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1etv43-2
d)
Technische Kondensatoren
Technische Geräte zur Realisierung einer bestimmten Kapazität sind Kondensatoren.
Kondensatoren werden mit Kapazitäten im Bereich 1pF<C<10mF gefertigt. Im
Gegensatz zum idealen Kondensator ist im Isolierstoff (Dielektrikum) technischer
Kondensatoren κ ≠ 0 und damit eine Restleitfähigkeit vorhanden. Es existiert ein
Leckwiderstand, über dem Leckverluste entstehen.
Bei Betrieb mit Wechselstrom der Frequenz f
werden die Leckverluste durch den Verlustfaktor
tanδ beschrieben.
C
R
1
tan δ =
.
(4.3.52)
2π ⋅ f ⋅ C ⋅ R
Diesen Ausdruck werden wir im Kapitel 5 näher
Abb.4.3.20 Ersatzschaltbild des beschreiben.
technischen Kondensators
Technische Kondensatoren werden durch folgende Angaben gekennzeichnet:
Kapazität
0.1 µF
Kap.Toleranz
±10 %
Nennspannung
160 V
Prüfspannung
480 V
Betriebstemperatur
-40oC bis 70oC
Nennspannung:
Bedingt durch die Durchschlagfestigkeit
des Isolierstoffes existiert ein Spannung,
die der Kondensator mit wirtschaftlich
vernünftiger Lebensdauer standhält. Es
wird zwischen Gleich- und
Wechselspannung unterschieden.
In Abb. 4.3.21 sind zwei typische technische Kondensatoren in ihrem Aufbau
dargestellt.
imprägniertes
Papier
C (ϕ)
ϕ
Aluminium-Folie
Abb.4.3.21
a)
Metall-Papier-Wickelkondensator
b)
Drehkondensator
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In Abb. 4.3.22 und Abb. 4.3.23 sind für Scheiben- und Wickelkondensatoren die
Werte für deren Kapazitätsberechnung angegeben.
As
s
s
Aw
n=6
Abb.4.3.23 Wickelkondensator
Abb.4.3.22 Scheibenkondensator
C=
(n − 1) ⋅ ε ⋅ A s
s
(4.3.53)
C=
2⋅ε⋅ Aw
s
(4.3.54)
Aufgabe 4.3.05
Der aus Polypropylenfolien (εr =2.3) mit aufgedampfter Metallschicht bestehende
Wickel eines Wickelkondensators mit der Kapazität C = 2.2µF hat das Volumen
V = 3.9cm3 . Berechnen Sie Fläche A und Stärke d der verwendeten Folie, wobei die
aufgedampfte Metallschicht volumenmäßig nicht berücksichtigt werden soll!
e)
Kondensatorschaltungen
Für die Berechnung von Kondensatorschaltungen werden die Analogien zu
Gleichstrom-Widerstandsnetzwerken angewandt. In Abb. 4.3.24 sind die Analogien
zusammen gestellt.
Widerstandsnetzwerke
I
U
Kondensatornetzwerke
Ψ
C
G
I
U
G
I = G ⋅U
Maschensatz:
Knotensatz:
U
ΣU = 0
ΣI = 0
Ψ
U
C
Ψ = C ⋅U
ΣU = 0
ΣΨ = 0
Abb.4.3.24 Analogien zwischen Gleichstrom-Widerstandsnetzwerken und Kondensatorschaltungen
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Ψ = C ⋅U
Ψν = C ν ⋅ U
Parallelschaltung
Ψ
K
Ψ1
U
C1
Ψ2
C2
Knoten K:
Ψ = Ψ1 + Ψ2 + ... + Ψn
C ⋅ U = (C1 + C 2 + ... + C n ) ⋅ U
Ψn
Ψ3
C3
Cn
C = C1 + C 2 + ... + C n
Reihenschaltung
Ψ
U1
U
C1
Ψ
U2
C2
Ψ = C ⋅U
Ψ = C ν ⋅ Uν
Ψ
C
Ψ
Uν =
Cν
U=
Masche M:
U = U1 + U2 + U3 + ... + Un
1
1
1
Ψ  1
= 
+
+
+ ... +
C  C1 C 2 C 3
Cn
M
Ψ
Un
(4.3.55)

 ⋅ Ψ

Cn
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
C C1 C 2 C 3
Cn
(4.3.56)
Die Gesamtkapazitäten von Kondensatorschaltungen werden durch
Zusammenfassen mit Parallelschaltung, Reihenschaltung und Stern-DreieckUmwandlung analog zu Widerstandsschaltungen berechnet.
Beispiel 4.3.04
Zu berechnen ist die Spannungsverteilung an den Kondensatoren sowie die
Kapazität CAB zwischen den Klemmen.
C1 = 1µF
C2 = 2µF
C3 = 3µF
C4 = 4µF
C5 = 3µF
C6 = 2µF
U6 = 36V
A
C1
C2
C5
C3
C4
C6
U6
B
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1etv43-2
Ψ1
Ψ
U1
C3
C2
C1
A
U3
U2
C5
Mb
U5
Ψ 2 = C6 ⋅ U6 = C5 ⋅ U5 = 2µF ⋅ 36V = 72µAs
C
2µF
U5 = 6 ⋅ U6 =
⋅ 36V = 24V
C5
3µF
Ma: U=U5+U6
U = 24V + 36V = 60V
Mb: U=U1+U2+U3+U4
Ψ1 = C1 ⋅ U1 = C2 ⋅ U2 = C3 ⋅ U3 = C4 ⋅ U4
U4
B
C4
C6
Ma
U6
 1
1
1
1 
U = Ψ1  +
+
+

 C1 C2 C3 C4 
U
Ψ1 =
= 28.8µAs
1
1
1
1
+
+
+
C1 C2 C3 C4
U
Ψ1 28.8µAs
=
= 28.8V
C1
1µF
Ψ
28.8µAs
= 14.4V
U2 = 1 =
Ψ
28.8µAs
C2
2µF
U4 = 1 =
= 7.20V
C4
4µF
Ψ1 28.8µAs
=
= 9.60V
U3 =
C3
3µF
Ψ + Ψ 2 28.8µAs + 72µAs
C= 1
=
= 1.68µF
U
60V
U1 =
4.3.5
Feldberechnung
Der Lernende kann
- den Berechnungsalgorithmus für die Feldberechnung angeben und formelmäßig beschreiben
- in homogenen Feldern Verschiebungsdichtedichte, Feldstärke, Verschiebungsfluss und Ladung,
Potenzialverlauf, Spannung und Kapazität berechnen
- in kugelsymmetrischen Feldern Verschiebungsdichtedichte, Feldstärke, Verschiebungsfluss und
Ladung, Potenzialverlauf, Spannung und Kapazität berechnen
- in koaxialen Feldern Verschiebungsdichtedichte, Feldstärke, Verschiebungsfluss und Ladung,
Potenzialverlauf, Spannung und Kapazität berechnen
Bei der Feldberechnung elektrostatischer Felder liegt eine Aufgabenstellung vor, bei
der eine gegebene Feldanordnung mit metallischen Elektroden in einem
nichtleitendem Medium mit der Permittivität ε vorliegt, wobei die Ladung auf den
Elektroden oder die Spannung zwischen den Elektroden bekannt ist.
a)
Algorithmus
G G
ϕ A = ∫ E ⋅ ds
0
A
Q
Ψ Q
D=
=
A A
E
D
E=
D
ε
ϕA
UAB
CAB
G G
Ψ
Q
= ∫ E ⋅ ds C AB =
=
B
U AB
A
Abb.4.3.25 Algorithmus der Feldberechnung
In Abb. 4.3.25 ist der Berechnungsalgorithmus dargestellt.
UAB
UAB
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In der Elektrodenanordnung wird zunächst eine Fläche A definiert, die senkrecht vom
von der Ladung Q ausgehenden Verschiebungsfluss Ψ durchflossen wird und über
der der Verschiebungsdichtevektor konstanten Betrag hat. Diese Forderung schränkt
die Feldberechnung auf homogene, kugelsymmetrische und koaxiale Anordnungen
ein. Aus Verschiebungsfluss und Fläche wird die Verschiebungsdichte berechnet. In
den inhomogenen Anordnungen wird die Fläche und damit die
Verschiebungsdichtedichte wegabhängig werden. Bei bekannter
Verschiebungsdichtedichte ergibt sich mit der Permittivität die Feldstärke und über
das Wegintegral der Feldstärke Potenzial und Spannung. Aus Spannung und Ladung
wird die Kapazität der Anordnung berechnet. Sie sollten sich an dieser Stelle den
Berechnungsalgorithmus des stationären Strömungsfeldes im Abschnitt 4.2.5 a) noch
einmal genau ansehen. Da das mathematische Berechnungsmodell das gleiche ist,
können Sie alle dort gewonnenen Erkenntnisse auf die Berechnung der
elektrostatischen Felder anwenden. Es ist nur notwendig, die Stromdichte J im
Strömungsfeld durch die Verschiebungsdichte D, den Strom I durch den
Verschiebungsfluss Ψ und die Permittivität ε durch die Leitfähigkeit κ zu ersetzen.
Die Berechnung der Kapazität C entspricht im Strömungsfeld der Leitwert G.
Sie sollten sich diese Analogien zwischen den Felder einprägen, da hierdurch die
Wissensaneignung erleichtert wird. Bei der Behandlung des magnetischen Feldes
werden wir die Analogie auch auf dieses Feld ausdehnen.
b)
Anwendung im homogenen Felder
Wir wollen wie im stationären Feld die Berechnung anhand von Beispielen
durchführen.
Gegeben ist eine Plattenkondensator mit
d2
d1
quadratischen Metallplatten der Fläche A
und quergeschichtetem Dielektrikum. Die
relativen Dielektrizitätskonstanten
ε1
ε2
betragen εr1 und εr2, die Schichtstärken d1
und d2. Die Plattenspannung beträgt, das
Ψ
Feld zwischen den Platten ist homogen.
U2
U1
d1 = 4 mm
d2 = 6 mm
d1 + d2 = d = 10 mm
Uq
U
A = 25 cm2
εr1 = 1
x
εr2 = 3
d1
d1 + d2
U = 2 kV
Abb.4.3.26 Berechnungsbeispiel des homogenen
elektrostatischen Feldes
1)
2)
3)
Zu berechnen sind die Verschiebungsdichten, die Kapazitäten sowie die
Feldstärke und die Spannungsabfälle in den beiden Medien
Zu berechnen und darzustellen ist der Potenzialverlauf im geschichteten
Dielekrikum im Vergleich zu einem Kondensator mit einheitlichen Dielektrikum
mit εr = 1!
Zu bestimmen ist die relative Ersatzdielektrizitätskonstante eines Kondensators
gleicher Kapazität bei gleicher Plattengeometrie mit einheitlichem Dielektrikum.
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1)
Im homogenen Feld ist jede zu den Elektroden parallele gleichgroße Fläche im
homogenen Feld eine senkrecht vom Verschiebungsdichtevektor durchsetzte Fläche
mit konstanter Verschiebungsdichte.
A⊥ = A
(4.3.57)
Zur Bestimmung der Ortsfunktion der Feldgrößen ist im homogenen Feld eine lineare
Koordinate x ausreichend.
Im quergeschichteten Dielektrikum ist nach Gl. (4.3.35) die Verschiebungsdichte in
beiden Isolierstoffteilen gleich. Für die Feldstärken ergibt sich mit Gl. (4.3.28)
Ψ Q
=
ε1 ⋅ E1 = ε 2 ⋅ E2
εr1 ⋅ E1 = εr 2 ⋅ E2
D1 = D 2 =
A A
Daraus lassen sich mit Gl. (4.3.44) und dem Maschensatz die Spannungen
berechnen:
U
U
E1 = 1
E2 = 2
d1
d2
ε r1 ⋅ U1 ε r 2 ⋅ U2
=
d1
d2
ε r 2 ⋅ d1
ε r1 ⋅ d 2
U
U2 =
= 667V
εr 2 ⋅ d1
(
+ 1)
εr1 ⋅ d2
U1 = U - U2 = 1333 V
U1 = U2 ⋅
U = U1 + U2
Bei Kenntnis der Spannungen ergeben sich mit Gl. (4.3.44) die Feldstärken:
U
U
E1 = 1 = 3333 V/cm
E 2 = 2 = 1112 V/cm
d1
d2
Aus den Feldstärken kann mit Gl.(4.3.28) die Verschiebungsdichte berechnet
werden, und aus der Verschiebungsdichte mit Gl. (4.3.45) die Ladung.
D = D1 = D2 = ε0 ⋅ εr1 ⋅ E1 = 2.95µAs / m2
Q = Ψ = D ⋅ A = 7.37nAs
Aus Ladung und Spannung kann mit Gl.(4.3.43) die Kapazität der Gesamtanordnung
und die in Reihe geschalteten Teilkapazitäten bestimmt werden
C=
Q
= 3.69pF
U
C1 =
Q
= 5.53pF
U1
C2 =
Q
= 11.0pF
U2
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2)
0 G
G
ϕ A = ∫ E ⋅ ds
ϕA
kV
A
2
d1 ≤ x ≤d
d
d
x
x
ϕ ( x ) = ∫ E2dx = E2 ∫ dx = E2 x
ϕ ( x ) = 1.11kV(1 −
d
x
= E2 (d − x)
x
)
cm
1
0 ≤ x ≤ d1
d1
d
d1
d1
x
ϕ ( x ) = ∫ E1dx + ∫ E2 dx = E1 ∫ dx + U2
x
ϕ ( x ) = E1x
d1
x
+ U2 = E1(d1 − x) + U2
ϕ ( x ) = 3.33kV(0.4 −
3)
x
) + 0.667kV
cm
4
10
x
mm
Aus Spannung und Plattenabstand d = d1 + d2 kann mit Gl.(43.44) eine
Ersatzfeldstärke E definiert
U 2000V 200kV
=
E= E= =
d 10mm
m
2
Da D = 2.95µAs / m laut Aufgabenstellung beibehalten werden soll, ergibt sich
mit Gl.(4.3.28) die Ersatz-Permittivitätszahl eines einheitlichen Isolierstoffes
zwischen den Platten
εr =
c)
0.667
D
2.95µAs ⋅ Vm ⋅ m
= 2
= 1.67
ε0 ⋅ E m ⋅ 8.85 ⋅ 10−12 As ⋅ 200kV
Anwendung auf kugelsymmetrischer Felder
Zu berechnen ist die Feldstärke an der Kugeloberfläche einer frei im Luftraum
hängenden Kugel, wenn die Spannung U zwischen Kugel und einer sehr weit
entfernten Gegenelektrode gegeben ist.
Im kugelsymmetrischen Feld ist die Innenelektrode eine Kugel, die Außenelektrode
eine konzentrisch angeordnete Hohlkugel. Jede konzentrische Kugelfläche ist eine
senkrecht vom Verschiebungsdichtevektor durchsetzte Fläche mit konstanter
Verschiebungsdichte. Zur Beschreibung der Ortsfunktion der Feldgrößen wird eine
Radialkoordinate r verwendet, die den Wert r = 0 im Kugelmittelpunkt hat und in
beliebiger Richtung radial nach außen führt. Für die Fläche gilt Gl. 4.2.58
A ⊥ = 4π ⋅ r 2
(4.3.58)
In unserem Beispiel wird die Hohlkugelelektrode als sehr weit entfernt mit ra = ∞
angesetzt. Die Anordnung ist in Abb. 4.3.27 dargestellt. Zunächst berechnen wir die
Kapazität dieser Anordnung nach dem Algorithmus nach Abb. 4.3.25.
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r
R
Q
Ψ
Innenelektrode:
ri = R = 5cm
Außenelektrode:
ra = ∞
Spannung zwischen den Elektroden:
U = UR∞ = 110kV
Ψ
Q
=
A ⊥ 4π ⋅ r 2
Q
E=
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
D=
Abb.4.3.27 Berechnungsbeispiel des
kugelsymmetrischen elektrostatischen
Feldes
(4.3.59)
(4.3.60)
Aus Gl.(4.3.60) kann durch Integration zwischen Innen- und Außenelektrode die
Spannung zwischen den Elektroden berechnet werden:
ra
r
ra
Q a dr
Q  1
Ui,a = ∫ E ⋅ dr =
=
−
2
∫
4π ⋅ ε0 ri r
4π ⋅ ε0  r  ri
ri
Ui,a =
Q 1 1
( − )
4π ⋅ ε0 ri ra
Mit Gl.(4.3.46) ergibt sich daraus die Kapazität des Kugelkondensators
4π ⋅ ε0
Q
(4.3.61)
=
Ui,a  1 1 
 − 
 ri ra 
Mit ri = R und ra = ∞ ist die Kapazität der frei in Luft hängenden Kugel
C = 4π ⋅ ε0 ⋅ R
(4.3.62)
Da die Spannung laut Aufgabenstellung gegeben ist, wird mit Gl. (4.3.46) mit der
Kapazität die Ladung berechnet:
C=
Q = U ⋅ 4π ⋅ ε 0 ⋅ R
und mit der Ladung nach Gl. (4.3.58) die Feldstärke
E=
U ⋅ 4π ⋅ ε0 ⋅ R U 110kV
Q
=
= =
= 22kV / cm
2
4 π ⋅ ε0 ⋅ r
4π ⋅ ε 0 ⋅ R 2
R
5cm
d) Anwendung auf koaxialer Felder
Die Anwendung auf koaxiale Felder wollen wir an folgendem Beispiel behandeln. Ein
die Hochspannung U führender Leiter mit dem Radius r1 wird koaxial durch ein
geerdetes Rohr mit dem Innenradius r4 und der Länge s geführt.
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Der Zwischenraum ist gefüllt
1)
Ψ
ϕL
r4
r3
r2
r1
ε1 ε2
2)
ε3
Q
ϕ=0
r
mit einheitlichem Dielektrikum der
Permittivität εr.
mit geschichtetem Dielektrikum
εr1 von r1 bis r2; εr2 von r2 bis r3;
εr3 = 1 von r3 bis r4.
Zu berechnen sind für beide Fälle
Feldstärke- und Potenzialverlauf
zwischen Leiter und Rohr!
Die Anordnung ist in Abb. 4.3.28
dargestellt.
Abb.4.3.28 Berechnungsbeispiel des koaxialen
elektrostatischen Feldes
Im koaxialen Feld ist die Innenelektrode eine Rohr oder ein Zylinder der Länge s, die
Außenelektrode ein konzentrisch angeordnetes Rohr gleicher Länge. Jede
konzentrische Zylindermantelfläche im Feldraum ist eine senkrecht vom
Verschiebungsdichtevektor durchsetzte Fläche mit konstanter Verschiebungsdichte.
Zur Beschreibung der Ortsfunktion der Feldgrößen wird eine Radialkoordinate r
verwendet, die den Wert r = 0 im Rohrmittelpunkt hat und in beliebiger Richtung
radial nach außen führt. Für die Fläche gilt Gl. 4.3.63.
A ⊥ = 2π ⋅ r ⋅ s
(4.3.63)
Bei einheitlichem oder quergeschichtetem Isolierstoff liegt in jeder konzentrischen
Zylindermantelfläche mit dem Radius r im Feldraum ein konstanter Wert der
Verschiebungsdichte vor der mit Gl. (43.45) berechnet werden kann.
Ψ
Q
D=
=
A 2π ⋅ s ⋅ r
Mit dem Algorithmus der Abb. 4.3.25 ergibt Gl. (4.3.28)
Q
E=
2π ⋅ ε ⋅ s ⋅ r
Daraus kann die Spannung zwischen Innen- und Außenelektrode mit Gl. (4.3.20)
durch Integration bestimmt werden:
r2
Q
r
Ui,a = ∫ E ⋅ dr =
⋅ ln 2
2π ⋅ ε ⋅ s
r1
r1
Aus Gl. (4.3.46) können wir die Kapazität einer koaxialen Anordnung bestimmen.
Q 2π ⋅ ε ⋅ s
C=
=
(4.3.64)
r2
Ui,a
ln
r1
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1)
Bei einheitlichem Isolierstoff sind wir mit dieser Kapazität bei Kenntnis der
Spannung in der Lage, die Ladung auf den Elektroden zu berechnen
Für die Aufgabe ist folgende Dimensionierung vorgesehen:
U = Uia = 63.5kV;
r2 = 2cm;
r1 = 1cm;
εr = 3 ;
εr1 = 3
r3 = 3cm;
εr 2 = 2
r4 = 4 cm;
εr3 = 1
s = 0.2m
Mit diesen Werten ergibt sich die Ladung
2π ⋅ ε0 ⋅ εr1 ⋅ s
Ψ = Q = C ⋅ Ui,a =
⋅ Ui,a = 1.528µAs
r4
ln
r1
und die Ortsfunktion der Feldstärke
Q
45.8kV
=
E = E (r ) =
2π ⋅ εo ⋅ εr1 ⋅ l ⋅ r
r
Bei ϕ = 0 an der Außenelektrode r0 = r4 , kann der Potenzialverlauf eines Punktes A
nach Gl. (4.3.21) berechnet werden mit rA = r als Variable:
r4
ϕ = ∫ E ⋅ dr = 45.8kV ⋅ ln
r
4cm
r
2) Bei geschichtetem Isolierstoff liegt Querschichtung vor, demzufolge ist der
Verschiebungsfluss in allen Bereichen gleich groß. Die Grenzschichten zwischen den
Isolierstoffen sind Äquipotenzialflächen und können mit Metallfolie ausgekleidet
werden, ohne das Feld zu beeinflussen. Es ergibt sich dann eine Reihenschaltung
von drei Koaxialkondensatoren nach Abb.4.3.29.
Der Maschensatz liefert:
ϕL
U12 + U23 + U34 = U
U12
Ψ
C12
U
U23
U34
Ψ
C23
Ψ
C34
ϕ=0
Abb.4.3.29 Ersatzschaltung bei
quergeschichtetem Isolierstoff
Die Kapazitäten der drei Koaxialkondensatoren können
nach Gl.(4.3.63) berechnet werden.
2π ⋅ ε 1 ⋅ s
C12 =
= 48.13pF
r2
ln
r1
2π ⋅ ε 2 ⋅ s
C 23 =
= 54.66pF
r3
ln
r2
2πε 3 ⋅ s
= 38.66pF
C 34 =
r4
ln
r3
Die Gesamtkapazität der Reihenschaltung ist nach
Gl.(4.3.56) bestimmt werden.
1
1
1
1
=
+
+
C=15.41pF
C C12 C 23 C 34
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Bei gleicher Elektrodenspannung wird nach Gl.(4.3.42) die Ladung berechnet.
Ψ = Q = C U = 0.9788 µAs
Daraus lassen sich nach Abb. 4.3.29 die Teilspannungen bestimmen.
Ψ
Ψ
Ψ
U12 =
= 20.34kV
U23 =
= 17.84kV
U34 =
= 25.32kV
C12
C 23
C 34
Die Feldstärken in den drei Bereichen ergeben sich nach Gl.(4.3.60)
Q
29.3kV
r1 ≤ r ≤ r2
E1 ( r ) =
=
2π ⋅ εr1 ⋅ ε0 ⋅ s
r
Q
44.0kV
r2 ≤ r ≤ r3
E2 ( r ) =
=
2π ⋅ ε r 2 ⋅ ε 0 ⋅ s
r
Q
88.0kV
r3 ≤ r ≤ r4
E3 ( r ) =
=
2π ⋅ εr3 ⋅ ε0 ⋅ s
r
Die Potenzialverläufe berechnen sich mit ϕ = 0 bei r = r4 in den drei Bereichen:
r4
r3 ≤ r ≤ r4
ϕ ( r ) = ∫ E3 dr = 88.0kV ⋅ ln
r
r3
r2 ≤ r ≤ r3
r4
ϕ ( r ) = ∫ E2 dr + ∫ E3 dr = 44.0kV ⋅ ln
r
r1 ≤ r ≤ r2
r4
r
r3
r2
r3
r4
r2
r
r2
r3
r
r3
r
+ U34 = 44.0kV ⋅ ln 3 + 25.3kV
r
r
ϕ = ∫ E1dr + ∫ E2 dr + ∫ E3 dr = ∫ E1dr + U23 + U34 = 29.3kV ⋅ ln
70
r2
+ 43.2kV
r
E in kV/cm; ϕ in kV
60
50
40
Ea
ϕa
ϕb
30
Eb
20
Eb
10
0
1
2
3
r in cm
4
Abb.4.3.30 Feldstärke- und Potenzialverlauf im koaxialen elektrostatischen Feld
a) einheitlicher Isolierstoff nach Aufgabe 1
b) quergeschichteter Isolierstoff nach Aufgabe 2
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4.3.6
Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld
a) Energie
Im elektrostatischen Feld wirken Kräfte nicht nur auf Ladungen, sondern auch auf
Grenzflächen unterschiedlicher Permittivität. Durch Ladungsverschiebung oder
Grenzflächenverschiebung kann mechanische Energie reversibel in elektrische
Feldenergie überführt werden. Das elektrische Feld ist ein Energiespeicher. Die im
elektrischen Feld zwischen zwei Elektroden insgesamt gespeicherte Energie ist
durch die Ladung auf den Elektroden und der Spannung zwischen den Elektroden
bestimmt. Die Energie ist im elektrischen Feldraum gespeichert, die Elektroden
begrenzen nur den Feldraum, sie speichern keine Energie.
Im Folgenden wollen wir die Bestimmung der gespeicherten Energie eines
Plattenkondensators betrachten. Dabei soll dem Kondensator die Ladung
mechanisch zugeführt werden, indem Geine differenziell
kleine Ladung +dQ von Platte
G
1 aus gegen die elektrische Feldkraft F = dQ ⋅ E auf die positive Platte(2) gebracht
wird. Dabei wird die differenzielle Arbeit dW verrichtet. Die Richtungszuordnungen
der Größen sind in Abb.4.3.31 dargestellt. Gleichzeitig erhöht sich die Ladung auf
der Platte 2 um den Wert dQ. Die Energie dW ergibt sich dabei aus dem Wegintegral
von Platte 1 nach 2 der mechanischen Kraft. Die mechanische Kraft muss dabei
gegen die Feldkraft aufgewendet werden (Gl.4.3.65).
2 G
2 G
G
G
dW = ∫ Fmech ⋅ ds = −dQ ∫ Eds
G
E
K
Fmech
1
1
Die Spannung zwischen den beiden Platten nach
Gl.(4.3.20) ist
2 G
G 1G G
U = − ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds
G
ds
1
1
2
(4.3.65)
2
In Gl.(4.3.65) eingesetzt erhalten wir:
dW = dQ ⋅ U
(4.3.66)
U
Abb.4.3.31 Mechanische Ladung des
Kondensators
Wird der Vorgang vom ungeladenen Kondensator aus so oft wiederholt, bis der
Kondensator die Ladung Q hat, so erhält man die Energie des auf die Ladung Q
geladenen Kondensators. Mit Gl.(4.3.42) erhält man dafür Gl. 4.3.67.
Q
Q
Q ⋅ dQ Q 2
C ⋅ U2 Q ⋅ U
=
=
=
C
2⋅C
2
2
0
W = ∫ U ⋅ dQ = ∫
0
(4.3.67)
Im Plattenkondensator ist wegen der Homogenität des Feldes die Energie
gleichmäßig im Feldraum verteilt.
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199
1etv43-2
In inhomogenen Feldern ist die Energie nicht mehr gleichmäßig im Feldraum verteilt.
Zur Beschreibung der Energieverteilung im Feld wird die einem Punkt zugeordnete
Energiedichte we eingeführt. Für den einfachen Fall des homogenen Feldes wollen
wir die Energiedichte im Folgenden bestimmen (Abb.4.3.32). Im homogenen Feld ist
die Energiedichte aus dem Quotienten von Energie W durch Volumen V definiert.
s
ε
G
E
G
D
+Q
W
V
Mit Gl.(4.3.67) sowie
ε⋅A
U=Ed
C=
s
und dem Feldvolumen
erhalten wir:
ε ⋅ A ⋅ E2 ⋅ d2
we =
d⋅2⋅ A ⋅d
we =
A
-Q
we =
(4.3.68)
V=Ad
ε ⋅ E 2 D2 D ⋅ E
=
=
2
2⋅ε
2
(4.3.69)
U
Abb.4.3.32 Energiedichte im Kondensator
Im inhomogenen Feld erhält man die gleiche Beziehung. Wenn das Volumen
genügend klein gewählt wird, lassen sich die Bedingungen des homogenen Feldes
verwenden (Abb.4.3.33).
dA
Mit dU = E ds und dV = dA ds
erhalten wir die Kapazität
ϕ2
ϕ1
dU
ε ⋅ dA
ds
und die Energiedichte
dV
dC =
dΨ
ds
G K
E;D
Abb.4.3.33 Energiedichte im differenziell kleinen
Volumen
we =
dW D ⋅ E
=
dV
2
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Beispiel 4.3.05
Es soll die gespeicherte Energie des Kondensators mit der Kapazität C = 1000 µF,
der die Spannung U = 400 V hat, bestimmt werden.
C ⋅ U2 10 3 ⋅ 10 −6 As ⋅ 400 2 ⋅ V 2
W=
=
= 80 Ws
2
2⋅V
Die Energie ist zwar durch die Spannungsfestigkeit des Kondensators begrenzt, steht
aber in sehr kleinen Zeiten zur Verfügung. Dadurch ergeben sich mit
∆W
P=
∆t
sehr hohe Leistungen.
b)
Coulombsches Gesetz
Die Kraftwirkung zwischen Punktladungen hatten wir bereits im Kapitel 2 im
Coulombschen Gesetz quantifiziert. Abb.4.3.34 zeigt die Punktladungen Q1 und Q2
im Abstand r.
r
Q1
Q2
Abb.4.3.34 Kräfte zwischen Punktladungen
Q1 erzeugt am Ort von Q2 (Abstand r) nach den Gl.(4.3.59) und (4.3.60) die
Verschiebungsdichte und Feldstärke
Q1
Q1
D1 =
E1 =
2
4π ⋅ r
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
Die Ladung Q2 erfährt Kraft
G
G
G
Q1 ⋅ Q 2 r
⋅
F2 = Q 2 ⋅ E1 =
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2 r
G
r
ist dabei ein Richtungsvektor mit dem Betrag 1, der vom Ort der Ladung Q1 zum
r
Ort der Ladung Q2 gerichtet ist. Damit erhält das Coulombsche Gesetz die Form:
G
G
Q1 ⋅ Q2 r
F=
⋅
(4.3.70)
4π ⋅ ε0 ⋅ r 2 r
Q1 Q2 > 0 Abstoßung; Q1 Q2 < 0 Anziehung
Der Betrag der Kraft ist
Q1 ⋅ Q2
F=
(4.3.71)
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
Die Verhältnisse sind umkehrbar bei Betrachtung der Kraft auf Q1 im Feld von Q2.
c)
Kraft auf Trennflächen
An Grenzflächen zwischen Bereichen unterschiedlicher Permittivität lassen sich
Kräfte beobachten, die ihre Ursache in der Polarisation der Elementarladungen in
den Atomen und Molekülen haben.
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1etv43-2
Die Berechnung der Kraft erfolgt über den Energieerhaltungssatz. Die
Gesamtanordnung wird als abgeschlossenes Volumen betrachtet. Bei einer
Verschiebung der Grenzfläche zwischen den Gebieten unterschiedlicher Permittivität
(Abb.4.3.31) muss die dazu notwendige mechanische Arbeit entsprechend dem
Energieerhaltungssatz gleich sein der aus der Verschiebung gewonnen elektrischen
Feldenergie.
ds
ε
K
dF
dWe
dA
dV
Abb.4.3.35 Kräfte bei Änderung des Feldvolumens
dWmech = dWe
Mit dWmech = dF ⋅ ds und dW = w e ⋅ dV und dV = dA ⋅ ds
ergibt sich mit Gl.(4.3.69)
D2
D2
dF ds =
⋅ dA ⋅ ds
dF =
⋅ dA
2⋅ε
2⋅ε
Die Gesamtkraft wird durch Integration über die Gesamtfläche A errechnet.
D2
⋅ dA
F = ∫ dF = ∫
(4.3.72)
2 ⋅ ε2
A
F
Für homogene Feldverhältnisse erhalten wir:
ε ⋅ E2
D2
D2
=
⋅
=
⋅A
(4.3.73)
A
dA
F=
2
2⋅ε
2 ⋅ ε ∫A
Zwischen den Elektroden einer Kondensatoranordnung wirkt die Grenzflächenkraft
nach Gl. (4.3.74) immer anziehend, das heißt im Sinne einer Kapazitätserhöhung
und einer Verkleinerung des elektrischen Feldraums.
F=
dW U2 dC
=
⋅
ds
2 ds
(4.3.74)
Beispiel 4.3.06
Es liegt ein Kondensator mit geschichtetem Dielektrikum nach Abb.4.3.36 vor.
Die Grenzfläche als Äquipotentialfläche lässt sich mit Metallfolie auslegen, ohne die
Feldverhältnisse zu verändern. Es entstehen dadurch zwei mechanisch gekoppelte
Kondensatoren.
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Für Querschichtung gilt nach Gl.(4.3.35):
D1 = D2
ε1
A
ε2
G
F1
G
F2
Mit der Dimensionierung
ε 1 > ε 2 wird E1 < E2
Die Teilkräfte wirken kapazitätsverkleinernd
und werden nach Gl.(4.3.73) bestimmt
D2
D2
A
F2 =
A
F1 =
2 ⋅ ε1
2 ⋅ ε2
Abb.4.3.36 Beispiel zu Grenzflächenkräften
Wegen ε 1 > ε 2 gilt:
F1 ε 2
<1
F1 < F2
=
F2 ε 1
Der Vektor der resultierenden Kraft ergibt sich nach Abb. 4.4.36 und wegen F1 < F2
G G G
F = F2 − F1
Die Kraft beansprucht das Dielektrikum mit der größeren Permittivität auf Zug, das
mit der kleineren Permittivität auf Druck.
4.3.7
Zusammenfassung der Beziehungen des elektrostatischen und des
stationären elektrischen Feldes
Elektrostatisches Feld
Stationäres elektrisches Feld
Ψ = Q = C ⋅U
C=
U
R
1 κ⋅A
G= =
R
s
I = G⋅U =
ε⋅A
s
εo = 8.85 ⋅ 10−12 As / Vm
C ⋅ U2
2
D ⋅ E ε ⋅ E 2 D2
=
=
we =
2
2
2⋅ε
G
G
F = Q ⋅E
W=
Coulombsches Gesetz:
G
Q1 ⋅ Q2
F=
4π ⋅ ε0 ⋅ r 2
G
r
⋅
r
F=
Kraft auf Trennflächen
F = we ⋅ A
Q1 ⋅ Q2
4πε ⋅ r 2
P = U ⋅I
dP
p=
= J⋅E
dV
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Verhalten an Grenzflächen
Querschichtung
En1 ε2
=
En2 ε1
Dn1 = Dn2
Jn1 = Jn2
En1 κ2
=
En2 κ1
Jn1 = Jn2
En1 κ2
=
En2 κ1
Längsschichtung
Dt1 ε1
=
Dt2 ε2
Et1 = Et2
Feldbilder
Kästchenmethode:
∆s
= 1 quadratähnliche Flächen aus Feld- und Äquipotenziallinien
∆b
∆ϕ
1 ∆s
∆Ψ
∆b
∆R =
=
⋅
∆C =
= ε ⋅d⋅
∆I κ ⋅ d ∆b
∆ϕ
∆s
∆P = ∆R ⋅ ( ∆I)
2
Feldberechnung
Elektrostatisches Feld
Stationäres elektrisches Feld
Q⇒D⇒E⇒U⇒ C
I⇒ J⇒E⇒U⇒ G
G G
Ψ = Q = ∫ D ⋅ dA
G G
I = ∫ J ⋅ dA
dQ
D = ε ⋅E
dA ⊥
0 G
B G
G
G
ϕA = ∫ E ⋅ ds UAB = ∫ E ⋅ ds
D=
A
A
dI
J = κ ⋅E
dA ⊥
0 G
B G
G
G
ϕA = ∫ E ⋅ ds UAB = ∫ E ⋅ ds
J=
C=
Q
U
A
A
homogenes Feld
Ψ Q
=
A A
Q⋅s
U=
ε⋅A
D=
C=
E=
Q
ε⋅A
Q D⋅A ε⋅A
=
=
U E⋅s
s
J=
I
A
E=
I
κ⋅A
UAB =
I ⋅ sAB
κ⋅A
GAB =
I
J⋅ A
κ⋅A
=
=
UAB E ⋅ sAB
s AB
G=
I
U
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1etv43-2
Elektrostatisches Feld
kugelsymmetrisches Feld
D=
Q
4π ⋅ r 2
Uia =
C=
E=
Q
ε ⋅ 4π ⋅ r 2
Q 1 1
⋅ − 
ε ⋅ 4π ⋅  ri ra 
Stationäres elektrisches Feld
J=
I
4π ⋅ r 2
Uia =
G=
ε ⋅ 4π
1 1
 − 
 ri ra 
E=
I
κ ⋅ 4π ⋅ r 2
1 1
I
⋅ − 
κ ⋅ 4π ⋅  ri ra 
κ ⋅ 4π
1 1
 − 
 ri ra 
koaxiales Feld
D=
Q
2π ⋅ s ⋅ r
Uia =
C=
E=
Q
r
⋅ ln a
ri
ε ⋅ 2π ⋅ s
ε ⋅ 2π ⋅ s
r
ln a
ri
Q
ε ⋅ 2π ⋅ s ⋅ r
J=
I
2π ⋅ s ⋅ r
Uia =
G=
E=
I
κ ⋅ 2π ⋅ s ⋅ r
I
r
⋅ ln a
ri
κ ⋅ 2π ⋅ s
κ ⋅ 2π ⋅ s
r
ln a
ri