodukt zweier Vektoren versteht man das Produkt der Beträge der Vektoren
mal dem Kosinus des Winkel zwischen den Vektoren. Das Ergebnis ist ein Skalar.
Beim Vektorprodukt zweier Vektoren ergibt sich der Betrag des Ergebnisvektors aus dem
Produkt der Beträge mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Da das Ergebnis ein
Vektor ist, muß noch die Richtung angegeben werden. Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf
der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene und bildet mit den beiden Vektoren ein
Rechtssystem.
Aus diesen beiden Definitionen ist leicht zu erkennen, daß das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehenden Vektoren = 0 ist (cos90 = 0) und das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren = 0 ist (sin0 = 0). Die Arbeit ergibt sich aus dem Skalarprodukt der
Vektoren Kraft und Weg; das Drehmoment ist das Ergebnis des Vektorproduktes Kraft mal
Kraftarm.
0.3
Differenzieren
Differenzieren sollten Sie können (s. Weltner). Dimensionsmäßig gibt es keinen Unterschied
zwischen einem Differenzenquotient und einem Differentialquotient. Der Differenzenquotient
ist der Bruch, in dessen Zähler eine Differenz z.B. der Größe y und im Nenner die Differenz
einer anderen Größe z.B. x steht. Die Differenz ist gekennzeichnet durch Anfangswert xA und
Endwert xE, d.h. die Differenz der Größe x im Zähler ist xE-xA. Zur Abkürzung schreibt man
für die Differenz ∆. Für die Größe y gilt entsprechend:
∆y = yE-yA.
Seite 5
Der Differentialquotient ergibt sich aus dem Differenzenquotient, wenn der Grenzübergang
Nenner gegen Null gebildet wird.
Wenn β ein Winkel ist, der sich mit der Zeit ändert, schreibt man β = β(t). Wird nun die Aufgabe gestellt, die Ableitung nach der Zeit von f(β) = sinβ zu bilden, vergessen Anfänger häufig, die Kettenregel zu verwenden. Das Ergebnis ist:
df(β)/dt = cosβ (dβ/dt)
Ebenso oft wird die Produktregel nicht beherrscht. Es sei zum Beispiel (d/dt) (m v) zu bilden,
wo m Masse, v Geschwindigkeit und t Zeit bedeutet. Da m nicht immer konstant ist (z. B. bei
Autorennen wird der Tank leer), ergibt sich:
r rd
d r
d
(mv )= v m + m v
dt
dt
dt
0.4
Integrieren
Auch Integrieren muß beherrscht werden (s. Weltner).
Eine wichtige Größe, bei der ein Integral verwendet wird, ist die Arbeit. Arbeit W ist gleich
dem Wegintegral der Kraft F:
rv
W =∫ d s F
0.5
Komplexe Zahlen
Die Wurzel aus -1 kann im Bereich der reellen Zahlen nicht bestimmt werden; man definiert
als Ergebnis die Zahl i.
2
i = − 1 und i = -1
Die Zahl i nennt man imaginär. Imaginäre Zahlen sind Produkte von reellen Zahlen mit i.
Reelle Zahlen stellt man in Form einer Zahlengeraden dar. Imaginäre Zahlen können auf dieser Geraden nicht dargestellt werden; sie benötigen eine eigene imaginäre Zahlengerade.
Wenn man die Geraden senkrecht zueinander anordnet, entsteht eine Zahlenebene.
Jeder Punkt in der Ebene stellt eine Zahl mit einem reellen Teil a und einem imaginären Teil
i·b dar. Eine solche Zahl nennt man komplexe Zahl. Für eine komplexe Zahl Z gilt also:
Z=a+bi
Verwendet man den Abstand r und den Winkel α (entsprechend den Polarkoordinaten) um die
Lage der komplexen Zahl Z in der Zahlenebene zu kennzeichnen, ergibt sich:
Z = r cosα + i r sinα
Aus der Mathematik ist der sehr wichtige Satz von Moivre bekannt, der besagt:
r·e
iα
= r·cos α + i r·sin α
Dabei ist e die Eulersche Zahl (e = 2,7....). Demnach gilt auch:
iα
Z = r e = a + b i mit
2
2
2
r =a + b
Seite 6
Beide Darstellungen der komplexen Zahl sind gleichwertig. Nur sind komplexe Zahlen in der
Darstellung mit der e-Funktion sehr leicht zu handhaben, wenn sie differenziert werden
müssen. In der Darstellung mit Hilfe der Zahl e ergibt sich für α=0 eine rein reelle Zahl (also
ohne imaginären Teil) mit dem Wert a:
i·0
Z1 = r e = r cos0 + i r sin0 = r
0
Für α=90 ergibt sich eine rein imaginäre Zahl mit dem Wert r·i:
i·90
Z2 = r e
i·90
Der Faktor e
= r cos90 + i r sin90 = r·i
0
gibt also nur die Drehung um den Winkel 90 bezogen auf die reelle Achse an.
Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl Z ist gleich dem Abstand r vom Ursprung. Der
2
Zeichnung ist zu entnehmen, daß r = (a2 + b2) ist.
Z =
a 2 + b 2 wegen r2 = a2 + b2
Man beachte, daß der Absolutbetrag der komplexen Zahl Z reell (d.h. i kommt nicht vor) und
gleich dem Radius um den Ursprung r ist. Außerdem kann man sich klar machen, daß der
Term eiα lediglich die Drehung von r in der komplexen Zahlenebene um den Winkel α bewirkt.
Aus der Abbildung entnimmt man außerdem:
tanα
α = b/a
Wichtige Sonderfälle:
i·0
r⋅e
i·90
r⋅e
i·180
r⋅e
i·270
r⋅e
0.6
=r
=i⋅r
= -r
= -i ⋅ r
Die 7 Basisgrößen und ihre Basiseinheiten
Basisgröße
Zeit
Weg
Masse
Temperatur
Stromstärke
Stoffmenge
Lichtstärke
Formelzeichen
t
s
m
T
I
ν
Iv
in
in
in
in
in
in
in
Basiseinheit
Sekunden
Meter
Kilogramm
Kelvin
Ampere
Mol
Candela
Diese Angaben werden als bekannt vorausgesetzt.
Einheitenzeichen
s
m
kg
K
A
mol
cd
Seite 7
1.
ATOMARE STRUKTUR DER MATERIE
Materie ist teilbar; z.B. färbt 1g Fuchsin 100 l Wasser tiefrot [aus Kuhn III B, p14]. Man
stellte sich vor, daß es eine kleinste nicht weiter teilbare Einheit der Materie gibt und nannte
sie Atom. Auf dieser Basis wurden Atommodelle entwickelt.
Dalton (1766 - 1844) findet 3 Gesetze vor, als er die Atomistik begründete:
1.
Das Gesetz von der Erhaltung der Masse
(Lavoisier 1743 - 1794)
2.
Das Gesetz der konstanten Proportionen
In einer bestimmten Verbindung vereinigen sich die Elemente in festen unveränderlichen Massenverhältnissen ( Proust 1755 - 1826, Richter 1762 - 1807).
Z.B. Zwei Teile Wasserstoff + 1 Teil Sauerstoff ergibt 1 Teil Wasser.
3.
Das Gesetz der multiplen Proportionen
Bilden zwei Elemente (chemisch nicht zerlegbare Stoffe) mehrere Verbindungen, so
stehen die Massen der Elemente, die sich mit einer bestimmten Masse des anderen Elementes verbinden, untereinander im Verhältnis kleiner natürlicher Zahlen (Dalton).
z.B.: Stickstoffoxyde:
- Stickstoffmonoxyd
- Stickstoffdioxyd
- Distickstofftrioxyd
- Distickstofftetroxyd
- Distickstoffpentoxyd
1 , 2 , 3 , 4 , 5 Teile Sauerstoff zu einem Teil Stickstoff
- Wasser hat stets das gleiche spezifische Gewicht ⇒ alle Wasserteilchen sind gleich.
Aus gleichartigem Verhalten unterschiedlicher Gase bei Temperaturänderungen und aus Gesetz 2 und 3 ergibt sich die Vermutung:
Gleiche Volumina gasförmiger Körper enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl von Teilchen. (Gesetz von Avogadro)!
2 Liter Wasserstoff + 1 Liter Sauerstoff = 2 Liter Wasserdampf
1 N(O)=
2 N (H2O)
(Teilchenbilanz)
2 N(H) →
Aus diesem Gesetz lassen sich die atomaren Massenverhältnisse ermitteln.
Kohlenstoff zu Wasserstoff =
Sauerstoff zu Wasserstoff =
12 : 1
16 : 1
Man definiert: Ein Atom hat die Masse 1u (u = atomare Masseneinheit), wenn es die gleiche
Masse wie (1/12) C hat.
Für Massen, die soviel Gramm haben, wie die relative Atommasse angibt, definiert man den
Begriff Grammatom, bzw. Grammolekül.
So ist
1 Grammatom Helium
= 4g Helium
1 Grammatom Kohlenstoff = 12g C
1 Grammatom Stickstoff
≈14g N
1 Grammolekül Stickstoff ≈ 28g N2
Aus den 3 Gesetzen der Atomistik folgt, daß in all diesen Massen die gleiche Anzahl von
Teilchen (Atome bzw. Moleküle) sind.
Seite 8
Für die Teilchenmenge wird die Basiseinheit Mol (1 mol) eingeführt:
Die Stoffmenge (Teilchenmenge) 1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter (einheitlicher) Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 12 g
12
12
des Nuklids C enthalten sind (1 kmol ist auf 12 kg C. bezogen).
12
In 1 kmol sind soviel Teilchen wie in 12 kg des Nuklids C; in ν kmol sind ν mal soviele
Teilchen. Man versteht unter Molvolumen Vmol das Verhältnis des Volumen einer Gasmenge
zu der Teilchenmenge ausgedrückt in kmol. Also:
Vmol =
V:
m3
V
in
ν
kmol
ν:
3
Volumen in m
Anzahl der Mole in kmol
Für ideale Gase gilt:
Das Molvolumen aller idealen Gase beträgt bei Normalbedingungen (00 C , 100 hpa):
m3
ltr
22,4207
= 22,4207
kmol
mol
Beispiel:
Wieviele Teilchen N sind nun in 1 Mol ?
Bestimmung mit Ölfleckversuch [Handbuch der experimentellen Schulphysik Bd. 6, Atomphysik, p 6 / ebenso Bd. 4, p155 / Phywe Versuchsanleitungen Atomphysik A 1.2..]:
[Dunkle Schale (30 x 40 cm x cm, destilliertes Wasser und Bärlappsporen]
Ölsäure + Leichtbenzin im Verhältnis 1 : 2000 mischen.
3
1 cm Ölgmisch liefert 63 Tropfen
1 Tropfen Ölgemisch auf fettfreie Wasseroberfläche mit Bärlappsamen geben.
3
3
1
cm Ölsäure, da Leicht1 cm Gemisch liefert 63 Tropfen ⇒ Im Tropfen sind
63 ⋅ 2000
benzin verdampft.
Ölsäure breitet sich kreisförmig mit r = 4 cm aus.
3
V = π r 2 ⋅ d = π ⋅ 16 ⋅ d in cm
d=
V
1
=
≈ 1,6 ⋅ 10 −7 in cm
2
πr
63 ⋅ 2000 ⋅ π ⋅ 16
Das Molvolumen der Ölsäure (C17H33COOH) beinhaltet die Masse von 282 kg. Die Dichte
ist:
0,89
g
g
kg
≈ 0,9
= 900 3
3
3
cm
cm
m
ρ = m/V oder V = m/ρ
ρ
ν:
Vm =
m
V
m
=
= m
ν ν⋅ρ
ρ
mm =
m
ν
Anzahl der Mole in mol
d:
-9
Dicke der atomaren Schicht = 1,6 ⋅ 10 m
Seite 9
NA =
Vm m m
282 kg m 3
0,78 ⋅ 10 26
=
=
≈
kmol
ρ d 3 900 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10 − 27 kmol
d3
Den genauen Wert gibt die Avogadrokonstante an:
N A = 6,0230 ⋅ 10 26
1
kmol
3
Die Loschmidtsche Zahl NL gibt die Anzahl der Teilchen pro m an:
ν=
V
N
und Vm =
NA
ν
N ν ⋅ N A N A 6,02 ⋅ 10 24
kmol
NL = =
=
=
⋅
= 2,68676 ⋅ 10 25 ⋅ 1 3
3
m
V ν ⋅ Vm Vm
kmol
22,4207 m
Nützliche Beziehungen:
Teilchenzahldichte: n =N/V = NA/Vm
in m-3.
Dichte:
ρ = M/V = Mm/Vm in kg/m3. Es folgt:
Molvolumen:
Vm = Mm/ρ
ρ
Es folgt:
n = NA ρ /Mm
NL: Loschschmidtsche Zahl in 1/m3
Vm: Molvolumen in m3/kmol
NA: Avogadrokonstante in 1/kmol
V: Volumen in m3
Mm: Molmasse in kg/kmol
1 kmol Wasserstoff hat die Masse 2 kg (H2).
Darin sind 6,0230 ⋅ 1026 Teilchen ⇒
heit)
1 u = 1,6735 ⋅ 10-27 kg (u: 1 atomare Massenein-
Zusammenfassung:
Es gibt Moleküle und Atome. Die Körper bestehen aus Molekülen.
Moleküle sind die kleinsten Teilchen, in die ein Körper ohne Änderung seiner chemischen
Natur zulegt werden kann.
Moleküle setzen sich aus Atome zusammen.
Atome sind die kleinsten Teilchen, die chemisch nicht mehr geteilt werden können. (Sie bleiben unverändert bei chem. Reaktionen.)
Der Physik gelingt es, Atome zu teilen. Es gibt Versuche, die zeigen, daß ein Atom im wesentlichen leer ist. Man geht von einem Kugelmodell mit Kern - (Leere) - Hülle aus. Solche
Kerne sind zusammendrückbar. Allerdings nicht durch irdische Kräfte. Ein Neutronenstern ist
ein Stern, dessen Hüllenelektronen durch äußeren Druck in die geladenen Kernteilchen gepreßt wurden, so daß diese neutral sind. Außerdem liegen die Kernteilchen dicht. Dadurch
paßt in das Volumen eines Stecknadelkopfes die Masse eines "Schlachtschiffes".
Seite 10
2.
ELEKTROSTATISCHE GRUNDVERSUCHE
2.1
Reibungselektrizität
Ergebnisse aus Reibungsversuche mit Glas- bzw. Hartgummistäben, die mit Katzenfellstükken gerieben werden, lassen sich mit einem neuem Begriff „Ladung“ gut beschreiben. Demnach schreibt man Teilchen die Eigenschaft Ladung zu. Ladungen haben keine Masse. Aus
den Versuchen ergibt sich:
-
Es gibt Ladungen, die auf den Materialien sitzen
Es gibt zwei Arten von Ladungen, positive und negative
Gleiche Ladungen stoßen sich ab
Ungleiche Ladungen ziehen sich an
Die Kraft zwischen den Ladungen wirkt durch den leeren Raum
Man kann eine Kette der Stoffe bilden, die sich abstoßen bzw. anziehen:
+, Haare, Glas, Wolle, Papier, Seide, Kautschuk, Hartgummi, Bernstein 2.2
Leiter und Nichtleiter
Verbindet man geladene Stoffe mit anderen, kann man manchmal keine Ladungen mehr
nachweisen. Stoffe über die Ladungen scheinbar verschwinden, nennt man Leiter. Es gibt
Stoffe, die leiten (z. B. Metalle) und andere, die nicht leiten (z. B. Porzellan). Über Leiter
fließen die Ladungen ab. Auf den Nichtleitern (Isolatoren) bewegen sich Ladungen nicht.
2.3
Elektroskop
+
+
+
Die Ladungen eines geriebenen Stabes
kann man an einem sogenannten Elektroskop abstreifen. Die beweglichen Zeiger
werden durch elektrische Kräfte ausgelenkt. Ladungen können mit einem
Elektroskop nachgewiesen werden!
+
Achtung: Durch sogenannte Influenz
bilden sich Gegenladungen auf dem Rand
und die Plättchen werden vom Rand angezogen. Dies zeigen Feldlinienversuche.
2.4
Transport von Ladungen:
Weitere Versuche zeigen: Ladungen können transportiert werden. Die Ladungen sitzen bei
gekrümmten Oberflächen von
Leitern außen. Bei einem geschlossenen Hohlkörper aus leitenden Material ist die innere
Oberfläche nach Zuführung von
Ladungen ladungsfrei. In diesem Hohlkörper ist man vor
Ladungen geschützt. Dies ist
das Prinzip des Faradaykäfigs.
2.5
Influenz
Die große Kugel wird aufgeladen (s. Abb.). Man bringt in die Nähe der großen Kugel zwei
Seite 11
kleine Kugeln, die sich berühren. Wenn man die kleinen Kugeln trennt, stellt man fest: die
Ladungen auf den beiden Kugeln sind gleich groß aber entgegengesetzt.
Auch im ungeladenen Leiter sind Ladungen, die sich allerdings gegenseitig kompensieren.
2.6
Bandgenerator und Glimmlampe
Bandgenerator
Ein Endlosband reibt sich an einer Erregerwalze E. Das Band
besteht z.B. aus Gummi und die Erregerwalze z.B. aus
Plexiglas. Wie in den Reibungsversuchen werden Ladungen
getrennt, so daß z.B. sich die Erregerwalze positiv auflädt.
Die Erregerwalze induziert außerdem auf der Metallspitze (s.
Abb.) negative Ladungen, die auf das Band übertragen
werden. Von den Metallwalzen unter der Kuppel werden die
Ladungen auf die Faraday-Kuppel übertragen.
E
Glimmlampe
Wenn man die Kuppel über eine Glimmlampe mit einer sogenannten Erde verbindet, leuchtet
die Glimmlampe kurze Zeit auf. Sie leuchtet dabei nur an einem Pol. Anschließend können
mit einem Elektroskop keine Ladungen mehr nachgewiesen werden. Die Glimmlampe ist ein
Nachweisgerät für sich bewegende Ladungen.
2.7
Strombegriff
Verbindet man eine Batterie mit der Glimmlampe leuchtet die Glimmlampe wie beim Bandgenerator. Die Glimmlampe zeigt an, daß, wie man sagt, Strom fließt. Damit ist an einem Fall
gezeigt, daß Strom vom Bandgenerator das gleiche ist wie der aus Steckdosen oder aus Batterien. Stromstärke wird als Basisgröße festgelegt. Die
abgeleitete Größe Ladung wird als Produkt aus Strom
mal Zeit definiert.
∆Q = I ⋅ ∆t ⇔ I =
∆Q
∆t
Für den elektrischen Strom hat der Mensch kein
Sinnesorgan. Um Strom messen zu können, muß erst
noch mehr über den Strom bekannt sein.
2.8
Wirkungen des Stromes
2.8.1
Wärmewirkung
Strom leitende Stoffe erwärmen sich. Man stellt sich vor, daß Atome gestoßen und in Schwingungen versetzt werden. Z.B. Heizdrähte, Sicherungen, Hitzdrahtamperemeter, Glühdraht einer Birne...
2.8.2
Chemische Wirkung
Salzlösungen, Säuren und Basen leiten Strom (Elektrolyte). An den Elektroden scheiden sich
Stoffe bei Stromfluß ab (Elektrolyse). Bei der Elektrolyse ist oft zu beobachten, daß sich an
jeder Elektrode ( Metalleiterenden) zwei verschiedene Stoffe abschneiden. Daraus folgt:
Seite 12
Es gibt zwei Arten von Ladungsträgern.
Z.B. Strom durch verdünnte Schwefelsäure: An
der Kathode scheidet sich Wasserstoff ab. An
der Anode scheidet sich Sauerstoff ab.
Weiterer Versuch:
Der Elektrolyt besteht aus 1/3 Kaliumsulphat,
1/3 Kaliumjodid und 1/3 Wasser mit Phenolnaphtalin. Bei Strompluß sind eine gelbe und
eine violette Fahne im Elektrolyten zu beobachten.
2.8.3
Magnetische Wirkung
Zur Erinnerung werden einige Grundtatsachen zum Magnetismus aufgeführt:
Magnete haben immer 2 Pole
Magnete wirken nur auf Eisen , Kobalt , Nickel
Es gibt einen Erdmagnet
der Pol eines Magneten, der sich nach Norden ausrichtet, heißt Nordpol
Unter Magnetfeld (MF) versteht man den Wirkungsbereich der magn. Kraft.
Eisenfeilspäne ordnen sich in Linienketten im Magnetfeld an
Die Richtung der Linienketten wird so definiert, daß sie außerhalb des Magneten vom
Nord- zum Südpol gerichtet sind
An Magneten ist der Nordpol rot und der Südpol grün gekennzeichnet.
Man stellt nun fest, daß sich um einen stromdurchflossenen Leiter ein Magnetfeld bildet.
Mit Hilfe des Magneten kann die
Stromrichtung definiert werden.
Der Strom fließt von + nach - ,
wenn sich die Nordpole der Magneten im Magnetfeld des Leiters
entsprechend der Korkenzieherregel (oder rechte- Handregel mit
N
S
Daumen in Stromrichtung) ausrichten.
2.9
Magnetfeld einer Spule
Das Magnetfeld einer langen Spule entspricht dem eines Stabmagneten. D.h., man kann die magnetischen Kräfte über den
Strom erfassen.
Seite 13
3.
DIE LORENTZ- KRAFT
3.1
Leiterschaukelversuch
Ein Leiter der Länge s befindet sich im Magnetfeld B und wird
vom Strom I durchflossen (z.B. 12 A bei 15 V). Ergebnis: Es ist
eine Kraftwirkung zu beobachten. Es gilt die Dreifingerregel der
rechten Hand. Der Daumen zeigt in Stromrichtung, der
Zeigefinger in MF-Richtung und der Mittelfinger in Kraftrichtung (MF: Magnetfeld).
3.2
Lorentzkraft
Die beim Leiterschaukelversuch beobachtete Kraft nennt man
Lorentz-Kraft. Sie ist eine Wechselwirkungskraft zwischen
dem Magnetfeld einerseits und einer Ladung, die sich relativ
zum Magnetfeld bewegt, andererseits.
r
r
v
v
r
r r
FL ≈ B und FL ≈ I ⋅ s oder FL = I ⋅ s × B
r
B heißt magnetische Induktion und ist die physikalische Größe, die das magnetische Feld
beschreibt. Der Stromweg s ist der Teil des Leiters, der sich im Wirkungsbereich des Magnetfeldes befindet. Wenn I sich zeitlich nicht ändert, folgt I = q/t mit der Umformungsmöglichkeit:
r
r v
sq
FL = B ⋅ = q ⋅ v ⋅ B bzw. vektoriell FL = q ⋅ v × B
t
B=
FL
Kraft
=
(Durch Vektoren darf nicht dividiert werden!)
q ⋅ v strömende Ladung
B in
N ⋅s
= T (Tesla)
A⋅s⋅m
3.3
Definition der Basisgröße Stromstärke
3.3.1
Magnetfeld eines geraden, stromdurchflossenen Leiters
B ist proportional zu I und umgekehrt proportional zu r:
1
I
. Daraus folgt: B = c ⋅ . Statt der Konstanten c
r
r
µ ⋅I
µ0
wird die Konstante
eingeführt, also B = 0
. µ 0 wird
2⋅ π
2⋅ π ⋅r
magnetische Feldkonstante genannt. Dann ergibt die Berechnung des
folgenden Ringintegrals:
B ≈ I und
B≈
r r
I
µ0I
B
∫ d s= 2πrB =2πr⋅ c r = 2πr 2πr = µ 0 I
3.3.2
Es gilt:
Festlegung der Basiseinheit Ampere
FL = I 2 ⋅ B 1 ⋅ s 2 und B1 =
µ 0 ⋅ I1
I
mit B ≈
2⋅π⋅a
r
Seite 14
I 2 ⋅ µ 0 ⋅ I1 ⋅ s 2
in N. Diese beobachtbare Kraft
2⋅π⋅a
erlaubt die Festlegung der Basisgröße Stromstärke. Das
Gesetz über Einheiten im Meßwesen bestimmt:
FL =
Die Basiseinheit Ampere ist die Stärke eines zeitlich
konstanten Stromes, der, durch zwei im Vakuum
parallel im Abstand a = 1m voneinander angeordnete,
geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend,
zwischen diesen Leitern je 1m Leiterlänge s elektrodynamisch die Kraft 2 · 10-7 N hervorrufen würde.
⇒ 2 ⋅ 10− 7 N =
µ0 ⋅ A 2
N
⇒ µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 2
2⋅ π
A
<Festlegung der Stromrichtung s. 2.8>. Da Ladung
gleich Strom mal Zeit ist, ergibt sich als Einheit für die
Ladung A⋅s = C (Coulomb).
3.3.3
Alte Festlegung der Stromstärke
Bei Elektrolysen findet man, daß die abgeschiedene Stoffmenge der transportierten Ladung Q
proportional ist. Man stellt fest: Die zur Abscheidung von 1 Grammäquivalent eines beliebigen Stoffs notwendige Ladung beträgt:
96500 = 1 F (F: Faraday-Konstante in C/kmol)
Bei einwertigen Atomen (siehe Chemie) sollte jedes Atom die gleiche Ladung haben. Dann
entfällt auf jedes Atom die Ladung:
F
9,65 ⋅ 10 4
e=
≅ 1,6 ⋅ 10 −19
=
23
N A 6,02 ⋅ 10
Weitere Versuche bestätigen:
Es gibt eine Elementarladung mit
3.3.4
e = 1,6 ⋅ 10 −19 C
Glühelektrischer Effekt
Platte A (Anode) wird positiv aufgeladen (Netzgerät mit 3 kV verwenden)! Sobald durch K (Kathode) Strom fließt, geht der Ausschlag zurück.
Platte A negativ aufladen! Der Ausschlag bleibt
bestehen, sobald durch K Strom fließt!
Es darf gefolgert werden: Nur die negativen Ladungen bewegen sich durch das Gas von K→A.
Man nennt diese leicht beweglichen Ladungsträger
mit geringer Masse und negativer Ladung Elektronen.
Auch im Leiter bewegen sich nur die Elektronen (Versuchsergebnis)!
Für die Glühemission verwendet man häufig: Platin, Wolfram, Molybdän, Tantal, Bariumoxyd. Der Glühvorgang muß in einem Vakuum stattfinden, da sonst der Draht im Sauerstoff
der Luft (Temperatur > 2000 K) verbrennen würde.
Seite 15
4.
ELEKTROSTATIK - ELEKTRISCHES FELD
4.1
Coulombsches Gesetz
Empirisch findet man, wie die Kraftwirkungen zwischen Ladungen zu beschreiben sind. Für
zwei Ladungen (Q, q) lautet das Wechselwirkungsgesetz (Wechselwirkungspartner Q und q):
r
1 Q⋅q r
⋅
⋅ r0 in N. Dies ist
FC =
4πε 0 r 2
das Coulombsches Gesetz. Die elektrische Feldkonstante ε 0 hat den
Wert: ε 0 = 8,85419 ⋅ 10 −12
gleichartige Ladungen
C2
.
Nm 2
2
2
1
9 Nm
9 Nm
= 8,98755 ⋅ 10
≈ 9 ⋅ 10
C2
C2
4πε 0
r r
r rq − rQ r
= r0
er =
rq − rQ
q
r r
r
1
Qq
F(r )=
⋅
⋅ er oder
2
4 π ε0 r − r
q
Q
r r
r r
1 Q q ⋅ (rq − rQ )
F(r )=
⋅
3
4 π ε0
rq − rQ
r r
F( r ) ist die Kraft, mit der die Ladung
r
Q am Ort rQ auf die Ladung q am Ort
r
rq wirkt.
Q
Unterschiede zum Gravitationsgesetz:
1.
Es gibt positive und negative Ladung ⇒ Ladungsausgleich.
2.
Wenn sich nach Ladungstrennung der Ausgleich vollzieht, fließt Strom.
4.2
Vergleich von Wechselwirkungskräften
Vergleich der elektrischen und gravitativen Wechselwirkungskräfte zwischen Elektron
(Masse me) und Proton (Masse mp) im Wasserstoffatom im Abstand r (beide haben die
Ladung e).
FC
Fgrav
1
e2
⋅ 2
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
e2
=
=
me ⋅ mp
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ γ ⋅ me ⋅ mp
γ⋅
2
r
m p : 1,67⋅ 10 −27 kg
m e: 9,11⋅ 10− 31kg
e : 1,6 ⋅ 10 −19 C
γ: 6,67 ⋅ 10 −11
m3
kgs 2
Seite 16
Nm 2
1,6 ⋅ 10 − 38 C 2
9 ⋅ 10
2
Konst ⋅ e 2
C
=
=
3
γ mp ⋅ me
m
6,67 ⋅ 10 −11
⋅ 1,67 ⋅ 9,11 ⋅ 10 − 27 ⋅ 10 − 31 kg
2
kgs
9
FC
Fgrav
FC
Nm 2 s 2
9 ⋅ 2,56
10 −29
⋅ − 69 = 2,27 ⋅ 10 39
= 3
⋅
Fgrav
m kg 6,67 ⋅ 1,67 ⋅ 9,11 10
4.3
Elektrische Feldstärke
r
Durch eine Ladung Q1 wirkt auf eine Probeladung q2 die elektrische Kraft FC . Die Stärke ist
r
abhängig von Ort s . Man definiert die „elektrische Feldstärke“ als Kraft pro Ladung:
r
r
r FC F( rs )
Qr
N
E=
=
= k 2 e s in
q
q
As
s
r r
Kennt man E( s ) , so kann die Kraft auf eine Ladung q ausgerechnet werden.
r r
r r
F( s ) = q ⋅ E( s )
r
r
Kraft ist ein Vektor, also auch FC ⇒ FC ist zerlegbar und überlagerbar.
r
r
r
q 3 ⋅ Q1 e13 q 3 ⋅ Q 2 e 23
Fges =
⋅r +
⋅r
4πε 0 s13 4πε 0 s23
r
r Fges
1  Q1 r
Q r 
E=
=
⋅  r ⋅ e13 + r 2 ⋅ e 23 
q3
4πε 0  s13
s23

Mit Koordinatensystem folgt:
r r
r r
r
1 Q1 ⋅ (r3 − r1 )
1 Q 2 ⋅ (r3 − r2 )
E=
⋅ r r 3 +
⋅ r r 3
4πε 0
4πε 0
r3 − r1
r3 − r2
Feld einer Punktladung!
Q>0
q>0
Seite 17
4.4
Feldlinien
r
Die Feldstärke E ist ein Vektor, der genauso wie die Coulombkraft gerichtet ist. Die sogenannte Probeladung ist, wenn nichts anderes festgelegt wird, positiv. Feldlinien folgen in jedem Punkt des Raumes der elektrischen Feldstärke. Sie sind also Kurven im Raum, die in
r
jedem Punkt des Raumes die Richtung des Feldes haben. E liegt tangential zu den Feldlinien.
Per Definition beginnen die Feldlinien an der positiven Ladung (s.o.). Sie enden nie im freiem
Raum sondern stets an einer negativen Ladung; sie schneiden sich nicht.
Konstruktion von Feldlinienbildern:
Feldlinien enden nie im freien Raum. Sie gehen von + nach -.
4.5
Elektrischer Dipol
Ein Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen Q und -Q im Abstand a. Man
definiert als Dipolmoment folgendes Produkt:
r
r
p = Q ⋅ a in Cm
Das Dipolmoment ist ein Vektor, der von der negativen zur positiven Ladung zeigt. Im Anhang 4.5.a wird das Feld eines Dipols in großer Entfernung berechnet.
Dipol im homogenen Feld:
Der Dipol mit dem Dipolmoment p richtet
sich parallel zum E-Feld aus.
r r r
M =r × F
r r
r =a
2
r
r
F =QE
r
r
p =Qa
r
r r
r r r
M =2( a × Q⋅ E ) =a ⋅ Q × E =p × E
2
Seite 18
Dipol im inhomogenen Feld:
Der Dipol wird in das Gebiet größerer Feldstärke gezogen.
Berechnung des Feldes eines Dipols (s. Skript von Dr. Harms, UGHS Essen)
r r 1r
r1 = s − a
2
r r  1 r r 1 r
r2 = s −  − a  = s + a (siehe folgende Abbildung)
2
 2 
Zur Abkürzung werden T für
Term und N für Nenner in
den folgenden Formeln verwendet.
r
r
r
Q e1 − Q e 2
Ed =
⋅ +
⋅
4πε 0 r12 4πε 0 r22
r
r
r
Q  e1 e2 
Ed =
⋅  2 − 2 
4πε 0  r1 r2 

r 1r
r 1r

s
−
a
s+ a
r
Q 
2
2
Ed =
⋅
−
4πε 0   1  2  1  2  1  2  1  2
 s− a ⋅ s− a


s + a ⋅ s + a
  2 
 2 
 2 
 2 

r
Q
Ed =
[T1 − T2]
4πε 0

rr a2 
N = s 2 − as +  ⋅
4

r 1r
s− a
T1 = 2
N
 2 rr a 2 
 s −as + 
4








Seite 19
rr
rr
 as a 2 
as a 2 
2 
N =s ⋅  1 − 2 + 2  ⋅ s ⋅  1 − 2 + 2 
 s 4s 
 s 4s 
2
a2
ist sehr klein und damit vernachlässigbar.
4s 2
rr 3
rr
rr
rr 3
a
s 2
a
s
a
s
a
s







N =s 2 ⋅  1 − 2  ⋅ s 2 ⋅  1 − 2  = s 3 ⋅  1 − 2  oder N =s 3 ⋅  1 − 2 
 s 
 s 
 s 
 s 
r 1r
r r − 32 

s− a
r
r
1
1
a
s 




2
= 3  s − a  ⋅ 1 − 2  
T1 =
3
rr
s  2   s  
 as  2


s3 ⋅ 1 − 2 
 s 
Weitere Näherungsformel:
(1 + x )n
≈1+ nx ⇒
rr − 3
 as  2
1 − 2 
 s 
Analog:
rr
rr
  3  as 
3 as
≈ 1 − −  ⋅ 2  =1 + ⋅ 2
2 s
  2 s 
rr
1  r 1 r   3 as 
T1 = 3  s − a  ⋅  1 + ⋅ 2 
s  2   2 s 
rr
1 r 1 r 
3 as 
T2 = 3  s + a  ⋅  1 + ⋅ 2 
2  
2 s 
s 
rr
rr
3 as 
3 as   r 1 r  
1  r 1 r  
T1 − T2 = 3 ⋅  s − a  ⋅  1 + ⋅ 2  −  s + a  ⋅  1 + ⋅ 2  
2  
2 s 
2  
2 s  
s 
rr
1  3as r r 
T1 − T2 = 3 ⋅  2 ⋅ s − a 
s s

rr
rr
r
Q
1
 3ps r r 
 3as r r 
=
⋅
Ed =
⋅
⋅
s
−
a
 4πε s 3  s 2 ⋅ s − p 
4πε 0 s 3  s 2



0
r
r
mit elektrischem Dipolmoment p = Qa
Das Dipolmoment liege parallel zur xr
r
Achse ⇒ p = pex
r
Wenn der Punkt p, für den E d berechnet
werden soll, auf der x-Achse liegt
r r
⇒ s =s x e x
r r r
r
 pe x s x e xs x ex
r 
1
Ed =
⋅ 3⋅
− pex 
3 
2
4πε 0 s x 
sx

r
r
1
Ed =
⋅ (2pex )
3
4πε 0 s x
r
r
Liegt p auf der y-Achse ⇒ s = s y ey
Seite 20
r
Ed =
4.6
1
4πε 0 s 3y
r r
r
r
 (pe x s y e y )s y ey
r 
r
1

oder
E
⋅ (−pe x )
⋅ 3⋅
−
p
e
x
d =
3
2

4πε 0 s y
sy


Arbeit im elektrischen Feld
Um Ladungen zu trennen (zu verschieben), muß die Arbeit Wv aufgewendet werden. Die dabei eingesetzte Kraft Fv muß entgegengesetzt gleich der Coulombkraft FC sein:
r
r
Fv = − FC
2 r
2 r
r
r
Wv = ∫ Fvd s = − ∫ FCd s in J
s
s
s1
s1
r
1 Q⋅q r
⋅
es
FC =
4πε 0 s 2
r
r FC
r
r
E=
⇒ FC = q ⋅ E
q
s2
r r
1 Q ⋅ qr r
⋅ 2 es d s in J
Wv = − ∫ q E d s in J oder Wv = − ∫
s
s1
s1 4πε 0
s2
Elektrostratisches Potential:
Um eine Ladung zu verschieben, ist die Verschiebungsarbeit Wv zu verrichten (von
s 1 nach s 2 ).
r r
Wv =−q ∫ Ed s
s2
s1
Man definiert als elektrisches Potential die Verschiebungsarbeit pro Ladung bei der Verschiebung von ∞ zum Ort s
s
r r
r r r
r r
Wvs
= Vs = − ∫ Ed s = −E( s − s ∞ ) = −E ⋅ s
q
∞
Verschiebungsarbeit bei der Verschiebung von s 1 → s 2
Wv 12
 ∞ r r s2 r r 
 s 2 r r s1 r r 


=− q ∫ Ed s + ∫ Ed s =− q ∫ Ed s − ∫ Ed s 
s

∞
∞
∞


1
s2
r r s1
r r
Wv 12 = ∫ −qEd s − ∫ ( −q )Ed s = q⋅ Vs 2 − Vs1
(
∞
)
∞
Diese Arbeit entspricht einer Änderung der potentiellen Energie. Das elektrische Potential V
am Ort s gibt die potentielle Energie je Probeladung an.
Vs =
Wpot
q
in
J
C